一种三线摆测量转动惯量的方法

专利名称：一种三线摆测量转动惯量的方法
技术领域：
本发明涉及一种转动惯量测量方法，具体涉及一种三线摆转动惯量测量方法。
背景技术：
三线摆测量转动惯量实验一直为人所研究。无论是从力的角度，还是运用能量，动量的观点，三线摆的各种参数，如振幅、周期、误差产生的原因等，都已臻完善，并得
到了一个计算公式°—，但是该方法忽略了一些细小的误差的影响，在某些摆角情况下测量值不能够很接近于真实值
发明内容
.
本发明针对这一问题，提出一种新的三线摆转动惯量测量方法，本发明提供的方法，能够提高测量精度。
为此，本发明采用如下的技术方案
一种三线摆测量转动惯量的方法，设测量采用的三线摆的下圆盘质量为m，用三根长为￡的轻线对称地悬挂在上圆盘上，下圆盘悬线连接点至转轴CX9'的距离为i ，上圆盘悬线连接点至转轴OO'的距离为r，上下圆盘间的垂直距离OO'为Zf，取摆平衡时，下圆盘盘心为坐标原点，下圆盘所在的平面为w平面，竖直向上为z轴正方向，包括下列步骤
第一步:第二步:
第三步:
第四步:合，重复第-
将三线摆的初始摆动的角度扭转0。 =2arCtan(^^);
使三线摆自由摆动，记录摆动的次数/7及时间L并计算摆动的周期r = 1;
利用公式/f^^得到下圆盘的转动惯量；
将质量为M的待测刚体放在下圆盘上，并使待测刚体的转轴与OO'轴重
-步和第二步，测出此时摆动的周期r';
利用公式《-(M + w)/W^2求得待测刚体和下圆盘对中心转轴OO'轴的
第五歩
总转动惯量；
第六步利用公式/ = ，「(尨+附^'2_附""|，求出待测刚体绕中心转轴0(9'轴的
4 丄L、 7 」转动惯量。
本发明从受力分析入手，在不作任何近似的条件下，根据质心运动定理和绕质心轴的转动定理写出了摆的动力学方程，由动力学方程导出了动能定理的微分表达式和积分表达式，根据转动动能、平动动能与角坐标间的关系曲线，分析了转动动能、平动动能变化的原因和线中张力变化的情况，以及平动动能对振动周期的影响。通过对其中一些被淡化的细小误差的深入分析，通过完善的证明，得到了一个形式相似但内涵不同的公j 一附gi r y2
式°—W，使得在一定摆角条件下，该测量方法将使测量值进一步逼近真实值。


图1三线摆测量示意图。
具体实施例方式
下面通过附图和具体实施例对发明内容做进一步详述。
三线摆的示意图如图l所示，三线摆的下圆盘质量为m，用三根长为Z的轻线对称
地悬挂在上圆盘上。下圆盘悬线连接点至转轴oo'的距离为及，上圆盘悬线连接点至转轴OO'的距离为r，上下圆盘间的垂直距离oo'为//。取摆平衡时，下圆盘盘心为坐标原点，下圆盘所在的平面为xy平面，竖直向上为z轴正方向。
设欲测的下圆盘的转动惯量为J。，摆动的周期为^。下圆盘自平衡位置转过^角时，摆线与竖直向下方向的夹角为p，转动的角速度为"，盘心的z轴坐标为^。从上圆盘B点作下圆盘的垂线，与升高前后的下圆盘(以下为叙述方便，将下圆盘简称为圆盘)分
别交于C和C1点。则在控制摆角^^2arctan(tan^^2arctan("^)的情况下，使用公式
=，72计算三线摆转动惯量得到的数值更准确。
测量步骤如下
1. 根据三线摆装置及公式^^2arctan(tan^)-2arctan(！^)，将初始摆动的角度扭转《角度；
2. 使三线摆自由摆动，通过摆动的次数/ 及时间"得到摆动的周期r-^;
3. 利用公式7^^Zl得到转动惯量。
对三线摆中的圆盘进行受力分析可知，圆盘受到重力和三根线中张力的作用。线中张力在z轴方向有分力，沿z轴正向；在盘面内的分力沿A,d方向，此分力又可分解为沿圆周的切向分量和沿悬点指向圆心的法向分量。由于悬点的对称性，三根悬线中张力的法向分量的矢量和为零，不对圆盘的运动产生影响，而切向分量将对Z轴产生力矩的作用。
测得的一组实验数据为<formula>formula see original document page 5</formula>1. 根据三线摆装置及公式<formula>formula see original document page 5</formula>将初始摆动的角度扭
转《角度，即<formula>formula see original document page 5</formula>。时；
2. 使三线摆自由摆动，测得摆动的次数/7^60及时间t90s，得到摆动的周期<formula>formula see original document page 5</formula>
3. 利用公式<formula>formula see original document page 5</formula>得到转动惯量<formula>formula see original document page 5</formula>
求得理论值为<formula>formula see original document page 5</formula>
按照惠更斯的理论得到的测量值为<formula>formula see original document page 5</formula>由此可以看出在角幅度为<formula>formula see original document page 5</formula>时，本发明更接近理论
值-
在某一三线摆实验装置中，仅用公式J。-^^"测量转动惯量会使测量值偏大；但
凭经验选取了某一个角振幅，也会产生一定的误差。两次误差之后，测量的精度便会大打折扣了。
而本发明提出的公式<formula>formula see original document page 5</formula>突破了原有计算公式的局限性，而且创造性地提
出了摆角限度。这让三线摆转动惯量的测量更加有章可循，精度进一步提升。
以上实施例以下圆盘为待测物体，求得其转动惯量。在实际应用中，还可以利用本发明改进的方法测，设测量一个待测刚体的转动惯量，测量方法如下
1) 利用上述的方法测得质量为附的下圆盘的转动惯量<formula>formula see original document page 5</formula>2) 将质量为M的待测刚体放在下圆盘上，并使待测刚体的转轴与OO'轴重合，按
照同样的方法先测出摆动的周期r';3) 利用公式^」M + "^^"2求得待测刚体和下圆盘对中心转轴OO'轴的总转动惯量；
4) 利用公式J^，「(M +附)r'2-mr2]，求出待测刚体绕中心转轴OO'轴的转动
权利要求
