一种引入非线性弹簧的微型桩基‑土动力响应求解方法与流程

技术特征：

1.一种引入非线性弹簧的微型桩基-土动力响应求解方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一：假定土体是均匀的、各项同性的具有非线性的粘弹塑性连续介质，非线性规律按照经验p-y骨架曲线给出；

步骤二：假设截面为圆形，其它截面进行截面变换折算成圆形截面，考虑桩体的水平运动和变形；

步骤三：考虑承台的质量和桩-土相对位移；

步骤四：假定荷载作用为简谐波，计算其稳态下的响应情况。

2.根据权利要求1所述的引入非线性弹簧的微型桩基-土动力响应求解方法，其特征在于：包括以下具体步骤：

步骤S1：分析时截取的有效土层厚度，将有效土层厚度分成多等分后，每层土的厚度为dz，首先将桩和土分成n层，表层土为第1层土，每层厚度dz为相应的计算厚度，第i层桩土产生的水平振动相对位移为w_i，取坐标向下为正，桩的最低层为第n层；原点位于土表面位置，将土表面以上的力转移到土表面的桩点位置，Q₀sinωt为桩顶受到的动荷载，

选取经验p-y上骨架曲线为每层的土反力形式，并对其进行简化得土弹簧刚度如式(1-1)所示：

$k(z,t)=\frac{d}{f_1\left(z\right)+f_2\left(z\right)\×w(z,t)}---(1-1)$

其中：d为桩径大小，z为土的深度；w(z,t)为埋深为z，加载时间为t时的桩土产生的水平振动相对位移；k(z,t)为埋深为z，加载时间为t时的土压缩刚度；

然后对桩体微元作水平动力平衡分析，得动力平衡控制方程式(1-2)：

$EJ\frac{{\∂}^4{w}_i(z,t)}{\∂z^4}+m_i\frac{{\∂}^2{w}_i(z,t)}{\∂t^2}+c\frac{\∂w_i(z,t)}{\∂t}+k(z,t)w_i(z,t)=Q_0\sin \mathrm{\ω}t\·\mathrm{\δ}(i-1)---(1-2)$

其中：ρ和A分别为桩体的材料密度和横截面面积，d本为微型桩体的有效计算宽度，在这里取微型桩的桩径d，δ(i-1)为广义狄克拉函数，c根据前人的成果进行取值，c为ω为荷载激励的频率，EJ为桩身的抗弯刚度，而其中E_s、ρ_s、β_s、v_s分别为该层土的弹性模量、密度、阻尼比和泊松比；

对式(1-2)化简得：

$\frac{{\∂}^4{w}_i(z,t)}{\∂z^4}+\frac{m_i}{EJ}\frac{{\∂}^2{w}_i(z,t)}{\∂t^2}+\frac{c}{EJ}\frac{\∂w_i(z,t)}{\∂t}+\frac{k(z,t)}{EJ}{w}_i(z,t)=\frac{Q_0}{EJ}sin\mathrm{\ω}t\·\mathrm{\δ}(i-1)---(1-3)$

令得：

$\frac{{\∂}^4{w}_i(z,t)}{\∂z^4}+A\·\frac{{\∂}^2{w}_i(z,t)}{\∂t^2}+B\·\frac{\∂w_i(z,t)}{\∂t}+C\·k(z,t)w_i(z,t)=Dsin\mathrm{\ω}t\·\mathrm{\δ}(i-1)---(1-4)$

边界条件：

(1)桩顶自由，则桩顶的弯矩为剪力变量为则有：

$\frac{{\∂}^{3}w}{\∂z^3}{|}_{z=0(i=1)}=\frac{Q_{0}sin\mathrm{\ω}t}{EJ}=F;\frac{{\∂}^{2}w}{\∂z^2}{|}_{z=0(i=1)}=\frac{d^{\′}{Q}_{0}sin\mathrm{\ω}t}{EJ}=M;---(1-5)$

(2)桩底固定，则桩底的变形为零，转角也为零，则有：

w|_z＝h＝0；

初值条件：

w(z,t)|_t＝0＝0；

步骤S2：将各土层的刚度k设为一个定值，此时动力平衡方程变为线性，非齐次微分方程的解可有其次的通解加上非齐次的特解得到，因此先解出相应的其次方程的解，其次方程如(1-8)所示，

$\frac{{\∂}^4{w}_i(z,t)}{\∂z^4}+A\·\frac{{\∂}^2{w}_i(z,t)}{\∂t^2}+B\·\frac{\∂w_i(z,t)}{\∂t}+C\·k_i\·w_i(z,t)=0---(1-8)$

对于稳态激振时，式(1-8)的解设为w(z,t)＝U(z)·e^iωt，将其带入到式(1-8)中，得水平向平衡控制式为(1-9)：

$\frac{{\∂}^{4}U\left(z\right)}{\∂z^4}+(-{\mathrm{A\ω}}^2+i\·B\mathrm{\ω}+C\·k)\·U\left(z\right)=0---(1-9)$

