一种超网络的构建方法
【专利摘要】本发明公开了一种基于一个超图邻接矩阵的Tracy-Singh积运算的超网络构建方法，其主要步骤包括确定生成超网络、计算生成超网络邻接矩阵、计算生成超网络节点度分布多项式、计算生成超网络节点超度分布多项式、计算生成超网络超边度分布多项式、计算超网络的邻接矩阵、计算超网络节点度分布多项式、计算超网络节点超度分布多项式、计算超网络超边度分布多项式等。采用本发明构建的超网络不同于通常的超网络。而且，对超网络应用节点度分布多项式、节点超度分布多项式及超边度分布多项式等，对Tracy-Singh积运算采用类似多项式乘法的次数相乘及系数相乘的运算可以从理论上严格计算出此类超网络的节点度分布、节点超度分布及超边度分布。
【专利说明】一种超网络的构建方法
【技术领域】
[0001]本发明属于电数字数据处理领域，特别适用于特定功能的数据处理方法，具体涉及一种基于一个简单生成超网络邻接矩阵的Tracy-Singh积运算的超网络构建方法。
【背景技术】
[0002]在现实生活中，普通的图或网络并不能完全刻画真实世界网络的各项特性，尽管随机网络、小世界网络、无标度网络及自相似网络等网络模型在描述分析真实复杂网络中取得了巨大的成功。在研究超大规模的网络系统时，往往出现网络中的网络的问题，在这些情况下，相较于复杂网络，超网络可以更完美地描述现实生活中的复杂系统。对超网络的研究方法主要集中在四个方面:基于图的研究方法、基于超图的研究方法、基于变分不等式的研究方法、基于系统科学的研究方法。目前超网络的研究尚处于起步阶段，在概念、模型、性质、应用等方面均有许多需要进一步改进与完善的地方。现阶段超网络的研究主要有如下几种方法:
[0003](I)基于图的研究方法
[0004]基于图的超网络(Supernetwork)提出于1985年，此种观点认为超网络是规模巨大、连接复杂且网络嵌套网络的大型网络。参考文献[I] ^Supernetworks:Decis1n-Making for the Informat1n Age”(Nagurney A, Dong J.Cheltenham:Edward ElgarPublishing, [M], 2002)认为超网络是“高于而又超于现存网络”的网络，即网络嵌套网络，且存在虚拟的节点、边和流等的网络。基于图的超网络由多种节点与边组成，子网内与子网间均有边相连，节点众多且规模巨大，比复杂网络更复杂。该类基于图的超网络具有网络嵌套网络、多层、多级、多维、多属性、多准则、拥塞性、协调性等特征。
[0005](2)基于超图的研究方法
[0006]由于复杂网络点与边的同质性，其只能描述两节点间的关系，无法描述多节点间的合作关系，相关学者据此提出了基于超图的超网络(Hypernetwork)。参考文献
[2]“Graphs and hypergraphs(Berge C.New York:Elsevier[M], 1973)提出了超图的概念，参考文献[3] “Subgraphcentrality in complex networks，，(Estrada E, Rodrigues
VR.Physical Review E[J]，2005，71 (5): 1_9)认为:凡是可以用超图表示的网络就是超网络。该类基于超图的超网络与复杂网络的区别在于:复杂网络的边只连接两个节点，而超图网络的超边是可包含任意数量节点的集合。基于超图的研究被认为是当前一个重要的研究方向。
[0007](3)基于变分不等式的研究方法
[0008]变分不等式最早用于解决机械原理问题与交通平衡问题。参考文献[4]“A supplychain network equilibrium model”(Nagurney A, Dong J, Zhang D.Transportat1nResearch E[J], 2002, 38(5):281-303)证明所有超网络模型都可转换为有限维的变分不等式问题，并用变分不等式和投影算法解决固定条件下的供应链超网络平衡问题。通过构建条件可变的动态系统，并结合Cojocaru等综合进化变分不等式与Hilbert空间上的投影动力系统，相关学者提出了解决动态系统的修改后的投影算法。目前该方法已用于解决多层、多准则的超网络模型平衡问题。
