用于多孔介质三维重构的模式密度函数模拟算法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及利用数理统计和计算机建模方法从一张二维（2D)训练图像随机模拟 多孔介质三维（3D)结构技术，属于图像处理技术领域。
【背景技术】
[0002] 3D结构有助于深入研究多孔介质的微观结构特性，但是由于多种原因，在实际生 产中无法直接得到或者是难以得到多孔介质的3D结构。利用一张2D图像借助计算机技术 和数学建模方法可以重建出具有相似特征的3D结构。
[0003] 围绕此技术，多年来众多学者做了大量努力和探索，也诞生了多种较为经典的重 建算法。按照重建方式，可以将目前产生的3D重建算法分为2D逐层重建和3D空间直接重 建两种。
[0004] 2D逐层重建的基本思想是将3D空间看作是由相邻2D图像序列构成。Tahmasebi 和Hajizadeh所提的方法就是属于此类典型的算法。此类算法的关键点是如何控制相邻层 之间的连续性和变化性，使之与符合训练图像的特征，为此Gao提出一种新颖的三步采样 算法，能够很好地解决此问题。由于只是在某个面进行模式匹配，因而这类算法3D重建结 果垂直重建方向上图像形态较差，一般需要后处理。
[0005] 模拟退火算法SA和分级模拟退火算法HSA是3D空间直接重建方式中最为典型的 一种，也属于最优化算法。该算法先将训练图像中的某个统计函数设定目标函数，然后按 照训练图像孔隙度对重建的3D空间随机初始化，再不断随机选取不同相两点进行交换，使 重建图像逐渐收敛于目标函数。为了避免在交换过程中出现局部最优情况，该算法引入金 属冶炼过程中的退火机制。这类算法最大优点是稳定性，即当重建结果收敛于目标函数时 重建结果中一定会呈现出目标函数所反映的图像特征。这种算法关键点是如何确定目标函 数，目前模拟退火算法中一般是将自相关函数作为目标函数，但是实验证明基于低阶统计 函数的自相关函数是无法准确描述复杂图像形态，这是由于满足同一自相关函数的图像形 态可能是千差万别。
[0006] Okabe提出另一种3D空间直接重建算法，该算法首先从重建3D空间选取一条重建 随机路径，然后利用单个标准方程模拟算法SNES頂分别确定3个中心过待模拟点且相互垂 直模式，最后利用加权值法计算出待模拟点的值。此类算法在实际应用中仍然存在若干亟 待解决的关键点：第一，应该依什么准则确定3个垂直切面的模式权值还需商榷；第二，在 实际应用中SENS頂算法具有不稳定性。
[0007] 基于纹理合成算法是另外一种在近年发展较为迅猛的按照3D空间直接重建算 法。但是这类重建算法仅仅是在强调重建结果与原始训练图像在外观视觉上的相似性，而 选择忽略两者统计特征上的一致性。
[0008] 基于过程法亦属于3D空间直接重建算法，该算法模拟地质形成过程，但是复杂的 地质形成过程和条件导致该类算法重建速度非常的漫长和难以控制。
[0009] 当然也有其他重建算法，例如基于马尔科夫链算法、快速傅里叶变化算法、离散小 波变换算法、神经网络算法等等。上述各种算法与3D精确重建要求都或多或少不足。一种 精确重建应该包括三个方面要求：第一，3D重建结果与训练图像低阶统计特性相一致，如 孔隙度，自相关函数，线性路径函数等；第二，3D重建结果（3个方向切面）与训练图像的形 态特征相似；第三，算法具有稳定性，即在相同情况下重建结果具有较高的可重现性和对不 同类型图像的普适性。本发明的目的在于为了解决上述现有技术中所存在的问题，为随机 图像重建提供一种精确算法。
【发明内容】
[0010] 本发明引入概率论知识，在利用随机变量密度函数表征图像模式分布基础上原创 性地提出模式密度函数概念，同时提出将模式密度函数作为迭代过程的目标函数的算法一 模式密度函数模拟算法。并针对该重建算法中关键点速度问题提出邻域统计法和相邻网格 反相选点法，并简化了温度控制机制。由于本发明所提出的模式密度函数属于高阶统计函 数，当各级重建结果的模式密度函数趋于收敛于目标函数时不仅可以确保重建结果与训练 图像的低阶统计特征一致，而且也可以保证形态特征相似。
[0011] 本发明提出了一种利用二维训练图像随机重建具有相似特征三维结构方法，具体 原理内容包括下述四个方面： (1)提出模式密度函数概念和模式密度函数模拟算法 用@示图像/中所关注的特征，例如形态特征、像素之间的位置关系等，这些特征是 变化的，因此从概率论角度看C是一随机变量，C,，i=l，2···/?表示特征6可能的取值。 表示图像/中泛^时概率大小即
称/Tc,/·，i=l, 2…λ为特征密度函数，简记/TcA其反映图像特征咖分布情况。图像 随机重建是指利用数学建模的方法构建出与训练图像r具有相似特征分布的图像，但不是 对71的拷贝。换句话说存在一个由具有相似特征分布图像构成的图像空间是代表 5的一个样本，重建就是利用r反映的特征/Td推测出这个图像空间5Ψ其他可能样本/。 而重建的关键点是如何挖掘与描述隐含在训练图像冲能够代表5?同特征C。
