基于等角框架的冗余稀疏变换方法、装置及学习方法与流程

[0001]
本发明涉及图像处理的技术领域，尤其涉及一种基于等角框架的冗余稀疏变换方法、装置，以及基于等角框架的冗余稀疏变换的学习方法，主要用于自然图像和合成图像信号的压缩和去噪。


背景技术：

[0002]
稀疏表示作为一种有效的信号表示方法，被广泛地应用于图像去噪、分类、超分辨率重建等领域。信号的稀疏表示模型主要包括合成稀疏表示模型和分析稀疏表示模型。合成稀疏表示模型是指给定的信号在冗余字典下表示，大部分的表出稀疏比较小或者接近零，只有少数的非零元素。也就是说，信号可以表示为字典中少量原子的线性组合，表出系数是稀疏的。对于给定信号和稀疏表示字典有x＝dα，其中，字典d的每一列d
i
称为d的一个原子，是稀疏系数，其中非零元素个数通常用l
0-范数来度量，记为||α||0。分析稀疏表示模型是指信号投影到分析字典上得到的投影系数比较小或接近于零。投影系数是稀疏的，也就是信号与分析字典中的原子接近正交。对于给定信号和稀疏表示字典有β＝ωx，其中||β||0＝p-l。
[0003]
变换作为以一种经典的信号处理方式，被广泛应用于信号去噪、压缩、分类、识别等众多领域。一般来说，稀疏表示模型可以分为三类：合成稀疏表示模、分析稀疏表示模型和稀疏变换模型。稀疏变换在稀疏编码过程中的计算量要远小于合成稀疏变换和分析稀疏变换。基于这一特点，稀疏变换模型在近年得到广泛的关注。传统的变换主要是离散余弦变换、离散傅里叶变换和离散小波变换等。这些变换存在两方面问题：一方面是这些变换都是基于解析公式的，对具体信号没有针对性；另一方面是这些变换都是非冗余的正交变换，这种非冗余性限制了信号的紧致表达。为了解决第一个问题许多学者开始研究基于学习的稀疏变换模型。所得成果被应用在了ct图像重建和压缩感知等领域。稀疏变换学习模型目的在于设计学习模型，从样本中训练得到包含训练数据特征的变换。许多研究通过在稀疏表示模型中增加正则约束来学习变换。这类模型的问题在于只能得到由非冗余的基底构成的变换，也就是非冗余变换。octobos方法是一种非冗余变换的学习算法，这种方法通过将样本数据分类，从每一个类别中分别训练得到非冗余变换，将所得的非冗余变换合并构成冗余变换，这种方法在根本上依然是非冗余变换的学习方法，而且，图像重建效果是依赖于样本的分类数的。
[0004]
近年来，框架作为冗余的变换系统被越来越广泛的应用于图像处理的各个领域。变换可以被看作是正交基在角度维度上的一种冗余扩充。框架能够通过与正交基一致的表示形式对信号进行表示，并且满足完美重建原则。传统的框架主要是通过解析表达式构造的符合特定性质的框架，这类框架的特点是构造简单，计算量小，不需要样本，缺点是不能自适应于数据，没有针对性。基于学习的框架是把框架条件作为约束与传统的稀疏表示模
型融合，通过优化算法求解得到的。学习型框架的应用主要集中在紧框架上，这是因为紧框架的上下界是相等的，这一特性极大的降低了框架的优化求解难度。这些学习型紧框架在信号处理的很多领域取得了很好的效果，缺点在于，紧框架的上下界相等，这一条件限制了框架的自由度，从而影响了它在稀疏表示中的效果。等角框架是一类特殊的框架，它约束框架的各个基元之间的夹角都相等。等角框架在本质上刻画的是变换各基元之间的μ相关系数，μ相关系数越小，各基元间的相关性越小，变换越稳定。然而，目前，等角框架并没有被应用到冗余稀疏变换中。


技术实现要素：

[0005]
为克服现有技术的缺陷，本发明要解决的技术问题是提供了一种基于等角框架的冗余稀疏变换方法，其能够保证信号的稳定重建，提高对噪声与数据缺失等问题的容忍度。
[0006]
本发明的技术方案是：这种基于等角框架的冗余稀疏变换方法，包括以下步骤：
[0007]
(1)对于等角框架ψ，由等角框架的等角特性得到
[0008][0009]
其中，i是单位阵，q的对角线为0元素，其他位置为ψ
t
ψ对应的符号值；
[0010]
(2)假设信号x在ψ上的映射系数ψ
t
x是稀疏的，由此得到基于等角框架的冗余稀疏变换的基本模型：
[0011]
y＝ψ
