多孔压电材料电弹场分析方法
【专利摘要】本发明公开了一种多孔压电材料电弹场分析方法，先给定待分析压电材料中多个孔的形状和位置，进而建立对应于该多个孔的保角映射函数；在考虑多个孔相互影响的前提下，给出了压电材料电弹场的复势函数的摄动表达式以及多个孔内介质的电势函数的摄动表达式；将压电材料的复势函数和多个孔内的电势函数分别在多个孔边展开成Fourier级数，得出所有势函数的半解析解；通过已求解出的势函数，计算出压电材料孔边的应力场、电场以及孔内介质的电场。本方法适用于任意给定的孔的形状和位置。相比于有限元方法，本发明无需繁琐的几何建模和网格划分，在计算速度和精度上也有很大的优势；所建立的复变函数摄动方法，可应用于求解多孔各向同性和各向异性材料。
【专利说明】多孔压电材料电弹场分析方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及一种压电材料电弹场分析方法，尤其涉及一种压电材料孔边应力集中 和电场集中的半解析分析方法。
【背景技术】
[0002] 自19世纪80年代居里兄弟首先在石英晶体上发现压电效应后，压电材料的研究 和发展就迅速展开。压电材料是一类重要的、国际竞争极为激烈的高技术新材料，在信息激 光、导航和生物等高【技术领域】应用广泛。
[0003] 在压电材料的制造和使用过程中，难免出现孔洞；另一方面，由于人为的需要，一 些压电结构需要开孔。由于多数压电材料属于脆性材料，当其受到外加机械载荷和电载荷 时，孔边会产生较大的应力集中或者电场集中，这些力电集中很有可能造成压电材料孔边 裂纹生成或扩展、电击穿或压电材料的最终失效。因此，压电材料孔边电弹场分析有很大的 工程意义。
[0004] Sosa等人建立了各向异性压电平面的电弹场的复变函数理论，Gao和Fan基于这 套理论导出了含单个椭圆孔压电材料电弹场的解析解。Hwu和Qin借助保角映射技术得出 了含单个非椭圆孔压电材料的解析解，但不幸的是，Kosmodamianskii和Ting指出：非椭圆 孔的保角映射函数严格说来是不正确的，由此得到的压电材料的应力场和电场将在某些地 方发生奇异，这跟物理现象严重不符。所以，从那以后就很少有关于含单个非椭圆孔压电材 料的研究了，更不用提关于含多个非椭圆孔压电材料的研究了。
[0005] 随着计算机性能的快速发展，有限元法也越来越受到重视。有限元法突破了很多 理论方法的局限，数值地给出了很多理论不能解决的问题。但当有限元法应用到含非椭圆 孔压电材料上时，存在以下问题：
[0006] (1)为了保证计算结果的精度，所建立的几何模型也应有较高的精度，但由于非椭 圆孔的复杂性，所建立的几何模型的精度可能保证不了。
[0007] (2)实验数据和理论研究结果表明，最大应力集中和电场集中往往发生在孔边的 最大曲率处，所以为了获得较高精度的应力分布和电场分布，对孔边（特别是最大曲率处） 的网格质量要求较高。
[0008] (3)必须准备多个不同密度和质量的网格模型，通过分别计算这些模型的结果来 获得收敛结果，这将耗费大量的人力和计算时间。
[0009] 因此，总体说来，有限元法虽能近似地得到含非椭圆孔压电材料的电弹场，但需耗 费大量机时和人力，而且精度得不到保证。
【发明内容】
[0010] 技术问题
[0011] 本发明要解决的技术问题是提供一种多孔压电材料电弹场的高精度分析方法，该 方法从复变函数出发，结合摄动理论，给出了多孔压电材料电弹场的复势函数以及孔内介 质电势函数的半解析解，同时提供一种将该半解析解数值化的程序。
[0012] 技术方案
[0013] 为了解决上述的技术问题，本发明中的求解多孔压电材料电弹场的复变函数摄动 方法包括下列步骤：
[0014] 步骤一：根据给定的多个孔的形状和位置，根据Schwarz-Christoffel映射并利 用Maple软件计算出相应的保角映射函数z = XjIx2 = Coi ( €山i = 1，2,…，n(I为虚部 单位，n为孔的数目）。
[0015] 步骤二：根据给定的压电材料的电弹常数和孔内介质的介电常数，计算出用于表 达压电材料电弹场以及孔内介质电位移的相关复常数。
[0016] 步骤三：根据保角映射的具体形式，建立压电材料复势函数以及孔内介质电势函 数的摄动级数表达式，这些摄动级数表达式中包含了一定数目的待定未知复系数（数目可 自由设定）。其中，压电材料的复势函数是基于Laurent级数摄动得到的，而孔内介质的电 势函数则是根据非椭圆域内的Faber级数得出。
[0017] 步骤四：利用压电材料复势函数和孔内介质电势函数来表达将每个孔边的力学和 电学边界条件。其中，力学边界条件指压电材料在孔边处的法向正应力和切向剪应力为〇， 电学边界条件指在孔边处压电材料的电势和法向电位移分别等于孔内介质的电势和法向 电位移。
