奇异摄动系统的基于模型的事件触发控制稳定性方法与流程

1.本发明属于自动控制领域，具体涉及一种奇异摄动系统的基于模型的事件触发控制稳定性方法。


背景技术：

2.随着现代网络系统在传统控制领域的广泛应用，网络化控制的便捷性、高效性等许多优点使得网络成为控制系统中一种重要的控制资源。同时利用共享网络控制系统减少了系统的维护成本，已经广泛应用到诸如无人机、机械臂等领域中。
3.传统控制系统的控制信号执行时按照周期采样、周期计算控制信号、周期跟新执行器信号这种周期性采样方式在通信线路负载、资源利用等方面具有一定的保守和局限性，使得网络系统在有模型不确定、外部扰动以及传输资源受限的情况下，控制性能难以得到保证。
4.考虑到网络资源在网络化控制系统中的有限性以及周期控制系统在某些控制节点的控制行为不是必要的这个事实，有相关学者开始研究变周期的控制方式，即当为了保证被控系统的性能需要时才执行控制信号，否则控制器不执行控制信号。这类基于某些条件的控制方法被成为事件触发控制。大量研究证明了事件触发控制方法能在不严重影响控制性能的前提下极大的减少控制信号得执行次数，从而节省了大量的计算资源和网络资源。这类控制方法适用于资源有限的网络化控制系统、信息物理系统。这种控制方法是传感器到控制器、控制器到执行器通过共享网络传输对应的信息。在事件触发的相关研究中，相关学者积极探索既能避免在有限时间发生无限多次采样的却又能尽可能的增大平均采样间隔的事件触发条件。特别是针对奇异摄动系统这类特殊的系统的事件触发控制设计中，缺乏尽可能增大平均采样间隔的事件触发条件设计。
5.基于积分的事件触发条利用系统状态过去和当前的状态信息决定采样时刻，针对发生芝诺行为的鲁棒性能好，极大地增加了平均采样性能，相关许多学者研究过基于积分的事件触发控制问题。基于辅助动态的事件触发条件利用辅助系统本身的稳定性性构造由辅助动态和被控系统构成的扩维系统，通过设计事件触发条件使得扩维系统稳定来证明被控子系统的稳定性。通过结合基于积分与基于辅助动态的事件触发条件能极大地增加平均采样间隔，而这类型事件触发条件在奇异摄动系统考虑的极少，与此同时，奇异摄动系统的实际应用背景很广，生物系统、化学反应、以及航空航天领域有很多系统可以及被建模成奇异摄动系统，解决这类系统的网络化控制问题具有很强的理论以及现实意义。


技术实现要素：

6.(一)要解决的技术问题
7.本发明要解决的技术问题是如何提供一种奇异摄动系统的基于模型的事件触发控制稳定性方法，以解决针对奇异摄动系统的事件触发控制设计中，缺乏尽可能增大平均采样间隔的事件触发条件的问题。
8.(二)技术方案
9.为了解决上述技术问题，本发明提出一种奇异摄动系统的基于模型的事件触发控制稳定性方法，该方法包括如下步骤：
10.步骤一：建立奇异摄动被控系统，给出模型动态
11.奇异摄动被控系统动态如下：
[0012][0013]
其中是系统状态，r表示实数集合，n
x
、nz为维度，分别表示状态x(t),z(t)的导数；ε，0＜ε＜1，是奇异摄动参数，u(t)是控制输入；是标称系统矩阵，是输入矩阵；矩阵a
22
是hurwitz矩阵；
[0014]
模型动态：其中xm(t)为模型状态，表示状态xm(t)的导数；矩阵对是可镇定的，控制输入表达式为u(t)＝kxm(t)；
[0015]
步骤二：得到并转化闭环系统
[0016]
由控制输入的表达式得到：
[0017]
u(t)＝kxm(t)＝k(xm(t)-x(t)+x(t))＝ke(t)+kx(t)
[0018]
其中e(t)＝xm(t)-x(t)；把上述控制输入表达式带入到奇异摄动被控系统得到下面的闭环系统：
[0019][0020]
针对上述被控系统的状态，给出以下状态转化：
[0021][0022]
其中表示n
x
维的单位矩阵，表示nz维的单位矩阵，矩阵h,l为适当维数的待求矩阵，为转化后的状态；
[0023]
将状态转化代入闭环系统，转化后的状态满足如下动态方程，即转化后的闭环系统为：
[0024][0025]
其中
[0026][0027]
[0028][0029][0030]
步骤三：闭环系统参数的简化；通过使得得到关于矩阵h,l的近似解：
[0031][0032]
矩阵e元素都为1；
