相控阵列系统的驱动技术的制作方法
相关申请
本申请要求以下八个美国临时专利申请的权益，所有所述申请通过引用整体而被并入：
1.2016年12月13日提交的序列号62/433,544。
2.2016年12月20日提交的序列号62/436,457。
3.2016年12月22日提交的序列号62/437,791。
4.2016年12月23日提交的序列号62/438,512。
5.2017年12月5日提交的序列号62/594,574。
6.2017年12月5日提交的序列号62/594,687。
7.2017年12月5日提交的序列号62/594,836。
8.2017年12月5日提交的序列号62/594,874。
本公开总体上涉及用于驱动相控阵列系统的改进技术，主要用于产生用于创建半空触觉、参量音频、声悬浮和声成像的设计声场。
背景技术：
声能量的连续分布(我们将其称为“声场”)可以被用于包括半空中触觉反馈的一系列应用。
在该声场中，可以定义一个或多个控制点。这些控制点可以用信号进行幅度调制，并因此在半空中产生振动触觉反馈。产生反馈的可替代方法是创建在幅度上未被调制的控制点，并在空间上四处移动它们以创建可以被感觉到的空间-时间调制。
由设备创建的控制点的最小大小和最大功率取决于要创建的一个或多个控制点的阵列布局、几何形状以及相对位置。因此，可能无法使一个位置中的控制点的行为与另一个位置中的行为相匹配。当使控制点通过空间进行动态移动时，可能出现另外的复杂情况。因而产生的由用户体验到的点的触觉功能变化是不期望的并且通常是反直觉的，导致了混淆和经验沉浸感的丧失。因此，能够减轻空气变化的影响并且能够使其逆转以提供一致的触觉体验的系统在商业上是有价值的。
此外，已经表明的是，一般的非线性优化系统可以被用于在空气中产生陷阱点(trappoint)。但是用于此目的的机制具有许多缺陷，包括但不限于：没有评估适合于悬浮在相控阵列系统上方的势场(potentialfield)、使用不必要地昂贵且耗时的优化过程以及仅限于相位操纵。
解决这些问题是重要的，因为现有系统创建的陷阱不如它们可能的那样强，并且由于这些缺点而无法正确地缩放。这使得创建利用声悬浮的系统为促进多模态方法和触觉系统的可替代使用提供了另外的视觉资料。
此外，通过在空间中定义一个或多个控制点，可以控制声场。每个点可以被分配等于控制点处的期望幅度的值。然后可以控制一组物理的换能器以创建在控制点处呈现期望幅度的声场。
由于现有系统的要求，声相控阵列的自然方向分量很少受到关注。例如，目标是将能量聚焦到小面积中的高频率治疗医疗系统通过标量压力(参与空气分子数量的变化)被充分地近似，从而确定注入能量的最佳解，因此不需要矢量解。由于聚焦相控阵列矢量行为(描述空气分子的运动方向)在大多数情况下可以被忽略，因此有效地实现这一点尚未成为优先项。
然而，在半空中创建触觉反馈涉及与人皮肤交换振动。这完全依赖于与波前以及与由波携带的动量接触的表面，其是与波的矢量行为接合的结果。不仅如此，由于系统被聚焦为使得换能器元件之间的入射角越来越不同，动量和压力之间所假设的线性关系不成立。不可能忽略该系统中的矢量分量，并因此标量压力不足以始终如一地找到用于创建半空触觉效果的合适的解。针对这个原因，将这种动量效应的意识建立到设备中具有商业利益。
此外，通过在空间中定义一个或多个控制点，可以控制声场。每个点可以被分配等于控制点处的期望幅度的值。然后可以控制一组物理的换能器以创建在控制点处呈现期望幅度的声场。
已经表明的是，特征矢量的计算映射到矩阵代数中的一些非常特定的纯二次型约束问题的解。如果可以形成矩阵(针对半空触觉中特定问题给定换能器的控制系数求解其特征矢量)，则该解可以形成呈现对现有技术的简化的设备实施方式的基，并因此具有价值。
此外，为了使用简化的表示方法来描述基函数，首先必须开发能够在声场的细节方面对有用函数进行简单(低熵)描述的速记。
理想情况下，该描述将是从用户的角度可以是可访问的事物。
在已经找到这种可获取的、低熵表示之后，还必须存在一种将它转换成它的等效换能器基(换能器基组，其描述了稍后的解中潜在的许多基函数中的一个的换能器声场的基)。这将使预期用户能够在声场内设计各种不同的结构，使它们能够构建定制系统以最大限度地操纵场中的能量流，从而导致创建可以一次使用许多不同效果(诸如焦点、bessel波束、局域空心波束(bottlebeam)、弯曲波束等)的系统。这些将使控制点的概念扩展到封装了更丰富的声场控制方法的控制区域中。
还发现的是，当考虑触觉中的动量传递时，为了使用粒子速度作为波方向的替代，必须处理一些问题。
此外，利用相同的第二操作数执行高效的并行复值乘法对于实现具有与需求文档中概述的那些性能度量一致的性能度量的设备所需的大量吞吐量来说是必要的。具体地，为了并行计算，导致对必要优化矩阵的行的计算的求和中的一个元素将足以满足要求，但前提是子系统被复制足够次数。因此，为了使子系统是有用的，它必须小且高效。这种对效率的迫切需求产生了对旧算法的不同观点，其产生了在简单乘法之上评估复杂超越函数的新方法。
在更广的世界中，这得到的算法适用于处理硬件的元素必须用模量不能够被忽略的复值数据高效地或实时地交互的任何地方。这包括但不限于通信，包括gps、无线、无线电和卫星传输和接收系统、音频处理、包括半空触觉的相控阵列系统、飞行时间成像和数字干涉测量、散射效应和偏振的计算等。这可以转化为本发明的更广泛范围的机会。
volder的算法，也称为cordic(volder,j.-thecordiccomputingtechnique-1959)，可以将单位复值相乘，但不能够在没有超出基本cordic算法的计算的进一步计算的情况下将模量包括在该计算的第二操作数中。
针对这个原因，几年前由作者实施的1994年发明的分离算法以作者bajard、kla和muller而被称为bkm，并且还可以实现完全复数-复数乘法的目标(bajard,j.、kla,s.和muller,j.-bkm：anewhardwarealgorithmforcomplexelementaryfunctions–1994)。然而，该算法具有复杂的实施方式，并因此没有受到假如其不复杂那样多的关注。该算法可以通过将复值操作数减少到它们的复数对数、将它们相加并且然后取幂来实现完全复数-复数乘法以实现该结果。
在某些情况下，存在一种更有效的方式来用bkm和新算法串行和并行地实现这种复值乘法以及复值除法。
bkm算法的1999年补编解决了复值对数的过于复杂的实施方式，稍微简化了该实施方式。(bajard,j.和imbert,l.。-evaluationofcomplexelementaryfunctions：bkm的新版本-1999)。1994年的这种bkm方法和1999年的补编形成了在本文档中将被简称为bkm的算法。
在尝试优化用于包含到真实硬件中的算法时，新技术的想法变得显而易见，其优先考虑易于集成到我们的或更一般地任何现有系统中，而不是评估所描述的数学函数。这种新技术在其被开发成概念验证代码时，结果证明具有许多另外新出现的性质，该性质使得其比原始算法对于硬件实施方式的一般采用更有前途。另外，如果需要原始技术所请求的确切图，则可以应用进一步的缩放来检索这些结果，其中该算法作为整体仍具有竞争力。在任一种情况下，结果都是与现有技术相比具有实质性益处的技术。
已知的是，可以通过构造其特征问题等效于二次型问题的矩阵来求解具有单位范数的二次型问题。可以通过对许多秩-1问题矩阵求和和/或扩展现有问题矩阵的零空间来生成大于秩-1的二次型问题矩阵。通过生成该矩阵的krylov子空间，可以生成隐含基函数的优化子集。通过使用krylov子空间作为线性系统的基组，可以实现使用许多测试函数对基组的正确或近似评估。
取决于使用多少特征矢量以及它们选自哪里，可以实现对一组复杂的许多基函数的适度降级(gracefuldegradation)，这是因为每个后续特征矢量的幂被降低。
此外，用于定义声场形状的结果的复值线性系统采用n个基函数并将这些基函数重新组合成为结果场(resultingfield)，其描述了载波频率下声压的期望配置。
直到此刻，控制点基函数仅曾用于致动控制点。本文描述的是如何推广以将不同组的控制测试函数应用于初始控制点基函数或初始控制域基函数。
这是重要的，因为它打破了声场中行为的初始“调色板”与线性系统使用的目标函数之间的联系。例如，这可以被用于创建bessel函数的基组，其然后可以被用于致动控制点。
附图说明
附图(其中相似的附图标记贯穿各个视图指代相同或功能相似的元件)连同下面的详细描述被并入说明书中并形成说明书的一部分，并且用于进一步说明包括要求保护的发明的概念的实施例，并解释那些实施例的各种原理和优点。