[0009](4)基于系统科学的研究方法
[0010]超网络可以认为是系统的抽象描述，所以系统科学的研究方法同样适用于超网络的研究。参考文献[5] “组织知识系统的知识超网络模型及应用”(席运江，党延忠，廖开际.管理科学学报[J]，2009，12(3):12-21)在分析知识点内在联系和知识存储类型的基础上，构建了加入物质载体及相关关联的无权组织知识超网络模型。基于系统科学的超网络研究首先研究分析系统、子系统、要素等元素，并构建相应的超网络、网络模型；随后研究网络间关系、要素间关系、网络与要素间关系等局部性特征；最后研究超网络的整体性、等级结构性等全局特性，得到整个超网络的特征以及其它自定义特征。
[0011](4)其他研究方法
[0012]对超网络的研究，除常用的基于图的研究方法、基于超图的研究方法、基于变分不等式的研究方法、基于系统科学的研究方法外，其他方法也用于超网络的研究。 参考文献[6] “Supernetworks:An introduct1n to the concept and itsapplicat1ns with a specific focus on knowledge supernetworks，， (NagurneyA,Wakolbinger T.1nternat1nal Journal of Knowledge Culture and ChangeManagement [J].2005, 4:1-16)构建了供应链与社会网络结合的超网络模型，供应链网络和社会网络均由三层决策者构成，社会网络中的流是各层之间的关系，供应链网络中的流是产品之间的交易。参考文献[7] “一种超网络演化模型构建及特性分析”(胡枫，赵海兴，马秀娟.中国科学:物理学力学天文学[J]，2013，43:16-22)构建了一种超网络动态演化模型，从理论上分析了超度分布的特性，并进行了仿真实验，发现随着网络规模的增大，模型出现与已有的增长和优先连接复杂网络一致的结果。
[0013]总体上讲，对超网络特性的研究仍是现今超网络研究领域的一大热点，不可否认的是，尽管对基于图的研究方法、基于超图的研究方法、基于变分不等式的研究方法、基于系统科学的研究方法等均有较为成熟的理论与方法，大部分研究也与真实超网络相符，但仍无法全面反映现实生活中真实超网络的各种特点，需要进一步深入研究超网络的各项特性。从一个简单生成超网络的邻接矩阵出发，采用Tracy-Singh积运算研究超网络模型的构建问题具有重要意义和实际应用价值。
【发明内容】
[0014]为了克服现有技术的上述缺点，本发明提供了一种基于一个简单生成超网络邻接矩阵的Tracy-Singh积运算的超网络构建方法，其主要步骤包括确定生成超网络、计算生成超网络邻接矩阵、计算生成超网络节点度分布多项式、计算生成超网络节点超度分布多项式、计算生成超网络超边度分布多项式、计算超网络的邻接矩阵、计算超网络节点度分布多项式、计算超网络节点超度分布多项式、计算超网络超边度分布多项式等。采用本发明构建的超网络不同于通常的超网络。而且，对超网络应用节点度分布多项式、节点超度分布多项式及超边度分布多项式等，对Tracy-Singh积运算采用类似多项式乘法的次数相乘及系数相乘的运算可以从理论上严格计算出此类超网络的节点度分布、节点超度分布及超边度分布。
[0015]本发明解决其技术问题所采用的技术方案是，一种超网络的构建方法，包括如下步骤:
[0016](I)确定生成超网络H;
[0017](2)计算生成超网络H的邻接矩阵A(H):
[0018]对于具有η个顶点、m条超边(即m个节点，下同)的生成超网络H，其邻接矩阵是nXm的矩阵A(H)nxm，其中对于矩阵中的每一个数据，若顶点i在超边j(即节点j，下同)中，则有A(H) (i，j) =1，否则，A(H) (i，j) =0，由于A(H)nxm的每一列代表一条超边，可以将A Wnxm视为m个nX I的分块矩阵A(H)nxi的组合，即有:
[0019]A(H)nxm = [A(H) nA(H)12A(H) y A(H) ir.A(H) Km-DA(H)1J (I)
[0020](3)根据生成超网络H的节点度分布计算生成超网络H的节点度分布多项式PolyDD(Hd):