t
x
[0012]
s.t.||y||0≤s，ψ
t
ψ＝i+c1q
ꢀꢀ
(2)
[0013]
其中，稀疏系数x样本信号，y是稀疏表示系数；
[0014]
(3)利用框架重建公式，将对偶框架的优化引入到冗余稀疏变换模型中，框架的重建公式的矩阵形式写作：
[0015]
φ＝f-1
ψ+z
ꢀꢀ
(3)
[0016]
其中，f是等角框架ψ对应的框架算子，z是ψ的正交补空间中的元素；
[0017]
(4)构建基于等角框架的冗余稀疏变换模型：
[0018]
y＝ψ
t
x，x＝φy
[0019]
s.t.||y||0≤s，ψ
t
ψ＝i+c1q
ꢀꢀꢀ
(4)。
[0020]
本发明利用等角框架特性约束变换基元之间的角度，也就是各基元的μ相关系数，保证了所得变换的稳定性，同时利用等角框架的对偶框架作为反变换对信号进行重建，并
将对偶框架的优化引入到变换学习模型中，保证了信号的稳定重建，提高了对噪声与数据缺失等问题的容忍度。
[0021]
还提供了一种基于等角框架的冗余稀疏变换装置，该装置包括：
[0022]
等角框架条件建立模块，记框架ψ＝[ψ1,ψ2,
…
,ψ
n
]，其中和ψ
i
分别为框架φ和ψ的列对于等角框架ψ，由等角框架的等角特性得到
[0023][0024]
其中，i是单位阵，q的对角线为0元素，其他位置为ψ
t
ψ对应的符号值；
[0025]
基本模型构建模块，假设信号x在ψ上的映射系数ψ
t
x是稀疏的，由此得到基于等角框架的冗余稀疏变换的基本模型：
[0026]
y＝ψ
t
x
[0027]
s.t.||y||0≤s，ψ
t
ψ＝i+c1q
ꢀꢀ
(2)
[0028]
其中，稀疏系数x样本信号，y是稀疏表示系数；
[0029]
重建公式构建模块，矩阵形式写作：
[0030]
φ＝f-1
ψ+z
ꢀꢀ
(3)
[0031]
其中，φ是ψ的对偶框架，f是等角框架ψ对应的框架算子，z是ψ的正交补空间中的元素；
[0032]
稀疏变换模型构建模块，基于等角框架的冗余稀疏变换模型为：
[0033]
y＝ψ
t
x，x＝φy
[0034]
s.t.||y||0≤s，ψ
t
ψ＝i+c1q
ꢀꢀ
(4)。
[0035]
还提供了一种基于等角框架的冗余稀疏变换的学习方法，
[0036]
假设x＝[x1,x2,
…
,x
l
]是样本集，给定等角框架φ及其对偶框架ψ，求解稀疏系数y需要解决的优化问题为：
[0037][0038]
求y需要解决的优化问题为：
[0039][0040]
记上述优化问题转化为经典的稀疏表示
的优化问题
[0041][0042]
该优化问题用omp算法进行求解。
附图说明
[0043]
图1是收敛性曲线。
[0044]
图2是稀疏度误差曲线。
[0045]
图3是重建psnr(db)值曲线。
[0046]
图4是学习得到的框架示例图，其中(a)文献[8]得到的变换，(b-e)文献[5]得到的子变换，(f-g)本发明得到的变换。
[0047]
图5是自然图像去噪实验的视觉效果图。从左到右为：原图，噪声图，文献[3]、文献[5]、文献[8]和文献[12]得到的图像，本发明提出的方法得到的图像。
[0048]
图6示出了根据本发明的基于等角框架的冗余稀疏变换方法的流程图。
具体实施方式
[0049]
传统的稀疏变换包括解析的变换和学习的变换。解析的变换(如离散余弦变换、离散小波变换等)不能自适应样本数据特性，导致样本数据很难获得紧致表达。基于学习的变换能自适应于数据特性，但通常是非冗余的，与冗余的字典相比，稀疏表示能力不足。框架作为冗余的变换系统被越来越广泛的应用于图像处理的各个领域。变换可以被看作是正交基在角度维度上的一种冗余扩充。框架能够通过与正交基一致的表示形式对信号进行表示，并且满足完美重建原则。
[0050]
本发明在等角框架的框架系数上引入稀疏约束，建立了基于等角框架的冗余变换。等角特性本质上刻画的是变换的μ相关系数，本方法通过限定框架各基元间的角度，也就是μ相关系数来保证变换的稳定性。但是该方法是将变换矩阵的伪逆作为反变换进行信号重建的，当变换冗余时，伪逆误差较大，针对这一问题，本文提出了改进的基于等角框架的冗余变换，将等角框架的对偶框架引入变换学习模型，利用对偶框架对信号进行重建。该方法有效解决了冗余变换的逆变换不稳定的问题。该方法可直接用于信号处理的各领域，潜在用途包括但不限于压缩、去噪、及图像修复。