图1和图2是任意动态范围的触觉波形，其可以通过非线性重新映射函数进行处理以创建受控动态范围的新波形。
图3-12是有效幅度调制波形，其由应用了不同范围控制技术的不同配置中的控制点产生。
图13-16是由gor'kov相关函数的优化产生的声压的投影。
图17是具有相同声压级、但在其中矢量分量的影响可以产生最大触觉效果但也可以不产生触觉效果的情形下的相同波的图。
图18是由相控阵列以dbspl、dbsil和dbsvl生成的声场的测量的模拟。
图19示出了通过求解二次型问题创建的控制点图。
图20示出了在平行于平坦直线换能器阵列的近场区域的边缘处通过声场的交点(cut)。
图21示出了bessel函数的图。
图22-23示出了对高阶bessel和mathieu波束的近似的截面。
图24-26示出了弯曲波束、局域空心波束和局域空心波束的局部截面。
图27-29示出了具有增加的波长的波束、蛇形波束和螺旋波束。
图30-31示出了移除换能器的效果，所述换能器从与期望的波的方向相反的方向贡献波。
图32-34示出了在没有重新映射的情况下对数方法和指数方法的收敛的区域。
图35示出了对数方法和指数方法的收敛图。
本领域技术人员将理解的是，图中的元件是为了简明和清楚而示出的，并且不一定按比例绘制。例如，图中元件中的一些的尺寸可以相对于其他元件被夸大，以帮助提高对本发明实施例的理解。
装置和方法组件在适当情况下已由常规符号示出在图中，仅显示与理解本发明的实施例有关的那些特定细节，以免用对于受益于本文描述的本领域普通技术人员而言将是显而易见的细节模糊了本公开。
具体实施方式
前述技术、装置和方法可以被组合地或单独地用在半空触觉系统中。
1.半空触觉设备的动态范围减小
i.心理物理建模
系统的行为和触觉输出必须根据人感知触摸的方式进行校准。例如，在控制点尺寸增加的情况下，触觉感知也增加，尽管在控制点处产生的物理幅度不改变。跨模态效果(例如来自音频)用于增强触觉反馈(如果它们是相关的)。这导致物理定义的控制点之间的差异，使得使用心理物理建模步骤以便实现等效感知成为必要。
ii.使用心理触觉(psychohaptic)模型重新映射
由于回放设备的物理限制，精确的波形可能不是如指定的可重现的。可以在心理触觉地定义的感知空间中构造波形。或者它可以由基本上绝对物理标度上的强度和力测量组成，其可以是和另外元数据一起潜在地表达的触觉纹理或任意构造的波形的记录。该波形表示给定“完美”半空触觉设备的控制点的行为。这然后使用心理物理模型来感知地评估，该心理物理模型可以描述和量化控制点的重新创建的感知方面。控制点可以在重新创建该触觉效果的同时进行移动。可以包括该移动作为触觉效果的感知评估的一部分。这然后可以被重新解释为可用于由用户位置、相对几何形状和可用功率限制约束的半空触觉系统的实例的输出空间，其中该系统被配置为创建基本上等效的控制点。
心理触觉模型赋予设备确定可以如何修改控制点的调制波形以便激发与完美设备基本相同的触觉响应的能力。实现该重新映射的过程也可以包括心理声学建模步骤，以便防止所得到的触觉波形变得有噪声，或者选择在可听见上更可接受的调制，该调制在感知触觉空间方面是闭合的(close)但具有更少的噪声。已知的是，通过增加可听噪声的量可以使许多波形在触觉上更有力。在某些情况下，这可能是噪声大到足以是难以维持的，而在其他情况下这可能是期望的。然后可以联合使用心理声学模型来提供音频到触觉折衷设置，其偏置输出以使其更安静或更强。
iii.心理触觉单元
如果在心理触觉空间中定义波形，其中幅度旨在感觉等效，则必须设计一种单元，该单元考虑所产生的控制点在半空中的心理触觉效果。这些中最值得注意的是整个手上的触觉感觉的整合。每个控制点所涉及的聚焦区根据物理设备的性质再次改变大小和形状，并且这必须在心理触觉单元的构造中被抵消。这样的心理触觉单元根据聚焦区的大小和形状来将它将评估的物理控制点幅度改变为什么样，从而抵消在大面积上触觉感觉的整合的效果。以这种方式，该方法允许相同数量的心理触觉单元编码等效感觉，保持设备和物理实例上的触觉等效。
iv.动态波形重新映射
为了实现到目标设备的最佳映射，可以考虑完整波形及其轨迹。然而，由于交互性并因此要求低等待时间，因此波形的仅一部分或甚至个别样本可以是可用的。尽管可以将整个波形重新映射到目标设备的能力中，但是这样做要求必须预先知道波形，并且其因此可以被认为是对已知波形的预处理步骤。一种可替代方案是重新映射每个波形样本在幅度上的物理性质，因为可以利用交互式波形实时地实现重新映射幅度样本，使其更适合于实时提供触觉反馈。
各种函数可以被认为是为控制点幅度样本提供重新映射的良好候选。这些包括对数线性曲线以及s形函数(sigmoidalfunction)，其可以令人信服地重现在其他模态中具有低动态范围的设备上的感知感官输入。虽然这些曲线通常不要求映射函数中的上限的指定，但是如图1和图2所示，假设存在有限量的可用功率，则可以更有效地使用动态范围。图1示出了任意动态范围100的触觉波形，其可以通过非线性重新映射函数110进行处理以创建受控动态范围120的新波形。这可以被用于获取任意动态范围的触觉波形并将其转换为更小的范围。由于波形在幅度上可以是无限大，因此这不填充输出的整个动态范围，从而导致未使用的输出范围。在图2中，类似于图1，非线性函数210将幅度波形200重新映射成对目标设备220可用的幅度。对波的范围的意识使得重新映射函数被精确地调整以适应特定于设备的输出范围。这允许利用设备输出的整个范围。
为了说明，在以下示例中使用最小线性重新缩放(minimalistlinearrescaling)来描述在半空触觉设备中映射如何防止不期望的行为。
图3中示出了曲线图300，其中朝向实现将波形重新映射成可重现的感知的第一步骤是将数据馈送到描述波形及其限度300的求解器函数中。在图3中，实线是a′1，并且虚线是a′1，range。这是简单波形重新映射函数的输入。这里的y轴是以设备内部的单位表示的。
这是通过定义需要被重现以发射波形而不进行削波的最大幅度来实现的-这在每个采样时间被表示为a′1，range。然后将其作为输入与输入波形幅度a′1一起馈送到求解器中。
图4中示出了曲线图400，其示出了在不对输入数据应用任何改变的情况下尝试重现该波形的结果。结果是波形由于缺乏可用功率而被削波以在控制点处重新创建必要的幅度。在图4中，实线是a′1，simulated，其是幅度(a′1，χ1，t)的结果以及不考虑设备的动态范围而尝试直接输出图1中用户指定的幅度的结果。
将系统中的有源换能器的物理配置定义为t和位置χ1处的期望的控制点幅度a′1，可以使用半空触觉系统的求解器函数的辅助能力来定义函数幅度(a′1，χ1，t)，如果给定设备物理上能够在给定时间提供这，则所述函数幅度(a′1，χ1，t)在控制点处产生期望的载波幅度，或者可替代地产生在控制点位置处可以被重现的最接近的幅度。
评估a1，limit：＝amplitude(a′1，range，χ1，t)，则产生输入幅度在该时间点可以被映射到的范围的最大值。这不需要是精确的，因为控制点在样本之间移动不多，所以可以使用来自控制点的先前迭代的a1，limit的值。也可以对该值进行滤波以便去除舍入误差和其他噪声源。在这种情况下，重新映射函数采用波形的单个样本，并将其从区间[0，a′1，range)重新映射到区间[0，a1，limit)上。图5中所示的是曲线图500，其经过重新映射函数500产生从a′1∈[0，a′1，range)到a1∈[0，a1，limit)上的直接映射。通过将幅度从a′1重新映射为由a1，limit：＝amplitude(a′1，range，χ1，t)至值a1而获得的范围，防止了波形的削波并且a′1，simulated＝a1。
v.对多个同时控制点进行重新映射
要一次针对多个控制点来使用该系统，必须同时评估范围，使得求解器可以如下保证：波形可以被正确地表示，如图6中两个正弦波情况示例。示出了曲线图600，其中在不同时间点用不同幅度a′1和a′2创建了两个控制点。相对于换能器阵列，一个控制点朝向其移动并且另一控制点越过其移动。它们被设置为以两个不同频率的正弦波在幅度上振荡。
与单个控制点(其中违背设备的功率限制导致功率不足)不同，具有超过设备的限制的多个控制点的削波波形促进点之间的串扰，混淆了它们的触觉效果。图7中所示为曲线图700，其示出了两个移动控制点的示例。图7示出了使用换能器阵列重新创建两个控制点的尝试，其导致复杂且不可预测的行为，这是因为两个点之间的不同共振被创建和替换，但最终无法达到期望的水平。
