基于Associated Hermite 正交函数的无条件稳定FDTD算法
【专利摘要】本发明涉及一种无条件稳定的电磁场时域有限差分（FDTD）新算法。它通过AssociatedHermite（AH）正交函数展开微分形式的Maxwell方程组，利用伽辽金（Galerkin）原理消除时间变量，得到有限维AH域的隐式方程进行求解。最后通过AH域反变换得到电磁场时域结果。该发明通过时域到AH域的转化，使得未知量求解个数大大减少，计算效率显著提高；整个计算过程与时间变量无关，不受传统FDTD稳定性条件的限制，计算结果无条件稳定。这些特点为高效快速计算具有多尺度特性的复杂电磁场问题，提供了新的解决方法。
【专利说明】基于Associated Hermite正交函数的无条件稳定FDTD算
法
【技术领域】
[0001]本发明涉及一种无条件稳定的电磁场时域有限差分(FDTD)算法。
【背景技术】
[0002]随着计算机技术的发展和电磁理论的应用与推动，计算电磁学时域方法得到了长足的发展，与频域方法相辅相成。时域的方法的优点是可以给出丰富的瞬态信息，能更直观地模拟物理现象。通过对时域信息直接作傅里叶变换(Fourier),可以得到问题的频域信息。基于这些好的特性，时域方法在通信、雷达、电磁防护、电磁兼容、医疗诊断等方面得到了广泛地应用和深入地研究。此外，在一些特定的领域，如电磁脉冲、雷电和高能微波脉冲等瞬态脉冲现象、及非线性材料等领域，频域方法不能很好的解决或无法求解，而时域方法可以应用并得到满意的结果，这是频域方法无法替代的。
[0003]时域有限差分(finite-differencetime-domain, FDTD)方法是由 Kane S.Yee在1966年提出，以有限差分方法为基础，使用Yee网格空间离散框架，对麦克斯韦旋度方程分量式的时间和空间坐标微分作数值离散，得到差分格式的电磁场数值计算方法。传统的FDTD方法是显式差分方法，受柯西稳定性条件约束，时间步长值取决于最小空间步长。为了准确地模拟含有精细结构的电磁模型，需要用足够小的空间步长对求解区域划分网格。为了保证计算的稳定性，时间步长的取值也非常小，需要的时间步进数目非常大，这使得传统的FDTD方法仿真所需时间非常长乃至难以接受。为了提高FDTD方法求解这类具有多尺度特性的电磁问题的效率，许多专家和学者在减弱或消除FDTD的柯西稳定性条件约束方面做了大量工作。其中，无条件稳定的FDTD方法为重要研究方向。例如:AD1-FDTD, CN-FDTD, LOD-FDTD 和 Laguerre-FDTD 等。其中，Laguerre-FDTD 方法以加权Laguerre多项式为基函数,通过求解展开系数实现高效快速的仿真计算。
[0004]Associated Hermite正交函数由Hermite多项式和高斯函数加权得到。其“最具时频紧支基函数”和“时频基同型”的特点使得它在信号处理、图像分析和生物工程等领域有广泛的研究和应用。本发明利用Associated Hermite正交函数的优良特点并结合FDTD基本原理推导出一种无条件稳定的新算法。
【发明内容】
[0005]本发明的目的:针对传统FDTD方法在稳定性方面的限制及多尺度电磁问题建模的不足，提出一种基于Associated Hermite正交函数的无条件稳定FDTD算法,可以对多尺度特性电磁问题实现高效快速的时域仿真分析，并以此为进一步挖掘AH基函数优良特点在FDTD中其他方面的应用打下基础。
[0006]本发明需要解决的关键问题是:①如何将时域Maxwell方程变换成AH域线性方程组；②如何求解AH域线性方程组。
[0007]本发明利用Associated Hermite (AH)正交函数作为展开Maxwell方程组的基函数，利用伽辽金(Galerkin)原理消除时间变量，得到与基函数阶数相关的方程组，建立方程组从时域到AH域的转换，从而时域的求解转化为AH域展开系数的求解。由于AH基函数微分的固有“相邻阶”特点，使得AH域的Maxwell方程组也呈现“相邻阶”的特点。联立空间所有展开系数，引入初值条件，得到一个嵌套矩阵系数的五对角隐式方程，采用LU分解对系数矩阵进行分解，从而用追赶法求解磁场(电场)展开系数。基本计算单元是与基函数空间维数相等的低阶矩阵单元。电场(磁场)展开系数可以通过磁场(电场)单独求解。
[0008]所述的AH正交基函数是指由Hermite多项式怂⑴和高斯函数exp(-12/2)加权得到的具有时频紧支撑特点的正交基函数集
【权利要求】
1.基于AssociatedHermite (AH)正交函数的无条件稳定FDTD算法,其特征在于,利用AH基函数展开Maxwell方程组，用伽辽金(Galerkin)原理消除时间变量，联立空间所有展开系数，引入初值条件，得到一个嵌套矩阵系数的五对角隐式方程，电场或者磁场展开系数可以单独求解出来。
2.根据权利要求1所述的基于AH正交函数的无条件稳定FDTD算法，其特征在于首次运用Associated Hermite正交函数作为基函数展开Maxwell方程组，实现时域Maxwell微分方程组到AH域线性方程组的转化。
3.根据权利要求1所述的基于AH正交函数的无条件稳定FDTD算法，其特征在于利用AH基函数微分公式推导出来的电磁场微分表示形式，结合Galerkin原理，得到了权利2中的线性方程组。
4.根据权利要求1所述的基于AH正交基函数的无条件稳定FDTD算法，其特征在于通过引入初值条件，实现了权利2和3中线性方程组的封闭求解。
5.根据权利要求1所述的基于AH正交基函数的无条件稳定FDTD算法，其特征在于权利4中得到的封闭方程组的求解是通过联立空间所有展开系数，消去电场(或磁场)分量，最后得到仅关于磁场(或电场)分量的具有嵌套矩阵系数特点的五对角隐式方程来实现求解。
6.根据权利要求1所述的基于AH正交基函数的无条件稳定FDTD算法，其特征在于电场和者磁场展开系数可以分别单独求解，这与传统FDTD的“耦合”同时求解不同。
【文档编号】G06F17/14GK103970717SQ201410190150
【公开日】2014年8月6日 申请日期:2014年5月8日 优先权日:2014年5月8日
【发明者】石立华, 黄正宇, 陈彬, 周颖慧 申请人:中国人民解放军理工大学