一种Nurbs基有限元法中多重边界节点的配点处理方法
【专利摘要】本发明提出一种Nurbs基有限元法中多重边界节点的配点处理方法，将多重边界节点上的控制变量确定问题转换为优化问题，使离散后生成的矩阵方程为过约束矩阵方程，使得多重边界节点处所对应的多个方程可以在与其他节点上的离散方程一起求解，在简化了多重边界节点的离散处理的同时，保证了几何边界的精确性。
【专利说明】 —种Nurbs基有限元法中多重边界节点的配点处理方法
【技术领域】
[0001]本发明涉及有限元【技术领域】，具体为一种Nurbs基有限元法中多重边界节点的配点处理方法。
【背景技术】
[0002]在构建零部件三维模型，进行有限元分析时，常常用到等几何分析技术，该技术是将物理域中的问题转换为参数域进行求解，如果被分析对象有多个零件则零件的内外边界可以通过配点法进行处理。用这种方法在处理边界条件的过程中，可能形成一些其上有多个控制方程的节点，我们称之为多重边界节点，比如既是内边界节点同时也是外边界节点的节点，以及即属于一个面也属于其他多个面的节点，如图1中所示的节点A和B。
[0003]如果所选的配点位于多重边界节点上，此时待求的离散变量与一个多重边界节点对应，比如采用开节点矢量表达的两条NURBS曲线的公共端点。对应于多重边界节点的离散形式要同时考虑所需满足的多个方程，比如即需要满足区域内离散的控制方程，也需要满足一个或多个边界区域上的方程。
[0004]有两种传统办法来处理这种多重边界节点。概述如下:一是为每个多重节点变量，根据所需满足的多个方程推导出唯一一个方程，以该方程应用于多重边界节点的离散形式，其缺点需要额外的数学推导过程，不能使同一个CAD模型应用于不同的PDE方程。另一种方法是将多重边界节点近似为多个距离相近的节点，使每个节点对应一个控制方程。然而在等几何分析中，多重边界节点通常不宜做这样的近似，这主要是由于等几何法中的多重边界节点有以下特性:1)精确边界特性。通常由NURBS技术建模的边界在离散时，可以保持几何边界与仿真边界精确相同，而在采用多个节点逼近多重边界节点时，几何边界的精确性会有损失。2)多重边界节点通常是参数空间控制矢量端点处的控制变量，如果采用多个节点近似的方法，将会产生尺度非常小的小单元。
【发明内容】
[0005]要解决的技术问题
[0006]为适应等几何分析中多重边界节点的精确边界特性和尽量避免出现尺度过小的小单元，便于以统一的方式生成有限元代数方程，本发明提出了一种Nurbs基有限元法中多重边界节点的配点处理方法，将多重边界节点上的控制变量确定问题转换为优化问题，使离散后生成的矩阵方程为过约束矩阵方程，使得多重边界节点处所对应的多个方程可以在与其他节点上的离散方程一起求解，在简化了多重边界节点的离散处理的同时，保证了几何边界的精确性。
[0007]技术方案
[0008]本发明的技术方案为:
[0009]所述一种Nurbs基有限元法中多重边界节点的配点处理方法，其特征在于:采用以下步骤:[0010]步骤1:对零部件中存在多重边界节点的求解区域进行离散，并进行升阶及节点插入，以满足求解精度的要求；
[0011]步骤2:生成求解区域离散后的控制节点，将控制节点按照所对应的基的顺序依次连接生成求解区域的控制框架；
[0012]步骤3:为每个控制节点配置一个待求的控制变量，并根据控制节点的点、线、面关系，判断控制变量所对应的空间位置:
[0013]如果控制节点位于控制框架的内部，则所对应的控制变量位于求解区域内部；
[0014]如果控制节点位于控制框架的某个表面上，则所对应的控制变量位于求解区域的一个表面上；
[0015]如果控制节点位于控制框架的多个表面的交集上，则所对应的控制变量位于求解区域的多个表面的交集上；
[0016]如果多个控制框架有交集，则其交集中的控制节点所对应的控制变量位于求解区域的内表面上；