[0021 ] PoIyDD(Hd)=玄广=玄 Nx'))
/-1
[0022]式⑵中，η为超网络H的超边数目，Hdi表示第i条超边包含的顶点数目，即超边i的度，Nj表示度为j的节点的数目；
[0023](4)根据生成超网络H的节点超度分布计算生成超网络H的节点超度分布多项式PolyDD(Hhd):
[0024]PoIyDD(Hhd) = V Α-/,Λ?/ = NjXjK )
[0025]式(3)中，η为超网络H的顶点数目，Hdi表示包含第i个顶点的超边数目，即顶点i的超度，Nj表示超度为j的顶点的数目；
[0026](5)根据生成超网络H的超边度分布计算生成超网络H的超边度分布多项式PolyDD(Hed):
[0027]PoIyDD(Hed) = X Xlh丨 11 =之 NjXi( I)
1-1J-1
[0028]式(4)中，η为超网络H的超边数目，Hedi表示与第i条超边邻接的超边数目，即超边i的超边度，Nj表示超边度为j -1的超边的数目；
[0029](6)按如下方法计算所构建的超网络的邻接矩阵Αω(Ηω)，其中，I代表进行Tracy-Singh积运算的次数:
[0030]根据Tracy-Singh积的规则J[沪、。A功进行计算，得到所构建的超网络的邻接矩阵；具体方法为:将A(k) (H(k))及A (H)视为分块的列矩阵进行Tracy-Singh积运算；对于mXη的矩阵A及P X q的矩阵B，将其分别划分为Hii XHj的分块矩阵Aij及PkXqj分块矩阵Bkl,再进行Tracy-Singh积运算；矩阵A及矩阵B的Tracy-Singh积^4。方定义如下:
[0031]
A11X11。BpKfAij。Bm 二 (A//0 B) jj— ( (Ajj(S) Bki) u) u(4)
[0032]其中，Aij为矩阵Amxn的第i行第j列HiiXnj阶分块矩阵，Bkl为矩阵Bpxq的第k行第I列PkXq1阶分块矩阵，且有:
YInj - tn
i
Σ?
[0033]] ^(5)
IjPk=P
k.1
[0034]本发明中，是将所有的邻接矩阵视为I行的分块矩阵，每个分块矩阵均是nX I的普通矩阵，即有:
Inj = I
[0035]\C 6)
ItIi = I
[0036]矩阵A (Bij)mxn及矩阵B 03?」)ρΧ(1的Tracy-Singh积需要用到Kronecker积，对任意矩阵Ppxp与矩阵QqXq而言，其KroneckerG7X,,定义如下:
[0037]
'PuQu PnQu ■..mq …AG, P^pQn …Ρ'?、
P1A1 PuQ,.……Ph&2 …Ρ?
rPnQ ■■■PnQq] PnQr-………Ρ?^
Pl P,P' ⑦ QtljZll' =::=:::...…p^Qu ^Qu …4? …PppQ' PppQn …PpA
Pp'Qu PP'Q:…5,? …Pfl&' PppQn …PppQq
、PpiQq' PpQql …PplQ叫…PppQg.' PppQq2 …PppQ.? , t—pq、
[0038]为方便书写，采用此方法对生成超网络H对应的邻接矩阵进行k次Tracy-Singh
积运算而得到的邻接矩阵对应的超网络Ηω可以记为如下形式:
[0039]
H(k)=o(k)H(6)
[0040](7)按照如下方法计算所构建的超网络的节点度分布多项式PolyDD (Hda))，其中，I代表Tracy-Singh积运算的次数:
PoIyDDiIkr 1 丨,)=KronPro{PolyDD{I Ida 1), PoIyDD(Hd))
OOQO
=KronPro(Y Nii' W，V N ,Xj)(7)
[0041]fr ' η '
=Σ?Χ?υ=1，2，3，...)
[0042](8)按照如下方法计算所构建的超网络的节点超度分布多项式PolyDD (Hhd(1))，其中，I代表Tracy-Singh积运算的次数:
Poly DD{I Ihda M))-Kron Pro(PolyDD(i Ihda'), PoiyDD(JIhci))
OO00
=KronProi^j N)kNjXj)(、
[0043]/=ij=\
-f±N^ Nj^iiJ = I,2,X..)