[0051]
如图6所示，这种基于等角框架的冗余稀疏变换方法，包括以下步骤：
[0052]
(1)对于等角框架ψ，由等角框架的等角特性得到
[0053][0054]
其中，i是单位阵，q的对角线为0元素，其他位置为ψ
t
ψ对应的符号值；
[0055]
(2)假设信号x在ψ上的映射系数ψ
t
x是稀疏的，由此得到基于等角框架的冗余稀疏变换的基本模型：
[0056]
y＝ψ
t
x
[0057]
s.t.||y||0≤s，ψ
t
ψ＝i+c1q
ꢀꢀ
(2)
[0058]
其中，稀疏系数x样本信号，y是稀疏表示系数；
[0059]
(3)利用框架重建公式，将对偶框架的优化引入到冗余稀疏变换模型中，框架的重建公式的矩阵形式写作：
[0060]
φ＝f-1
ψ+z
ꢀꢀ
(3)
[0061]
其中，f是等角框架ψ对应的框架算子，z是ψ的正交补空间中的元素；
[0062]
(4)构建基于等角框架的冗余稀疏变换模型：
[0063]
y＝ψ
t
x，x＝φy
[0064]
s.t.||y||0≤s，ψ
t
ψ＝i+c1q
ꢀꢀ
(4)。
[0065]
本发明利用等角框架特性约束变换基元之间的角度，也就是各基元的μ相关系数，保证了所得变换的稳定性，同时利用等角框架的对偶框架作为反变换对信号进行重建，并将对偶框架的优化引入到变换学习模型中，保证了信号的稳定重建，提高了对噪声与数据缺失等问题的容忍度。
[0066]
优选地，该方法还包括步骤(5)，给出基于等角框架的冗余稀疏变换需要求解的优化问题：
[0067][0068]
s.t.||y||0≤s (5)。
[0069]
对应地，还提供了还提供了一种基于等角框架的冗余稀疏变换装置，该装置包括：
[0070]
等角框架条件建立模块，记框架ψ＝[ψ1,ψ2,
…
,ψ
n
]，其中和ψ
i
分别为框架φ和ψ的列对于等角框架ψ，由等角框架的等角特性得到
[0071][0072]
其中，i是单位阵，q的对角线为0元素，其他位置为ψ
t
ψ对应的符号值；
[0073]
基本模型构建模块，假设信号x在ψ上的映射系数ψ
t
x是稀疏的，由此得到基于等角框架的冗余稀疏变换的基本模型：
[0074]
y＝ψ
t
x
[0075]
s.t.||y||0≤s，ψ
t
ψ＝i+c1q
ꢀꢀ
(2)
[0076]
其中，稀疏系数x样本信号，y是稀疏表示系数；
[0077]
重建公式构建模块，矩阵形式写作：
[0078]
φ＝f-1
ψ+z
ꢀꢀ
(3)
[0079]
其中，φ是ψ的对偶框架，f是等角框架ψ对应的框架算子，z是ψ的正交补空间中的元素；
[0080]
稀疏变换模型构建模块，基于等角框架的冗余稀疏变换模型为：
[0081]
y＝ψ
t
x，x＝φy
[0082]
s.t.||y||0≤s，ψ
t
ψ＝i+c1q
ꢀꢀ
(4)。
[0083]
优选地，该装置还包括：
[0084]
优化问题构建模块，给出基于等角框架的冗余稀疏变换需要求解的优化问题：
[0085][0086]
s.t.||y||0≤s
ꢀꢀ
(5)。
[0087]
还提供了一种基于等角框架的冗余稀疏变换的学习方法，
[0088]
假设x＝[x1,x2,
…
,x
l
]是样本集，给定等角框架φ及其对偶框架ψ，求解稀疏系数y需要解决的优化问题为：
[0089][0090]
求y需要解决的优化问题为：
[0091][0092]
记上述优化问题转化为经典的稀疏表示的优化问题
[0093][0094]
该优化问题用omp算法进行求解。
[0095]
优选地，在稀疏系数y和框架φ已知的情况下，求等角框架ψ需要解决的优化问题为：
[0096][0097]
①
矩阵q＝sign(ψ
t
ψ)i是关于等角变换ψ的高度非连续非光滑函数，无法直接求解，引入中间变量w，构造新的优化问题：
[0098][0099]
②