[0017]步骤4:对于已经分类的控制变量中的内部变量，根据所采取的有限元法，生成所有内部变量所对应的有限元代数方程；
[0018]步骤5:采用配点法为所有不属于多重边界节点的内表面节点所对应的控制变量生成有限元代数方程；采用配点法为所有不属于多重边界节点的外边界节点所对应的控制变量生成有限元代数方程；
[0019]步骤6:根据多重边界节点所对应的控制变量所属每个外表面所需满足的方程及所属每个内表面所需满足的连接关系，采用配点法为多重边界节点所对应的控制变量生成多个所对应的有限元代数方程；
[0020]步骤7:将步骤4、步骤5和步骤6中生成的有限元代数方程合并，生成待求解的过约束代数方程组，应用奇异值分解法求解该过约束代数方程组，最终获得所有控制节点对应的控制变量。
[0021]有益效果
[0022]本发明的有益效果是，I)实现简单；2)适用于不同类型的多重边界节点；3)易于在同一个CAD模型上切换不同的PDE方程，而求解器不需改变；4)所获得的解，包括与多重边界节点上所对应的变量的值，是符合所有求解条件的某种最优解。
【专利附图】
【附图说明】
[0023]图1多重边界节点示例
[0024]图2问题求解区域及两种外边界区域
[0025]图3内部边界示意图
[0026]图4进行了升阶操作后的复合求解区域、控制点及控制框架
[0027]图5为每个控制节点配置控制变量
[0028]图6内边界控制变量与外边界控制变量
[0029]图号说明:
[0030]A-多重边界节点，同时属于多个外表面；B-多重边界节点，位于多个外边界上，同时还处于内边界上。[0031]CP-控制节点；CF_控制框架；CV_控制变量；ICV_内边界控制变量；0CV_外边界控
制变量。
[0032]gamma\-第一类边界，gamma2-第二类边界，gamma3-内边界。
【具体实施方式】
[0033]下面结合具体实施例描述本发明:
[0034]本实施例中以某零件三维模型有限元处理过程中的PDE方程的求解过程为例，待求问题为:
[0035]Δ u = f, u e Ω
[0036]u = g, u e gamma 1
[0037]V u = H, u e gamma2
[0038]其内边界连接条件为当U e gamma 3 ?I = u2,dui Idn = ud2 Idn。
[0039]具体的处理步骤为:
[0040]步骤1:对零部件中存在多重边界节点的求解区域进行离散，并进行升阶及节点插入，以满足求解精度的要求。要求解的问题所属区域及两种外边界区域如图2所示，内边界如图3所示。对问题区域在y方向上进行节点插入或升阶等细分操作，以使离散后的区域满足等几何法的求解精度。设细分后的求解区域如图4所示。
[0041]步骤2:生成求解区域离散后的控制节点，将细分后的求解区域的控制节点(即图4中的CP)按照所对应的基的顺序依次连接生成求解区域的控制框架(即图4中的CF)。
[0042]步骤3:由于每个基都对应着一个控制节点，而等几何分析也要求一个基对于一个控制变量，因此，控制节点与控制变量是一一对应的，所以对于每种待求的标量场，为每个控制节点配置一个待求的控制变量CV，如图5所示。根据控制节点的点、线、面关系，判断控制变量所对应的空间位置:
[0043]如果控制节点位于控制框架的内部，则所对应的控制变量位于求解区域内部；
[0044]如果控制节点位于控制框架的某个表面上，则所对应的控制变量位于求解区域的一个表面上；
[0045]如果控制节点位于控制框架的多个表面的交集上，则所对应的控制变量位于求解区域的多个表面的交集上；
[0046]如果多个控制框架有交集，则其交集中的控制节点所对应的控制变量位于求解区域的内表面上。
[0047]如图6所示，一些控制变量为ICV，一些控制变量为0CV，一些控制变量同时属于ICV 和 OCV。