1:l J=I
[0044](9)按照如下方法计算所构建的超网络的超边度分布多项式PolyDD(Hed(1))，其中，I代表Tracy-Singh积运算的次数:
PoiyDD^Ueda 山)=KronPro(PolyDD{IIeda 1), PolyDD(Jled))
POPO
=KronProiY NjW, V N ,x,.)4)
[0045]trft j
=ΣΣ^%^(υ = ?2Λ...)
I=I J=I
[0046]式(7)、式⑶与式(9)所采用的运算与通常的多项式乘法类似，主要区别在于:通常的多项式乘法是系数相乘次数相加，而式(7)、式(8)与式(9)所采用的运算却是系数相乘次数也相乘。
[0047](10)重复步骤(6)至步骤(9)，得到指定顶点数目、指定节点数目或指定超网络数目的超网络时，终止操作。
[0048]与现有技术相比，本发明的积极效果是:
[0049]一、区别于通常的超网络模型主要是通过对网络的简单叠加及嵌套构建超网络，本发明通过生成超网络邻接矩阵的矩阵运算构建超网络，改进了现有超网络的构建方法，计算复杂度低，容易实现。
[0050]通常的超网络模型均是通过叠加网络或嵌套网络而得到的，从生成超网络的邻接矩阵出发构建超网络的相关研究较少。相较于其他超网络构建方法，本发明提出的基于一个简单生成超网络邻接矩阵的Tracy-Singh积运算实现超网络模型的构建，只涉及到矩阵运算。由于矩阵运算是现有大部分软件工具(如MATLAB等)的基础，本发明提出的一种基于Tracy-Singh积的超网络构建方法借助已有的工具易于实现。
[0051]二、区别于通常的基于超图的超网络模型主要是通过超边增长及择优连接来构建超网络，本发明是基于一个简单生成超网络的Tracy-Singh积运算构建超网络，为基于超图的超网络研究提供了新的研究方法。
[0052]现阶段已有的基于超图的超网络模型延续了经典的复杂网络模型构造方法，采用类似于BA无标度网路模型增长及择优等演化机理构建超网络，在继承经典复杂网络模型优点的同时也留存了其缺陷。本发明提出的一种基于Tracy-Singh积的超网络构建方法是基于一个简单生成超网络的Tracy-Singh积运算来构建超网络，为基于超图的超网络研究提供了新的研究方法，大大拓展了超图研究的应用领域。
[0053]三、区别于通常超网络模型的节点度分布、节点超度分布及超边度分布均是通过统计方法得到的，分别采用超网络的节点度分布多项式、节点超度分布多项式及超边度分布多项式，采用类似多项式乘法的次数相乘及系数相乘的运算，可从理论上严格计算出此类超网络的度分布。
[0054]超网络的度参数包括节点度、节点超度及超边度等。几乎所有的超网络模型的节点度分布、节点超度分布及超边度分布均是通过统计方法得到的，缺少直观、形象的认识与了解。类似于化学合成中通过小分子化学物质合成大分子化学物质，采用本发明提出的一种基于Tracy-Singh积的超网络构建方法所得到的超网络,其节点度分布、节点超度分布及超边度分布可借助已有的工具通过类似多项式乘法的次数相乘及系数相乘的运算从理论上严格计算得到。而且，基于不同的生成超网络可以得到不同的超网络。
【专利附图】
【附图说明】
[0055]本发明将通过例子并参照附图的方式说明，其中:
[0056]图1是包含6个顶点、5条超边的生成超网络H的示例图；
[0057]图2是包含6个顶点、5条超边的生成超网络H的邻接矩阵；
[0058]图3是包含6个顶点、5条超边的生成超网络H迭代应用Tracy-Singh积24次后的超网络H(24)的节点度分布示意图；
[0059]图4是包含6个顶点、5条超边的生成超网络H迭代应用Tracy-Singh积24次后的超网络H(24)的节点超度分布示意图；
[0060]图5是包含6个顶点、5条超边的生成超网络H迭代应用Tracy-Singh积24次后的超网络H(24)的超边度分布示意图；
[0061]图6是包含7个顶点、4条超边的生成超网络H的示例图；
