用于弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法
【专利摘要】本发明公开了一种用于弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，基于无量纲形式的动力学方程进行，将浅拱竖向弹性约束、转动方向弹性约束的大小用相应的刚度参数表示，通过求微分方程的通解和特解来假定弹性边界浅拱的模态，由模态系数矩阵对应的行列式等于零求自振频率，通过浅拱动力学方程的Galerkin离散和多尺度摄动分析导出1:2，1:1，1:3三种内共振条件下极坐标形式的平均方程，即可得到发生内共振时的动力响应。本发明通过在模态和自振频率中考虑约束刚度的思路解决了现有弹性边界浅拱内共振时的动力响应求解的技术问题。保证了所建设浅拱的安全性和合理性，并且能够延长浅拱的使用寿命。
【专利说明】用于弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法
【技术领域】
[0001] 本发明属于桥梁工程【技术领域】，具体涉及一种用于弹性边界浅拱发生内共振时动 力响应的求解方法。
【背景技术】
[0002] 浅拱是一种受力性能介于拱和梁之间的受力构件，它在外荷载下的动力学特性对 于把握浅拱类结构的力学性能研究具有重要的意义。浅拱在轻质、低阻和满载设计条件下 容易发生大幅度的振动，而外激励激发的内共振是一种典型的破坏性动力行为，在设计参 数的考虑上必须予以避免。
[0003] 已有浅拱的内共振研究主要针对理想的铰支、固结等边界，这些理想的边界条件 下浅拱结构的模态能用简单的解析函数表示，自振频率可以方便地求解。而针对弹性边界 浅拱，由于弹性约束常数的不确定性使得这种方便简易的求解条件不具备，导致目前弹性 边界浅拱的内共振研究不能考虑弹性约束，动力响应缺乏有效的求解方法，相应的研究未 见报导。
【发明内容】
[0004] 本发明的目的是提供一种用于弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法， 解决了现有技术中存在的在弹性边界浅拱的自振频率和模态中能够解析考虑大小不确定 的弹性约束刚度的影响、建设浅拱时发生位移和形变的问题。
[0005] 本发明所采用的技术方案是，一种弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方 法，具体按照以下步骤实施：
[0006] 步骤1、基于弹性边界浅拱，建立弹性边界浅拱的动力学控制方程，对弹性约束边 界进行描述，得到弹性约束边界的表达式；
[0007] 步骤2、基于步骤1中动力学控制方程，引入弹性边界浅拱的模态和自振频率；并 结合步骤1中的边界的表达式对弹性边界浅拱的模态和自振频率进行求解；
[0008] 步骤3、通过浅拱动力学控制方程的Galerkin离散和多尺度摄动分析导出三种内 共振条件下极坐标形式的平均方程以及发生内共振时的动力响应的表达式，并进一步对平 均方程进行求解得到浅拱发生内共振时的动力响应。
[0009] 本发明的特点还在于，
[0010] 步骤1中的基于弹性边界浅拱，建立弹性边界浅拱的动力学控制方程，对弹性约 束边界进行描述，得到弹性约束边界的表达式，具体按照以下步骤实施：
[0011] 弹性边界条件下，在直角坐标系《5-圩下跨径为/的弹性边界浅拱的动力学控制方 程为：
[0012]
【权利要求】
1. 一种弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，其特征在于，具体按照以下 步骤实施： 步骤1、基于弹性边界浅拱，建立弹性边界浅拱的动力学控制方程，对弹性约束边界进 行描述，得到弹性约束边界的表达式； 步骤2、基于步骤1中动力学控制方程，引入弹性边界浅拱的模态和自振频率；并结合 步骤1中的边界的表达式对弹性边界浅拱的模态和自振频率进行求解； 步骤3、通过浅拱动力学控制方程的Galerkin离散和多尺度摄动分析导出三种内共振 条件下极坐标形式的平均方程以及发生内共振时的动力响应的表达式，并进一步对平均方 程进行求解得到浅拱发生内共振时的动力响应。
