填色盘的制作方法

专利名称：填色盘的制作方法
技术领域：
本发明为智力玩具。
背景技术：
地图四色问题是一个著名的数学难题，已有150多年历史。没有这方面的智力玩具。

发明内容
本发明的目的是提供这方面的智力玩具。
本发明的目的是这样实现的，设置一个圆盘，圆盘的边界圆周有不同于内部的颜色。另有V个(整数)类似棋子的小立方体，每个小立方体的六个面，染有选定的六种颜色之一，做成叫顶点的棋子，放在圆周的固定位置，把圆周分为V段，每段叫界边。顶点向上的一面可以有选定的(6，5或)4种颜色之一。叫做顶点的颜色。另外再用两种颜色的笔在圆内各画V-3条连接顶点的弦(同一界边上的两顶点不连接)，分别叫内边和外边。任意二内边(或外边)不相交。同一条边(界，内或外边)两端的顶点叫相邻。游戏规则是对每个顶点选取6，5或4种颜色之一使它和相邻的顶点有不同的颜色。
本发明的具体结构由以下附图和实施例给出。


图1，填色盘俯视图。
图2，地图四色问题定义的平面图及其不完全图。
图3，片状图。
图4，MX＝2，My＝2的平面5，MX＝4，MY＝2的平面图。
图6，MX＝2，MY＝3的平面图。图7，不完全图的分解。
具体实施例方式
图1，设置一个圆盘1，圆盘的边界圆周有不同于内部的颜色。另有V个(整数)类似棋子的小立方体，每个小立方体的六个面，染有选定的六种颜色之一，做成叫顶点2的棋子，放在圆周的固定位置，把圆周分为V段，每段叫界边3。顶点向上的一面可以有选定的(6，5或)4种颜色之一。叫做顶点的颜色。另外再用两种颜色的笔在圆内各画V-3条连接顶点的弦(同一界边上的两顶点不连接)，分别叫内边和外边。任意二内边(或外边)不相交。同一条边(界，内或外边)两端的顶点叫相邻。游戏规则是对每个顶点选取6，5或4种颜色之一使它和相邻的顶点有不同的颜色。
本智力玩具可行性由以下证明给出。
任意平面图可以用四种颜色着色崔世泰上海市丽园路842弄26号104室摘要 本文给出平面图的不完全图，片状图，条以及它们的容许解集合的定义。用它们分析平面图的相关结构特征。利用这些特征证明平面图的容许解集合非空。
关键词 平面图 不完全图 片状图 条 容许解用A记“地图四色问题”(欧阳光中著)定义的平面图，图A的每个面都是三角形，顶点的集合记为U，U＝{v1，v2，...vv}.|U|＝V.|U|表示集合U中元的个数，即集合的模。
设已给平面图A(图2)。用把图A重新描一遍的方法定义A的不完全图X。描的步骤是1，描任取定的一条起始边ab及其两顶点a，b。已描部分记为K。2，取顶点v3，v3和K中的一条边构成A的一个三角形面T1。这条边的两顶点叫下顶点，v3叫上顶点，描T1中未描部分，已描部分(包括K)记为K1。3，设已描出Kj，取不属于Kj的顶点vj+3，vj+3和Kj中的一条边构成A的一个三角形面Tj+1，这条边的两顶点叫Tj+1的下顶点，vj+3叫Tj+1的上顶点。描Tj+1中未描部分。由于A有限且连通，描出KV-2时已描出全部V个顶点。定义KV-2为A的不完全图X，用粗线标出。X有一个V边形作边界，边界内有V-2个三角形面。边界上的边叫界边，边界内的边叫内边。显然界边数是V，内边数是(3(V-2)-V)/2＝V-3。选取不同的起始边以及描的过程中上顶点顺序的不同都会得到不同的X。X的V-2个三角形面和V个顶点按描出过程有序OT(X)＝T1，T2，....TV-2，和OV(X)＝v1，v2，....vV，其中v1＝a，v2＝b，T1也叫起始三角形。设已按起始边ab描出一个X，可以选另一条边作起始边和/或，选另一个上顶点序描出同一个X。图A中不属于X的边叫X的外边。