[0033]
利用上述矩阵的近似解得到和的表达式为
[0034][0035]
步骤四：控制增益设计；
[0036]
设计控制器k使得是hurwitz矩阵，其中矩阵对是可镇定的；
[0037]
步骤五：设计事件触发条件；
[0038]
针对转化后的闭环系统，定义
[0039]
其中，矩阵p1,p2,pm均是正定矩阵；
[0040]
函数v1(t),v2(t),vm(t)的导数分别满足：
[0041][0042][0043][0044]
其中矩阵
[0045][0046]
由上述等式得到
[0047][0048]
其中矩阵q1＜0且满足参数η1＞0且满足η1＜|λ
max
(q1)|；
[0049][0050][0051]
其中，q2＜0且满足矩阵qm＜0，满足apm+pma＝qm，参数η2＞0且满足η2＜|λ
max
(q2)|；
[0052]
定义ξ＝min{|λ
max
(q1)|-η1,|λ
max
(q2)|-η2,|λ
max
(qm)|}，设计事件触发条件如下：
[0053]
[0054]
其中参数σ满足0＜σ＜1；该事件触发条件为更新时刻的变化规律，依据上述更新时刻的变化规律得到事件发生的时刻集合；
[0055]
{t0,
…
,tk,t
k+1
,
…
}；
[0056]
步骤六：控制器更新律设计；
[0057]
依据事件触发条件中的时间变化规则，设计模型状态在触发时刻被更新为系统状态x(t)，即xm(tk)＝x(tk)，同时控制输入也得到更新：u(tk)＝kxm(tk)。
[0058]
(三)有益效果
[0059]
本发明提出一种奇异摄动系统的基于模型的事件触发控制稳定性方法，本发明的有益效果：
[0060]
(1)本发明是针对奇异摄动系统和辅助动态信号的积分设计事件触发控制方法，考虑了奇异摄动系统的快慢变化状态的实际限制条件，基于奇异摄动方法得到了控制器的计算和事件触发条件参数的选择范围，有效地提高了实际控制过程中计算资源和网络资源的利用率；
[0061]
(2)本发明中应用奇异摄动系统的慢变子系统模型作为外部参考动态，有效的减少参数调节量，直接利用系统稳定的模型作为参考动态，针对系统未建模动态和外部扰动具有鲁棒性，具有很强的工程应用意义。
附图说明
[0062]
图1为本发明的适用的控制示意图；
[0063]
图2为本发明仿真的状态范数轨迹示意图；
[0064]
图3为采用本发明后的采样间隔图。
具体实施方式
[0065]
为使本发明的目的、内容和优点更加清楚，下面结合附图和实施例，对本发明的具体实施方式作进一步详细描述。
[0066]
针对目前奇异摄动系统的网络化控制存在的问题，设计一类奇异摄动系统的基于辅助动态系统和积分信号的事件触发条件，提供一种对事件触发条件中参数的合理调整可以使得闭环系统状态在这类触发条件下可以收敛到零的方法。利用系统的快慢子系统作为模型可以有效地增大平均采样间隔从而提高网络和计算资源的利用率，同时保证闭环系统的稳定性。
[0067]
针对线性奇异摄动系统以及快慢子系统，利用慢子系统作为模型设计基于模型动态和系统状态积分的事件触发条件。首先利用等价转化把被控系统转为利于分析的系统，然后给出针对原系统和模型构成的扩维系统的控制律更新方案。通过推导证明了闭环系统的稳定性并保证不发生zeno行为，具体包括以下步骤：
[0068]
各个符号的意义：
[0069]
符号p＞0(p＜0)表示一个矩阵是正定的(负定的)。r表示实数集合。对于一个连续函数f(ε)，其中ε∈(0,1)，如果存在正的常数d＞0使得|f(ε)|＜dε对于任何ε∈(0,1)成立，那么就说函数f(ε)可以写为o(ε)。定义矩阵e为适当维数的矩阵且其元素都为1。
[0070]
步骤一：建立奇异摄动被控系统，给出模型动态。考虑奇异摄动被控系统基于模型
动态的积分型事件触发控制稳定性问题。奇异摄动被控系统动态如下：
[0071][0072]
其中是系统慢快子状态，n
x
、nz为维度，分别表示状态x(t),z(t)的导数。ε，0＜ε＜1，是奇异摄动参数，u(t)是控制输入。是标称系统矩阵，是输入矩阵。矩阵a
22
是hurwitz矩阵。
[0073]
模型动态：其中xm(t)为模型状态，表示状态xm(t)的导数。矩阵对是可镇定的，控制输入表达式为u(t)＝kxm(t)。
