一种基于Lipschitz估计的三维曲面拟合方法
【技术领域】
[0001] 本发明设及一种数学建模、计算机应用领域，尤其设及的是，一种基于Lipschitz 估计的=维曲面拟合方法。
【背景技术】
[0002] 科学和工程问题可W通过诸如采样、实验、测绘等方法获得若干离散的数据，根据 该些数据，我们往往希望得到一个连续的曲面与已知数据相吻合，此过程就叫做曲面拟合。 曲面拟合在计算机图形学、逆向工程、数值计算等方面有着广泛的应用。工程中的许多进展 都高度依赖于曲面拟合技术，因此，对曲面拟合方法的全面研究具有积极的现实意义。目 前，最常用的曲线拟合方法有最小二乘法、插值法和缩张算法等。
[0003] 最小二乘法是根据已知的数据（xk，yk)化二1，2, . . .，口（其中xk为测定量，yk为 其对应的函数值，K为数据点的数量规模大小）选取一个近似的函数f(x)，使得E2(f)(均 方根误差）最小；最小二乘法拟合最大优点是拟合精度可W调控，可W根据实际使用情况 选择不同的拟合精度，但在实际应用中，有些场合需要保留原数据点，该时使用最小二乘法 等常用方法就不合适了。插值法是根据插值原则构造n次多项式P"(x)，使得P"(x)在各测 试点的数据正好通过实测点；虽然插值法能够保留原数据点，但是，在一般情况下，为了尽 量反映实际情况而采集了很多样点，导致插值多项式P"(x)的次数很高，该不仅增大了计算 量，而且影响了拟合精度。缩张算法是一种W收缩、扩张捜索空间为基本特征的直接迭代算 法，缩张算法包含=个步骤；1)收缩步，缩小步长的捜索过程；2)扩张步，扩大步长的捜索 过程；3)调整步，中屯、点、临界值的重新调整。缩张算法无需提供适合的初始值，实现最优 拟合的能力较强，但是捜索效率不高，对多参数非线性问题难于实施。
[0004] 因此，现有的技术在曲线拟合方面存在着缺陷，需要改进。
【发明内容】
[0005] 为了克服已有方法不能保留原数据点、计算量大、拟合精度较低及效率不高的不 足，本发明提供一种能够保留原数据点、计算量小、拟合精度和效率较高的基于Lipschitz 估计的=维曲面拟合方法。
[0006] 本发明解决其技术问题所采用的技术方案是；
[0007] -种基于Lipschitz估计的=维曲面拟合方法，所述方法包括W下步骤：
[000引 1)参数初始化；设置常数M，输入初始数据点(成攻/)，k= 1，2，...，K，其中K 为数据点的规模大小；
[0009] 2)建立初始支撑矩阵，过程如下：
[0010] 2. 1)根据已有的数据点确定Xi的定义域[a。bi]，X2的定义域[3 2,b2]，其中ai、a2 分别为Xi、X2的下界，b1、b2为上界；
[0011] 2.。根据如下公式对点A(l，0)，B(0, 1)和C(0, 0)作转换；
[0012](1)
[0013] 其中x/，X2'，X3'为线性转换变量，并记转换后的点为A'、B'和C' ；
[0014] 2.如根据如下公式计算点A'、B'和C'的支撑向量：
[0015]
(2)
[0016] 其中，yk为点Xk函数值，M为足够大的常数，点A、B和C的函数值用初始数据点中 函数值最大的值代替，记作y。。,；
[0017] 2.4)把点A'，B'和C'的支撑向量组成支撑矩阵L，如公式做所示：
[00 化]
(3)
[0019] W支撑矩阵L为根建立树；
[0020] 3)计算每个已知数据点的支撑向量并更新树，对每个数据点作如下处理：
[002U3. 1)根据公式（4)对xk作线性转换为X' k
[0022]
(4)
[002引 3.。根据公式似计算出点（X'k，yk)的支撑向量Ik;
[0024] 3. 3)根据条件关系式（5)和（6)更新树：
[0027] 其中V表示任意，3表示存在；
[002引 3.3. 1)找出针对步骤3.2)构建的支撑向量Ik不满足条件化）的叶子节点，即
[0029] 3.3.2)依次用Ik替换步骤3. 3. 1)中找到的叶子节点矩阵中的每一行支撑向量 卢，从而形成=个新的叶子节点，即=个新的支撑矩阵；
[0030] 3. 3. 3)判断步骤3. 3. 2)中产生的新的叶子节点是否满足条件关系式巧），如果满 足，则保留，否则删除；
[0031] 4)计算下界估计值：
[0032] 4. 1)设置采样步长，并在各变量定义域范围内采样；
[003引 4.。对步骤4. 1)的每一个采样点（X。X2)作如下处理：
[0034] 4.2. 1)根据公式（4)作线性变换，得到新的向量X' = (X/，X2'，X3');
[0035] 4. 2. 2)根据公式（7)从步骤3. 3)建立的树中找到包含向量X'的叶子节点，如果 叶子节点满足式（7)则包含，否则不包含；
[0036]
(7)
[0037] 其中，产为所找的叶子节点矩阵中的元素；
[003引 4. 2. 3)根据公式（8)求出点X'所在的叶子节点对应区域的下界估计值另；
[0039]
巧）
[0040] 4. 2. 4)对步骤4. 2. 3)求得的下界估计值另乘WM得到实际下界估计值，即 而二？I乂M?，
[004U 4. 2. 5)输出下界估计值歹/及其对应的采样点（X。X2);
[0042]W计算上界估计值，过程如下：
[00创 5. 1)把数据点中的yk取负.