用Eb，EX，EY各表示全体界边，全体内边，全体外边的集合。显然Y＝EbUEY也是图A的不完全图Y，EY是Y的内边，EX是Y的外边。可以把X，Y的公共界边画成凸的(如圆，图2)。EX和EY分别用实直线和虚直线表示，这样的图叫图A的片状图。片状图有如下明显的特征1，X的两条内边(或两条外边)不在圆内相交。2，X的外边总是和部分内边相交，与同一外边相交的所有内边含于X的一个条(定义见下文)内。3，有一对内外边重合时，片状图可以分为两个子片状图。
X有树型结构。任取含于X的一个三角形T，X内与该三角形相邻(定义为有公共边)的三角形的个数叫T的分支数nT，nT≤3。nT＝3的三角形叫内三角形。X的部分三角形构成的连通子图叫条F，如果F中所有三角形的nT≤2并且通过相邻关系连成一片。约定第一个顶点r1和最后一个顶点r2都不是内边的顶点，叫始顶点和终顶点，分别位于条的下端和上端。条的序叫条序，记为O(F)或r1-r2。条也可以反向描出，其序为r2-r1。条的始终两顶点把边界分为两侧，站在始顶点面向终顶点(叫正向)左边是左侧，右边是右侧。每一侧的顶点序号都是沿正向单调增加。条的部分通过相邻关系连成一片的三角形构成的连通子图叫束，记为Su，如果这些三角形有公共顶点p，并且p和子图其余叫底顶点的若干顶点分别位于条的两侧。束的序号也按描出的顺序标记。约定相邻的两束的公共边属于前一个束。始顶点和终顶点。都不是内边的顶点，也叫末顶点。一般情况不完全图X包括内三角形。从一个内三角形T1的两条边起始在x内描出的最大条叫初条F，F上属于X的内三角形设为T1，T2，...由T1，T2M，...的第三条边起始在X内描出的最大条为一级支条F1，F2，....在每个一级支条上重复上述过程有二级支条。用MX记X的末顶点个数，或分支数。HX记X的内三角形个数。由于每个支条只有一个末顶点，所以MX＝HX+2。从每个末顶点描到最近的内三角形构成的条叫边缘条，记为Fb。X的序可以表示为初条F和支条F1，F2，....的序的顺序连接。O(X)＝O(F)，O(F1)，O(F2)，...例，如图5，HX＝2，MX＝4，O(F)＝r1-r2，O(F1)＝a3-r3，O(F2)＝a4-r4，末顶点为r1，r2，r3，r4。对应的边缘条O(Fb1)＝a1-r1(只有一个三角形)，O(Fb2)＝a2-r2，O(Fb3)＝a3-r3，O(Fb4)＝a4-r4.O(X)＝O(F)，O(F1)，O(F2)，....＝r1，b4，a1，a4，a，a3，a2，b3，r2，c3，r3，c4，r4。
用D＝{1，2，3，4}记四种颜色的集。用这四种颜色对不完全图X的顶点集U＝{1，2，....，v}着色。着色是给顶点集U中每个顶点i一种颜色或一个坐标。将顶点i着颜色2记为c(i)＝2，或ci＝2。下面按O(X)序给出X的最大容许解集合S(X)，每个容许解s是V维空间DV＝(1，2，....V)中的一点。待着色的顶点和已着色的顶点必须满足相邻顶点颜色不同的条件，叫约束方程。用Ut表示对集合的下标(或上标)t作并运算。i＝1时，约束方程Utc1t＝D有四个解c1t＝t，t＝1，2，3，4。i＝2时，约束方程Ukc2k＝D-c1t有三个解，k＝1，2，3。i＝3时约束方程Ufc3f＝D-c1t-c2k。有两个解c31，c32。设已着色部分点集Ui为{1，2，3，....，i}，Ui的全部容许解集合为Si(X)。当i≥2时，对S1(X)中每个解s＝(c1，c2，...，ci)按图X的描出过程正向倍增成为Si+1(X)中的两个解s1＝c1，c2，...，cI，cI+11)和s2＝(c1，c2，...，cI，cI+12)。其中i+1是三角形TI-1的上顶点，TI-1下顶点是m，n。m，n≤i，约束方程是{cI+11，cI+12，cm，cn}＝D，当s取遍SI(X)时得SI+1(X)。重复这一过程或用归纳法得SV(X)或S(X)。|S(X)|＝3(2V)＝N。S1(X)，S2(X)，S3(X)也分别叫起始点，起始边，起始三角形的解集合，显然它们分别等于四种颜色中分别取1，2，3种颜色的排列P(4，i)，i＝1，2，3。