[0074]
步骤二：得到并转化闭环系统。
[0075]
由控制输入的表达式可以得到：
[0076]
u(t)＝kxm(t)＝k(xm(t)-x(t)+x(t))＝ke(t)+kx(t)
[0077]
其中e(t)＝xm(t)-x(t)。把上述控制输入表达式带入到奇异摄动被控系统得到下面的闭环系统：
[0078][0079]
针对上述被控系统的状态，给出以下状态转化：
[0080][0081]
其中表示n
x
维的单位矩阵，表示nz维的单位矩阵，矩阵h,l为适当维数的待求矩阵，为转化后的状态。
[0082]
将状态转化代入闭环系统，转化后的状态满足如下动态方程，即转化后的闭环系统为：
[0083][0084]
其中
[0085][0086][0087][0088][0089]
步骤三：闭环系统参数的简化。通过使得可以得到关于矩阵h,l的近似解：
[0090][0091]
利用上述矩阵的近似解可以得到和的表达式为
[0092][0093]
步骤四：控制增益设计。设计控制器k使得是hurwitz矩阵，其中矩阵对是可镇定的。
[0094]
步骤五：设计事件触发条件。
[0095]
针对转化后的闭环系统，定义
[0096]
其中，矩阵p1,p2,pm均是正定矩阵。
[0097]
函数v1(t),v2(t),vm(t)的导数分别满足：
[0098][0099][0100][0101]
其中矩阵
[0102][0103]
由上述等式可以得到
[0104][0105]
其中矩阵q1＜0且满足参数η1＞0且满足η1＜|λ
max
(q1)|。
[0106]
同理有
[0107][0108][0109]
其中，q2＜0且满足矩阵qm＜0，满足apm+pma＝qm，
[0110]
参数η2＞0且满足η2＜|λ
max
(q2)|。
[0111]
定义ξ＝min{|λ
max
(q1)|-η1,|λ
max
(q2)|-η2,|λ
max
(qm)|}，设计事件触发条件如下：
[0112][0113]
其中参数σ满足0＜σ＜1。该事件触发条件为更新时刻的变化规律，依据上述更新时刻的变化规律得到事件发生的时刻集合
[0114]
{t0,
…
,tk,t
k+1
,
…
}。
[0115]
步骤六：控制器更新律设计。
[0116]
依据事件触发条件中的时间变化规则，设计模型状态在触发时刻被更新为系统状态x(t)，即xm(tk)＝x(tk)，同时控制输入也得到更新：u(tk)＝kxm(tk)。
[0117]
因此，针对以上线性奇异摄动系统设计含有模型动态的积分信号的事件条件后，不仅能保证闭环系统的稳定性，同时能及大地减少触发次数，节约系统对计算资源与网络资源的利用率，且闭环系统中不会发生芝诺行为。
[0118]
本设计方案可应用到大部分实际奇异摄动系统中，如汽车悬架控制系统，典型电路系统，生物系统、化学反应系统、以及航空航天系统领域有很多系统等。
[0119]
例如，汽车悬架控制系统中系统状态涉及到汽车悬架控制系统的数学模型，其中涉及到四种系统状态，分别是重物和汽车悬架的相对位移和变化率，悬架和地面之间的相对位移以及变化率。
[0120]
下面将结合本发明实施例中的附图对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整的解释，所描述的实施例仅是本发明一部分，而不是全部实施例。基于本发明中的实施例本，本领域普通技术人员所获得的所有其他实施例都属于本发明的保护范围。
[0121]
如图1所示，本发明针对奇异摄动系统的基于积分信号与辅助动态的事件触发控制方法步骤为：首先建立被控系统动态模型与辅助动态的模型；然后，基于奇异摄动方法设计控制器和事件触发条件，最后说明被控系统的收敛性能。具体实施步骤如下：
[0122]
第一步：给出奇异摄动被控系统动态
[0123][0124]
其中分别是系统状态，ε(0＜ε＜1)是奇异摄动参数，a
ij
,bi适当位数的系统矩阵和输入矩阵。
[0125]
第二步：设计模型动态。模型动态设计如下：
[0126][0127]
其中xm(t)为模型状态，矩阵对是可镇定的，其中模型状态在触发时刻被更新为系统状态x(t)，即xm(tk)＝x(tk)。