图8中所示为曲线图800，其使用辅助求解器评估来确定两点处存在的功率限制，其然后可以被写为{a1，limit，a2，limit}：＝amplitude(a′1，range，a′2，range，χ1，t)，导致所示的波形。这里，一个控制点正朝向设备移动，具有变得更强的潜在性，并且另一控制点正越过设备的面并远离设备移动，具有变得更弱的潜在性。从图8可以看出的，由于通过求解器解生成的动态范围限制，它们的波形然后可以按预期的进行表示并且没有串扰。因此，图8示出了两个点，它们的幅度包络被减小到这样的水平，由求解器保证该水平被如实地重新创建而没有误差或者具有受控的已知水平的误差。它们是相同的功率，因为这是以理想化幅度水平使平方幅度误差最小化的配置。
vi.跨多个同时控制点的功率重新分配
幅度范围可以被设置为不同的值，并且甚至可以通过时间被动态地设置，以便管理功率水平。以这种方式，操纵范围可以确定在给定控制点处集中的阵列输出的比例。这针对从一个控制点到另一控制点的功率的简单操纵而在图9和图10中示出，但也是使诸如图11和图12中所示的控制点之间的行为动态成为可能的更复杂的异相关系。
图9中示出了具有两个输入控制点的输入波形和范围的曲线图900。这些具有不同的波形范围，其作为提示也是双倍的，以允许每个点从设备取更多或更少的可用功率。图10中所示为曲线图1000，其具有由图9中的输入所得到的输出。在该配置中，当控制点分别远离和朝向阵列移动时，阵列产生的功率从一个控制点移动到另一个控制点上。因此，可以使用比预期控制点将具有相等幅度情况下的功率更多的功率，如针对图6、7和8所预期的。
图11中所示为具有交变函数(alternatingfunction)的曲线图1100，其中一个控制点或控制点组斜坡上升，其中幅度上逐渐减弱的另一个控制点或控制点组可以通过使该范围与正弦曲线匹配而进行有效地建模。该结果是根据调制系统每一侧的功率要求来重现每个波形，同时保证该系统的每一侧获取全阵列功率。结果是时间分片(timeslicing)而没有任意输出削波的潜在性。图12中所示为具有由图11中的输入得到的输出但没有所描述的分组的曲线图1200。这导致输出动态范围的减小，因为在所有控制点之间不必要地共享了功率预算。
2.声悬浮的陷阱点的高效创建
i.悬浮球形粒子的优化目标
悬浮粒子所需的优化问题以gor'kov能量势(energypotential)的使用为中心。这是一个标量函数，其评估在声场中粒子的每个可能位置的能量。在空间位置处找到最小或低能量状态对应于找到潜在稳定的陷阱点。然而，存在gor'kov势(gor’kovpotential)没有考虑的声学效应，诸如声流，其中声波在流体中引起整体运动(bulkmovement)。针对这个原因，优选还确保陷阱不出现在波动压力的区域中，其通常被确定是能量势中可行的最小值，这是因为由于其他因素未被包括在势的定义中，所以这些波动是破坏性的。
由于无法单独从gor’kov势导出诸如重力和声流效应的外部力的方向和量值，因此通常优选计算gor′kov标量势的拉普拉斯算子(laplacian)。这给出了对哪些轴优先于其他轴的进一步的控制程度以便生成内推力的更稳定布置。
ii.评估gor′kov势
gor′kov势场是能够使球形粒子由于能量最小的存在而漂浮的能量场，其被描述为(在bruus2012中)：
其中c0是声音通过声介质的速度，cp是声音通过球形粒子的速度，ρ0是声介质的密度，ρp是球形粒子的密度，涉及时间平均的压力
将此扩展到许多源而产生：
这的问题在于交叉项实际上意味着这变为：
导致为二次型且在换能器的平方的数量上增长的项。
iii.通过特征问题来优化势
忽略时间谐波效应并且在每个换能器中考虑压力和粒子速度输入，势定义可以被改写为：
u＝xhmx，
其中j是期望的陷阱的索引，并且额外的
这种x的选择使目标函数xhmx最大化，其由于mq，r定义中的负号而产生gor′kov势场中的最小值。这是因为xhx＝1是特征矢量的定义，以及xhmx＝xhλx，鉴于按定义当λ(矩阵的特征值)被最大化而xhx＝1时这必须产生最大值(如果其存在的话)。然后问题的标准陈述变为：
最大化xhmx
受制于xhx＝1，
并且
然而，如先前在文献中所讨论的，最小化gor′kov场的能量生成焦点而不是实际的陷阱点。为了生成陷阱点，陷阱处的压力波动被最小化。这是重要的，因为压力波动的定义是复值的，并且表示不能被有意义地最小化但是替代地使其为零的波动量。
iv.在特征问题内构造零空间以生成压力零
零压力条件可以被构造为一系列约束，其在声场中的给定点处评估为零压力。如果存在与高维相空间中的已知最佳压力聚焦解平行的解矢量的一部分，则压力仅可以在给定位置处评估为非零值。对于陷阱点j，存在矢量
因此，陷阱点j处的零压力的约束可以被描述为约束方程：
由于什么样的幅度对于此无关紧要并且该约束需要为单位长度，因此：
因此，该问题的标准陈述是：
最大化xhmx
受制于xhx＝1，
并且
从golub(1973)中获取eigensystem结果并将其重新表示为复值，得到以下参数：复值
给定m＝1的上述系统，特征方程针对该系统而可以被写为：
其中λ和μ是拉格朗日乘数(lagrangemultiplier)。这可以通过x矢量的共轭来区分，产生系统：
mx-λx+μc＝0，
通过乘以ch产生：
chmx-chλx+chμc＝0，
chmx-chxλ+chcμ＝0，
假设c是单位长度，则产生chc＝1，较早的问题定义产生chx＝0，并且替换两者产生：
μ＝-chmx。
将这替换回较早的导数中，产生：
mx-chmxc＝λx，
其是：
(i-cch)mx＝λx，
由于这是特征系统的陈述，但是(i-cch)m可能不是对称的，使得特征矢量计算变得困难。然而，i-cch可以被示出为是幂等的((i-cch)2＝i-cch)并且特征值通过排序而是不变的，产生：
(i-cch)m(i-cch)x＝λx，
将这扩展到更多约束矢量，左侧的进一步的相乘不存在问题：
其在多次相乘之后最终产生：
c＝[c1…cj…cm]，
其中
综上，通过确定具有
最后，以简单的方式添加对计算gor′kov势的拉普拉斯算子的支持是有用的。本文找到的gor′kov势解产生了陷阱点，但是不存在对从哪些方向施加力的控制，并且甚至可以存在没有力的方向。为了实现这一点，需要就势场的梯度中的最大发散点进行优化，并且然后对该场的梯度重新加权。这则是一般所说的gor’kov场的拉普拉斯算子。
v.用于生成gor′kov场的拉普拉斯算子的修改
最小化gor′kov场的拉普拉斯算子的修改仅必要地适用于m矩阵。如果舍弃来自每个换能器的波前曲率的影响并且仅将它们视为平面波，则使公式复杂化的奇异点(singularity)被移除并且粒子速度变为常数。由每个换能器得到的平面波可以以如下形式重写：
然后，在没有拉普拉斯算子的gor’kov的情况下，矩阵元素可以被表示为等效系统：
其中mq，r中的所有常数都被合并为aj，q，r。取该公式的拉普拉斯算子，然后产生经修改的矩阵公式：
使用该值代替m矩阵的相应分量产生了针对gor'kov势的拉普拉斯算子进行优化的解。由于项
因此它也可以被分成来自x、y和z方向的贡献：
以这种方式，可以应用加权来生成约束轴并偏置从每个方向生成的力。
vi.在设备中的实施方式
本文档中的系统表示可以被用于基于简单的特征系统求解器计算一个或多个悬浮陷阱的设备。这可以潜在地在设备固件中实施，以便创建能够使用声悬浮来进行约束、陷阱和运输物品的实施例。
这在图13-16中示出。
图13示出了等效方向加权的gor'kov的拉普拉斯算子。左侧1310是与换能器阵列平行的x-y平面。右侧1320是垂直于并切穿(slicingthrough)平坦换能器阵列的x-z平面。
图14示出了z方向重加权的gor'kov的拉普拉斯算子。左侧1410是与换能器阵列平行的x-y平面。右侧1420是垂直于并切穿平坦换能器阵列的x-z平面。
图15示出了零压力条件下的gor'kov最大化。左侧1510是与换能器阵列平行的x-y平面，其描述了如由围绕均匀强度的环的非均匀阴影所示的螺旋陷阱。右侧1520是垂直于并切穿下方的平坦换能器阵列的x-z平面。
在图16中，另外的特征模1610、1620、1630对应于也求解核心问题的陷阱解。这些不太有效，因为它们没有使目标函数最大化。这是因为目标函数的值(经修改的gor’kov势)对于与主特征矢量正交的这些模来说较小。所实现的目标函数的值被反映在与每个特征矢量相关联的特征值中。与较小特征值相关联的特征矢量表示这些可替代的不太有效的解。
3.具有应用于半空触觉的矢量效应的相控阵列设备聚焦
i.有源声强
可以使用声介质的压力p和粒子速度矢量u来定义有源声强ia。对于声波，这可以被描述为：
其中有源强度是纯实数矢量量。在波源的近场中，反应场(reactivefield)替代地占主导
考虑单色平面波源，其中：
导致：
其中