cI+1t，t＝1，2，3，叫s的ci坐标的后续坐标。对任意给定的cj，j＜i如果有t＝1，2或3(i＝1)使cj＝cI+1t该后续坐标叫关于cj的伪后续坐标，否则叫真后续坐标。当X添加外边(j，i)时，伪后续坐标及由其正向倍增的全部解都被删除。由于伪后续坐标和真后续坐标倍增出来的解集合数目是相同的，故添加外边后删除的解数目不超过原解数目的一半。当用另一个序Oa描出同一个X时也会得到另一个解集合Sa(X)。由于Sa(X)中的任意一个解s，按O(X)序也满足所有约束方程，因而也属于S(X)。反之S(X)中的解也属于Sa(X)。故Sa(X)＝S(X)。因此有引理1最大容许解集合S(X)可用X的任何序导出，叫最大解集合唯一性。
下面研究X是条F时解集合S(F)的特征。图4设F的左右侧顶点顺序各为U1＝{i1，i2，...ih}，Ur＝{j1，j2，....jk}。其中i1＝j1＝1，ih＝jk＝V。把S(F)中的每个解s＝(c1，c2，...cV)删去除c1，cV外的所有右侧顶点坐标，合并相同的，即相同的只取一个，得到左侧顶点的解集合S1(F)＝{s1}＝{(c(i1)，c(i2)，....c(ih))}.s1是s在子空间(i1，i2，...ih)上的投影。同理有右侧顶点集Ur的解集合Sr(F)＝{sr}＝{(c(j1)，c(j2)，...c(jk))}。把S1(F)和Sr(F)中的解s1，sr删除c1，cV以后的h-2，k-2个坐标叫约束解s11，sr1。从图4可以看出S1(F)也有倍增性，即时任意给定的一个右侧约束解sr1，f＝1时，c1t有四个解c1t＝t，t＝1，2，3，4，满足约束方程Utcit＝D.f＝2时，C3k有两个解c31，c32满足约束方程{c31，c32，c1t，c2}＝D.f＝3时c6k有两个解c61，c62满足约束方程{c61，c62，c3k，c5}＝D.c3，c5叫异侧约束坐标。......仿照前面的记号，对S1f(F)中每个解s1＝(c(i1)，c(i2)，...c(if))，c(if)有两个后续坐标c1(if+1)，c2(if+1)使s11＝(c(i1)，c(i2)，...c(if)，c1(if+1))，s12＝(c(i1)，c(i2)，...c(if)，c2(if+1))成为S1(f+1)(F)中的两个解。此外当把序由r1-r2改为r2-r1后根据引理1 S1(F)和Sr(F)还有反向倍增性，相应的左(或右)侧反向后续坐标叫左(或右侧)在先坐标。r1-r2和r2-r1的顶点序不是完全互逆，但是它们在两侧子空间的顶点序是完全互逆的，所以可以如下文把界边取作删边。逆序符号r2-r1的含义仅限于此。正逆序中解的关系如下，设S1f(F)＝{s1}＝{(c(if)，c(if+1)，....c(ih))}为S1(F)在子空间(if，if+1，...ih)上的投影，其中1＜f≤h。则对S1f(F)中的每个解s1，c(if)有两个不同的在先坐标C1(iF-1)，C2(iF-1)使s11＝(c1(if-1)，c(if)，...，c(ih))与s12＝(c2(if-1)，c(if)，...，c(ih))成为S1f-1(F)中的两个解。显然，这些性质对右侧解集合也成立。在正逆序中起始三角形T1分别在条的上下端，也可以在条的中间，这样T1的以上部分和以下部分个分别有正逆序。V＝3时只包含一个三角形T的不完全图也是一个条，叫基条。它的最大容许解集合S(T)叫基本解。|S(T)|＝24。V≥4时条F中在T1(有三个顶点)的相邻边上描出T2(也有三个顶点)叫做把T2加到T1上，即作和T1+T2，有四个顶点。和的解集合等于积S(T1)*S(T2)。其乘法规则是如果s1属于S(T1)，s2属于S(T2)且s1与s2在相邻边两顶点上的坐标相同，则把s2中非相邻边的顶点坐标添加到s1上。