[0012] 为了使重建结果与训练图像具有相似的形态特征分布，此时应选择/Td表示图 像形态特征分布，而图像的形态特征碟尤是模式。确定的图像具有确定的模式分布，不同图 像空间的图像模式分布也不同，如附图1所示。此时特征密度函数/?^即为模式密度函数 (Patterns Density FunctiorOFOF，此时PDF可以表不为
其中/?〔.，i= 1，2…λ表示模式/? ?的取值，同理模式密度函数/知，i= 1，2…λ可简 记为
[0013] 用7；_表示选择模板的大小，％3?表示模式变量为具体模式/?ifl寸在训练图 像冲出现的次数，彥示图像的大小，&彦示最多的模式个数。可以表述为：
模式的提取受模板尺寸大小控制。模板尺寸越大，获取模式越多，重建图像形态越精 确，但同时重建图像所用时间会急剧增加；反之模板尺寸越小，获取模式越少，尺寸图像用 时会降低，但是重建图像形态精度会降低。多级网格系统能够有效解决模板尺寸和重建图 像形态之间矛盾问题。多级网格系统中各级网格之间满足下述关系
八是最小网格尺寸，ii是多级网格的总级数，之…爲^是多级网格中某级网格 的编号。在级数为滅勺多级网格形式下，可以表述为：
相应地表示j级网格图的尺寸大小，表示第j级网格图中模式变量为 具体模式/??/的出现次数。同一图像不同级网格图对应的模式密度函数也不尽相同，如附 图2所示。
[0014] 为了均衡重建的速度和精度，本发明选用模板尺寸为3X3大小。由于此模板尺寸 较小，为了能够有效获取图像的形态特征，需要将训练图像分割到最小尺寸网格匕"。匕"是 指将原始训练图像按照从大到小进行分级，当分级图中不再出现3X3大小全为孔隙相区 域时对应分级图像的尺寸。此时说明利用3X3模板完全可以表达图像所有可能存在的模 式。
[0015] 本发明在提出模式密度函数概念和融合多级网格系统系统基础上，并提出将该 函数作为迭代过程目标函数的随机结构重建算法，将其命名为模式密度函数模拟算法 (Patterns Density Function Simulation) PDFSIM。
[0016] (2)邻域统计法 在迭代过程中为了确定是否接受交换后的新状态，每交换一次，都需要计算重建图像 与训练图像PDF的差值。以图像尺寸大小为128X128和3X3模板为例，如果采用全图统 计，计算PDF需要128X 128X3X3次，然后计算差值再需要循环512次，是否接受新状态 都需要512次循环传递TOF。而一幅图像重建需要几百万次甚至更多次的迭代，因此使得 TOFS頂实际不可操作。
[0017] 幸运的是每交换两个点所引起变化的模式仅仅是这两个点对应3X3邻域18个模 式(两个交换点的3X3邻域在重叠的情况下会更少)，如附图3所示。因此本发明仅仅只计 算交换点变化前后引起变化的函数值。此时统计PDF环节仅需要18X3X3次，同理计算差 值最多也仅仅需要18次，新状态PDF传递最多也仅需要18次。理论分析和实验证明采用 算法可以缩短重建时间数十倍，使得采用PDF为目标函数的迭代算法实际可操作。
[0018] (3)相邻网格邻域反相选点法 本发明提出相邻网格邻域反相选点法的目的是为了进一步加快tofs頂重建算法速 度。它的可行性是基于两点考虑。第一，随着迭代的深入不同相趋于聚合。第二，在多级网 格机制中，前一网格层数据在后一层网格中作为条件数据，其极大地影响和决定周围像素 值。
[0019] 相邻网格反相选点法如图4所示，以上层网格已模拟点A为中心邻域処内，若当 前层布置的随机点A的像素值与目反，则将A选为交换点。由于该方法排除了部分无 效的待交换点，且随着迭代的深入孔隙不断聚合，有效交换点数越来越少，从而大大加快了 收敛速度。
[0020] (4 )简化温度控制机制 在TOFS頂算法中，需要根据每次交换前后重建图像的能量差值Λ iT判断是否接受新状 态。爲表示交换前的能量，表示交换后的能量，即 A E = E2 Ej (6) 为了防止在迭代运算中出现局部最优，模拟退火算法引入温度控制机制，即采用 Metropolis准则接受新状态，即：
7?重建结构当前的温度。但是退火机制极大地影响了重建的速度，为了进一步加快重 建速度，本发明采用一种简化的温度控制机制，即仅仅对多级网格中最小网格采用温度控 制，而对其余层网格放弃温度控制。即其余层对新状态接受准则为
两个理由能够支持此理论。第一，实验显示放弃温度控制而导致局部最优化现象容易 发生在多级网格的最小网格。第二，在其他各级网格中，上级网格点作为条件数据能够有效 阻止局部最优现象发生。实验显示放弃温度控制机制在大幅提升重建速度基础上，对随机 图像重建的精度不会产生明显的影响。附图5显示为采用温度控制机制和简化温度控制机 制重建对比效果。实验表面本发明采用的简化温度控制机制不会对随机图像重建的精度产 生明显影响。
【附图说明】
[0021] 图1-1是本发明实施例中给定的某种电池材料二维图像； 图1-2是本发明实施例中给定的某种地质岩心二维图像； 图1