波沿着给定轴传播的声强和因此能量通量是令人感兴趣的，因此用于测量标量贡献的点积是：
由于声波方程的形式：
叠加原理必须适用于压力和粒子速度矢量两者。假设n个声源并且在感兴趣的点处将每个声源近似为平面波，则产生方程：
为了效率，其期望使用线性系统求解适当的变量。这意味着不能针对给定方向上的声强来求解它，因为它由两个独立的变量组成。现有技术求解复值标量压力
这导致扩展当前解机制以利用复值粒子速度矢量
ii.复值压力的求解方法
复值压力的求解方法涉及使用压力的声学模型。给定换能器位置以及控制点位置，可以查询该模型，并且在场中该点处因而产生的相量被确定。这是复数压力，
其中b是在位置1，…，j，…，m处空中的相量，并且x是来自换能器1，…，q，…，n的换能器激活系数，创建由b指定的空中行为所需的初始相位和幅度。
然而，由于b是复值并且包含相位和幅度规范，因此可以自由地修改相位偏移。可以利用这来找到打开最大的可能的幅度子空间的相位值。这是通过找到系统的主特征矢量y来实现的，ly＝λy：
其中a表示声场中每个点处期望的幅度，并且k表示所应用的每列归一化，其对于声场1，……，j，…，m中的每个控制点，抵消了该矩阵的每个对角线中为1的点积。当与初始幅度a相乘时，该矩阵的特征矢量y的归一化分量则将对应于相量矢量b，其促进场中每个压力点之间的增强。
可以使用以下形式来求解欠定问题的最小范数解：
xleastnorm＝ah(aah)-1b。
该解的关键是矩阵的逆c＝aah，其是经由cholesky分解来求解该系统的第一步骤，并且被写为：
意味着它也可以帮助导出特征系统矩阵l。然而，也对以下形式的系统起作用：
wfocus＝c-1b，
产生非常小的线性系统和后续解大小，其可以利用任何技术(qr分解、cholesky因式分解)来求解并且被保持在这种极小状态直到被发射为止。这个c矩阵和这个wfocus矢量在换能器中都没有索引，直到计算：
xleastnorm＝ahwfocus。
通常值得在最后可能的时刻通过乘以ah来转换回xleastnorm换能器激活，其将从每个换能器发射的波相乘，这是因为换能器可以是许多的。
iii.求解一个或多个各向异性控制点
在声场中创建控制点使得它们各自具有与它们一起指定的法向矢量或方向是将动量要求结合到相控阵列求解器中的一种方式。赋予每个控制点法向矢量实际上意味着求解x、y和z粒子速度，并因此求解波动量在感兴趣的点处的分量，而不是求解每个控制点处的压力。为了实现这一点，我们将线性系统方程从之前扩展到包括每个粒子速度的三个分量(代替先前定义的压力的分量)。然后这三个分量(被指定为αx，j0q、αy，j0q和αz，j0q)被定义为：
在每种情况下，
其指定每个控制点的声介质的粒子的速度的三个分量。然而，当对系统的解使用简化表示方法时，即c矩阵的规范以减少所需的工作量，但该矩阵的元(entry)的数量增加了九倍，使得该问题对于计算是显著更密集的。对于先前矩阵c的每个元素，
变成子矩阵：
当在特征系统矩阵l中使用现有方法时这仍然表现良好，尽管用户输入幅度变为
该解对于半空触觉反馈的应用是特别令人感兴趣的，因为它开启了创建从不同角度接近手的波的可能性。这可以使声波能够在边界上的皮肤中引起剪切波，其以额外所需计算的代价带来了可以使用半空触觉技术进行创建的全新感觉集。
iv.求解声介质中一个或多个控制点处的粒子速度
实现从以压力值为目标的求解器到能够以动量为目标的求解器的转换的另一技术是创建完全用声粒子速度进行工作的线性系统求解器，其(类似于原始压力方法)由于单色谐波时间而也是复值的。此外，它是标量。这可以通过以下来实现：计算控制点处的最大粒子速度的方向并因此计算合成波方向
为了实现这一点，每个换能器的声学模型被重新定为确定声介质中的粒子速度的问题。因此，当需要求解给定控制点的系统具有
因此，可以修改声学模型以产生以下值：
其中
然后必须使用这些值来构造c矩阵的点积：
但存在两个潜在途径来实现这。所需的点积通过以下来定义：
这可以被写成：
其中
综上：
其中在第二阶段中，该模型能够计算：
在开始该过程的其他阶段之前，在换能器模型内部。其余阶段以与之前非常相似的方式进行，只是速度作用的方向是不同的。
该方法允许半空中触觉反馈的应用更直接地处理向手的动量传递，而不是压力。这导致感觉的可重复性的改善，并因此导致感知行为的测量的改善，其对于作为商业化技术的半空触觉的扩展是至关重要的。
v.附图
图17示出了具有相同声压级(spl)的相同波根据入射角在表面处产生不同的效果。在左侧1710，平行于表面(右)行进的波(左)以一些能量e撞击，由于动量交换而以稍微更少的能量反射和离开。在右侧1720，垂直于相同表面行进的波不反射和交换能量，因此以相同量的能量离开。因此，不可能赋予触觉效果。
在图18中，顶部两行1810、1820中所示为由相控阵列分别以由时间飞行方法创建的两个不同焦点的dbspl、dbsil和dbsvl生成的声场的测量的模拟，其中浅灰色为+10db，白色为0db，并且深灰色为-10db。分别具有相同颜色方案的底部行1830(dbspl-dbsil)、(dbspl-dbsvl)和(dbsil-dbsvl)揭示了每个测量方法之间的差异。由于svl场测量模拟基于介质的粒子的速度，所以svl场测量模拟可以允许波进一步由于额外的矢量分量抵消而抵消。因此，dbsvl总是小于dbsil，dbsil小于dbspl，但是由于它们相应的分量和sil测量的有效几何平均值的相乘，它们在对数db空间中以相似距离分开。
4.半空触觉系统中二次型问题的特征系统解
i.二次型优化的rayleigh-ritz定理
假设矩阵m是方半正定埃尔米特(hermitian)d×d矩阵。由于矩阵是方阵和埃尔米特矩阵，因此每个特征值必须是实数。由于它是半正定的，因此这些特征值必须为正，如xhmx≥0。
特征值然后可以被组织为：
λmin≤λ1≤λ2≤…≤λd≤λmax。
矩阵的λmin和λmax然后可以被示出为是优化问题的解：
并且
这是rayleigh-ritz定理。由此得出，可以找到来自这些中的每一个的x矢量作为找到的特征值的对应特征矢量。
ii.相控阵列系统的二次型优化
当考虑相控阵列系统时，如下定义xh是有用的：
其中n为单色声源的数量，使得该矢量解可以被用于驱动源换能器的阵列。然后将矩阵m定义为n×n埃尔米特矩阵，使得当x是单位范数(|x|2＝1)特征矢量时：
这然后表示优化的形式。剩下要做的是用特定的纯二次型(因为矩阵m需要是对称矩阵或埃尔米特矩阵)目标函数来填充矩阵m。
对于产生埃尔米特矩阵m的目标函数存在五种潜在有用的纯二次型形式，并因此可以使用现有的特征矢量求解器来使其最大化以获得可以被用于驱动半空超声波触觉的求解场：
1.最大压力优化(总spl)：a.最大化
2.最大粒子速度优化(总svl)：a.最大化
3.最大粒子速度优化，但沿给定方向(可用svl)：a.最大化
4.最大声强(能量通量密度)优化(总sil)：a.最大化
5.沿着给定方向的最大声强(能量通量密度)优化(可使用的sil)：a.最大化
iii.优化以使压力最大化
能够使每个控制点处的压力最大化的二次型形式优化器将对以下量进行建模：
在每个控制点j处，产生目标函数的求和
其使得n×n矩阵的每个元素的主特征矢量针对如下来求解：
其中
iv.优化以使粒子速度最大化
能够最大化粒子速度的二次型形式优化器将对以下量进行建模：
对于每个控制点j。这将产生目标函数的求和：
其使得n×n矩阵的每个元素的主特征矢量针对如下来求解：
其中uxjq是引起的粒子速度幅度的x方向部分(其是实数且正的)，并且
v.优化以在一组给定方向上最大化粒子速度
能够在一组给定方向上最大化粒子速度的二次型形式优化器将对以下量进行建模：
对于每个控制点j。这将产生目标函数的求和：
其使得n×n矩阵的每个元素的主特征矢量针对如下来求解：
其中
vi.有源声强
可以使用声介质的压力p和粒子速度矢量u来定义有源声强ia。对于声波，这可以被描述为：
其中有源强度是纯实数矢量量。在波源的近场中，反应场替代地占主导
我们有：
其中
波沿着给定轴传播的声强和因此能量通量也是令人感兴趣的，因此用于测量标量贡献的点积被形成：
由于声波方程的形式：
叠加原理必须适用于压力和粒子速度矢量两者。假设n个声源并且在感兴趣的点处将每个声源近似为平面波，则产生方程：
已知的是，在所讨论的模态中，
vii.优化以使声强最大化
生成标量值的第一个量是：
但是假设它在远场中，这也可以被写成：
这是压力求和的四次幂，但由于复数指数的结构，这些中的两个是相同的，并因此可以通过平方根而被去除。
因此，能够最大化声强的二次型形式优化器将对以下量进行建模：
对于每个控制点j。这将产生目标函数的求和：