构成和的一个解，当s1，s2取遍S(T1)和S(T2)时得S(T1)*S(T2)。根据此定义和归纳法F＝T1+T2+...+Tv-2，S(F)＝S(T1)*S(T2)*....。*S(Tv-2)。在这两个式子中，用括弧把相邻的项集合起来，即用集合律，把相邻的k1，k2，...ks个三角形各自先连成条F1，F2，...Fs则有F＝F1+F2+...+Fs；S(F)＝S(F1)*S(2)*...*S(Fs)。这里的加法与乘法规则是把上述相应规则中的“三角形”改成“条”。这种表示法叫条的分解。其中每个加乘法都和选取的相邻边有关。这种分解也适用于一般不完全图的 分解。
定理1 MX＝2，MY＝2时A可以用四种颜色着色。
证明下面提到的内边外边都是指X的内边外边。由于Y也是条，是若干束的顺序连接。Y的顶点使用图X上已有的顶点标记1，2，......V.Y的一个束Suy，其公共顶点Py不是X中某束Sux的公共顶点Px，否则与图A非平凡不符。故一定是X的某束Sux的底顶点。设Sux的公共顶点为px，由于A非平凡，(px，py)不是外边，因而Suy的底顶点或者都在(px，py)的上端，叫上束。或者都在(px，py)的下端，叫下束。同样，Y作为条其始终顶点必须位于条X的两侧，否则也有一条外边与内边重合。与内边重合的外边叫虚外边。当图A平凡时，可以分为两个或多个子片状图，或者把包含虚外边的束分成两个或多个公共顶点相同的上或下束。但是不管怎样虚外边都不会增加新的约束。
设图A非平凡，现在按O(Y)序添加Y中的束所包含的外边。图4设Y的始终顶点为ji，it。图中ji＝5，it＝11。各在X的右左侧，第一个束Su1＝{(ji-1，jI+1)，(jI-1，jI+2)，...，(jI-1，jI+a)}＝{(4，8)，(4，9)}，为上束，其中Su1所包含的外边数w1＝a＝2。添加(jI-1，jI+1)后，删去Sri(F)每个解中坐标c(jI)的关于c(jI-1)的在顶点ji+1上的伪后续坐标c1(jI+1)或c2(jI+1)。把从外边(jI-1，jI+1)的底顶点jI+1指向始点jI的界边(jI，jI+1)叫删边。表示从顶点ji到jI+1倍增出来的解已被删除过。下面以ji是某束的公共顶点为例(记为例A)作具体说明。在图4所示的X中添加第一条外边(4，8)后，对于三角形(3，4，5)的每一个解(c(3)，c(4)，c(5))顶点6有两个解c1(6)，c2(6)，顶点7有4个解c11(7)，c12(7)，c21(7)，c22(7)。把顶点7的任一坐标，如c11(7)和顶点5的坐标c(5)作为下顶点约束坐标在顶点8倍增出来的两坐标c111(8)，c112(8)中删除等于c(4)的那个。由于顶点7有4个解，故要做4次删除。删除后右侧顶点5至顶点8的正向倍增性未必保留，左侧顶点3，6，7的正向倍增性仍然保留。于是添加外边后除了删边外其他左右侧界边的倍增性保留。把SI(X)，4≤i≤V-3在X上按序O(Y)添加了j，1≤j≤V-3条外边后保留下来的解集合记为SI*j(X)，于是SI*j(X)在原边(不是删边的界边)上保留倍增性。X上按序O(Y)添加了j条外边后的图叫亚不完全图Xe。标出删边的亚不完全图叫亚不完全图的删边分布图，记为H或Xf。对于Su1中的其余外边，仿照此法添加。添加第二条外边(jI+1，jI+2，)后，从它的底顶点jI+2指向始顶点ji的界边(jI+1，jI+2)成为删边。以上表述适用于上束中的公共顶点jI-1和底顶点在X的同一(左或右)侧，上束(Sul)中的外边公共顶点(jI-1)和底顶点(ip)在异侧时，该外边(jI+1，ip)，p≥t+1，添加后，删去S1(p-1)(F)中每个解坐标c(ip-1)关于c(jI-1)在顶点ip上的伪后续坐标c1(ip)或c2(ip)。