一种考虑结构几何非线性的非平稳随机动响应分析方法
【专利摘要】本发明公开了一种考虑结构几何非线性的非平稳随机动响应分析方法，包括：(1)根据非平稳随机动态载荷计算得到其均值和自协方差矩阵；(2)计算自协方差矩阵的特征值和特征向量，并获得特征值和特征向量的截断阶数；(3)基于KL展开和拉丁超立方抽样方法，将非平稳随机动态载荷分解，获得一组非平稳随机动态载荷的随机样本；(4)建立结构的有限元模型，并采用瞬态分析方法，计算非平稳随机动态载荷的随机样本作为载荷下的响应函数，并根据该响应函数计算得到方差和自协方差函数。本发明克服了传统非平稳随机动响应分析只能针对线性结构的局限性。
【专利说明】
一种考虑结构几何非线性的非平稳随机动响应分析方法
技术领域
[0001] 本发明涉及非平稳随机动响应分析方法，尤其涉及一种考虑结构几何非线性的非 平稳随机动响应分析方法。
【背景技术】
[0002] 工程结构在实际服役时可能承受平稳或非平稳的随机动态载荷，例如:阵风载荷、 湍流边界层载荷、风载荷和地震载荷等。但在实际应用中，由于非平稳随机动响应分析方法 的局限性，常将非平稳随机动态载荷简化为平稳随机动态载荷，然而这样的简化方式会对 后续的随机动响应分析带来不可忽视的误差。因此，在随机动响应分析中很有必要考虑载 荷的非平稳特性。
[0003] 目前对于非平稳随机激励下的动响应分析，常将随机动载荷采用Karhunen-Loeve (KL)和Polynomial Chaos (PC)展开等谱随机有限元技术分解为一系列的确定性随机变量 后，采用蒙特卡罗法进行动响应分析，然而该方法目前仅能解决小变形下结构的线性随机 动响应分析，不能考虑由于大变形所导致的结构几何非线性。工程中存在很多柔性结构，例 如:机翼、卫星、桥梁、输电塔等，由于结构刚度较小，在随机动态载荷下结构几何非线性因 素会显著地改变结构的响应特性。近些年来在土木工程、机械以及航空航天等领域，几何非 线性因素对结构动力学特性的影响研究备受关注。因此，提出一种考虑结构几何非线性的 非平稳随机动响应分析方法具有非常重要的工程应用价值。
【发明内容】
[0004] 发明目的：本发明提供一种考虑结构几何非线性的非平稳随机动响应分析方法， 解决了目前方法仅能针对线性结构进行非平稳随机动响应分析的局限性问题，同时解决非 平稳随机动响应分析的适用性问题。
[0005] 技术方案：本发明所述的考虑结构几何非线性的非平稳随机动响应分析方法包 括：
[0006] (1)根据非平稳随机动态载荷计算得到其均值和自协方差矩阵；
[0007] (2)计算自协方差矩阵的特征值和特征向量，并获得特征值和特征向量的截断阶 数；
[0008] (3)基于KL展开和拉丁超立方抽样方法，将非平稳随机动态载荷分解，获得一组非 平稳随机动态载荷的随机样本；
[0009] (4)建立结构的有限元模型，并采用瞬态分析方法，计算非平稳随机动态载荷的随 机样本作为载荷下的响应函数，并根据该响应函数计算得到方差和自协方差函数。
[0010] 进一步的，所述步骤(1)中均值和自协方差矩阵的计算公式为：
[0011] 非平稳随机动态载荷F(t)的均值为:y(t)=E[F(t)];
[0012] 自协方差矩阵为:C(ti，t2) =E[ (F(ti)-y(ti)) (F(t2)-y(t2))];
[0013] 其中，ti、t2为时间变量，E[ ·]表示求期望值。
[0014]进一步的，所述步骤(2)具体包括：
[0015] (21)将时间t划分成m个时间段{[tk-i，tk] | k=l，2,…，m};其中m的取值大于或等 于随机动态载荷时间步数；
[0016] (22)根据划分的时间段生成分段基函数，并作为正交基；其中，分段基函数为：
[0017] (23)根据所述正交基求解第二类Fredholm积分方程，获得自协方差矩阵的特征值 和特征向量；
[0018] 其中，第二类Fredholm积分方程为:ΜΦ = ΛΝΦ ;式中，矩阵Φ中的元素为特征向 量Φ i(t)，矩阵Μ中的元素为 矩阵Λ中的兀素为Λ = 和tmax分别为分析时间的上下界，C(tl，t2)为非平稳随机 载荷的自协方差矩阵，Sij为克罗内克函数，λ?为自协方差矩阵C( ti，t2)的第i阶特征值，i、j = l，2，."，m;
[0019] (24)获取特征值和特征向量的截断阶数η，即前n阶特征值\1之和大于所有特征值 之和的95 %时，在第η阶处截断。
[0020] 进一步的，所述步骤(3)具体包括：