其使得n×n矩阵的每个元素的主特征矢量针对如下来求解：
其中
viii.优化以在一组给定方向上最大化声强
能够沿着给定方向最大化声强的二次型形式优化器将对以下量进行建模：
但是那么假设它在远场中，这也可以被写成：
对于每个控制点j。这将产生目标函数的求和：
其使得n×n矩阵的每个元素的主特征矢量针对如下来求解：
其中
ix.找到加权因子
rayleigh-ritz定理示出了，通过找到主特征矢量并允许幂增加直至换能器的物理限度，可以使以上矩阵中的任一个最大化。这可以通过幂迭代来实现。通过在分别单独定义控制点之和的每一个的同时构造矩阵m，当乘以矢量x时，可以执行目标函数的评估作为附加的副作用。这可以被用于找到权重wj的适当值，使得它们允许最大化以找到当缩放时适合于系统的解的幅度。
如幂迭代描述：
其中：
我们可以使用幂迭代来确定每个控制点处的目标函数。
定义：
并且：
在每次迭代时，它可以替代地计算：
xa，j＝mjxa-1，
因此，每个控制点处的目标函数可以被评估为：
最后，如之前可以计算xa：
其中最终的特征矢量解如上。然而，以这种方式计算它允许oj(xa-1)产生控制点j的中间结果。为了确定这表示期望的控制点输出的水平，取平均目标函数值以便允许该组值oj(xa-1)与由用户给定的目标值进行直接比较。在这种情况下，可以使用任何用于优化损失函数(expensivefunction)(诸如例如nelder-mad算法)的无导数的方法来针对下一次迭代更新加权因子。
在几次幂迭代方法和耦合的无导数优化之后，中间结果xa应该被用于驱动换能器。因此，这将允许系统通过时间来跟踪目标函数的期望值，同时允许一些误差。该系统的优点在于它是驱动换能器阵列的一种非常简单的方式。最大的缺点在于需要进行许多计算，但该计算实际上仅仅是复数乘法，利用足够的硬件来直接实施该复数乘法。
x.附图
图19中所示为：左顶部1910：通过用非垂直矢量求解二次型粒子速度问题而创建的控制点，被显示为穿过x-y平面的交点。右顶部1920：被显示为穿过x-z平面的交点的同一控制点。左底部1930：为了比较，通过求解二次型压力问题而创建控制点，被显示为穿过x-y平面的交点。右底部1940：通过求解x-z平面上的压力问题的交点。
5.通过二次型问题指定的相控阵列的控制区域
本公开描述了一种使用用户提供的设计参数自动地生成基函数的方法。这些参数以在线方式被输入到通过给定换能器基组的空间中的二次型函数的高效优化。这给予用户通过在线优化可访问的设计空间，其可以生成各种不同的效果。使用线性算子，称为‘二次型控制区域’，因为它是二次型问题的控制区域，可以通过对换能器效果的并向量积进行评估来构造矩阵。该矩阵的主特征矢量可以被选择作为一组标准正交解中的最佳解，该组标准正交解等同为该矩阵的特征矢量。该优化产生作为输出的换能器激活系数——驱动各个换能器元素以重新创建具有期望性质的声场或现象所需要的原始复值。
这些原始复值然后可以被用于进一步包括稍后的线性系统的基函数，其解使用户能够同时产生所有期望的效果，同时对可用于每个的输出功率重新加权。
i.线性控制区域
线性控制区域，其被定义为利用复值加权函数w(x，y，z)来执行对线性声学量(诸如压力)进行积分的算子：
可以被用于评估声场。应该注意的是，当w(x，y，z)与声学量中的类似相位分布配对时，复数共轭被用于最大化函数评估。可以使用对该积分(诸如采样)的任何近似，或者实际上这可以被用于近似声压力场上的任何线性算子。可以构造另外的积分以使用矢量粒子速度来优化控制区域，只要它也是线性的，其中：
其中u是介质的粒子速度，并且w是每个维度是复值的三维矢量场，其用作具有如上相同目的的加权函数。以这种方式，可以以线性方式评估不同的声学量模式，当相位与由w中的标量或矢量函数创建的‘模板’对准时，使结果的特定相位最大化。
还应该注意的是，w(x，y，z)可以大部分为零(或由零矢量组成)以创建对多个看似不相交的区域的单个评估。可以使用任何积分近似(诸如采样)，因为该公式可以扩展到线性声学量的场上的任何线性算子。
可以通过控制每个换能器的一系列复值系数来描述相控阵列。利用这样的输入x矢量以固定频率驱动声换能器阵列以最大化在矩阵m中编码的声学量可以被表示为线性代数问题，所以意图是：
最大化xhmx
受制于xhx＝1，
并且
这可以通过取矩阵m的主特征矢量来求解，因为该问题的陈述也是特征矢量(这里为x)的定义。可以通过首先考虑由每个换能器发射的线性声学量作为所讨论的声学量的全局空间中的基函数来实现构建矩阵m。这是在由x、y和z中的绝对位置描述的单个点处实现压力和其他声学量的最大化的方式。然而，使用所描述的控制区域积分，可以将控制发射到每个单独的换能元件的场中的声学量的q(x，y，z)替换为f(x，y，z)，从而产生列矢量：
通过调用线性度，驱动每个换能器的复数激活值可以被相乘，从而导致矢量：
其中n是传感器的数量。鉴于该m是线性算子对线性场进行运算的结果，它可以是埃尔米特转置的并且乘以其自身以生成二次型形式。最后，
mhm＝xhmx＝xhffhx。
通过修改加权函数w(x，y，z)并求解矩阵m的特征矢量，各种不同的波束、表面和其他声学现象可以被创建并被最大化，从而在声场中产生最佳致动的区域。
先前讨论的零空间生成技术(“针对半空触觉系统中的二次型问题的特征系统解”)也可以被用于扩展该方法以描述声悬浮，以及通过在描述结构的位置处将零点引入到场中而允许半空纹理的零控(nullsteering)和形成。应该注意的是，该过程增加了矩阵的秩，因此如果使用这则简化是不可能的。
同样地，对于许多控制区域，可以通过将m个矩阵加在一起来执行多个优化。这也可以包括表示控制点的矩阵。这生成具有增加的秩的矩阵，因此一些简化方法在使用这的情况下是不可能的。
通过考虑该结果并以迭代方式对每个点重新加权，该系统可以被修改以便收敛到声学量的所需几何配置。当幅度在输出中不一致时，通常可能需要这。
这可以通过在下一迭代过程中对所产生的声学量求和并且将该系统重新加权到更接近该结果来实现。例如，对于积分的任何子分隔体积或单个压力点的迭代重新加权变为：
其中t+1指的是该技术的下一粗略迭代，t是当前迭代，pr是期望的压力(其可以是复数)，并且分母是由当前迭代获得的总压力。该分数可以仅被呈现为实数量级，以便仅影响所得区域的幅度而不影响相位。
bessel波束可以通过以下来创建：在波束行进方向上表达加权函数w(x,y,z)，并且在波束向前移动时向前修改相位角的同时创建单位压力。这可以用点样本进行采样，只要每个后续点横越的角度足够小以足以沿着波束轴对相位进行采样。
相位的采样对于相位移动的每2π角度必须重要地具有多于两个相位样本。这是因为如果沿着路径的递增是π，则波行进的方向是不能确定的。这也意味着在大多数情况下，相位必须向前递增，使得它对于它所覆盖的单色频率距离的每个波长完成2π弧度旋转。这是对控制区域定义中描述的形式的路径积分的近似。
作为使以这种方式写的积分最大化的结果，换能器将在远离阵列移动的直线中渐进定义的样本波束的情况下，由于其以这种配置生成优化压力的理论能力而生成优化的bessel状波束。图20中所示为在平行于平面直线换能器阵列的近场区域的边缘处穿过场的交点，揭示了复值换能器激活系数的结构。简单的渐进相位波束产生bessel函数近似(左2000)，并且欠采样螺旋波束产生具有偶极子行为的bessel状函数(右2010)，其中偶极子创建两个结构，其以彼此相位相反的方式进行激活。由于有限的换能器分辨率、有限阵列大小以及优化将需要面对的其他物理考虑因素的影响，波束可能不是精确的bessel波束，但可能由于考虑真实换能器阵列的物理限制的优化而比bessel波束函数的简单评估更有效地工作。在大阵列上，它紧密地遵循bessel函数，图21示出了当从图20中的阵列的中心径向地考虑时沿着压力绘制的bessel函数的曲线图2100。
该系统的另外性质是可以使用具有任何所生成的单色场函数的、任何位置和取向的换能器。这是通过采样方法生成bessel波束的显著优点，其通过定义将仅在平面阵列情况下起作用。
通过创建多个异相路径，可以通过围绕路径缠绕螺旋波来隐式地创建相移和相位奇异点。该路径也可以是弯曲的，产生大程度的可配置性，同时使用嵌入在特征系统方法中的简单二次型优化。这是通过在许多平行波束线中定义分离的相绕组引起波束中的旋转来实现的，所述平行波束线彼此比波束宽度更近但相位不同。然后，通过将附近相位设置为在波束的中心线中相互抵消，可以形成高阶bessel波束，如图22中所示。在图22中，圆圈周围的渐进相位(因此，相位呈螺旋布置)的多于两个的样本致使形成具有角动量的bessel函数，如在左侧2210所看到的。通过使用多于2π弧度来指定螺旋周围的相位，可以生成更高阶的bessel波束，诸如在右边2220的4π波束。