从外边(jI-1，ip)的底顶点ip指向终顶点it的界边(ip-1，ip)成为删边。这些表述也适用于第z，z＞1，个上束，只要把相应的顶点序号作替换。归纳起来，添加了上束中的外边后，把该外边底顶点坐标作为该底顶点所在侧的投影解的伪后续坐标来删除。当底顶点为X的终顶点V时该底顶点可以视为属于X任何一侧。接下来添加第二个束Su2＝{(jI-2，jI+a)，(jI-3，jI+a)，...。(jI-b，jI+a)}＝{(2，9)，(1，9)}为下束，含w2＝b-1＝2条外边。添加了下束中的外边后，把该外边底顶点坐标作为该底顶点所在侧的投影解的伪在先坐标来删除。当底顶点为X的始顶点1时该底顶点可以视为属于的任何一侧。例如添加其中第一条外边(jI-2，jI+a)后，删去Sr(I+a)(X)中每个解在空间(jI-1，jI，....jI+a)上的投影Sr(I+a)a(X)中每个解c(jI-1)坐标的伪在先坐标c1(jI-2)或c2(jI-2)。从外边底顶点(jI-2)指向的始顶点jI的界边(jI-2，jI-1)成为删边。Su2中的其余外边仿照此法添加。这里的表述适用于下束中外边底顶点(jI-b)和公共顶点(jI+a)在X的同一(左或右)侧。当下束(Su2)中外边的底顶点(ip)和公共顶点(jI+a)异侧时，该外边为(ip，jI+a)，p＜t，用is记条F左侧小于jI+a的最后一个顶点，添加后删去S1s(X)在空间(ip+a，Ip+2，...，Is)上投影S1sa(X)中每个解坐标c(ip+1)关于c(jI+a)在顶点ip上的伪在先坐标c1(ip)或c2(ip)。外边(ip，jI+a)的底顶点ip指向终顶点it的界边(ip+a，ip)成为删边。类似地有异侧外边(Ig，jp)的添加法。下面用已述的例A作具体说明，设已添加了第一个上束的二条外边(4，8)，(4，9)，再添加下束中第一条外边(2，9)后，令S9*2a(X)为S9*2(X)在子空间Us＝(3，4，5，6，7，8，9)上的投影(Us是条2-9中除2以外的所有顶点)，对于S9*2a(X)中的每一个解s顶点4的坐标c(4)都有两个不同的在先坐标C1(2)，C2(2)，其中至少有一个不等于c(9)，由于s取遍S9*2a(X)中的每个解，故添加了(2，9)后除了界边(2，4)成为删边外S9*3(X)在其余原边上的倍增性仍保留。根据以上分析任意亚不完全图Xe的最大容许解集合SI*J在所有的原边上保留倍增性。外边(i，j)，i＜j时i叫下端点，j叫上端点。归纳起来，(i，j)添加后有两种删除法，一种是把上端点的坐标作为伪后续坐标删除，叫上删除，用在外边(i，j)在上束时。一种是把下端点的坐标作为伪在先坐标删除，叫下删除，用在外边(i，j)在下束时。X中包含外边(i，j)的最小条是i-j。设i-j共有k个三角形，第一个和最后一个各记为Tc，Td。i-j的后k-1和前k-1个三角形构成的条各记为Fc和Fd在X中添加(i，j)后解的删除也可以用X的分解式来说明。进行上删除时，令X＝1-i+Fd+Td+j-V，相应的S(X)＝S(1-i)*S(Fd)*S(Td)*S(j-V)。设Td的上顶点在X的右侧为jd。jd的右侧在先顶点为jd-1，jd的异侧约束顶点为id，id和jd-1是Td的两个下顶点，都属于Fd。上删除时是对S(Fd)中的每个解s删除S(Td)中坐标c(jd-1)的伪后续坐标c1(jd)或c2(jd)。删除后S(Td)中保留下来的解集合记为Sc(Td)。设等于c(i)的c1(jd)被删除，保留下来的c2(jd)简记为c(jd)。于是有约束方程{c(id)，c(jd-1)，c(i)，c(jd)}＝D。记Uf＝(id，jd-1，，i，jd)。上述约束方程等价于存在假想三角形Tg＝(id，jd-1，，i，)和Td一起构成4个顶点的子不完全图Fg，在Fg上添加外边(i，jd)。