对式(1-9)进行简化得：

$\frac{{\∂}^{4}U\left(z\right)}{\∂z^4}+4\mathrm{\λ}\·U\left(z\right)=0---(1-10)$

其中：

解微分方程式(1-10)得：

U(z)＝C₁e^λz cos(λz)+C₂e^λz sin(λz)+C₃e^-λz cos(λz)+C₄e^-λz sin(λz) (1-11)

对(1-11)求导得(1-12)-(1-14,)：

U'(z)＝C₁λe^λz cos(λz)-C₁λe^λz sin(λz)+C₂λe^λz sin(λz)+C₂λe^λz cos(λz)

-C₃λe^-λh cos(λz)-C₃λe^-λz sin(λz)-C₄λe^-λz sin(λz)-C₄λe^-λz cos(λz)

(1-12)

U”(z)＝-2C₁λ²e^λz sin(λz)+2C₂λ²e^λz cos(λz)+2C₃λ²e^-λz sin(λz)-2C₄λ²e^-λz cos(λz)

(1-13)

U”'(z)＝-2C₁λ³e^λz sin(λz)-2C₁λ³e^λz cos(λz)+2C₂λ³e^λz cos(λz)-2C₂λ³e^λz sin(λz)

-2C₃λ³e^-λz sin(λz)+2C₃λ³e^-λz cos(λz)+2C₄λ³e^-λz cos(λz)+2C₄λ³e^-λz sin(λz)

(1-14)

结合边界条件(1-5)和(1-6)得系数C₁、C₂、C₃、C₄分别为：

$\begin{array}{c}C1=-\frac{1}{2}\left(e^{-\mathrm{\λ}h}\right({\mathrm{Fe}}^{\mathrm{\λ}h}\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2\mathrm{\λ}+2{\mathrm{Fe}}^{\mathrm{\λ}h}\cos \left(\mathrm{\λ}h\right)\sin \left(\mathrm{\λ}h\right)\sin \left(\mathrm{\λ}h\right)\mathrm{\λ}-{\mathrm{Fe}}^{\mathrm{\λ}h}\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2\mathrm{\λ}\\ -F\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}\mathrm{\λ}-F\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}\mathrm{\λ}+{\mathrm{Me}}^{\mathrm{\λ}h}\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2\\ +2{\mathrm{Me}}^{\mathrm{\λ}h}\cos \left(\mathrm{\λ}h\right)\sin \left(\mathrm{\λ}h\right)+{\mathrm{Me}}^{\mathrm{\λ}h}\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2+M\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}\\ +M\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}\left)\right)/\left({\mathrm{\λ}}^3\right({\left(e^{\mathrm{\λ}h}\right)}^2\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2+{\left(e^{\mathrm{\λ}h}\right)}^2\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2\\ +6e^{\mathrm{\λ}h}\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}+2e^{\mathrm{\λ}h}\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}+\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{\left(e^{-\mathrm{\λ}h}\right)}^2\\ +\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{\left(e^{-\mathrm{\λ}h}\right)}^2\left)\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}C2=\frac{1}{2}\left(e^{-\mathrm{\λ}h}\right(3{\mathrm{Fe}}^{\mathrm{\λ}h}\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2\mathrm{\λ}-2{\mathrm{Fe}}^{\mathrm{\λ}h}\cos \left(\mathrm{\λ}h\right)\sin \left(\mathrm{\λ}h\right)\mathrm{\λ}+{\mathrm{Fe}}^{\mathrm{\λ}h}\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2\mathrm{\λ}\\ +F\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}\mathrm{\λ}+F\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}\mathrm{\λ}+2{\mathrm{Me}}^{\mathrm{\λ}h}\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2\left)\right)/\\ \left({\mathrm{\λ}}^3\right({\left(e^{\mathrm{\λ}h}\right)}^2\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2+{\left(e^{\mathrm{\λ}h}\right)}^2\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2+6e^{\mathrm{\λ}h}\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}\\ +2e^{\mathrm{\λ}h}\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}+\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{\left(e^{-\mathrm{\λ}h}\right)}^2+\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{\left(e^{-\mathrm{\λ}h}\right)}^2\left)\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}C3=\frac{1}{2}\left(\right({\mathrm{Fe}}^{\mathrm{\λ}h}\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2\mathrm{\λ}+{\mathrm{Fe}}^{\mathrm{\λ}h}\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2\mathrm{\λ}-F\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}\mathrm{\λ}\\ 2F\cos \left(\mathrm{\λ}h\right)\sin \left(\mathrm{\λ}h\right)e^{-\mathrm{\λ}h}\mathrm{\λ}+F\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}\mathrm{\λ}+{\mathrm{Me}}^{\mathrm{\λ}h}\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2\\ +{\mathrm{Me}}^{\mathrm{\λ}h}\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2+M\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}-2M\cos \left(\mathrm{\λ}h\right)\sin \left(\mathrm{\λ}h\right)e^{-\mathrm{\λ}h}\\ +M\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}\left)e^{\mathrm{\λ}h}\right)/\left(\right({\left(e^{\mathrm{\λ}h}\right)}^2\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2+{\left(e^{\mathrm{\λ}h}\right)}^2\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2\\ +6e^{\mathrm{\λ}h}\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}+2e^{\mathrm{\λ}h}\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}+\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{\left(e^{-\mathrm{\λ}h}\right)}^2\\ +\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{\left(e^{-\mathrm{\λ}h}\right)}^2\left){\mathrm{\λ}}^3\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}C4=-\frac{1}{2}\left(e^{\mathrm{\λ}h}\right({\mathrm{Fe}}^{\mathrm{\λ}h}\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2\mathrm{\λ}+{\mathrm{Fe}}^{\mathrm{\λ}h}\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2\mathrm{\λ}+3F\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}\mathrm{\λ}\\ +2F\cos \left(\mathrm{\λ}h\right)\sin \left(\mathrm{\λ}h\right)e^{-\mathrm{\λ}h}\mathrm{\λ}+F\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}\mathrm{\λ}-2M\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}\left)\right)/\\ \left({\mathrm{\λ}}^3\right({\left(e^{\mathrm{\λ}h}\right)}^2\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2+{\left(e^{\mathrm{\λ}h}\right)}^2\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2+6e^{\mathrm{\λ}h}\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}\\ +2e^{\mathrm{\λ}h}\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{e}^{-\mathrm{\λ}h}+\cos {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{\left(e^{-\mathrm{\λ}h}\right)}^2+\sin {\left(\mathrm{\λ}h\right)}^2{\left(e^{-\mathrm{\λ}h}\right)}^2\left)\right)\end{array}$

