基于离散余弦变换的光强传输方程的快速求解方法
【专利摘要】本发明公开了一种基于离散余弦变换的光强传输方程的快速求解方法，首先在待测平面放置一光阑，采集欠焦、聚焦、离焦三幅光强图像，并利用欠焦与离焦光强图像进行数值差分得到光强的轴向微分信号；然后利用离散余弦变换求解光强的轴向微分信号的逆拉普拉斯，并基于离散余弦变换，将光强的轴向微分信号的逆拉普拉斯求取梯度，并除以聚焦光强图像，然后再求散度运算；最后利用离散余弦变换将第三步所得结果求取逆拉普拉斯，就得到了光强传输方程的解，也就是所要求解的相位分布。本发明提高了相位恢复的精度，实现十分简单高效，所需的外储量也非常低。
【专利说明】基于离散余弦变换的光强传输方程的快速求解方法
【技术领域】
[0001] 本发明属于光学测量中的相位恢复与定量相位成像技术，特别是一种基于离散余 弦变换的光强传输方程的快速求解方法。
【背景技术】
[0002] 相位恢复是光学测量与成像技术的一个重要课题，无论在生物医学还是工业检测 领域，相位成像技术都在发挥着重要的作用。纵观光学测量近半个世纪的进展，最经典的相 位测量方法应该非干涉测量法莫属。然而，干涉测量法的缺点也十分明显：干涉测量一般需 要高度相干性的光源（如激光），从而需要较为复杂的干涉装置；额外的参考光路的引入导 致对于测量环境的要求变得十分苛刻；高相干性的光源引入的散斑相干噪声限制了成像系 统的空间分辨率与测量精度。
[0003] 不同与干涉测量，另一类非常重要的相位测量技术并不需要借助干涉，它们统称 为相位恢复。由于直接测量光波场的相位分布非常困难，而测量光波场的振幅/强度十分 容易。因此，可以将由强度分布来恢复（估算）相位这一过程考虑为一个数学上的"逆问 题"，即相位恢复问题。相位恢复方法还可细分为迭代法与直接法。光强传输方程法是相位 恢复方法中的一种典型的直接法。光强传输方程是一个二阶椭圆偏微分方程，其阐明了沿 着光轴方向上光强度的变化量与光轴垂直的平面上光波的相位的定量关系。在光强轴向微 分以及光强分布已知的情况下，通过数值求解光强传输方程可直接获取相位信息。相比与 干涉法与迭代相位恢复法，其主要优点包括：（1)非干涉，仅仅通过测量物面光强直接求解 相位信息，不需要引入额外参考光；（2)非迭代，通过直接求解微分方程获得相位；（3)可以 很好的应用于白光照明，如传统明场显微镜中的科勒照明（KShler illumination);⑷无需相 位解包裹，直接获取相位的绝对分布，不存在一般干涉测量中的2 相位包裹问题；（5)无 须复杂的光学系统，对于实验环境没有苛刻的要求，振动不敏感。
[0004] 准确、高效地求解光强传输方程是利用其实现相位恢复与动态定量相位显微应用 的基础。光强传输方程是一个关于相位的二阶椭圆型偏微分方程。从数学上看，基于光强 传输方程的相位恢复问题本质上是一个边界条件问题（边界条件问题=微分方程+边界 条件），即在某些特定的边界条件的约束下去寻找这个偏微分方程的解。求解偏微分方程 最常见的边界条件包括Dirichlet边界条件与Neumann边界。根据椭圆型偏微分方程的 基本结论，对于Dirichlet边界条件问题，光强传输方程的解存在且唯一。对于Neumann 边界条件问题，当边界值满足相容性条件时，光强传输方程的解存在且唯一到一个任意 的加性常数。针对光强传输方程的求解，目前已有许多方法提出：如格林函数法（M. Reed Teague，''Deterministic phase retrieval: a Green's function solution, ^J. Opt. Soc. Am. 73, 1434-1441 (1983) ?)、泽尼克多项式展开法（T. E. Gureyev and K. A. Nugent，''Phase retrieval with the transport-of-intensity equation. II. Orthogonal series solution for nonuniform illumination, ^J. Opt. Soc. Am. A 13, 1670-1682(1996) ?)、快 速傅里叶变换法（L.J. Allen and M.P. Oxley，''Phase retrieval from series of images obtained by defocus variation, 〃Opt Commun 199, 65-75 (2001))。这些方法存在并没有 很好地解决一个非常重要的实际问题，即如何获得、并施加求解光强传输方程的边界条件。 通常情况下，均是采用简单的周期性边界条件或者均匀Dirichlet边界条件与Neumann边 界条件，当这些简化边界条件无法满足时，所恢复相位的精度就会大受影响。另一方面，算 法求解效率较低，难以满足高速、实时应用的场合。
【发明内容】
