应用改进的alp算法优化并串联系统维修的方法
【技术领域】
[0001] 本发明涉及生产制造技术领域，具体涉及并串联生产制造系统的维修优化问题。
【背景技术】
[0002] 并串联系统广泛的存在现实生产中，一个并串联系统由多个单元组成，要解决系 统的维修问题需要考虑两个重要问题。一方面系统中的各个部件间存在依赖性，因此系统 中的各单元的维修不能单独考虑；另一方面系统的维修资源是有限的，如何正确的分配有 限的维修资源使系统收益最大化是并串联系统维修优化的另一问题。要解决以上两个问 题，并串联系统需要一个基于系统状态的维修策略，而系统状态是各单元状态的组合。因 此，含有多状态部件系统维修优化问题的难点之一就是系统的状态空间过大。
【发明内容】
[0003] 发明目的：改进ALP算法减少规划算法中约束条件和变量数，扩大FMDP模型的使用 范围。
[0004] 技术方案:本发明应用于由队个子系统并联组成的生产系统，每个子系统包含两 个单元，分别用上单元和下单元来区别。系统中所有单元随时间退化，其退化过程服从离散 时间的马尔科夫链。子系统η中的上单元(下单元)有S un(Sdn)种不同的状态，其中，状态1用 于表示全新状态，状态Sun_2 (Sdn_2)表示上单元(下单元)已经损坏，状态Sun_l (Sdn_l)表示上 单元(下单元)处于预防维修，而状态Sun(Sdn)则表示上单元(下单元)处于故障维修。矩阵P un (Pdn)是子系统η中上单元(下单元)的名义状态转移矩阵。当子系统η中上单元(下单元)的状 态超过了门限ζ υη(ζ<ιη)时，下单元(上单元)的状态转移矩阵将变成Qdn(Q un)。由此，本算法考 虑了同一个子系统中的两个单元的随机依赖关系。矩阵yun(y dn)代表子系统η中上单元 (下单元)的生产率，（YunhGYdrOi)是状态i下的上单元(下单元)的生产率。子系统的生产 率是上单元(下单元)生产率的最小值，而系统的生产率是所有子系统生产率的总和。单位 系统生产率在每个单位时间内带来的利润是r d。
[0005] 维修组的数量为Nt，也就是说最多有Nt个单元同时维修。预防维修和故障维修的时 间均满足几何分布。子系统η中，上单元(下单元)预防和故障维修在一个单位时间内成功的 概率分别是P P,un(PP,dn)和匕^把^丄经济依赖性从以下两个方面来介绍。
[0006] 第一，同时维修子系统中的两个单元可以带来较低的生产损失。
[0007] 第二，在子系统η处于维修状态时，每单位时间内有固定的耗损率为cst,n。本设计 将有限的维修资源最优分配，最大化单位时间内系统的平均收益。
[0008] 本设计主要假设：
[0009] 1.当单元处于维修时，生产率为0,同子系统中的另一个单元的退化过程停止。 [0010] 2.本设计不考虑非完全维修，预防维修和故障维修可以更新单元的状态至最新状 ??τ 〇
[0011 ] 3.-旦单元开始维修，将无法停止，直到该单元变为最新状态。
[0012] 4.随机依赖和经济依赖只存在于同一个子系统的两个单元之间。
[0013] 由于维修问题的复杂性，可采用基于MDP的维修决策法来获得在不同系统状态下 的最优维修策略。系统的退化过程应该在MDP模型中描述。子系统中的单元存在随机依赖和 济依赖，而且所有单元共享有限的维修资源。因此，单元的退化过程彼此相关，不能分开建
模。系统状态可以表示为向量..一一 ，其中Xun(Xdn)是子系统η中上单元 (下单元）的状态。系统的退化过程受系统维修措施
的影响，其 中Aun(Adn)是子系统η中的上单元(下单元）的维修措施。MDP模型的贝尔曼方程可以被表示 为：
[0014]
[0015] 其中V(XS::| =腸&s fvk(Xs、})。常数λ是MDP的折合因子，表达式Pr (X's I Xs，As)是 考虑了维修后，在系统当前状态为XS时，下一个单位时间系统状态变为X' S的概率。收益函数 R(XS，AS)反应了系统状态Xs和维修措施1共同作用的结果。由于不同的子系统退化过程相 互独立，系统的条件转移概率可以表示为：
[0016]
[0017] 上述式子可以简化为：
[0018] Pr(X7 οη,Χ7 dn|Xun,Xdn,Aun,Adn)
[0019] 式2
[0020] =Pr(X7 un I Xun,Xdn,Aun,Adn) 1 Pr (X7 dn | Xun , Xdn, Aun , Adn )
[0021] 由于上单元和下单元条件转移概率的计算相似，所以只给出上单元条件转移概率 的推导，该公式分下述四种情况计算获得。
[0022] 情况1:上单元处于工作状态，例如父11"<3 11"-2，父<111<3(111-2 41111 = 0，&11(1厶(111 = 0，条件 转换概率：
[0023] Pr(X7 un|Xun,Xdn,Aun,Adn)
[0024] 式 3
[0025] = I (Xdn< idn) ( Pn ) XunX7 un+1 (Xdn > idn) ( Qn ) XunX7 dn
[0026] 式3中，函数I( ·)是指标函数：
[0027]
[0028] 情况2 :上单元处于停机但是不处于维修状态，例如(Xdn 2 Sdn-2，Aun = 0 )或者(Aun = 0，八(111=1)，条件转移概率：
[0029] Pr (X7 un I Xun, Xdn , Aun , Adn) = I (X7 dn = Xun)式4