可以使用点或如之前的任何其他积分近似来对这些相位线采样，因为这些是不相交区域可以如何被定义为单个区域优化的示例，其中可以通过仅在要被优化的体积中将加权函数设置为非零来将每个加到优化区域。可以通过相位上递增并且在椭圆周围间隔开的递增相位波束来创建高阶mathieu型椭圆螺旋波束。如图23中所示，可以通过在相位上对椭圆的圆周进行参数化来创建椭圆螺旋波束，其具有与高阶bessel波束(诸如mathieu型波束)类似的性质。确定2nπ弧度的比例并分配与椭圆弦圆周成比例的相位角生成用于波束的优化的适当配置。左图像2310示出了重新成形为椭圆、接近matheiu波束的高阶bessel。右图像2320示出了具有在中心区域中开始形成的交联螺旋结构的近似matheiu波束。两者都基于12π弧度的相位圆，创建了螺旋波前。
以这种方式创建的bessel波束族可以被修改以产生更多的奇异波束，这些波束以更加约束性的形式存在于文献中。通过在场中创建由物理上可行的相位函数横越的任意路径(其以适合于波的横越的方式向前移动)，可以重现各种结果，但是由于特征系统所暗含的优化以初始带宽成本上比之前更一般且更低的形成，因为波束仅需要由积分来表示。
采取弯曲路径并向前移动相位可以产生弯曲的波束，通常被用于在由45°圆弧段、之后为将所形成的波束推出到无限远的路径所产生的障碍物周围操纵波束。图24中所示为由相位函数形成的弯曲波束的图像2400，该相位函数遵循被连接到沿着线延续的圆的45度段，使用粗略迭代方法来均衡沿着波束的声压力。换能器阵列沿着图像的下边缘设置。
涉及多个相位路径的另外的方法可以创建“局域空心波束”，具有从中心切下的部分的波束，其可以促进大物体的悬浮。这已在图25中生成，其示出了使两个高斯曲线成对的图像2500，沿着该高斯曲线已经使相位跟随。通过创建相位函数产生的局域空心波束遵循使用粗略迭代方法的高斯曲线来均衡沿着波束的声压力。换能器阵列沿着图像的下边缘设置。下区域的虚线特性表明输入到优化的相位速度太慢，并且可以通过针对初始部使用更快的相位速度来改善该波束。也可以使用曲线的部分，诸如在图26中，因为如果物体足够刚性，则仅需要使空间的一些部分为高声压力区域。图26示出了由以渐进相位定义的圆的部分形成的不完整局域空心波束的图像2600，其可以被用于通过以非均匀方式优化高声压力区域来悬浮甚至更大的物体。如果假定要被悬浮的物体或物质具有足够的内聚力而不通过低声压力区域流动、挤出或泄漏，则不必均匀地分散施加在大物体上的力。
可以通过比相位速度更快地向前移动路径来创建bessel状波束。通过这种方式，波束将以比平常更快的相位速度进行优化，创建看起来具有更长波长的波束，并且由于相位速度比声音的速度更快地行进，如图27所示。图27中所示为波前的图像2710，其比声音的速度更快地行进，这可以通过实施相位路径来创建，所述相位路径以利用相同频率似乎矛盾地生成更长波长的方式通过角度移动。隐式优化推断主波束由交叉波束组成，从而引起相位速度的指定增加。这可以从右侧的图像2720看出，其中对于波束的初始部，在相同频率下波长被操纵为长出近似40％。可以通过沿着正弦曲线对渐进相位进行采样来构造蛇形波束。图28中所示为示例2810，其中正弦曲线的短部被限定，接着为由相位阵列上方遵循正弦曲线的压力的渐进相位构造的更长的二维蛇形波束的2820。这些示出了，通过简单地添加渐进相位的另外部来扩展蛇形正弦波束致使该波束只要需要就被自然地扩展(并且由换能器的物理布置所允许)。通过在所有三个维度上创建蛇形波束以得到螺旋蛇形波束，可以产生波束，该波束可以以类似于阿基米德螺旋系统的方式进行使用，以潜在地沿垂直于或相对于波的发射的方向向场中的比波长大得多的固体物体施加力。这给出了一种不同的机制，由此可以使用波束来悬浮物体。图29示出了详细说明了x-z平面中的部分的左图像2910和示出了波束在x-y平面中的部分的右图像2920。使用遵循沿x方向和y方向缠绕的圆圈中的路径(但其在z方向也是渐进的)的这种技术，可以创建真正的螺旋形成物。这可以被用于悬浮比波长大得多的物体，并以类似牵引波束的方式向比波长大得多的物体施加力。
如果特征系统矩阵由单个控制区域定义，则该矩阵具有秩1并且由复值矢量m与其自身的并向量积形成，从而将矩阵定义为fhf。在这种特定情况下，系统的单个特征矢量即是已知的并且是f，意味着f＝x。通过在这种情况下评估目标函数，目标函数自身指定所需的复值换能器激活的系数。这通过简单地评估每个换能器的控制区域函数来定义，其变为激活系数。
如之前，由于二次型形式，也可以执行通过对每个迭代的重新加权来评估有效性。这是通过评估每个点处的压力或每个子区域上的压力积分并除以所需压力来实现的，从而生成新的函数值以更新wt,i(x,y,z)，子区域i的权重。然后可以重新评估也是f的单个特征矢量，从而生成从之前的特征系统上的重复迭代的等效方法，但是以大大降低的计算成本。
为了利用介质的粒子速度来实现这一点，我们可以使用粒子速度的测试，其相当于改变方向直到达到最大值为止：
尽管也可以使用先前技术监视压力以产生混合方法。这种混合技术涉及指定加权函数并且如之前那样更新压力，但具有有效的控制区域：
产生标量但是可变的且复值的w(x,y,z)，其与不变的加权法矢量v和粒子速度u配对。该方法可以优化以找到令人满意的压力但不改变所寻求的波的方向。除了下一节中描述的特定校正外，还在图28中显示了这一点。
ii.方向控制点和区域的波前滤波
创建方向输出所必需的另外技术是在换能器输出波前
对于所考虑的区域中的点。
图30示出了从换能器阵列进一步定义的两个速度矢量样本的左图像3010和接近阵列定义的两个速度矢量样本的右图像3020，所述两个速度矢量样本具有其波前沿与所定义的控制方向相反的方向被移除的换能器。使用在这两个不相交区域中指定的速度加权函数在每种情况下构成单个区域，其中该区域针对表示在两个分离点中介质的粒子速度的方向矢量进行优化。
注意的是，在试图找到x方向上的速度的最大量时，并不一定意味着所得到的粒子速度方向将完全在x中。而图30示出了滤除提供与期望方向相反的波前的冲突换能器的结果，图31中所示为左图像3110和右图像3120，它们是没有使用波前标准对换能器波前方向进行滤波的结果。在图31的情况下，冲突的换能器自由干涉，其病理(pathology)以水平上驻波结构的形式而是明显的。这是因为波前方向传达了粒子速度中缺失的方向信息，粒子速度不产生关于波源自哪个方向的信息，从而产生不期望的干涉。
这不仅对于控制区域而且对于正常控制点的简单情况也是重要的。控制点的情况实际上是简化的控制区域，其中它用粒子速度的单个点样本来近似而没有加权因子。在任一种情况下，不滤除‘无用的’换能器产生与‘驻波’现象的影响因素相似的结果。这是因为具有复数分量的粒子速度矢量无法确定沿不同方向行进的波之间的差异：在该模型中，以相位0从左到右行进的波用于在数学上与以相位π从右到左行进的波相同的点样本。因此，如果这在生成控制点或控制区域的基础上没有进行正确处理，则优化将尝试使用两者，生成具有没有进行有意义贡献的驻波分量的解，创建额外的空值、没有场的区域，其是不需要的。这是重要的点，因为作为基函数而输入到线性优化、特征系统或甚至没有该滤波步骤的简单公式中的控制点将展现出这些假象。
所描述的这些技术可以被集成到设备中以创建声学相控阵列系统，该系统能够通过迭代如这里定义的单个特征系统或者在创建单个点或区域的简单情况下产生任意配置的区域和波束。在单个点或区域的情况下，可以应用优化以生成简单公式，其示出了驱动换能器元件所需的幅度和相位是通过评估点或区域而表示的幅度和相位。可以以依赖于时间的方式改变和修改全局方法的迭代和通过时间的重复应用以产生各种触觉效果。这可以被应用于期望的场和导出的换能器系数，因为它们在功能上是相关的。
iii.潜在的权利要求
1.一种在单色声场上的方法：
-通过对声压力场函数与加权函数的乘积进行积分来将声压力的分布评估为单个值，其中任一所述函数能够是复值的并且是从物理换能器性质导出的。
-将要被添加的零个或多个零点应用到矩阵的零空间。
-使用这作为在优化中要被最大化的目标函数，其中优化结果采用由每个换能器的目标函数的交叉乘法项形成的矩阵的特征矢量的形式。
-对一个或多个这样的矩阵求和以生成特征系统，其中一个或多个特征矢量产生指定的场。
2.一种在单色声场上的方法：
-通过对实数三维加权矢量场与具有加权函数的粒子速度场的点积进行积分来将声学粒子速度的分布评估为单个矢量值，其中任一函数能够具有复值分量并且是从物理换能器性质导出的。
-将要被添加的零个或多个零点应用到矩阵的零空间。
-使用这作为在优化中要被最大化的目标函数，其中优化结果采用由每个换能器的目标函数的交叉乘法项形成的矩阵的特征矢量的形式。