该方程的解就是保留下来的解S(Uf)。显然|S(Uf)|＝P(4，4)。添加后在S(Td)中删除伪后续坐标保留下来的解记为So(Td)，显然So(Td)属于Sc(Td)。另外添加外边后也可以在S(Tg)中删除，S(Td)保留为基本解。根据引理1这两种删除实际结果相同，而S(Td)在j-V起始边(id，jd)上的投影解集合为起始边解集合S((Id，jd))，因而So(Td)在上(Id，jd)的投影也是S((Id，jd))。这一点也可以通过在条I-j上添加外边(i，j)来说明，添加后用上删除或下删除实际保留的解集合相同，因而在j-V的起始边上的投影也相同。这样从jd+1到jd的右侧反向倍增性保留不变。于是添加了(i，j)后除了jd-1的正向，jd的反向(即删边上的正反向)外其余的正反向倍增性保留不变。这一结论对于下删除的删边也成立，并且也适用于任意亚不完全图Xc上的外边的添加。另外当删边在Td上，假想三角形Tg有基本解集合S(Tg)。由于|S(Uf)|＝P(4，4)，故So(Td)中每个起始边的解s＝(c(Id)，c(jd-1))只有一个后续坐标c(jd)因而So(Td)和S((Id，jd-1))的解是一一对应的。表示删除后S(Fd)中的每个解成为S(Fd)*So(Td)中的一个解。叫做通过相邻三角形时解集合的可延续性。另一侧时也成立。由于X含V-2个三角形和V-3条外边，任意Si*j(X)的基条分解式中的每个因子解，或者是基本解，或者是Se(T)，故S(A)＝Sv*(V-3)的基条分解式中至少有一个因子三角形T(这个三角形叫原三角形To)的解S(T)是基本解。从而|S(A)|≥|S(T)| ＝24。
考虑到D有24个置换，S(A)实际不同的解的数目大于等于1。证明完毕。
用X的始终顶点1，V和Y的始终顶点jI，it把的边界分为四段圆弧jIV，Vit，，it1，1jI，则有删边分布规律的引理，引理2如果图A非平凡，在它的删边分布图上，上束中的外边删边都在弧jIV，Vit上，即1，2象限，下束中外边的删边都在it1，1jI上，即3，4象限。1，4象限的删边都指向jI。2，3象限的删边都指向it。添加V-3条删边后，有V-3个界边成为删边。在图4中界边(jI，jI-1)，(ih-1，ih)，(ik，ik-1)不是删边是原边。每次添加外边删除的解的数目不超过添加前解的数目的一半。故添加V-3条外边后的解的数目|S(A)|≥N2-(V-3)＝24，即非空。得到另一个证明方法。
原三角形To上的界边叫真原界边。
引理3真原界边可以和任意一个删边g互换，使真原界边成为删边，删边g成为真原界边。
证明因为除了Y的始终顶点外所有顶点都是外边端点，故真原界边，如图4中(4，5)，总可以作为某一外边f1的删边。如(4，5)作为外边(4，8)，(4，9)的下删边。再设删边g＝(12，13)是外边fn＝(6，13)的上(或下)删边，由于Y中相邻两束的公共边连成一个链(叫主干)把全部公共顶点连接起来，故显然存在首尾相连的外边链f1，f2，...fn＝(4，9)，(9，1)，(1，12)，(12，6)，(6，13)连接f1，fn。把外边f1＝(4，9)的上删边(8，9)改为下删边(4，5)可以使(8，9)成为真原删边，(4，5)成为删边。实现1次交换。经n次交换后即可实现所需交换。My＞2时由于初条和支条的主干都有外边相连，故引理也成立。
把真原界边(jI，jI-1)和最后一条外边的删边交换，得到的删边分布图叫标准删边分布图。下面提到的删边分布图都是标准删边分布图。把束的定义中相邻两束的公共边改定义为属于后一个束，也能得到标准删边分布图。
定理2 Mx＝2，My＞2时A可以用四种颜色着色。