[0030] 情况三:上单元处于预防维修状态，例如，（Xun<Sun-2，A un= 1 )或者Xun= Sun-1，条 件转移概率
[0031] Pr(X7 un|Xun,Xdn,Aun,Adn)
[0032] 式 5
[0033] = I (X7 un= 1 )Pp,un+I (X7 un = Sun-l ) ( 1-Pp,un)
[0034] 情况四：上单元处于故障维修状态，例如(Xun = Sun-2，Aun=l)or Xun=Sun，条件转 换概率
[0035] Pr (X7 un I Xun, Xdn , Aun , Adn) = I (X7 un = 1 )Pc, un+1 (X7 un = Sun) ( 1 -Pc, un)式6
[0036] 由于各子系统是并联的，单位时间内的系统收益可以表示为：
[0037]
[0038] 其中，Rn(Xn，An)是子系统η在一个单位时间内的收益，既该子系统在单位时间内生 产利润和维修消耗之差。
[0039] Rn(Xun，Xdn，A un，Adn ) - Rpn ( Xun j Xdn j Aun j Adn ) -Cmn ( Xun j Xdn j Aun j Adn ) ?ζ7
[0040] 生产利润计算公式如下：
[0041 ] Rpn (Xun，Xdn，Aun，Adn) - I (Aun - 0 and Adn - 〇)rd Π??π(( y un)xunj( Y dn)xdn)式 8
[0042] 维修消耗计算公式如下：
[0043] Cmin(Xun，Xdn，Aun，Adn) - I (AunΟΓ Adn ^ 0 ) Cst, n
[0044] +I(Aun=l and(Xim=Sun-2 or Xun = Sun))Cc,un
[0045] +I(Aun=l and Xun关 Sun-2 and Xun关 Sun)CP,un
[0046] +I(Adn=l and(Xdn=Sdn_2 Or Xdn = Sdn))Cc,dn
[0047] +I(Adn=l and Xdn关 Sdn_2 and Xdn关Sdn)cP,dn
[0048] 传统的求解MDP的方式是通过值迭代或者线性规划完成的，这些方法只适用于较 小的系统。对于大规模系统则可以将MDP简化为FMDP，本设计的FMDP模型是基于子系统的， 可以表示为：
[0049]
[0050] 式9中hnu(Xn)是关于子系统η的第j个基函数，其取值由子系统η的状态决定，而与 其他子系统无关。w n,j是基函数hn,j(Xn)的权重，而WQ是与状态无关的常数。子系统η-共有 他,"个基函数。《〇和1,」(」=1...他, 11)的值是通过解?1^模型得到的。
[0051] FMDP模型最重要的问题之一是基函数选择，多项式函数和指标函数是两种常用的 基函数。子系统η的第k阶多项式基函数可表示为：
[0052] 式 10
[0053] 其中n = l，. . .，Ns，ku 2 0，kd 2 0,0<ku+kd < k，同样子系统η的第邱介指标基函数可 以表示为：
[0054]
[0055] 表达式11中η=1，· · ·，Ns，iun=l，· · ·，Sun，idn=l，· · ·，Sdn，ku = 0，l，kd = 0，l，0<ku +kd < k。多项式基函数的个数与单元状态数无关，指标基函数的数目随单元状态数的增加 而增加。然而指标基函数的运算效率更高。
[0056] 在?1^模型中，基函数的权重帅和^(11=1，2，...，叱，」=1，2，...具,11)需要通过 求解FMDP模型来确定的。近似线性规划(ALP)是求解FMDP模型的常用方法，相比于线性规划 模型（见表1)，ALP(见表2)的变量数从| X |减少到1 + 15^沒_。在ALP算法的目标函数中， 权重的系数可以通过下式求得：
[0057]
[0058] 表达式12*αη(Χη)是状态乂"的状态相关权重，满足表达式13的关系。
[0059] 1...办......
[0060]本算法在求解的过程中采用均匀的状态相关权重。
[0061] 表1线性规划公式
[0062]
[0063] 表2近线性规划公式
[0064]
[0065] 表2中，约束条件数是系统状态变量Xs和维修措施As的可能组合数。因此减少约束 条件是ALP算法的一个重要步骤。改进的ALP算法减少约束的原理是将不同子系统的约束条 件分解成不同的元素。首先表2中的约束条件可以写成表达式14:
[0066]
[0067] 式14中1^^人）=人811,」(乂11人)-1111,」^)，不等式右边的第二部分是队个表达式 之和，其中关于子系统η的表达式如下：
[0068]
[0069] 式15中，对于给定的维修措施4"，其最大值可以表示为
[0070]
[0071] 不等式约束可以由下列不等式代替：
[0072]
[0073] 最终可以简化为：
[0074]
[0075]
[0076] 最后ALP的约束条件数量可以减少到- '3)(2S^ - 5) + 同时增 加了新变I
。由于一共有4种不同的子系统维修措施， 所以线性规划的变量的数目变成〔1 4· 4? +1?L 该表达式与子系统数呈近似的线性 关系，从而解决了传统MDP模型求解过程中系统状态数的限制。
【附图说明】
[0077] 图1是系统的结构框架；
[0078] 图2是基于二阶指标基函数的ALP算法所得的最佳数值函数的误差。
【具体实施方式】
[0079] 本