[0005] 本发明的目的在于提供一种基于离散余弦变换的光强传输方程的快速求解方法， 在光强分布不均匀性的情况下，有效解决了相位恢复问题。
[0006] 实现本发明目的的技术解决方案为：一种基于离散余弦变换的光强传输方程的快 速求解方法，包含以下步骤：
[0007] 第一步，在待测平面放置一光阑，采集欠焦、聚焦、离焦三幅光强图像，并利用欠焦 与离焦光强图像进行数值差分得到光强的轴向微分信号；
[0008] 第二步，利用离散余弦变换求解光强的轴向微分信号的逆拉普拉斯，记作
【权利要求】
1. 一种基于离散余弦变换的光强传输方程的快速求解方法，其特征在于包含以下步 骤： 第一步，在待测平面放置一光阑，采集欠焦、聚焦、离焦三幅光强图像，并利用欠焦与离 焦光强图像进行数值差分得到光强的轴向微分信号； 第二步，利用离散余弦变换求解光强的轴向微分信号的逆拉普拉斯，记作
其中DCT代表离散余弦变换，DCT1代表离散逆余弦变换，（u，v)是与空间坐标（x，y)相 对应的频域坐标；对于二维的数据矩阵{f (X，y), X = 0, 1，. . .，N-1, y = 0, 1，. . .，M-1},其 中X，y代表二维空间坐标，N，M为图像的二维尺寸，其离散余弦正逆变换可以定义为：
方便起见，第二步最终运算得到的光强轴向微分信号的逆拉普拉斯 简记 为 V (r); 第三步，基于离散余弦变换，将光强的轴向微分信号的逆拉普拉斯求取梯度，并除以聚 焦光强图像，然后再求散度运算； 第四步，利用离散余弦变换将第三步所得结果Ur)求取逆拉普拉斯，就得到了光强 传输方程的解，也就是所要求解的相位分布。
2. 根据权利要求1所述的基于离散余弦变换的光强传输方程的快速求解方法，其特征 在于第一步的具体实施过程如下： (1)在待测物平面放置一光阑（位于物平面z = 0)，光阑的区域记作Q，其边界记作 况I，将光阑区域Q连同其边界an之和记作闭区间由于光阑的存在,待测物的聚焦光强 分布表为
其中lei是在没有光阑情况下的聚焦光强分布；As2是光阑函数，当reQ时，As2 = I ;当 r€〇时，As2 = O ;在此情况下，光强传输方程表示为
的相位分布沿光阑边界的法向导数，4*1为沿光阑边界的delta函数；上式右侧的第一 项代表了区域内部由于相位的斜率与曲率所导致的轴向光强信号的改变量；右侧第二项
是一个犹如delta函数般的尖锐信号，其仅出现在区域的边界上，这为求解 光强传输方程提供了求解所需的Neumann边界条件，这里称其为边界信号； (2)采集欠焦、聚焦、过焦三幅光强分布，分别记作I+(r)，I(r)与I_(r)，其中I+(r)与
至此完成了基于离散余弦变换的光强传输方程的快速求解方法的数据准备工作，即： 得到了聚焦光强分布I (r)，光强轴向微分信
3. 根据权利要求1所述的基于离散余弦变换的光强传输方程的快速求解方法，其特征 在于第三步的具体实施过程如下： 基于离散余弦变换，将光强轴向微分信号的逆拉普拉斯V求取梯度，得到VdctU^基 于离散余弦变换的梯度算符▽ DCT具体可表示为 ▽ DCT { ? } = DCT1 U uDCT { ? }，i uDCT { ? }} 其中i为虚数单位，得到▽ DCT V后，将其除以聚焦光强分布I (r)，得到r1 ▽ DCT V，再 基于离散余弦变换对r1 ▽ DCT V求散度，得到▽ DCT ? (r1 ▽ DCT no，基于离散余弦变换的散 度算符▽ DCT ? {?}具体表示为 v DCT ? { * } = DCr1 {i 31 uDCT { ? }} +DCr1 {i n vDCT { ? }} 式中?代表向量点乘，为方便起见，第三步最终运算得到的结果▽ DCT ? (r1 ▽ DCTV)简 记为€ (r)。
4. 根据权利要求1所述的基于离散余弦变换的光强传输方程的快速求解方法，其特征 在于第四步的具体实施过程如下： 利用离散余弦变换将第三步所得结果Ur)基于离散余弦变换求取逆拉普拉斯，再乘 上一个常数_k(k为波数），就得到了光强传输方程的解，也就是所要求解的相位分布，即 ^(#-) =-A-V1;, {|(r)} 其中基于离散余弦变换的逆拉普拉斯运算▽ _2{ ?}具体表示为
其中DCT代表离散余弦变换，DCT1代表离散逆余弦变换，（u，v)是与空间坐标（x，y)相 对应的频域坐标。
5.根据权利要求1所述的基于离散余弦变换的光强传输方程的快速求解方法，其特征 在于在第四步的基础上将恢复得到相位y)通过下式转换为样品的物理高度/厚度 h(x, y)
其中A为光波波长，An为样品与周围介质的折射率之差。
【文档编号】G06F19/00GK104331615SQ201410588578
【公开日】2015年2月4日 申请日期:2014年10月28日 优先权日:2014年10月28日
【发明者】陈钱, 左超, 冯世杰, 孙佳嵩, 胡岩, 陶天阳, 顾国华, 张玉珍, 喻士领, 张良, 张佳琳 申请人:南京理工大学