[0018] 步骤五：将力学和电学边界中压电材料的复势函数和孔内介质的电势函数在孔边 处展开成Fourier级数。步骤三中孔内介质的电势函数Fi(Z)已经是Fourier级数，故在 本步骤中无需处理。其中，孔内介质电势函数在孔边的Fourier级数比较容易得到，而对于 压电材料复势函数在孔边的Fourier级数，由于压电材料复势函数中包含了多个孔之间的 相互影响，必须首先建立多个保角映射函数中自变量Mi= 1，2,…，n)的关系，包括以下 子步骤：
[0019] 步骤5. 1 :由于不同映射平面内不同的点对应于压电材料物理平面内的同一个 点，所以有《i(D=?j( €j)成立；
[0020] 步骤5. 2 :考虑第i个孔边，方程wi( €D= 〇』（€』）变为〇i(。）= 〇』（€j)， 其中〇i指第i个映射平面内单位圆上的点；
[0021] 步骤5. 3:方程COi(Oi) = (OjUj)是关于未知数h的高次方程，由于高次方程 没有解析解，我们将给定多个不同。i，通过数值计算得出相应的h，这些h的值将会用 来做后续的数值积分。
[0022] 步骤六：对于第i个孔边的力学和电学边界条件，分别令其等式两边关于 < (/=士1，±2, 士3,...）的系数相等，从而获得一系列关于摄动级数表达式中待定复系数以及 它们共轭的线性方程组。
[0023] 步骤七：通过迭代算法，求解该线性方程组得出待定复系数，从而确定压电材料复 势函数和孔内介质电势函数。
[0024] 步骤八：根据Sosa复变函数理论，根据已知的压电材料复势函数和孔内介质电势 函数，计算出孔边应力场、电场以及孔内介质的电场。
[0025] 本发明所实现的复变函数摄动法包括保角映射函数模块、压电材料复势函数和孔 内介质电势函数摄动表达式模块、孔边Fourier级数展开模块和复线性方程组求解模块。
[0026] 更进一步地，在步骤一中，多个孔的保角映射函数将根据Schwarz-Christoffel 映射和每个孔的形状和位置在数学软件Maple中计算得到。
[0027] 更进一步地，在步骤二中，孔内介质的介电常数可自由设置，以便模拟电穿透和电 不可穿透边界条件；摄动表达式的阶数可自行设置，以便根据不同的孔的形状调整精度。
[0028] 更进一步地，在步骤五中，当其中两孔距离较小时，为获得较好的精度，对应的 Fourier级数的系数将通过特殊的数值积分方法得到。
[0029] 更进一步地，在步骤四中，求解应力场和电场时涉及的孔边切线方向，通过保角映 射函数得到。
[0030] 有益效果
[0031] 本发明的方法开拓了复变函数在压电材料孔边电弹场集中研究领域的应用，在减 少计算量的同时，增强了工程实用性，提高了求解精度。该方法将传统理论方法与现代数值 计算相结合，减少了计算时间和人力投入，提高了求解效率，是压电材料电弹场集中领域的 一种突破。本方法围绕压电材料的复变函数理论，结合摄动理论，突破了传统非椭圆孔保角 映射的存在的问题；该方法不仅过程简单，而且具有良好的适应性与稳定性，可开发成商用 程序以灵活适应问题的变化。
【专利附图】
【附图说明】
[0032] 图1为含两个任意形状孔的压电材料，外边界受到均匀的力电载荷。
[0033] 图2为含有一个三角形孔和一个正方形孔的压电材料，当外边界在X2方向上受到 均匀电位移载荷时，三角形孔边的环向应力以及三角形孔内电场在X1和X2两个方向的 分量。
[0034] 图3为含有一个三角形孔和一个正方形孔的压电材料，当外边界在X2方向上受到 均匀电位移载荷时，正方形孔边的环向应力以及正方形孔内电场在X1和X2两个方向的 分量。
[0035] 图4为含有一个卵圆形孔和一个椭圆形孔的压电材料，当外边界在X2方向上受到 均匀电位移载荷i?『时，卵圆形孔边的环向应力以及卵圆形孔内电场在X1和X2两个方向的 分量。
[0036] 图5为含有一个卵圆形孔和一个椭圆形孔的压电材料，当外边界在X2方向上受到 均匀电位移载荷％时，椭圆形孔边的环向应力以及椭圆形孔内电场在X1和X2两个方向的 分量。
【具体实施方式】
[0037] 实施例一：
[0038] 本实施例为含有一个三角形孔和一个正方形孔的PZT-4压电材料（如图2和图3 所示），受到X2方向的均匀电载荷D2*5，两孔内介质均为空气。PZT-4的材料常数（包括弹 性矩阵A、压电矩阵B和介电矩阵C)和空气介电常数Stl如下：
[0039] A11 = 8. 205X1(T12,A12 = -3. 144X1(T12,A22 = 7. 495XKT12,
[0040] A33 = 19. 3XKT12 (Pa-1);
[0041] B13 = 39. 4X1(T3,B21 = -16. 62X1(T3,B22 = 23. 96XKT3 (m2/C) ; (I)
[0042] C11 = 7. 66XIO7,C22 = 9. 82XIO7 (mF)；
[0043] e〇 = 8. 85Xl(T12F/m.