[0048]步骤4:对于已经分类的控制变量中的内部变量，根据所采取的有限元法，生成所有内部变量所对应的有限元代数方程；如采用伽辽金法，则根据所需满足的区域内PDE方程，采用内积的形式生成代数方程。本实施例中由Au = f，ue Ω，可得有限元代数方程:A1X = B1O
[0049]步骤5:采用配点法为所有不属于多重边界节点的内表面节点所对应的控制变量生成有限元代数方程；采用配点法为所有不属于多重边界节点的外边界节点所对应的控制变量生成有限元代数方程。具体过程就是对于每个符合条件的节点，为其对应的基生成合适的配点，根据所求场的内部连接条件，以配点法生成相应的代数方程。
[0050]本实施例中，对于所有不属于多重边界节点的内表面节点所对应的控制变量，由ux =w2，A/an = ?32/0H，应用配点法，可得到表达边界连接条件的代数方程:A2x = B2 ;对于所有不属于多重边界节点的外边界节点所对应的控制变量，由u = g, u e J或^ u =H,u e 2，可以获得表达外边界条件的有限元方程:A3x = Β3。
[0051]步骤6:经过上述处理后，此时尚未生成对应代数方程的待求控制变量均为多重边界节点所对应的控制变量，一个多重边界节点所对应的控制变量即可能位于多个内部边界上，也可能位于多个外部边界上，根据控制变量所属每个外表面所需满足的方程及所属每个内表面所需满足的连接关系，采用配点法列出多重边界节点所对应的控制变量所对应的多个有限元代数方程A4X = B4。由于一个多重边界节点所对应的控制变量对应于多个代数方程，所以，此步骤所生成的代数方程的个数大于多重边界节点所对应的控制变量的数目。
[0052]步骤7:将步骤4、步骤5和步骤6中生成的有限元代数方程合并，生成待求解的过约束代数方程组，应用奇异值分解法求解该过约束代数方程组，最终获得所有控制节点对应的控制变量。
【权利要求】
1.一种Nurbs基有限元法中多重边界节点的配点处理方法，其特征在于:采用以下步骤: 步骤1:对零部件中存在多重边界节点的求解区域进行离散，并进行升阶及节点插入，以满足求解精度的要求； 步骤2:生成求解区域离散后的控制节点，将控制节点按照所对应的基的顺序依次连接生成求解区域的控制框架； 步骤3:为每个控制节点配置一个待求的控制变量，并根据控制节点的点、线、面关系，判断控制变量所对应的空间位置: 如果控制节点位于控制框架的内部，则所对应的控制变量位于求解区域内部； 如果控制节点位于控制框架的某个表面上，则所对应的控制变量位于求解区域的一个表面上； 如果控制节点位于控制框架的多个表面的交集上，则所对应的控制变量位于求解区域的多个表面的交集上； 如果多个控制框架有交集，则其交集中的控制节点所对应的控制变量位于求解区域的内表面上； 步骤4:对于已经分类的控制变量中的内部变量，根据所采取的有限元法，生成所有内部变量所对应的有限元代数方程； 步骤5:采用配点法为所有不属于多重边界节点的内表面节点所对应的控制变量生成有限元代数方程；采用配点法为所有不属于多重边界节点的外边界节点所对应的控制变量生成有限元代数方程； 步骤6:根据多重边界节点所对应的控制变量所属每个外表面所需满足的方程及所属每个内表面所需满足的连接关系，采用配点法为多重边界节点所对应的控制变量生成多个所对应的有限元代数方程； 步骤7:将步骤4、步骤5和步骤6中生成的有限元代数方程合并，生成待求解的过约束代数方程组，应用奇异值分解法求解该过约束代数方程组，最终获得所有控制节点对应的控制变量。
【文档编号】G06F17/50GK104008242SQ201410230786
【公开日】2014年8月27日 申请日期:2014年5月28日 优先权日:2014年5月28日
【发明者】莫蓉, 王文慧, 张洪海, 高瑾宇 申请人:西北工业大学