一种基于闭形式Polycube的六面体网格生成方法
【专利摘要】本发明公开了一种基于闭形式Polycube的六面体网格生成方法。将表面三角形网格转换成四面体网格，将四面体网格用切割面分割成新模型，获取初始的三维标架场，根据表面法向约束生成内部无奇异线的光滑标架场，根据光滑标架场获取切割面上的转换关系，根据标架场在切割后的模型上泊松优化得到初始参数化结果，并为初值运用一范数优化得到最终闭形式Polycube，运用混合整数优化，得到最终参数化结果，抽取六面体网格。本发明方法能从三角形网格自动生成六面体网格，该方法与模型的初始位置无关，而且能更好地满足模型的特征约束，对于具有复杂拓扑结构的模型，能获得质量较高的六面体网格。
【专利说明】
-种基于闭形式Po I ycube的六面体网格生成方法
技术领域
[0001] 本发明设及=维网格处理方法，尤其是一种基于闭形式化Iycube的六面体网格生 成方法。 技术背景
[0002] 六面体网格在计算机图形学领域和工业中有广泛的应用，如CAD，物理仿真，几何 构造等。然而目前自动化生成六面体网格还有很多问题，例如自动化程度不高，无法避免全 局退化，得到的六面体网格质量不高等。全自动的六面体网格生成在目前还有很大的挑战。
[0003] 目前的六面体网格生成方法有各自的不足：
[0004] 1、基于Polycube的六面体网格生成方法，需要假设模型的初始朝向较好，可参考 [Gregson et al.2011 All-hex mesh generation via volumetric polycube deformation In Computer graphics forum,vol.30,Wiley Online Library ,1407- 1416]。而且缺少用户控制，参考[Gregson et al.2011 All-hex mesh generation via volumetric polycube deformation In Computer graphics forum,vol.30,Wiley Online Library,1407-1416.Tarini et al.2004 Polycube-maps. In ACM Transactions on Graphics(TOG),vol.23,ACM,853-860]；
[0005] 2、对于复杂的模型，比如高亏格，有复杂特征线约束的模型，基于化Iycube的方法 无法得到高质量的六面体网格。[化ang et al 2014.Ll based construction of polycube maps from complex shapes.ACM TOG 33,3,25:1-11]提出了一种基于LI优化的 polycube生成方法，可W用于六面体网格生成，但该方法基于全局一致的标架场，得到的六 面体网格质量不高；
[0006] 3、[Li et al.2012.All-hex meshing using singularity-restricted field.ACM T0G31,6,177:1-11]提出一种基于内部有奇异线的S维标架场的六面体网格生 成方法。但该方法对于很多退化情况需要进行网格修改操作，鲁棒性差，很难处理复杂的全 局退化情况。
【发明内容】
[0007] 针对【背景技术】的不足，本发明的目的在于提供一种基于闭形式化Iycube的六面体 网格生成方法，该方法不仅能从=角形网格自动生成闭形式化Iycube映射，并且与模型的 位置无关，对于具有复杂拓扑结构的模型能得到质量较高的六面体网格。
[000引为实现上述的目的，本发明采用的技术方案包含如下步骤：
[0009] 1)输入=角网格模型，并转化成四面体网格模型；