证明首先设My＝m≥2定理成立，往证My＝m+1时定理成立，如图6，Y必有一内三角形(2，6，9)。该三角形的三条边中至少有一条(2，9)和Y的边缘条Fb5相连。5-6是Y中包含Fb5的一个条，该条的外边数等于顶点数减3，因而等于右侧在顶点9，2之间的顶点数z，这里z＝3.3条外边是(4，8)，(4，9)，(2，9)。以顶点5为始顶点在X内按序5-6添加这z条外边，得到有z条删边的删边分布图Hu。把最后一条外边(2，9)的删除由上删除改为下删除(或相反)可以使该外边的删边在上端(或下)端。另一端与真原界边相连。另外如果把这z条外边用共顶点6的z条外边(6，4)，(6，5)，(6，8)代替，叫代外边。代替后，Y成为Yg，A成为Ag，Yg不存在Fb5，Yg的分支数减少1。由归纳法假设可以得到添加全部Yg外边的删边分布Hv1，因而也可以得到只添加除了代外边外的全部Yg中外边的删边分布图Hv。根据引理2的删边分布规律，当Ag非平凡时总可以选择外边(9，2)的删边在上端或下端使Hu和Hv无重合删边，从而定理成立。当Ag平凡时，至少有一条代外边与内边重合，如图6中外边(6，5)。这时总有外边(6，9)，(6，2)中之一的删边与Y中外边(9，2)的删边重合。但由于Hu，Hv的删边数的和≤V+3，故可以把Hv中与外边(9，2)的删边重合的删边根据引理3和Hv1的一个真原界边交换，从而定理成立。
定理3 MX＞2，MY＝2时A可以用四种颜色着色。
证明 首先 介绍当MX＞2，MY＝2时图X的正规序。把边界画成圆形，X的全部h个按逆时针方向排列在圆周上的末顶点r1，r2，...rb把圆周分为h段弧r1r2，r2r3，...rhr1。每段弧的两端点是X中一个条的始终顶点。设Y的始顶点a位于弧r1r2上，如图5(其中h＝4)，把r1-r2取作初条F，则初条F有两个支条ah-rh，a3-r3分别连接两相邻的末顶点rh，r3，(可以ah＝a3.rh，r3分别和r1，r2在圆周边界上相邻)，设初条F上有r，1≤r≤h-2个内三角形，按序r1-r2第一个和最后一个分别叫首末内三角形。则显然F的右侧(图5是下侧)有r个内三角形的r个顶点，F的左侧有r个内三角形的r条边(叫内界边)。左侧共有2r个属于内三角形的顶点，按序r1-r2这2r个顶点中最小的和最大的分别为bh和b3。当按O(Y)序描外边时如果bh和b3都还没有被描到，则此前所描的外边都在F内，如果bh和b3中某一个首先被第k1条外边描到(这条外边叫过渡外边w1)，这个被描到的bh(或b3)所连接的支条ah-rh(或a3-r3)即定义为F1.ah，bh，a3，b3叫支条的连接顶点。如果是a3-r3，由于F中末内三角形以上的顶点已被k1条外边描过，故把条r1-r3当作初条F1继续描第k1条以后的外边。如果ah-rh是F1，由于F中首内三角形以下的顶点已被k1条外边描过，故把条rh-r2当作初条F1继续描第k1条以后的外边。按照这种方法把当F1作初条进行第k1条以后的外边的添加。有F，F1，F2，...Fh-2；F1，F2，...，Fh-2和O(X)＝O(F)，O(F1)，O(F2)，...O(Fh-2)，后者即为正规序。图5中，F＝r1-r2，F1＝r4-r2，F2＝r4-r3。设Y的终顶点c4在弧rmrm+1上，则Y的始终顶点a，c4将边界圆分为上下两段。F1，F2，...Fh-2的始顶点rm+1，rm+2，...，rh，r1以及F1，F2，...Fh-2中上束的公共顶点都在下段。F1，F2，...Fh-2的终顶点r2，r3，...，rm以及F1，F2，...Fh-2中下束的公共顶点都在上段。每个支条Fn，n＝1，2，...，h-2，根据它的末顶点所在的段而分别属于该段，上或下段。约定过渡外边Wn属于Fn-1。现在按O(Y)序在X上添加外边，因为添加的每一条外边都属于某个特定的初条Fn中，故可以用定理1画出删边。添加完V-3条外边后，X的V-3条界边或内界边成为删边，并且没有重复。