[0128]
第三部：给出控制输入表达式。控制输入表达式给出如下：
[0129]
u(t)＝kxm(t)，
[0130]
其中xm(t)表示模型的状态。
[0131]
第四步：得到闭环系统并针对闭环系统状态进行转化。
[0132]
由控制输入的表达式可以得到：
[0133]
u(t)＝kxm(t)＝k(xm(t)-x(t)+x(t))＝ke(t)+kx(t)
[0134]
其中e(t)＝xm(t)-x(t)。
[0135]
闭环系统可以写为
[0136][0137]
针对上述被控系统的状态，给出以下状态转化：
[0138]
[0139]
其中
[0140]
然后得到关于状态的动态方程
[0141][0142]
其中
[0143][0144][0145][0146][0147]
通过得到关于矩阵h,l的近似解：
[0148][0149]
利用上述近似解可以得到和的表达式：
[0150][0151]
假设矩阵对可镇定，说明存在矩阵k使得
[0152]
是hurwitz矩阵。设计控制器k使得是hurwitz矩阵。
[0153]
由矩阵和a
22
是hurwitz矩阵的条件，存在充分小的ε
*
＞0使得当ε∈(0,ε
*
)时以下矩阵
[0154][0155]
是hurwitz矩阵。
[0156]
针对转化后的闭环系统，定义
[0157][0158]
其中，矩阵p1,p2,pm均是正定矩阵。
[0159]
函数v1(t),v2(t),vm(t)分别沿着系统和模型的解的轨迹的导数为
[0160][0161]
[0162][0163]
其中矩阵
[0164][0165]
由上述等式可以得到
[0166][0167]
其中矩阵q1＜0且满足参数η1＞0且满足η1＜|λ
max
(q1)|。
[0168]
同理有
[0169][0170][0171][0172]
其中矩阵q2＜0且满足矩阵qm＜0且满足apm+pma＝qm，
[0173]
参数η2＞0且满足η2＜|λ
max
(q2)|。
[0174]
由上述不等式有
[0175][0176]
同时有：
[0177][0178]
其中ξ＝min{|λ
max
(q1)|-η1,|λ
max
(q2)|-η2,|λ
max
(qm)|}。
[0179]
第四部：控制增益设计。控制器k使得是hurwitz矩阵，其中矩阵对是可镇定的。
[0180]
第五步：设计事件触发条件。
[0181]
定义事件触发条件如下：
[0182][0183]
其中参数σ满足0＜σ＜1。
[0184]
在上述事件触发条件作用下扩维系统的v函数在触发时刻点上是衰减的，而模型系统本身是衰减的，所以装换后的被控系统状态最终也会衰减到零。在事件触发条件中当不考虑模型状态时，条件退化为标准的基于积分型的事件触发条件，且设计的事件触发条件中触发间隔明显比基于积分型的事件触发条件的触发间隔长，所以不会发生芝诺行为。
[0185]
被控系统的收敛性验证。通过积分扩维系统的v函数有：
[0186][0187]
即：v1(t
k+1
)+v2(t
k+1
)+vm(t
k+1
)＜v1(tk)+v2(tk)+vm(tk)。
[0188]
又因为vm(t)
→
0(t
→
∞)，所以v1(tk)+v2(tk)
→
0(tk→
∞)。因此说明了闭环系统的收敛性以及不发生芝诺行为的特征，同时说明了词事件触发技术方案能增大触发间隔时间，节省网络与计算资源的利用率。
[0189]
本发明的有益效果：
[0190]
(1)本发明是针对奇异摄动系统和辅助动态信号的积分设计事件触发控制方法，考虑了奇异摄动系统的快慢变化状态的实际限制条件，基于奇异摄动方法得到了控制器的计算和事件触发条件参数的选择范围，有效地减少了实际控制过程中计算资源和网络资源的利用率；
[0191]
(2)本发明中应用奇异摄动系统的慢变子系统模型作为外部参考动态，有效的减少参数调节量，直接利用系统稳定的模型作为参考动态，针对系统未建模动态和外部扰动具有鲁棒性，具有很强的工程应用意义。
[0192]
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明技术原理的前提下，还可以做出若干改进和变形，这些改进和变形也应视为本发明的保护范围。