[0010] 2)获取表面网格的所有handle ,Whandle作为切割面的边界，用handle建立拟合 面进行切割得到切割面，将四面体网格模型切割成第一贝蒂数为0的新模型M。；
[OOW 3)在新模型M。的每个四面体帥定义一个标架Rt,标架Rt是一个3X3的矩阵，采用
[Huang et al. 2011 .Boundary aligned smooth 3d cross-frame field.ACM TOG]中的方 法获取一个初始的=维标架场R，在切割后的新模型Mc中，W四面体为节点建立最小生成 树，对初始的=维标架场R做全局对齐，得到一个对齐后的=维标架场；
[0012] 4)根据用户输入的切割后四面体网格模型表面法向对齐约束和切割后模型内部 标架场光顺要求，建立标架场优化方程进行求解获得一个模型内部无奇异线的光滑标架 场；
[0013] 5)根据步骤4)中生成的光滑标架场抽取切割面上的转换关系；
[0014] 6)根据步骤4)得到的光滑标架场和步骤5)得到的切割面中的转换关系，进行泊松 重建，构建泊松优化方程并求解获得初步参数化结果；
[001引7)由步骤（5)得到的转换关系，根据基于一范数Ii优化的Polycube生成方法 [Huang et Ia.2014.Iibased construction of polycube maps from complex shapes.ACM TOG]，建立一范数优化方程求解生成闭形式polycube，优化方程如下；
[0019]其中，表示参数域中四面体网格模型的表面积，隶示原始四面体网
[0016]
[0017]
[001 引 格模型的表面积，X表示映射关系，C表示切割面片的集合，Earap表示ARAP能量，Ealign表示法 向对齐能量，Ediff表不法向光顺能量，Walign表不法向对齐权重，Wdiff表不法向光顺权重， IUb为从四面体ta到四面体U通过公共面的转移关系，又a(句隶示边e在ta参数域的像， 赴（6辕示边e在tb参数域的像，e表示切割面中的边；
[0020] 8)根据步骤7)中生成的化Iycube结果，提取化Iycube的表面法向，根据Polycube 的表面法向和切割面上的转换关系采用带线性约束的混合整数(mixed integer)优化得到 最终参数化结果；
[0021 ] 9)根据最终参数化结果抽取生成六面体网格。
[0022] 所述步骤4)中的标架场优化方程采用W下公式：
[0023]
[0024] 其中，标架场光顺权重为Wf,切割面处标架场的光顺权重为Wc,表面法向对齐权重 为Wa,表面法向光顺权重为Wd,标架场正交约束的权重为Wr, Es为标架场光顺能量，Ec为切割 面处标架场光顺能量，Ea为法向对齐能量，Ed为表面法向光顺能量，Er表示标架场正交约束 对应的能量。
[0025] 所述步骤5)中对切割面采用W下公式计算提取转换关系，通过从24种立方体对称 旋转中选取最优旋转作为最优n k:
[0026]
[0027] 其中，Ck表示第k个切割面的面片集合，tin 表示四面体ti和四面体的公共面， 矣抑^表示该公共面的面积，|?。表示定义在四面体*冲的标架，^^(^表示定义在四面体*冲 的标架。
[0028] 所述步骤6)中的泊松优化方程采用W下公式：
[0029]
[0030]
[0031] 其中，IIa,b为从四面体ta到四面体tb通过公共面的转移关系，粟表示定义在模型上 的映射，e表示模型切割面中的边，C表示切割面片的集合，巧^示映射的形变梯度，R表示 步骤4)得到的光滑标架场，M表示输入四面体网格模型。
[0032] 所述的标架场光顺能量Es、切割面处标架场光顺能量Ec、法向对齐能量Ed、表面法 向光顺能量Ed和标架场正交约束对应的能量Er分别采用如下公式计算：
[0033] 拉化惊弈I耐能吾P-兩.
