一种层次自由曲面的保角参数特性优化方法
【专利摘要】本发明公开了一种层次自由曲面的保角参数特性优化方法，初始阶段输入一个自由曲面，使用组合辛普森规则构造其保角能量离散逼近形式；使用里奇流方法构建自由变换的参数形式，使最优自由变换问题转换为最小二乘问题；计算其保角误差，反复迭代可得到满足误差范围内的具有最优保角性的层次自由曲面。该方法在不改变用户给定的自由曲面形状和次数的前提下，通过对自由曲面进行自由变换引入层次自由曲面，实现了对自由曲面的保角特性的优化。
【专利说明】一种层次自由曲面的保角参数特性优化方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及一种层次自由曲面的保角参数特性优化方法。
【背景技术】
[0002] 国际标准化组织（ISO)于1991年正式确定把NURBS方法作为定义产品形状的唯 一数学方法，越来越多的CAD/CAM系统采用NURBS作为其模型，NURBS在工业产品的外形设 计中获得广泛的应用。纹理映射、曲面镶嵌、曲面匹配和注册的结果都和曲面的保角性息息 相关。
[0003] 在现代图形学和建筑学中，自由曲面的作用日益重要。曲面渲染（例如纹理映 射）、曲面离散、曲面采样等自由曲面应用十分依赖曲面的保角特性。已有的保角映射的成 果大多针对离散三角网格曲面，到目前为止还未有三维NURBS自由曲面保角性的相关成熟 结果。
[0004] 设计人员通常先对自由曲面保角特性进行优化，以满足曲面采样、曲面相交、曲率 计算等算法的要求。因此基于NURBS曲面保角参数特性优化方法具有很强的实用价值。
【发明内容】
[0005] 本发明的目的是为克服上述现有技术的不足，提供一种层次自由曲面的保角参数 特性优化方法。该方法通过引入层次自由曲面和自由变换，在不改变原有自由曲面形状的 前提下，实现自由曲面保角参数特性的优化
[0006] 为实现上述目的，本发明采用下述技术方案：
[0007] 一种层次自由曲面的保角参数特性优化方法，包括如下步骤：
[0008] 1)输入NURBS空间自由曲面X(u，V);
[0009] 2)将自由曲面X(u，v)的保角能量公式化，得到保角能量函数；并对保角能量函数 进行离散化处理；
[0010] 3)采用最小二乘方法极小化离散后的保角能量函数，并计算出相应的优化后的自 由曲面；
[0011] 4)对新的层次自由曲面采样，计算保角性误差，将所得保角性误差与设定的阈值 进行比较：如果所述误差小于设定阈值，则所得层次自由曲面具有保角性；如果所述误差 大于设定阈值，则所得层次自由曲面不具有保角性，分别增加 U，V上采样点数目，提高（U， V)参数域采样精度，返回步骤1)重新计算。
[0012] 所述步骤1)中NURBS空间自由曲面X (u，V)具体为：
【权利要求】
1. 一种层次自由曲面的保角参数特性优化方法，包括如下步骤： 1) 输入NURBS空间自由曲面X (u，V); 2) 将自由曲面X(u，V)的保角能量公式化，得到保角能量函数；并对保角能量函数进行 离散化处理； 3) 采用最小二乘方法极小化离散后的保角能量函数，并计算出相应的优化后的自由曲 面； 4) 对新的层次自由曲面采样，计算保角性误差，将所得保角性误差与设定的阈值进行 比较：如果所述误差小于设定阈值，则所得层次自由曲面具有保角性；如果所述误差大于 设定阈值，则所得层次自由曲面不具有保角性，分别增加 u，V上采样点数目，提高（u，v)参 数域采样精度，返回步骤1)重新计算。
2. 如权利要求1所述的一种层次自由曲面的保角参数特性优化方法，所述步骤1)中 NURBS空间自由曲面X (u, V)具体为：
其中，u和V是曲面X(u, V)的参数，nu和nv是曲面X(u, V)所含的控制顶点在u方向 和V方向上的个数，Piij是曲面X(u，v)中序号为（i，j)的控制顶点的坐标值，由用户输入，i =0,1，. . .，nu-l ;j = 0,1，. . .，nv-l，采用三维直角坐标表示，是曲面x(u, V)中序号 为（i，j)的控制顶点的权重，由用户输入，i = 0,1，· · ·，nu-l ; j = 0,1，· · ·，nv-l，iVf 1O) 是定义在节点向量序列U之上的序号为i的第P1阶B-spline基函数，i = 0,1，. . .，nu-l ; 是定义在节点向量序列V之上的序号为j的第qi阶B-spline基函数，j = 0,1，...， nv-l,
其中，P，q是曲面X(u, v)在u方向和v方向上的次数，由用户输入，uQ，U1, . . .，un+p等 为 τ* 点向里序列 U 中的 τι 点，其中 uQ = U1 = · · · = up = 0，un = un+1 = · · · = un+p = 1， up+1, un+2, . . .，Ulri由用户输入；Vci, V1, . . .，vn+q等为节点向量序列V中的节点，其中Vci = V1 =...=Vq = 0, Vn = vn+1 = . . . = vn+q = 1, Vq+1，Vq+2 ? · · · ? Vlri由用户输入，上述的B-spline 基函数采用Matlab系统样条工具库中B-spline基函数的定义方式。