[0062]图7是包含7个顶点、4条超边的生成超网络H的邻接矩阵；
[0063]图8是包含7个顶点、4条超边的生成超网络H迭代应用Tracy-Singh积24次后的超网络H(24)的节点度分布示意图；
[0064]图9是包含7个顶点、4条超边的生成超网络H迭代应用Tracy-Singh积24次后的超网络H(24)的节点超度分布示意图；
[0065]图10是包含7个顶点、4条超边的生成超网络H迭代应用Tracy-Singh积24次后的超网络H(24)的超边度分布示意图；
[0066]图11是包含6个顶点、6条超边的生成超网络H的示例图；
[0067]图12是包含6个顶点、6条超边的生成超网络H的邻接矩阵；
[0068]图13是包含6个顶点、6条超边的生成超网络H迭代应用Tracy-Singh积24次后的超网络H(24)的节点度分布示意图；
[0069]图14是包含6个顶点、6条超边的生成超网络H迭代应用Tracy-Singh积24次后的超网络H(24)的节点超度分布示意图；
[0070]图15是包含6个顶点、6条超边的生成超网络H迭代应用Tracy-Singh积24次后的超网络H(24)的超边度分布示意图。
【具体实施方式】
[0071]一种超网络的构建方法，包括如下步骤:
[0072](I)确定生成超网络H;
[0073](2)计算生成超网络H的邻接矩阵A(H):
[0074]对于具有η个顶点、m条超边(即m个节点，下同)的生成超网络H，其邻接矩阵是nXm的矩阵A(H)nxm，其中对于矩阵中的每一个数据，若顶点i在超边j(即节点j，下同)中，则有A(H) (i，j) =1，否则，A(H) (i，j) = O，由于A(H)nxm的每一列代表一条超边，可以将A Wnxm视为m个nX I的分块矩阵A(H)nxi的组合，即有:
[0075]A(H)nxm = [A(H)11A(H)12A(H) f A(H)ir..A(H)1(m—^(H)11J (I)
[0076](3)根据生成超网络H的节点度分布计算生成超网络H的节点度分布多项式PolyDD(Hd):
[0077]PolyDD{Hd) = ^xlld:=之 NjXi( Z ；
1=1
[0078]式⑵中，η为超网络H的超边数目，Hdi表示第i条超边包含的顶点数目，即超边i的度，Nj表示度为j的节点的数目；
[0079](4)根据生成超网络H的节点超度分布计算生成超网络H的节点超度分布多项式PolyDD(Hhd):
[0080]PolyDD(Hhd) = Jj χ〃/κ/ = ^ NjX1(3)
i=lJ=I
[0081]式(3)中，η为超网络H的顶点数目，Hdi表示包含第i个顶点的超边数目，即顶点i的超度，Nj表示超度为j的顶点的数目；
[0082](5)根据生成超网络H的超边度分布计算生成超网络H的超边度分布多项式PolyDD(Hed):
nOO
[0083]PoIyDD(Hed) = [ χΜ Α = [.NjX1( I )
/=1J=I
[0084]式(4)中，η为超网络H的超边数目，Hedi表示与第i条超边邻接的超边数目，即超边i的超边度，Nj表示超边度为j -1的超边的数目；
[0085](6)按如下方法计算所构建的超网络的邻接矩阵Αω(Ηω)，其中，I代表进行Tracy-Singh积运算的次数:
[0086]根据Tracy-Singh积的规则Ι—(ZTu)功进行计算，得到所构建的超网络的邻接矩阵；具体方法为:将A(k) (H(k))及A (H)视为分块的列矩阵进行Tracy-Singh积运算；对于mX η的矩阵A及P X q的矩阵B，将其分别划分为Hii X Hj的分块矩阵Aij及PkXqj分块矩阵Bkl,再进行Tracy-Singh积运算；矩阵A及矩阵B的Tracy-Singh积^。方定义如下:
[0087]
Ααχπ ° BpX g=Aijo Btf1 (Aj /° B) ι,— ((j4f/(? Bk^) Jil) u(4 )