[0021] (31)采用拉丁超立方抽样方法，获得一组标准正态随机样本ξ3;其中，标准正态随 机样本L均值为0方差为1;
[0022] (32)结合KL展开将随机动态载荷F(t)分解为一组随机动态载荷的随机样本4 (t)：
[0024]式中，μ(〇表示随机动态载荷F(t)的均值，η为截断阶数，为自协方差矩阵的第s 阶特征值，0s(t)表示h对应的特征向量，p为随机动态载荷的随机样本个数，且大于1000。 [0025]进一步的，所述步骤(4)具体包括：
[0026] (41)建立结构的有限元模型，并采用商业有限元软件中的非线性瞬态分析方法， 计算随机样本fp(t)作为载荷下的响应函数XP(t);
[0027] (42)计算响应函数XP(t)的方差和自协方差函数;其中，
[0028] 方差4? =五[Χρ(?)Χ;,(0];
[0029] 自协方差函数=五['⑷心化)]。
[0030] 有益效果:本发明与现有技术相比，其显著优点是:提供了一种考虑结构几何非线 性的非平稳随机动响应分析方法，拓展了目前非平稳随机动响应分析方法的研究范围，可 以解决考虑结构几何非线性的非平稳随机动响应分析；同时，拓展了目前非平稳随机动响 应分析的研究对象，可以解决针对复杂非线性结构的非平稳随机动响应分析。
【附图说明】
[0031 ]图1是本发明的一个实施例的流程示意图；
[0032] 图2为悬臂梁示意图；
[0033] 图3为悬臂梁梁端的位移响应标准差；
[0034] 图4为悬臂梁梁端的位移响应自协方差函数。
【具体实施方式】
[0035] 如图1所示，本实施例具体包括以下步骤：
[0036] (1)根据非平稳随机动态载荷计算得到其均值和自协方差矩阵。
[0037] 其中，非平稳随机动态载荷F(t)的均值为:y(t)=E[F(t)];自协方差矩阵为：C (ti，t2)=E[(F(ti)-y(ti))(F(t2)_y(t2))];式中，ti、t2为时间变量，E[ ·]表示求期望值。
[0038] 以某悬臂梁结构为研究对象（如图2所示），其几何参数和材料参数如表1所示。施 加均值为零，自协方差为调制指数形式的随机均布随机动载荷，载荷步数为1000,载荷时长 为1S。则随机动态载荷的均值为μ(t) = 0，自协方差矩阵为:Cfei3) = 2_.5Xexp(十.
[0039] 表1悬臂梁的材料参数
[0041] (2)计算自协方差矩阵的特征值和特征向量，并获得特征值和特征向量的截断阶 数。
[0042]步骤(2)具体包括以下步骤：
[0043] (21)将时间t划分成m个时间段{[tk-i，tk] | k=l，2,…，m};其中m的取值大于或等 于随机动态载荷时间步数。
[0044]例如，仍以悬臂梁结构为例，可以将时间Is分成1000个时间段 2,···,1〇〇〇}
[0045] (22)根据划分的时间段生成分段基函数，并作为正交基；其中，分段基函数为：
[0046] (23)根据所述正交基求解第二类Fredholm积分方程，获得自协方差矩阵的特征值 和特征向量。
[0047] 其中，第二类Fredholm积分方程为:ΜΦ = ΛΝΦ ;式中，矩阵Φ中的元素为特征向 量Φ i (t)，矩阵Μ中的元素为％ = ￡:::t Cft.i:)/啦.吵，娜^ 矩阵Λ中的兀素为Λ 和tmax分别为分析时间的上下界，C(tl,t2)为非平稳随机 载荷的自协方差矩阵，Sij为克罗内克函数，Ai为自协方差矩阵C(ti,t2)的第i阶特征值，φ? (t)是λ?对应的特征向量，i、j = l，2,…，m。
[0048] (24)获取特征值和特征向量的截断阶数n，即前η阶特征值\之和大于所有特征值 之和的95 %时，在第η阶处截断。
[0049]例如，以悬臂梁结构为例，前40阶特征值之和为0.97，所以在第40阶处截断，η = 4。
[0050] (3)基于KL展开和拉丁超立方抽样方法，将非平稳随机动态载荷分解，获得一组非 平稳随机动态载荷的随机样本。
[0051] 具体的，步骤(3)包括以下步骤：
[0052] (31)采用拉丁超立方抽样方法，获得一组标准正态随机样本ξ3;其中，标准正态随 机样本L均值为0方差为1。
[0053] (32)结合KL展开将随机动态载荷F(t)分解为一组随机动态载荷的随机样本fP (t)：
[0055] 式中，μ(〇表示随机动态载荷F(t)的均值，η为截断阶数，为自协方差矩阵的第s 个特征值，0s(t)表示h对应的特征向量，p为随机动态载荷的随机样本个数，且大于1000。