3. 如权利要求1所述的一种层次自由曲面的保角参数特性优化方法，所述步骤2)中将 自由曲面X(u，v)的保角能量公式化，得到保角能量函数的具体为：
其中，确定曲面X(U，v)的基本形式为： ds2 = Xu · Xv (du) 2+2Xu · Xvdudv+Xv · Xv (dv)2
^曲面X (u，v)的两个偏导数； E = Xu · Xv, F = Xu · Xv, G = Xv · Xv 其中，E和G代表了两个偏导的长度，F用来度量两个偏导的正交性； 由层次自由曲面变换可得
上述保角能量函数中小3和分别是变换后自由曲面对s和t的偏导数。
4.如权利要求1所述的一种层次自由曲面的保角参数特性优化方法，所述步骤2)中对 保角能量函数利用复合辛普森规则逼近，为了应用该规则，对保角能量函数进行离散化处 理的具体方法如下： 在曲面X (u，V)的参数域上进行离散采样，分别将参数域u，V细分为21和2k个子区 间，其均分步长分别为h = lA21)，p = lA2k);细分后参数域如下：
其中，\、1+1均为参数域节点向量中的节点； 使用里奇流方法计算出对应离散化后曲面X (u，V)对应的保角映射M，令
其中，E = Xu · Xv，F = Xu · Xv，G = Xv · Xv，E和G代表了两个偏导的长度，F用来度量两 个偏导的正交性；Φ s和Φ t分别是层次自由曲面变换（u，V) = Φ (s，t)后，对s和t的偏 导数；利用辛普森规则的逼近后的保角能量结果应有如下形式： J = ! + Eerror 其中，参数域中存在某一个（以)和（§,?)，使得
其中，J1, J2, J3, J4是其四个离散项，Su，是参数中的采样点U，V坐标，h和P分别 是U，V方向的采样间隔，T是保角项；通过增加采样密度1和k来减少Eotot项，当1和k均 为10时，误差项就变成了如下形式
其中u，V是自由曲面的两个参数，T是保角项；优化其如下离散保角能量：
Ri;j是u, V参数域中的采样点，si;j, ti;j是st参数域中的两个参数；Φ是二维自由曲面 变换，Qu是二维变换Φ的控制顶点；优化离散保角能量使得生成的层次曲面的参数化逼 近保角性。
5.如权利要求1所述的一种层次自由曲面的保角参数特性优化方法，所述步骤3)中采 用最小二乘方法极小化离散后的保角能量函数的具体方法为： 令{R(i，j)}和{C (Suti,」)}，i =0，...，21，j = 0，...，2k分别表示采样点集合和其 对应满足的保角性约束条件集合；
将{R(i，j)}和分为无约束部分和有约束部分：使用 和
来表示无约束的部分；使用
来表示有约束的部分；给有约束部分设定非负权重，有
增加权重可以增加每个数据点逼近其邻近点的逼近程 度，减小权重可以减弱每个数据点逼近其邻近点的逼近程度； 令mU = ru+su+l，m。= d+Ι，其中mu，ru，\表示无约束部分元素的数目，m。，r。， sC表 示有约束部分元素的数目，且满足me〈n, me+n〈mu+l ; 令 Sk, k = 0,. . .，mu是第k个无约束数据点； Tk，k = 0, · · ·，m。是第k个有约束数据点； c〇k, k = 0, · · ·，mu是第k个无约束数据点的约束项； 定义向量和矩阵如下： S= [Sk],为一个有mu+l个元素的向量； T = [Tk]，为一个有me+l个元素的向量； W = [c〇k]，为一个（mu+l) X (mu+l)的对角矩阵，Cok在对角线上； Q = [Qi，j]，为一个（ns+l) X (nt+l)的未知控制定点向量； N = [NDk]，其中NDk是一个k次基函数Nf2(Sk^t w)或者是保角项cSi^tu的基函数，N为 一个（mu+l) X (ns+l) (nt+l)的标量矩阵； M = [MDk]，其中MDk是一个k次基函数Nf2(Sk^t w)或者是保角项的基函数，M为 一个（mu+l) X (ns+l) (nt+l)的标量矩阵； 令A =[ λ k]，A是拉格朗日乘子的向量，每个λ k都是和I维度相同的向量；这里，无 约束部分有 NQ = S 有约束部分有 MQ = T 无约束部分误差是S - NP，我们希望通过极小化这个误差从而使得MP = T ;因此，利用 拉格朗日乘子法，等价极小化 (St-PNt) W (S - NP) +At (MP-T) 对于未知数A，P ;对上面的式子进行微分，令微分为0 -2 (StWN-PtNtWN) +AtM = 0 MP-T = 0 表示为矩阵形式为
通过求解上式我们可得到A和P ;解唯一的条件是NtWN和M(NtWN)4Mt都是可逆的；可 得
最终P为 P= (NtWN)^1NtWS- (NtWN)-1Mt(M(NtWN)-1M t)^1(M(NtWN)-1NtWS-T) 该P就是通过最小二乘法得到的满足要求的解。
6.如权利要求1所述的一种层次自由曲面的保角参数特性优化方法，所述步骤4)中新 的层次自由曲面采样点的最大的保角性误差为：
其中，N是曲面法向量
分别是曲面X在s，t两个方向上的切矢。
【文档编号】G06F17/50GK104392021SQ201410579358
【公开日】2015年3月4日 申请日期:2014年10月24日 优先权日:2014年10月24日
【发明者】杨义军, 宋天琦, 徐向阳, 杨承磊, 孟祥旭, 曾薇 申请人:山东大学