[0044] 步骤一：根据Schwarz-Christoffel映射并利用Maple软件计算出相应的保角映 射函数为
[0045]
【权利要求】
1. 一种多孔压电材料电弹场分析方法，其特征在于，包括下列步骤： 步骤一：根据给定的多个孔的形状和位置，建立该多个孔的保角映射函数Z = Xl+Ix2 = ? i U i)，i = 1，2,…，n,其中I为虚部单位，n为孔的数目； 步骤二：根据给定的压电材料的电弹常数和孔内介质的介电常数，得到用于表达压电 材料电弹场以及孔内介质电位移的相关复常数； 步骤三：根据保角映射的具体形式，建立压电材料复势函数以及孔内介质电势函数的 摄动级数表达式，即，
其中，ai;k，p，h和du为待定复系数，\p为设定的项数； 步骤四：利用步骤三得到的压电材料复势函数和孔内介质电势函数来表达每个孔边的 力学和电学边界条件，其中，力学边界条件指压电材料在孔边处的法向正应力和切向剪应 力为〇,电学边界条件指在孔边处压电材料的电势和法向电位移分别等于孔内介质的电势 和法向电位移； 步骤五：将力学和电学边界中压电材料的复势函数在孔边处展开成Fourier级数（步 骤三中孔内介质的电势函数Fi (z)已经是Fourier级数,故在本步骤中无需处理），包括下 列子步骤： 步骤5. 1 :根据CoiUi) = p表述不同映射平面内不同的点对应于压电材料物 理平面内的同一个点； 步骤5. 2 :对于第i个孔边，适用方程WiC & D = 〇」（&」）变为OiC。D = 〇」（€』)， 其中〇 i指第i个映射平面内单位圆上的点； 步骤5. 3:方程COi(Oi) = 是关于未知数h的高次方程，由于高次方程没有 解析解，我们将给定多个不同Oi，通过Maple数值计算得出相应的 步骤5. 4 :利用步骤5. 3中得到的L的值，给出压电材料复势函数和空内介质电势函
系数的已知函数； 步骤六：对于第i个孔边的力学和电学边界条件，分别令其等式两边关于 <r/(/=±l,±2，±3, ...）的系数相等，从而获得一系列关于摄动级数表达式中待定复系数以及它 们共轭的线性方程组PX = q，其中X为待定复系数列向量，矩阵P和列向量q可通过Maple 计算得到； 步骤七：通过迭代算法，求解该线性方程组得出待定复系数，从而确定压电材料复势函 数朽(4)0=1>2>3)和孔内介质电势函数匕( 2)(1 = 1，2); 步骤八：根据Sosa复变函数理论，根据已知的压电材料复势函数和孔内介质电势函 数，得到孔边应力场、电场以及孔内介质的电场。
2. 根据权利要求1所述的多孔压电材料电弹场分析方法，其特征在于：在步骤一中，多 个孔的保角映射函数将根据Schwarz-ChristofTel映射和每个孔的形状和位置在数学软 件Map I e中计算得到。
3. 根据权利要求1所述的多孔压电材料电弹场分析方法，其特征在于：在步骤二中，孔 内介质的介电常数可自由设置，以便模拟电穿透和电不可穿透边界条件；摄动表达式的阶 数可自行设置，以便根据不同的孔的形状调整精度。
4. 根据权利要求1所述的多孔压电材料电弹场分析方法，其特征在于：在步骤五中，当 其中两孔距离较小时，为获得较好的精度，对应的Fourier级数的系数将通过特殊的数值 积分方法得到。
5. 根据权利要求1所述的多孔压电材料电弹场分析方法，其特征在于：在步骤四中，求 解应力场和电场时涉及的孔边切线方向，通过保角映射函数得到。
【文档编号】G06F17/50GK104361165SQ201410611912
【公开日】2015年2月18日 申请日期:2014年11月4日 优先权日:2014年11月4日
【发明者】戴明, 黄成 , 高存法, 王爽, 宋坤, 范文荣 申请人:南京航空航天大学