-对一个或多个这样的矩阵求和以生成特征系统，其中一个或多个特征矢量产生指定的场。
3.一种在单色声场上的方法：
-通过对实数三维加权矢量场与具有加权函数的粒子速度场的点积进行积分来将声学粒子速度的分布评估为单个矢量值，其中任一函数能够具有复值分量并且是从物理换能器性质导出的。
-将其波前在该点处具有与所述积分的每个评估的子区域处制定的法线相反的方向的换能器的贡献设置为零。
-将要被添加的零个或多个零点应用到矩阵的零空间。
-使用这作为在优化中要被最大化的目标函数，其中优化结果采用由每个换能器的目标函数的交叉乘法项形成的矩阵的特征矢量的形式。
-对一个或多个这样的矩阵求和以生成特征系统，其中一个或多个特征矢量产生指定的场。
4.一种在单色声场上的方法：
-通过对声压力场函数与加权函数的乘积进行积分来将声压力的分布评估为单个值，其中任一所述函数能够是复值的并且是从物理换能器性质导出的。
-应用零个或多个零点以添加到矩阵的零空间。
-使用这作为在优化中要被最大化的目标函数，其中优化结果采用由每个换能器的目标函数的交叉乘法项形成的矩阵的特征矢量的形式。
-使用每个换能器的贡献来描述所述换能器输入信号的最佳相位和幅度。
5.一种在单色声场上的方法：
-通过对实数三维加权矢量场与具有加权函数的粒子速度场的点积进行积分来将声学粒子速度的分布评估为单个矢量值，其中任一函数能够具有复值分量并且是从物理换能器性质导出的。
-将要被添加的零个或多个零点应用到矩阵的零空间。
-使用这作为在优化中要被最大化的目标函数，其中优化结果采用由每个换能器的目标函数的交叉乘法项形成的矩阵的特征矢量的形式。
-使用每个换能器的贡献来描述所述换能器输入信号的最佳相位和幅度。
6.一种在单色声场上的方法：
-通过对实数三维加权矢量场与具有加权函数的粒子速度场的点积进行积分来将声学粒子速度的分布评估为单个矢量值，其中任一函数能够具有复值分量并且是从物理换能器性质导出的。
-将其波前在该点处具有与所述积分的每个评估的子区域处制定的法线相反的方向的换能器的贡献设置为零。
-将要被添加的零个或多个零点应用到矩阵的零空间。
-使用这作为在优化中要被最大化的目标函数，其中优化结果采用由每个换能器的目标函数的交叉乘法项形成的矩阵的特征矢量的形式。
-使用每个换能器的贡献来描述所述换能器输入信号的最佳相位和幅度。
7.根据权利要求1至6所述的方法，其中，另外的设备实施所述方法并使用该结果来驱动声换能器。
8.根据权利要求1至6所述的方法，其中，另外的设备实施所述方法并使用该结果作为线性基组的一部分，所述线性基组用于驱动声换能器。
9.根据权利要求1至6所述的方法，其中，产生声波束。
10.根据权利要求1至6所述的方法，其中，产生音量。
11.根据权利要求1至6所述的方法，其中，产生声表面。
12.一种在声场上的方法：
-使用从物理换能器性质导出的场的线性组合，将声学粒子速度评估为点处的单个值。
-将其波前在所述点处具有与所述控制点处的法线相反的方向的换能器的贡献设置为零。
-使用这作为优化问题中的基函数，以用于找到换能器输入信号的相位和幅度。
13.一种在声场上的方法：
-使用从物理换能器性质导出的场的线性组合，将声学粒子速度评估为点处的单个值。
-将其波前在所述点处具有与所述控制点处的法线相反的方向的换能器的贡献设置为零。
-使用这作为优化中要被最大化的目标函数，其中优化结果采用由每个换能器的目标函数的交叉乘法项形成的矩阵的特征矢量的形式，其然后找到换能器输入信号的相位和幅度。
14.一种在声场上的方法：
-使用从物理换能器性质导出的场的线性组合，将声学粒子速度评估为点处的单个值。
-将其波前在所述点处具有与所述控制点处的法线相反的方向的换能器的贡献设置为零。
-使用每个换能器的贡献来描述所述换能器输入信号的最佳相位和幅度。
15.根据权利要求1至14所述的方法，其中，当所得到的结构作为输入信号被应用并被调制时，所述换能器产生触觉效果。
16.根据权利要求1至14所述的方法，其中，当所得到的结构作为输入信号被应用并通过时间被修改时，所述换能器产生触觉效果。
6.硬件中复值的超越函数、乘法和除法的评估
通过旨在在
i.介绍
存在许多用于硬件中的三角函数和其他特殊函数的计算的技术。一种这样的方法是bkm方法，其将复数对数替换为复数指数，反之亦然，生成这些特殊函数作为从一个表示移动到另一个表示的副作用。特别感兴趣的是那些处理复值函数的情形，因为在该情形中这样的函数被发现是必要经常遇到的。
在对数和指数形式之间移动的高效方法使得能够在对数空间中将乘法和除法作为简单的加法和减法来执行。由于该过程的特性，这也可以被利用来容易地产生与指数相关的超越函数。由于这可以从单个算法生成，这导致减小的实施尺寸(因为仅一个元素需要实施)和减小的开发时间(因为仅一个方法需要被实施和优化)。
现有算法bkm实施了该方法，但包括三个不利要求，这些要求在所提出的方法中几乎或完全被消除：
除其他外，硬件除法难以对关于数据输入和输出的预处理和后处理步骤实施函数。
无理数值和因子为高效实施创建了舍入问题。
需要额外的运算来利用浮点类型进行积分。
下一节将描述所提出的方法如何被设计成没有这些缺点。
ii.动机和比较范围减小
该过程以欧拉公式为中心，eiθ＝cosθ+isinθ，但其中er是另外的系数，因为该公式具有复数推广形式，其产生er+iθ＝er(cosθ+isinθ)。bkm算法所体现的复数函数正好是这样的，使得实施的过程
当处理复数指数时，指数可以被分成实部和虚部，其使用相同的输入数据但产生不同的结果。这在某些方面类似于笛卡尔到极坐标变换。
只考虑要被取指数的对数的实部，这包含所有模量信息，类似于笛卡尔到极坐标变换的r分量。这传统地是无理常数e的实部次幂。为了将其馈送到算法中，这首先必须进行范围减小，意味着我们必须找到余数，将模数除以无理值ln2，使得其适合在收敛域内部。这涉及硬件除法(1994年的论文推荐srt除法技术)，并因此这在实施与该算法一起的除法所需的逻辑方面增加了非常昂贵的技术。
所提出的算法的前提是应该使用2的幂来使范围减小直接明了。有了这个动机，实部应该被解释为2的给定次幂，其为实部，因此以2为底的指数。然后，实数对数输入的整数可以指输出上的位移位，并且仅相对二进制对数输入的小数部分需要适合收敛域。然后，通过以这种方式分别舍入到最近值并进行取指数来得到复数对数的实数分量的整数部分。
只考虑要被取指数的对数的虚部，这包含所有的幅角或角度信息，类似于笛卡尔-极坐标变换的θ分量。这传统上是e次幂，但e不是这里的问题。这次问题是π，因为虚数对数部分可以被解释为角度，但是为了约束收敛域，我们必须再次从2π的整数分数中找到余数，使得可以利用旋转对称性。这又涉及更多的除法过程，其在逻辑尺寸方面是昂贵的。
如果不是底数e的对数，则可以使用底数2。这得到扩展2iθ＝cos(θln2)+isin(θln2)。这又是更多不需要的无理值，然而，如果我们专门使用底数e2π，则我们可以使用θ来表示旋转次数。不幸的是，使用这个底数导致不收敛的方法。技术和收敛范围之间的最佳折衷产生底数
这使得对数的小数部分仍然在r＝[-0.5，+0.5)+i[-0.5，+0.5)的范围内被取指数，如图32的右面板3220所示，其适合在主算法的收敛范围内。在图32中，针对区域[-2.0，+2.0)中对数到指数过程的输入绘制的指数误差，其中右侧是正实数，并且图像的下部是正虚数。利用50个小数位和相似数量的迭代，黑色区表示已收敛到大于2-45的精度的值。左面板3210示出了收敛域，其中灰色被映射到大于2-45的误差。右面板3220示出了为白色的最终所需的收敛区域r＝[-0.5，+0.5)+i[-0.5，+0.5)。
稍后描述针对对数输入的小数部分的主算法的讨论。
还实现了逆向过程，取具有其被取指数的实部和虚部的值，并将其还原为其原始对数。首先，我们找到复值所属的象限，偏移45°。这是通过确定哪个分量具有最大绝对值来实现的；无论其是实数还是虚数以及其符号。这将定位这些象限中的哪一个以该值所属的角度偏移。然后，这被用于计算旋转以将值移动到第一象限中，该第一象限的区域以实数线的正部分为中心，如图33的中心面板3320所示。图33示出了针对区域[-2.0，+2.0)中指数到对数过程的输入所绘制的指数误差，其中右侧为正实数，并且图像的下部为正虚数。利用50个小数位和相似数量的迭代，黑色区表示已收敛到大于2-45的精度的值。左面板3310示出了收敛域，其中灰色被映射到大于2-45的误差。中间面板3320使用反转灰度示出了以实数线为中心的象限。右面板3330示出了为白色的最终所需的收敛区域