[0044] 5. 2)按步骤2)到4)计算下界估计值；
[0045] 5. 3)对步骤5. 2)所得的下界估计值取负，即为上界估计值九；
[0046] 5. 4)输出上界估计值方及其对应的采样点（X。X2);
[0047] 6)曲线拟合，过程如下：
[0048] 6. 1)连接每一个点对得到待拟合曲面的下界估计；
[0049] 6.。连接每一个点(Xi，A：2,灭,）得到待拟合曲面的上界估计；
[0050] 6. 3)对上界估计和下界估计取平均得到的曲面即为待拟合曲面。
[0化1] 本发明的技术构思为：基于Lipschitz估计理论，首先，对已知初始数据点构建 Lipschitz估计下界支撑面，并Wn叉树的形式来保存下界估计信息，从而建立待拟合曲面 的下界估计曲面，再W同样的方法建立待拟合曲面的上界估计曲面；然后，在各变量的定义 域范围内按一定的步长采样，获取各采样点的上界估计值和下界估计值，通过对上界估计 值和下界估计值取平均而得到该采样点估计值；最后，连接各采样点得到拟合曲面。
【附图说明】
[00巧图1是函数y=sin(Xi+X2)的下界估计示意图。
[0化引 图2是函数y=sin(Xi+X2)上界估计示意图。
[0054] 图3是函数y=sin(Xi+X2)的拟合曲面示意图。
【具体实施方式】
[0化5] 下面结合附图对本发明作进一步描述。
[0化6] 参照图1~图3, 一种基于Lipschitz估计的S维曲面拟合方法，包括W下步骤：
[0化7] 1)参数初始化；设置常数M，输入初始数据点扣-，.皆/)，k= 1，2，...，K，其中K 为数据点的规模大小；
[0化引 2)建立初始支撑矩阵，过程如下：
[0059] 2. 1)根据已有的数据点确定Xi的定义域[a。bi]，X2的定义域[3 2,b2]，其中ai、a2 分别为Xi、X2的下界，b1、b2为上界；
[0060] 2.。根据如下公式对点A(l，0)，BO), 1)和C(0, 0)作转换：
[0061]
(9)
[0062] 其中X/，X2'，X3'为线性转换变量，并记转换后的点为A'、B'和C' ；
[0063]2.如根据如下公式计算点A'、B'和C'的支撑向量：
[0064]
(10)
[00化]其中，yk为点Xk函数值，M为足够大的常数，点A、B和C的函数值用初始数据点中 函数值最大的值代替，记作y。。,；
[0066] 2. 4)把点A'，B'和C'的支撑向量组成支撑矩阵L，如公式做所示：
[0067]
(11)
[0068] W支撑矩阵L为根建立树；
[0069] 3)计算每个已知数据点的支撑向量并更新树，对每个数据点作如下处理：
[0070] 3. 1)根据公式（4)对xk作线性转换为X' k
[0071]
(12)
[007引 3.。根据公式似计算出点（X'k，yk)的支撑向量Ik;
[0073] 3. 3)根据条件关系式（5)和（6)更新树：
[0074] 方7，./巨{1，2,3!，/;^/.:/;' >// U3)
[007引 Wg{1，2，刊，击 ￡ 化2,3}: 4 =户 >/; y4)
[0076] 其中V表示任意，3表示存在；
[0077] 3.3. 1)找出针对步骤3. 2)构建的支撑向量Ik不满足条件化）的叶子节点，即 r;二!U
[007引 3.3.2)依次用Ik替换步骤3. 3. 1)中找到的叶子节点矩阵中的每一行支撑向量 /S从而形成=个新的叶子节点，即=个新的支撑矩阵；
[0079] 3. 3. 3)判断步骤3. 3. 2)中产生的新的叶子节点是否满足条件关系式巧），如果满 足，则保留，否则删除；
[0080] 4)计算下界估计值；
[0081] 4. 1)设置采样步长，并在各变量定义域范围内采样；
[008引 4.。对步骤4. 1)的每一个采样点（X。X2)作如下处理：
[0083] 4.2. 1)根据公式（4)作线性变换，得到新的向量X' = (X/，X2'，X3');
[0084] 4. 2. 2)根据公式（7)从步骤3. 3)建立的树中找到包含向量X'的叶子节点，如果 叶子节点满足式（7)则包含，否则不包含；
[0085]
(15)
[0086] 其中，X产，X,A为所找的叶子节点矩阵中的元素；