1.一种三线摆测量转动惯量的方法，设测量采用的三线摆的下圆盘质量为m，用三根长为L的轻线对称地悬挂在上圆盘上，下圆盘悬线连接点至转轴OO′的距离为R，上圆盘悬线连接点至转轴OO′的距离为r，上下圆盘间的垂直距离OO′为H，取摆平衡时，下圆盘盘心为坐标原点，下圆盘所在的平面为xy平面，竖直向上为z轴正方向，其特征在于，包括下列步骤第一步将三线摆的初始摆动的角度扭转<maths id="math0001" num="0001" ><math><![CDATA[ <mrow><msub> <mi>&theta;</mi> <mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>arctan</mi><mrow> <mo>(</mo> <mfrac><mrow> <mi>R</mi> <mo>-</mo> <mi>r</mi></mrow><mi>H</mi> </mfrac> <mo>)</mo></mrow><mo>;</mo> </mrow>]]></math> id="icf0001" file="A2009100702560002C1.tif" wi="34" he="8" top= "63" left = "109" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/></maths>第二步使三线摆自由摆动，记录摆动的次数n及时间t，并计算摆动的周期<maths id="math0002" num="0002" ><math><![CDATA[ <mrow><mi>T</mi><mo>=</mo><mfrac> <mi>t</mi> <mi>n</mi></mfrac><mo>;</mo> </mrow>]]></math> id="icf0002" file="A2009100702560002C2.tif" wi="11" he="8" top= "75" left = "172" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/></maths>第三步利用公式<maths id="math0003" num="0003" ><math><![CDATA[ <mrow><msub> <mi>J</mi> <mi>L</mi></msub><mo>=</mo><mfrac> <mrow><mi>mgRr</mi><msup> <mi>T</mi> <mn>2</mn></msup> </mrow> <mrow><mn>4</mn><msup> <mi>&pi;</mi> <mn>2</mn></msup><mi>L</mi> </mrow></mfrac> </mrow>]]></math> id="icf0003" file="A2009100702560002C3.tif" wi="21" he="9" top= "87" left = "67" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/></maths>得到下圆盘的转动惯量；第四步将质量为M的待测刚体放在下圆盘上，并使待测刚体的转轴与OO′轴重合，重复第一步和第二步，测出此时摆动的周期T′；第四步利用公式<maths id="math0004" num="0004" ><math><![CDATA[ <mrow><msubsup> <mi>J</mi> <mi>L</mi> <mo>&prime;</mo></msubsup><mo>=</mo><mfrac> <mrow><mrow> <mo>(</mo> <mi>M</mi> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo></mrow><mi>gRr</mi><msup> <mi>T</mi> <mrow><mo>&prime;</mo><mn>2</mn> </mrow></msup> </mrow> <mrow><mn>4</mn><msup> <mi>&pi;</mi> <mn>2</mn></msup><mi>L</mi> </mrow></mfrac> </mrow>]]></math> id="icf0004" file="A2009100702560002C4.tif" wi="36" he="10" top= "114" left = "65" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/></maths>求得待测刚体和下圆盘对中心转轴OO′轴的总转动惯量；第五步利用公式<maths id="math0005" num="0005" ><math><![CDATA[ <mrow><mi>J</mi><mo>=</mo><mfrac> <mi>gRr</mi> <mrow><mn>4</mn><msup> <mi>&pi;</mi> <mn>2</mn></msup><mi>L</mi> </mrow></mfrac><mo>[</mo><mrow> <mo>(</mo> <mi>M</mi> <mo>+</mo> <mi>m</mi> <mo>)</mo></mrow><msup> <mi>T</mi> <mrow><mo>&prime;</mo><mn>2</mn> </mrow></msup><mo>-</mo><mi>m</mi><msup> <mi>T</mi> <mn>2</mn></msup><mo>]</mo><mo>,</mo> </mrow>]]></math> id="icf0005" file="A2009100702560002C5.tif" wi="54" he="9" top= "135" left = "63" img-content="drawing" img-format="tif" orientation="portrait" inline="yes"/></maths>求出待测刚体绕中心转轴OO′轴的转动惯量。
全文摘要
本发明涉及一种转动惯量测量方法，涉及一种三线摆测量转动惯量的方法，包括下列步骤将三线摆的初始摆动的角度扭转到特定角度使三线摆自由摆动，记录摆动的次数n及时间t，并计算摆动的周期T＝t/n，利用公式J_L＝(mgRrT²)/(4π²L)得到下圆盘m的转动惯量；将质量为M的待测刚体放在下圆盘上，并使待测刚体的转轴与OO′轴重合，同理测得其转动惯量J_L′＝((M+m)gRrT^′2)/(4π²L)，再利用公式J＝(gRr)/(4π²L)[(M+m)T^′2-mT²]，求出待测刚体绕中心转轴OO′轴的转动惯量。本发明突破了原有计算公式的局限性，而且创造性地提出了摆角限度，使三线摆转动惯量的测量更加有章可循，精度进一步提升。
文档编号G01M1/00GK101634600SQ20091007025
公开日2010年1月27日 申请日期2009年8月27日 优先权日2009年8月27日
发明者刘开华, 宫霄霖, 毛瑞全 申请人:天津大学