[0034]
[003引其中，C表示切割面片的集合表示四面体ti和tj质屯、之间的距离，h(r)表示 旋转无关函数，1?.表示ti的体积，?表示tj的体积，Vf表示标架场光顺能量Es归一化权重；
[0036] 切割面处标架场光顺能量Ec为：
[0037]
[003引其中，C表示切割面片的集合，表示四面体ti和tj质屯、之间的距离，h(r)表示 旋转无关函数，Vc表示切割面处标架场光顺能量Ec的归一化权重，k表示矩阵的列号， 巧表示巧如勺转置；
[0039] 法向对齐能景Ea为：
[0040]
[0041 ] 其中，I I . I Ii表示Ii范数，3M表示四面体网格M的边界，Rt表示定义在四面体t中的 标架，f表示四面体t与3M的公共面，Af表示四面体t与3M的公共面f的面积，nf表示公共面 f的法向；
[0042] 上述公式优化时使用近似替换
[0043] 表面法向光顺能量Ed为：
[0044]
[0045] 其中，3%表示四面体网格M的边界，fi表示四面体ti与3M的公共面，fi表示四面 体tj与制f的公共面，％和n。表示fi和。的法向，^(表示fi的面积，作;表示。的面积，技化 表示定义在四面体ti中的标架，表示定义在四面体tj中的标架；
[0046] 标架场正交约束对应的能量Er为：
[0047]
[004引其中，t表示输入四面体网格中四面体，Vt表示t的体积，Vm表示输入网格M的总体 积，I表示3 X 3的单位矩阵。
[0049] 上述各项能量的权重为：Wa = 0.1，Wd = 0.0]
丰中馬表示四面体tl的体积，'1?表示 四面体的体积，Vg表示切割面处标架场光顺能量E。的归一化权重，Vf表示标架场光顺能量 Es归一化权重。
[0050] 所述旋转无关函数Kr)具体采用W下公式计算：
[0化1 ]
[0052] 其中，r= (rx，。，。)表示一个S维向量，:Tx,分别表示S维向量的巧Z的坐标。
[0053] 所述步骤4)的求解是W步骤3)对齐后的=维标架场作为初值，使用公开库Algl化 库中LBFGS优化器求解该优化方程。
[0054] 所述步骤6)使用IPOPT方法求解获得。
[0055] 所述步骤7)中的一范数优化方程求解具体是W步骤6)获得的初步参数化结果使 用SQP方法进行求解得到闭形式的化Iy cube。
[0056] 所述步骤7)中的一范数优化方程中的各项能量具体定义如下。
[00 日 7] ARAP(as-rigid-as-possible)能量 Earap 为：
[00日引
[0059] 其中，(巧t)表示形变梯度巧￡的旋转部分，Vt表示四面体t的体积，Vm表示 模型M的总体积。
[0060] 表面法向对齐能量Ealign为：
[0061]
[0062] 其中，AaM表示M的总表面积，0M:表示输入四面体网格的表面立角形网格，A读示 面片f的面积，口无/,旁^表示在参数域中面片f的=个顶点坐标。
[0063] 法向光顺能量Ediff为：
[0064]
[00化]其中，馬和％表示面片fi和。在参数域中的法向，nu表示两个面片间的转换关 系，今,和'4O表示面片fi和。的面积，F表示模型M的面片的集合。
[0066] 本发明与【背景技术】相比具有的有益效果是：
[0067] 本发明方法对物体的初始位置无关，能更好地满足模型的特征约束;并且对于具 有复杂拓扑结构的模型，或者带有特征线的模型能得到质量较高的六面体网格;并且与一 范数优化类似可W施加用户对Polycube细节的控制，从而控制六面体网格的结构。
【附图说明】
[006引图1为本发明的流程图。
[0069] 图2为实施例输入模型图。
[0070] 图3为实施例输入模型转化成四面体网格获得切割面的结果示意图。
[0071 ]图4为实施例优化得到=维标架场的示意图。
[0072] 图5为实施例泊松重建的结果示意图。
[0073] 图6为实施例得到的闭形式化Iycube图。
[0074] 图7为实施例生成的最终六面体网格图。
【具体实施方式】
[0075] 下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。
[0076] 采用本发明方法的具体实施例及其实施过程如下（尽可能补充完善实施例，有中 间数据的可举例添加，可结合创新点添加最后结果的总结性描述）：
[0077] 1)输入如图2所示的=角网格模型，并转化成如图3所示的四面体网格模型；