2. 根据权利要求1所述的弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，其特征在 于，所述步骤1中的基于弹性边界浅拱，建立弹性边界浅拱的动力学控制方程，对弹性约束 边界进行描述，得到弹性约束边界的表达式，具体按照以下步骤实施： 弹性边界条件下，在直角坐标系5-埗下跨径为f的弹性边界浅拱的动力学控制方程 为：
其中，其中< 4为两端竖向支撑刚度,4, 4为两端转动支撑刚度为初始时刻的 拱轴线形，任意一点在?时刻外荷载/t.i, /Μ乍用下发生水平位移(?, ?和坚直位移诉A f)?对于 浅拱有①平截面假定、②不考虑剪切变形和转动惯量、③忽略纵向惯性、④零初始轴力等基 本假定， 式中，A为截面积，I为转动惯量，P为密度，E为弹性模量，p为阻尼系数；边界的弹性 约束条件为
其中rxS截面转动半径，公式（1)可以简化为
式中，
为阻尼项，
为谐波激励（外荷载项），
二次非线性项，
为三次非线性项，公式（2) 中的边界条件可以写为
式中Bi(u) (i = 1?4)为边界的一般表达式，Bju)表示一端坚向弹性约束，B3(u)表 示一端转动弹性约束，B2(u)表示另一端坚向弹性约束，B4(u)表示另一端转动弹性约束。
3.根据权利要求1所述的弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，其特征在 于，所述步骤2中基于步骤1中动力学控制方程，引入弹性边界浅拱的模态和自振频率；对 弹性边界浅拱的模态和自振频率进行求解，具体按照以下步骤实施： 将步骤1中的公式（4)中的阻尼项、外荷载项及非线性项去掉，得弹性边界浅拱对应的 线性方程
(6) 利用公式（6)即求解弹性边界浅拱的自振频率和模态； 设公式￠)的方程解的一般形式为 u (x, t) = Φ (x) e1Mt (7) 式中ω为系统的频率，将上式其代入公式（6)，得与公式（4)对应的线性系统的特征方 程
(8) 上标撇表示对X微分，方程的解由微分方程的通解Φ^χ)和特解Φρ(χ)两部分组成， 即 Φ (x) = φ--(χ) + φρ(χ) (9) 对于系统的频率ω，式（8)的通解表示为
(10) 其中Ci(i =丨?幻是系数，式（8)积分符号内的项
为一个常数，针对不同的 初始拱轴线形ψ(χ)特征方程的特解有不同的形式，当ψ(χ) =b sin 3ix(b为矢高） 时，Φρ(χ)可以表示为c5sin：nx(c5为系数）
Φρ(χ)可以表示为 c5cos2 ji X ； 将模态方程式（9)代入边界条件式（5)和式（8)中，即得到自振频率和模态的求解方 程：
式（11)中，由Ci(i = 1?5)的系数矩阵所对应的行列式等于零得η阶频率％和 相应的模态Φη(χ) ;Ci的系数矩阵对应行列式等于零所得一般为关于ωη的超越方程，采 用Mathematica，Matlab等软件进行计算；将所得模态标准正交化有( Snm是 Kronecker delta函数）；在分析式（5)中1^等弹性支撑浅拱的约束参数对自振频率和模 态的影响时，假定某一参数在一定区间之内变化而其余参数保持不变； 具体地，当Ψ (X) = b sin π X时（其中，b表示浅拱的矢高），式（11)的求解方程展 开为
其中
(其中，b表示浅拱的矢高）时，式（11)的求解方程展开为
4.根据权利要求1所述的弹性边界浅拱发生内共振时动力响应的求解方法，其特征在 于，所述步骤3通过浅拱动力学控制方程的Galerkin离散和多尺度摄动分析导出三种内共 振条件下极坐标形式的平均方程，即得到发生内共振时的动力响应的求解式，并对动力响 应的求解式进行求解，具体按照以下步骤实施： 在采用时间多尺度法进行摄动分析的过程中，定义无量纲小参数ε，同时用