[0088]其中，Aij为矩阵Amxn的第i行第j列HiiXnj阶分块矩阵，Bkl为矩阵Bpxq的第k行第I列PkXq1阶分块矩阵，且有:
【权利要求】
1.一种超网络的构建方法，其特征在于，包括以下步骤: (1)确定生成超网络H; (2)计算生成超网络H的邻接矩阵A(H): 对于具有η个顶点、m条超边的生成超网络H，其邻接矩阵是nXm的矩阵A(H)nxm ;其中，对于矩阵中的每一个数据，若顶点i在超边j中，则有A(H) (i, j) = 1，否则，A⑶(i，j)=O，由于A(H)nxm的每一列代表一条超边，可以将A(H)nxm视为m个nX I的分块矩阵A(H)nX1的组合，即有: A(H)nxm= [AOD11A OD12AJ ； (3)根据生成超网络H的节点度分布计算生成超网络H的节点度分布多项式PolyDD(Hd):
其中，η为超网络H的超边数目，Hdi表示第i条超边包含的顶点数目，即超边i的度，Nj表示度为j的节点的数目； (4)根据生成超网络H的节点超度分布计算生成超网络H的节点超度分布多项式PolyDD(Hhd):
其中，η为超网络H的顶点数目，Hdi表示包含第i个顶点的超边数目，即顶点i的超度，Nj表示超度为j的顶点的数目； (5)根据生成超网络H的超边度分布计算生成超网络H的超边度分布多项式PolyDD(Hed):
其中，η为超网络H的超边数目，Hedi表示与第i条超边邻接的超边数目，即超边i的超边度，Nj表示超边度为j -1的超边的数目； (6)按如下方法计算所构建的超网络的邻接矩阵Α(1)(Ηα))，其中，I代表进行Tracy-Singh积运算的次数: 根据Tracy-Singh积的规则^。/!(汾进行计算，得到所构建的超网络的邻接矩阵；具体方法为:将Αω(Ηω)及A(H)视为分块的列矩阵进行Tracy-Singh积运算；对于mXn的矩阵A及pXq的矩阵B，将其分别划分为HiiXnj的分块矩阵Aij及pkXq」分块矩阵Bkl,再进行Tracy-Singh积运算；矩阵A及矩阵B的Tracy-Singh积爪方定义如下:Ao β= (Ajjo β) "= ((Ajj0 Bii) ki) ij ； 其中，‘为矩阵Amxn的第i行第j列HiiXr^阶分块矩阵，Bkl为矩阵Bpxq的第k行第I列PkXq1阶分块矩阵，且有:
将所有的邻接矩阵视为I行的分块矩阵，每个分块矩阵均是ηχ I的普通矩阵，即有:
矩阵A (Bij)mxn及矩阵B (bij)ρΧ(1的Tracy-Singh积需要用到Kronecker积,对任意矩阵Ppxp与矩阵Qqxq而言，其Kronecker积定义如下:
(7)按照如下方法计算所构建的超网络的节点度分布多项式PolyDD(Hd(1))，其中，I代表Tracy-Singh积运算的次数:
(8)按照如下方法计算所构建的超网络的节点超度分布多项式PolyDD(Hhda)),其中，I代表Tracy-Singh积运算的次数:
(9)按照如下方法计算所构建的超网络的超边度分布多项式PolyDD(Hed(1))，其中，I代表Tracy-Singh积运算的次数:
(10)重复步骤(6)至步骤(9)，得到指定顶点数目、指定节点数目或指定超网络数目的超网络时，终止操作；其中，步骤(7)至步骤(9)采用的运算，其多项式乘法为系数相乘次数也相乘的运算方法。
2.根据权利要求1所述的一种超网络的构建方法，其特征在于:确定生成超网络H时，选择顶点数目η小于等于10且超边间连接较少的简单超网络作为生成超网络。
3.根据权利要求1所述的一种超网络的构建方法，其特征在于:对于拥有η个顶点及m条超边的生成超网络H，在运算的每一个阶段I得到的超网络的顶点数η (I) =Ii1,超边数m(l) = m1。
【文档编号】G06F17/50GK104133944SQ201410330803
【公开日】2014年11月5日 申请日期:2014年7月11日 优先权日:2014年7月11日
【发明者】李天瑞, 刘胜久, 杨燕, 王红军 申请人:西南交通大学