[007引 2)获取表面网格的所有handle ,Whandle作为切割面的边界，用handle建立拟合 面进行切割得到切割面，如图4所示，将四面体网格模型切割成第一贝蒂数为0的新模型M。；
[0079] 3)在新模型Mc的四面体网格M中的每个四面体t中定义一个标架Rt，标架Rt是一个3 X3 的矩阵，义用[Huang et al.2011.Boundary aligned smooth 3d cross-frame field.ACM TOG]中的方法获取一个初始的S维标架场R，在切割后的新模型Mc中，W四面体 为节点建立最小生成树，对初始的=维标架场R做全局对齐，得到一个对齐后的=维标架 场，如图5所示；
[0080] 4)根据用户输入的切割后四面体网格模型表面法向对齐约束和切割后模型内部 标架场光顺要求，建立标架场优化方程，W步骤3)对齐后的=维标架场作为初值，使用公开 库Algl化库中LBFGS优化器求解该优化方程，获得一个模型内部无奇异线的光滑标架场；
[0081] 5)根据步骤4)中生成的光滑标架场抽取切割面上的转换关系，实例中该转换关系 为一旋转矩阵：
[0082]
[0083] 6)根据步徽4)得到的光滑标架场和步骤5)得到的切割面中的转换关系，进行泊松 重建，构建泊松优化方程并使用IPOPT方法求解获得初步参数化结果，如图5所示；
[0084] 7)由步骤5)得到的转换关系，根据基于一范数h优化的化Iycube生成方法阳Uang et Ia.2014.Iibased construction of polycube maps from complex shapes . ACM TOG]，建立一范数优化方程，W步骤6)获得的初步参数化结果使用SQP方法进行求解生成闭 形式的polycube，如图6所示；
[00化]8)根据步骤7)中生成的化Iycube结果，提取化Iycube的表面法向，根据Polycube 的表面法向和切割面上的转换关系采用混合整数(mixed integer)优化得到最终参数化结 果；
[0086] 9)根据最终参数化结果抽取生成六面体网格，如图7所示。
[0087] 从最后得到的六面体网格与传统的基于polycube的方法相比，考虑了拓扑约束， 得到的六面体网格具有更少的角点，六面体单元质量更高，模型的特征保持地更好。
[0088] 上述【具体实施方式】用来解释说明本发明，而不是对本发明进行限制，在本发明的 精神和权利要求的保护范围内，对本发明作出的任何修改和改变，都落入本发明的保护范 围。
【主权项】
1. 一种基于闭形式Polycube的六面体网格生成方法，其特征在于包含如下步骤： 1) 输入三角网格模型，并转化成四面体网格模型； 2) 获取表面网格的所有handle，以handle作为切割面的边界，用handle建立拟合面进 行切割得到切割面，将四面体网格模型切割成第一贝蒂数为〇的新模型M。； 3) 在新模型M。的每个四面体t中定义一个标架Rt，标架Rt是一个3X3的矩阵，获取一个 初始的三维标架场R，在切割后的新模型M c中，以四面体为节点建立最小生成树，对初始的 三维标架场R做全局对齐，得到一个对齐后的三维标架场； 4) 根据用户输入的切割后四面体网格模型表面法向对齐约束和切割后模型内部标架 场光顺要求，建立标架场优化方程进行求解获得一个模型内部无奇异线的光滑标架场； 5) 根据步骤4)中生成的光滑标架场抽取切割面上的转换关系； 6) 根据步骤4)得到的光滑标架场和步骤5)得到的切割面中的转换关系，进行泊松重 建，构建泊松优化方程并求解获得初步参数化结果； 7) 由步骤(5)得到的转换关系，根据基于一范数优化的Polycube生成方法[Huang et la.2014.-^xbased construction of polycube maps from complex shapes.ACM TOG]，建 立一范数优化方程求解生成闭形式polycube，优化方程如下；其中，表示参数域中四面体网格模型的表面积，4^^表示原始四面体网格模 型的表面积，f表示映射关系，C表示切割面片的集合，Earap表示ARAP能量，Eaii gn表示法向对 齐能量，Ediff表示法向光顺能量，Walign表示法向对齐权重，Wdiff表示法向光顺权重，IIa,b为 从四面体1到四面体t b通过公共面的转移关系，又α (e)表示边6在1参数域的像，(e)表示 边e在tb参数域的像，e表示切割面中的边； 8) 根据步骤7)中生成的Polycube结果，提取Polycube的表面法向，根据Polycube的表 面法向和切割面上的转换关系采用混合整数(mixed integer)优化得到最终参数化结果； 9) 根据最终参数化结果抽取生成六面体网格。