其中：

因此各稳态响应方程如下：

w(z，t)＝(C₁e^λz cosλz+C₂e^λz sinλz+C₃e^-λz cosλz+C₄e^-λz sinλz)e^iωt

(1-15)

$m(z,t)=\frac{{\∂}^{2}w(z,t)}{EJ\∂z^2}=\left(\begin{array}{c}-2C_1{\mathrm{\λ}}^2{e}^{\mathrm{\λ}z}sin\mathrm{\λ}z+2C_2{\mathrm{\λ}}^2{e}^{\mathrm{\λ}z}cos\mathrm{\λ}z+2C_3{\mathrm{\λ}}^2{e}^{-\mathrm{\λ}z}sin\mathrm{\λ}z\\ -2C_4{\mathrm{\λ}}^2{e}^{-\mathrm{\λ}z}\cos \mathrm{\λ}z\end{array}\right)e^{i\mathrm{\ω}t}---(1-16)$

$Q(z,t)=\frac{\∂m(z,t)}{\∂z}=\left(\begin{array}{c}-2C_1{\mathrm{\λ}}^3{e}^{\mathrm{\λ}z}sin\mathrm{\λ}z-2C_1{\mathrm{\λ}}^3{e}^{\mathrm{\λ}z}cos\mathrm{\λ}z+2C_2{\mathrm{\λ}}^3{e}^{\mathrm{\λ}z}cos\mathrm{\λ}z\\ -2C_2{\mathrm{\λ}}^3{e}^{\mathrm{\λ}z}sin\mathrm{\λ}z-2C_3{\mathrm{\λ}}^3{e}^{-\mathrm{\λ}z}sin\mathrm{\λ}z+2C_3{\mathrm{\λ}}^3{e}^{-\mathrm{\λ}z}cos\mathrm{\λ}z\\ +2C_4{\mathrm{\λ}}^3{e}^{-\mathrm{\λ}z}\cos \mathrm{\λ}z+2C_4{\mathrm{\λ}}^3{e}^{-\mathrm{\λ}z}\sin \mathrm{\λ}z\end{array}\right)e^{i\mathrm{\ω}t}---(1-17)$

步骤S3：引入经验p-y上骨架曲线，通过多次迭代得到每个时刻的最终位移、弯矩和剪力。

3.根据权利要求2所述的引入非线性弹簧的微型桩基-土动力响应求解方法，其特征在于：步骤S3还包括以下步骤：

步骤S31：赋予w一个很小的初始值w₀；

步骤S32：求取w_j+1：其中

步骤S33：判断是否|w_j+1-w_j|≤ξ，若是则w(z_i,t_k)＝w_j+m，否则返回步骤S32；ξ为位移阀值，m为迭代的增量次数，t_k为加载的时间。

4.根据权利要求3所述的引入非线性弹簧的微型桩基-土动力响应求解方法，其特征在于：所述w₀＝0.1×10^-4m。