用adm方法分别更新等角变换ψ和中间变量w，假设优化问题
[0100][0101]
得到的解与优化问题
[0102][0103]
得到的解列向量之间的夹角的符号保持不变
[0104][0105]
③
求解问题
[0106][0107]
代入问题将原问题转化为简单的凸优化问题用梯度下降法进行求解，记函数
[0108][0109]
其中，h＝i+c1(sign(w
t
w)-i)，由此，导出梯度公式：
[0110][0111]
④
求等角变换ψ需要求解的问题是
[0112][0113]
该问题通过最小二乘直接求解。
[0114]
优选地，在稀疏系数y和框架ψ已知的情况下，求框架φ需要解决的优化问题为：
[0115][0116]
这是一个无约束问题，利用ksvd更新字典的思想，逐个更新φ的各个基元；
[0117]
①
记索引集
[0118][0119]
计算
[0120][0121]
②
计算的最大奇异值向量，用于更新
[0122]
为了验证所提方案的有效性，首先对所提出的算法进行了收敛性分析，然后，用所提出的模型对自然图像进行稀疏表示，通过讨论不同的初始变换对算法的目标函数、稀疏度、稀疏度误差的影响来验证算法是有效的，最后，将所提方法应用到了图像去噪问题中。
[0123]
第一，采集20，000个图像块作为样本，用所提出的算法进行等角框架学习和图像重建，用所提出的算法进行等角框架学习和图像重建，得到如下收敛性曲线(图1)、稀疏度误差曲线(图2)、重建psnr(db)值曲线(图3)以及等角框架φ和ψ(图4)。由图1、图2可以看出，本发明的等角框架学习算法是收敛的，同时，对图像稀疏表示的稀疏度也是收敛的。由图3可以看出，在保留相同的数据量时，本发明的模型能够获得更好的图像重建效果，特别的，保留的数据越多，本发明的方法的优势就越明显。由图4可以看出，本发明的方法能很好的捕捉图像的角度特征。
[0124]
第二，将所提出模型及算法应用于自然图像的去噪问题中。选择6副去噪实验常用的测试图像，加入噪声水平为σ＝20,30,50,70的高斯白噪进行去噪实验。图5为噪声水平为σ＝70的’boat’图像的视觉效果图。从图像可以看出，本发明提出的方法比文献[3](michael elad.sparse and redundant representations[m].springer new york,2010.)、文献[5](wen b,ravishankar s,bresler y.structured overcomplete sparsifying transform learning with convergence guarantees and applications[j].international journal of computer vision,2015,114(2):137-167.)、文献[8](ravishankar,s.；bresler,y.learning sparsifying transforms.ieee trans.signal process.2013,61,1072
--
1086.)和文献[12](cai,j.；ji,h.；shen,z.；ye,g.data-driven tight frame construction and image denoising.appl.comput.harmon.anal.2014,37,89
--
105.)中的方法取得了更好的去噪效果。表1为去噪实验的客观质量图。其中lrsteaf方法即为本发明提出的方法。从表1可以看出本发明提出的方法在客观质量上同样优于其他算法。事实上，lrsteaf方法对变换本身的μ相关系数进行了约束，并对稀疏表示系数进行建模，在理论上，lrsteaf方法对噪声有更强的鲁棒性。
[0125]
表1
[0126][0127]
以上所述，仅是本发明的较佳实施例，并非对本发明作任何形式上的限制，凡是依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属本发明技术方案的保护范围。