2. 根据权利要求1所述的一种基于闭形式Polycube的六面体生成方法，其特征在于:所 述步骤4)中的标架场优化方程采用以下公式：其中，标架场光顺权重为Wf，切割面处标架场的光顺权重为w。，表面法向对齐权重为wa， 表面法向光顺权重为Wd，标架场正交约束的权重为wr，Es为标架场光顺能量，Ec为切割面处 标架场光顺能量，Ea为法向对齐能量，Ed为表面法向光顺能量，E R表示标架场正交约束对应 的能量。3. 根据权利要求1所述的一种基于闭形式Polycube的六面体生成方法，其特征在于:所 述步骤5)中对切割面采用以下公式计算提取转换关系，通过从24种立方体对称旋转中选取 最优旋转作为最优n k:其中，ck表示第k个切割面的面片集合，ti n tj表示四面体ti和四面体tj的公共面， 表示该公共面的面积，化表示定义在四面体ti中的标架，私/表示定义在四面体tj中 的标架。4. 根据权利要求1所述的一种基于闭形式Polycube的六面体生成方法，其特征在于:所 述步骤6)中的泊松优化方程采用以下公式：其中，IIa,b为从四面体1到四面体tb通过公共面的转移关系，f表示定义在模型上的映 射，e表示模型切割面中的边，C表示切割面片的集合，17文表示映射的形变梯度，R表示步骤 4)得到的光滑标架场，Μ表示输入四面体网格模型。5. 根据权利要求2所述的一种基于闭形式Polycube的六面体生成方法，其特征在于:所 述的标架场光顺能量Es、切割面处标架场光顺能量E。、法向对齐能量Ed、表面法向光顺能量 Ed和标架场正交约束对应的能量Er分别采用如下公式计算： 标架场光顺能量Es为·其中，C表示切割面片的集合，表示四面体。和4质心之间的距离，h(r)表示旋转无 关函数，'^i表示^的体积，1?表示b的体积，VF表示标架场光顺能量Es归一化权重； 切割面处标架场光顺能量Ec为：其中，C表示切割面片的集合，心表示四面体tjPq质心之间的距离，h(r)表示旋转 无关函数，％表示切割面处标架场光顺能量Ec的归一化权重，k表示矩阵的列号，/? 表示&0的转置； 法向对齐能量Ea为：其中，II. Ik表示范数，()M表示四面体网格Μ的边界，Rt表示定义在四面体t中的标架，f 表示四面体t与的公共面，Af表示四面体1与3财的公共面f的面积，nf表示公共面f的法 向； 上述公式优化时使用近似替换 表面法向光顺能量Ed为：J V 'J /-其中，表示四面体网格Μ的边界A表示四面体的公共面，h表示四面体4与 及Μ的公共面，％和表示f4Pf」的法向^表示f:的面积，^7表示f」的面积，~表示 定义在四面体t中的标架，表示定义在四面体k中的标架； 标架场正交约束对应的能量ER为：其中，t表示输入四面体网格中四面体，Vt表示t的体积，Vm表示输入网格Μ的总体积，I表 示3X3的单位矩阵。6. 根据权利要求5所述的一种基于闭形式Polycube的六面体生成方法，其特征在于:所 述旋转无关函数h(r)具体采用以下公式计算：其中，1'=(1\，巧，1'2)表示一个三维向量，1\，巧，1'2分别表示三维向量的172的坐标。7. 根据权利要求1所述的一种基于闭形式Polycube的六面体生成方法，其特征在于:所 述步骤4)的求解是以步骤3)对齐后的三维标架场作为初值，使用公开库Algl ib库中LBFGS 优化器求解该优化方程。8. 根据权利要求1所述的一种基于闭形式Polycube的六面体生成方法，其特征在于:所 述步骤6)使用IP0PT方法求解获得。9. 根据权利要求1所述的一种基于闭形式Polycube的六面体生成方法，其特征在于:所 述步骤7)中的一范数优化方程求解具体是以步骤6)获得的初步参数化结果使用SQP方法进 行求解得到闭形式的Polycube。
【文档编号】G06F17/11GK105957151SQ201610273300
【公开日】2016年9月21日
【申请日】2016年4月27日
【发明人】黄劲, 鲍虎军, 许威威, 方贤忠
【申请人】浙江大学