因而至少有一个基条因子解是基本解，故定理成立。另外，与定理1的证明相同，当某内三角形Tk的基本解S(Tk)被删为Sc(Tk)后，在Sc(Tk)相应的内界边(ak，bk)上的投影仍是起始边解。
定理4 MX＞2，MY＞2时A可以用四种颜色着色。
证明。和定理2的证明相同。首先设My＝m≥2定理成立，往证My＝m+1时定理成立，如图6，Y必有一内三角形(2，6，9)。该三角形的三条边中至少有一条(2，9)和Y的边缘条Fb5相连。5-6是Y中包含Fb5的一个条，该条的外边数等于顶点数减3，因而等于右侧在顶点9，2之间的顶点数z，这里z＝3.3条外边是(4，8)，(4，9)，(2，9)。以顶点5为始顶点在X内按序5-6添加这z条外边，得到有z条删边的删边分布图Hu。把最后一条外边(2，9)的删除由上删除改为下删除(或相反)可以使该外边的删边在上端(或下)端。另一端与真原界边相连。另外如果把这z条外边用共顶点6的z条外边(6，4)，(6，5)，(6，8)代替，叫代外边。代替后，Y成为Yg，A成为Ag，Yg不存在Fb5，Yg的分支数减少1。由归纳法假设可以得到添加全部Yg外边的删边分布Hv1，因而也可以得到只添加除了代外边外的全部Yg中外边的删边分布图Hv。根据引理2的删边分布规律，当Ag非平凡且条5-6包含某连接顶点bk时也包含连接顶点ak，即bk，ak成对地包含时，总可以选择外边(9，2)的删边在上端或下端使Hu和Hv无重合删边，从而定理成立。否则的话，由于Hu，Hv的删边数的和≤V+3，故可以把Hv中与外边(9，2)的删边附录条F(可以推广到一般不完全图X)的基条或一般分解式也可以用图7表示。分解成处于自由状态的V-2个三角形后，每个三角形有基本解，在相邻边恢复重合约束后就成为条的最大解集合S(F)。在分解式中用对三角形个数的归纳法也可以证明引理1。
定理1的另一个证明。显然按正向或反向描出的同一个条F，其V-2个三角形的序是完全互逆的。按反向描出时其V个顶点的序号约定也用已有的正向序号1，2，...，V标记。当F上添加外边(i，j)，i＜j后，把正向序中以j为上顶点的三角形Tk定义为该外边的上端三角形，上删除是把S(Tk)删为Sc(Tk)；同理在反向序中以i为上顶点的三角形Tf定义为该外边的下端三角形，下删除是把S(Tf)删为Sc(Tf)。令QEy→OT为全体外边集合Ey到的全体三角形集合OT的映射。对于任取的外边g，当g为Y中上束的外边时，Q(g)＝g的上端三角形；当g为Y中下束的外边时Q(g)＝g的下端三角形。当Y也是条时显然Q是一对一的。添加了全部V-3条外边后只有V-3个三角形被删除过。由于删除过的三角形的三条边上都保留起始边解集合S2，因此通过相邻三角形时S(F)被删除后的解集合仍有延续性，故定理1得证。
权利要求
1，一种填色盘，其特征是包括一个圆盘和圆盘近边界圆周上的V个顶点，圆周被V个顶点分成V段界边，在顶点之间有连接顶点的V-3条内边和V-3条外边。
全文摘要
本发明为与地图四色问题有关的智力玩具。包括一个圆盘，圆盘的近边界有一圆周，有不同于内部的颜色。另有V个(整数)类似棋子的小立方体，每个小立方体的六个面，染有选定的六种颜色之一，做成叫顶点的棋子，放在圆周的固定位置，把圆周分为V段，每段叫界边。顶点向上的一面可以有选定的(6，5或)4种颜色之一。叫做顶点的颜色。另外再用两种颜色的笔在圆内各画V－3条连接顶点的弦(同一界边上的两顶点不连接)，分别叫内边和外边。任意二内边(或外边)不相交。同一条边(界，内或外边)两端的顶点叫相邻。游戏规则是对每个顶点选取6，5或4种颜色之一使它和相邻的顶点有不同的颜色。
文档编号A63F9/06GK1517136SQ0311486
公开日2004年8月4日 申请日期2003年1月13日 优先权日2003年1月13日
发明者崔世泰 申请人:崔阿年