[0056] 例如，以悬臂梁结构为例，随机动态载荷的随机样本.，p 取值1000。
[0057] (4)建立结构的有限元模型，并采用瞬态分析方法，计算将非平稳随机动态载荷的 随机样本作为载荷得到的响应函数，并根据该响应函数计算得到方差和自协方差函数。 [0058]具体的，步骤(4)具体包括：
[0059] (41)建立结构的有限元模型，并采用商业有限元软件中的非线性瞬态分析方法， 计算随机样本fP(t)作为载荷下的响应函数XP(t);其中，建立结构的有限元模型为现有技 术，在此不做具体介绍；
[0000] (42)计算响应函数Xp(t)的方差和自协方差函数;其中，
[0061 ]方差<(/)= :
[0062] 自协方差函数''(以2)=五。
[0063] 将方差<(0和自协方差函数七^/6Λ)表示为图形的形式分别如图3和图4所 7Jn 〇
【主权项】
1. 一种考虑结构几何非线性的非平稳随机动响应分析方法，其特征在于该方法包括： (1) 根据非平稳随机动态载荷计算得到其均值和自协方差矩阵； (2) 计算自协方差矩阵的特征值和特征向量，并获得特征值和特征向量的截断阶数； (3) 基于化展开和拉下超立方抽样方法，将非平稳随机动态载荷分解，获得一组非平稳 随机动态载荷的随机样本； (4) 建立结构的有限元模型，并采用瞬态分析方法，计算非平稳随机动态载荷的随机样 本作为载荷下的响应函数，并根据该响应函数计算得到方差和自协方差函数。2. 根据权利要求1所述的考虑结构几何非线性的非平稳随机动响应分析方法，其特征 在于:所述步骤(1)中均值和自协方差矩阵的计算公式为： 非平稳随机动态载荷F(t)的均值为:y(t)=E[F(t)]; 自协方差矩阵为：C(ti，t2)=E[(F(ti)-y(ti))(F(t2)-y(t2))]; 其中，tl、t2为时间变量，E[ ·]表示求期望值。3. 根据权利要求1所述的考虑结构几何非线性的非平稳随机动响应分析方法，其特征 在于:所述步骤(2)具体包括： (21) 将时间t划分成m个时间段{[*^，*1^]|4=1，2^-，111};其中111的取值大于或等于随机 动态载荷时间步数； (22) 根据划分的时间段生成分段基函数，并作为正交基；其中，分段基函数为：(23) 根据所述正交基求解第二类Fre化olm积分方程，获得自协方差矩阵的特征值和特 征向量； 其中，第二类Fre化olm积分方程为:ΜΦ = ΛΝΦ ;式中，矩阵Φ中的元素为特征向量Φ? (t)，矩阵Μ中的元素为矩阵A中的元素为A ij = SijAi，tmin和tmax分别为分析时间的上下界，C( tl，t2 )为非平稳随机 载荷的自协方差矩阵，Si功克罗内克函数，λι为自协方差矩阵C(tl，t2)的第i阶特征值，i、j = l，2，...，m; (24) 获取特征值和特征向量的截断阶数n，即前η阶特征值λι之和大于所有特征值之和 的95%时，在第η阶处截断。4. 根据权利要求1所述的考虑结构几何非线性的非平稳随机动响应分析方法，其特征 在于:所述步骤(3)具体包括： (31) 采用拉下超立方抽样方法，获得一组标准正态随机样本Cs;其中，标准正态随机样 本Is均值为0方差为1; (32) 结合化展开将随机动态载荷F(t)分解为一组随机动态载荷的随机样本fp(t):式中，μα)表示随机动态载荷F(t)的均值，η为截断阶数，As为自协方差矩阵的第S阶特 征值，Φ S (t)表示As对应的特征向量，P为随机动态载荷的随机样本个数，且大于1000。5. 根据权利要求1所述的考虑结构几何非线性的非平稳随机动响应分析方法，其特征 在于:所述步骤(4)具体包括： (41) 建立结构的有限元模型，并采用商业有限元软件中的非线性瞬态分析方法，计算 随机样本fp(t)作为载荷下的响应函数Xp(t); (42) 计算响应函数Xp (t)的方差和自协方差函数;其中， 方差自协方差函数批馬耗Λ) = 4义,片)乂典)；。
【文档编号】G06F17/50GK106096101SQ201610383546
【公开日】2016年11月9日
【申请日】2016年6月2日 公开号201610383546.9, CN 106096101 A, CN 106096101A, CN 201610383546, CN-A-106096101, CN106096101 A, CN106096101A, CN201610383546, CN201610383546.9
【发明人】李彦斌, 费庆国, 吴邵庆, 廖涛, 张鹏
【申请人】东南大学