并将式（4)写为 u+Lu = G2 (u, u) +G3 (u, u, u) - ε 2 μ u- ε 3Fcos Ω t (14) 式中上标点表示对t微分，正线性自伴随微分算子
G2和G3分别为二、三次非线性微分算子，且
，对u进行全离散，将u-致 展开为
1.15) 式中rk是广义坐标，将其代入式（14)并进行Galerkin积分可得
_ 其中
(17) 将广义坐标rk展开为
(18) 式中时间尺度
，且有
代入式 (16)展开并利用时间参数的独立性可得各阶近似方程 ε
(19) ε2
(20) δ3
(21) 式（13)中一阶近似方程的解可写为
(22) 其中CC表示前面复数项的共轭，将上式代入式（14)可得
(23) 步骤3. 1、求1:2内共振的平均方程； 考虑m和η阶模态之间的1:2内共振，引入调谐参数〇1和〇2，
(24) 来分别描述《"和ωπ之间；Ω与ωπ(ωη)之间的接近程度，式（23)中由消除共振项 的条件可得
(25) 其中
(26)
(27) 公式（21)的三阶近似方程可以化简成如下形式
(28) 式中NST表示非共振项，系数S_，Sm，S"的具体表达式如下
由消除永年项条件，以及变量时间导数的多尺度表达式 A = ε DA+ ε 2D2A+，得到求解方程如下
(33) 式中Skn^P 别表示π^Ρη阶主共振的情况，将摄动解八"1和411写为极坐标形式
，其中\_和均为实函数，将其代入式（32, 33)展开并分离实、虚 部可得平均方程
其中Y i = β η_2 β _"+〇 21\，Υ 2 = β Υ 3 = β η_ σ Α.稳态解可在上式中令a』 == 〇获得，先选取一个远离共振区的参数值进行积分得到一组解，再通过延拓得到随 参数变化的整条曲线；发生1:2内共振时的位移响应表示为
其中，形函数为
步骤3. 2、求1:1内共振的平均方程； 考虑m和η阶模态之间的1:1内共振，引入调谐参数〇1和〇2，
(38) 来分别描述％和ωπ之间；Ω与ωπ之间的接近程度；在1:1和1:3内共振中方程的 解与时间尺度?\无关，即有Di = 0,因而式（23)的解写成如下形式
(39) 进一步，三阶近似方程式（21)写为
(40) ，公式（40)为消除永年项条件； 对于m和η阶模态之间的1:1内共振，由消除永年项条件可以得到
(41)
(42) 式中系数为
/ Λ^\ l4j)
将极坐标形式的摄动解
（a^，为实函数）代入式 (41，42)并分实、虚部可得平均方程
(48d) 其中L = ，同样1:1内共振的位移响应写成式（35)的形式，其中vm(x)， Vmn(X)，Kmm(X)，Km(X)与I: 2内共振相同，由式（37)给出，而Vmm(X)和KmnU)贝丨J由下 式给出 (49) 步骤3. 3、求1:3内共振的平均方程； 考虑m和η阶模态之间的1:3内共振，引入调谐参数〇 i和〇 2， 〇 η - 3 〇 m+ ε ο 2，? 〇ι，（j_ - m，n) (50) 对应的二阶近似解和三阶近似方程与1:1的情况类似，写为式（39)和式（40)的形式； 对于m和η阶模态之间的1:3内共振，由消除永年项条件（公式（40))可以得到
式中5 h-和s kn分别表示m和η阶主共振的情况，各系数为
将摄动解八111和411写为极坐标形式.
，其中\.和^均为实函数， 将其代入式（51，52)展开并分离实、虚部可得平均方程
式中
同样1:3内共振的位移响 应由式（35)给出，形函数
由式（37)和 式（49)给出。
【文档编号】G06F19/00GK104112070SQ201410330339
【公开日】2014年10月22日 申请日期:2014年7月11日 优先权日:2014年7月11日
【发明者】易壮鹏, 涂光亚, 曾有艺, 袁明 申请人:长沙理工大学