对数输出的虚部被预加载了输出复数对数的等效虚数整数部分。由于45°偏移，进一步测试将是必要的以用于复数分支交点落在实数线的负的部分上，但是如果使用2的补码系统环绕，这是可以被忽略的，因为鉴于必要的位，象限中测量的对数的虚部可以被容易地约束到位于区间[-2.0，2.0)。
此时，当确定值位于第一象限中时，已知实部的绝对值大于或等于虚部的绝对值，并且已知实部是正的。为了找到对数的实部的整数部分，我们可以对定点表示中的前导零进行计数。从定点表示中的位数减去此计数的值实际上是
在该过程的结束时，已经确定了输出复数对数的整数部分，使所未确定的输出的小数部分和输入范围
结果是函数
改变结果的底数仍然意味着它具有对数和指数的所有性质，从而意味着对数的实部可以被相加和相减以提供指数的乘法和除法。同样地，角度表现为相同，只是它们被表示为象限的整数倍，所以每个旋转的4倍，在硬件逻辑中容易操纵的值。在它们的对数形式中，当在复值指数空间中围绕零顺时针旋转和逆时针旋转时，加上和减去虚数值是相同的。对于复值，取它们的组合的实部和虚部而不管它们由不同的底数组成的事实，加上和减去实部和虚部可以被用于实施复数乘法和除法。
这些结果可以在数学上简单地被扩展到浮点表示，因为在这些格式中，所需的预处理已经主要凭借尾数和指数形式来实现。如果以e为底数的值是绝对需要的，并且大部分时间它们不是，那么输出对数的实部可以乘以ln2并且虚部乘以
iii.一般程序
新算法以与bkm技术类似的方式进行，以找到或使用对数的小数部分。存在一组值dn∈{0,1，i，-1，-i，1+i，1-i，-1+i，-1-i}，在每个算法步骤n上从中选择dn。通过将截断数与设定位计数进行比较来进行使用哪个dn的选择，该设定位计数可以是来自输入寄存器的位的子集。一旦选择了dn，就需要预先计算的对数的查找表来平衡1+dn2-n(位移位(潜在地对最重要的未使用的位应用舍入)和加法/减法运算)乘法，该乘法被应用于持有指数值的寄存器，其中等效对数要从持有对数值的寄存器中被减去。根据过程是找到对数还是计算指数，可以存在额外的移位、额外的运算或者该两者，以便将系统布置成收敛配置。在一些n次迭代结束时，发现期望值(指数的或对数的)在精度内，该精度取决于迭代次数n和用于该表示的位数。
iv.对数的查找表
所提出的方法与现有技术的不同之处在于，这些对数现在必须将指数反映为2r(eπ/2)iθ。因此，对于n＝1，…，n，在期望的定点格式中，对数表的实部必须被预先加载log2||1+dn2-n||，并且虚部必须被预先加载2/πarg(1+dn2-n)或
尽管我们已经选择了2和eπ/2作为对数底数，但很可能不同的底数选择可以针对不具有不同的第一次迭代的对数系统提供算法。这些值已被选择，因为它们表示可以使用相同的硬件实现两个过程的设计。如果使用不同硬件的单独实施方式要被用于如来自指数模式的对数模式，则这可能不是最佳的底数选择。
v.用于对数的小数部分的方法
新算法的核心方法主要遵循bkm过程使用的那些方法，具有一些新的关键差异。已经重新导出了比较阈值，以适应对数和指数的新底数以及新技术所需的变化的收敛域。对于对数过程的第一次迭代，还存在略微修改的比较阈值，以在所需域内实现收敛。
vi.指数模式
也可以修改本节中描述的指数模式，以提供与指数值的复数乘法。如果要实现这一点，在输出是正确的情况下，这必须在范围减小步骤之前被预先加载。还应该注意的是，这将取代输出指数值，并因此如果需要此值，则不应使用该值。存储并等待以将该解从对数的整数部分(值zinteger，output)应用到该过程的结束也是可行的。这可以减少处理所发生的中间寄存器所需的存储，尽管这应该与该解的整数部分所需要的额外存储要求进行权衡。
可替代地，可以通过创建额外的寄存器并确保在这些额外寄存器中发生等效运算来并行地实现与最终指数值的乘法。以这种方式，指数过程可以将输出指数值与几乎任意多个其他复值进行复数相乘。
假设输入对数的小数部分被输入，用于收敛域zinput∈r＝[-0.5，+0.5)+i[-0.5，+0.5)的算法是：
1.假设存在四个基本寄存器，标记为
其中zpremultiply：＝1.0，如果不存在预乘的要求。从属乘法寄存器也可以被类似地构造为：
2.通过作为索引n的值1，…，n进行迭代：
3.截断
4.截断
5.测试3位值以确定dn：
6.使用移位和运算将乘法应用于指数寄存器以计算：
并且：
对任何辅助寄存器(诸如
7.从寄存器中减去对数表中的相应元：
8.将对数寄存器向左移动一个位置，使其内容的值加倍。
9.返回到下一次迭代的步骤2，直到达到n，此时寄存器将包含它们的最终值：
并且：
已经理解了该过程的形式，通过使用不同的位数或不同的比较值来形成
vii.对数模式
还可以修改本节中描述的对数模式以提供与输入值的复数除法。如果要实现这一点，则只能通过创建额外的寄存器并确保在这些额外的寄存器中发生等效运算来使其并行地发生。这与辅助乘法成对比，其中原始寄存器可能是过载的，这在这里无法被实现，因为在该模式下对指数寄存器的修改将阻止算法的收敛。然而，使用辅助寄存器可以回避这一点，如果需要，允许对数过程产生几乎任意多个其他复值与作为分母输入到该过程的值的复值除法。
1.假设输出对数的小数部分被输出，用于收敛域
2.假设存在四个基本寄存器，标记为
从属除法寄存器也可以被类似地构造为：
注意的是，加倍或-1.0都不被应用于寄存器
2.通过作为索引n的值1，…，n进行迭代：
3.截断
4.截断
5.测试两个5位值(其中被修改以针对第一次迭代进行比较)以确定dn：
6.使用移位和运算将乘法应用于指数寄存器以计算：
并且：
对任何辅助寄存器(诸如
7.将dn加到
不要将这加到
8.将指数寄存器向左移动一个位置，使其内容的值加倍。
不要将
9.从寄存器中减去对数表中的相应元：
10.返回到下一次迭代的步骤2，直到达到n，此时寄存器将包含它们的最终值：
并且：
已经理解了该过程的形式，通过使用不同的位数或不同的比较值来形成
viii.冗余数系统
如bkm方法，该算法对于支持减慢本地数据流的技术而言是理想的，允许集成到硬件中实施的高速逻辑中。使用冗余数系统方案(诸如运算步骤的进位保存，耦合有在每次迭代时用于比较所存在的减少的位数)允许诸如此处所示的算法具有高速、低区域的实施方式，其对于包括在集成电路设计中而言是理想的。这种实施方式的益处将包括能够达到较高的时钟速度，同时对具有较大位数的操作数进行很好地缩放，使该设计对于产生针对涉及复值的操纵的问题的低成本、现代解而言是理想的。
为了便于直观，在前面的算法描述中已经忽略了舍入，并且不应该解释为在本发明中没有考虑正确的舍入的含义。应该清楚的是，当在每个步骤处被应用时，利用在任何算数运算中没有被直接使用的最高有效位来通过舍入的应用而实现具有减小的误差的结果，可以增加本文描述的结果的精度。
ix.较高基数方法
以与以每位方式进行评估的其他算法类似的方式，可以合并步骤以创建一次计算多个位的方法。这被称为较高基数算法，因为输出被看作具有不同于2的底数，意味着每步骤计算来自新的较高底数的一个数字。这的缺点是查找表和移位的选择也将必须被合并，创建一组更大的选择供算法每次迭代完成。
x.实数算法
许多系统可以从仅使用本文描述的算法的实部受益。例如，通常由神经网络算法使用的s形逻辑函数可以通过首先确定实数2x或者如果预乘ex则使用指数过程来生成。然后，加1并将预设常数除以该值是可能的，或者继续使用e模式然后是由原始论文描述的l模式可以产生如下逻辑函数：
但是分子k和另外的修饰符a和b仍然是可配置的。
xi.显示收敛
在图35中，指数方法和对数方法的收敛由曲线图3500示出。图35示出了在必要的收敛域中测试每个可能的值产生这里绘制的最坏情况log2误差。该曲线图从超过一万亿个复数测试值概括了最差情况行为(被重新映射到的小数域中的每个实数值和虚数值已经针对所示的迭代次数进行了测试)。为了使该曲线图可比较，在对误差进行测试之前，将对数结果转换为其指数形式。这确保了该方法对于这么多有效位是收敛的。通过在乘法中添加完全舍入可以进一步减小该误差。该曲线图示出了随着精度和迭代次数增加，误差类似地减小，显示出收敛。
该曲线图3500示出了来自在以与该过程中的表和迭代中的位数类似速率进行收缩的收敛域中的所有可能情况中的最坏情况的绝对误差。这揭示了该算法对于定点数据的该位数的所有可能的正确输入而言以位的精度成功地线性收敛到正确的解。
xii.潜在的权利要求
1.一种用于将输入`对数’复数同时转换成作为结果的`指数’复数的方法，其中：
a.所述作为结果的复数的模量由2的实数幂组成，所述实数幂为实数输入复数部分的实数幂，并且；
b.所述作为结果的复数的幅角由乘以虚数输入复数部分的实数值的2的整数幂次旋转组成。
2.一种用于将输入`指数’复数同时转换成作为结果的`对数’复数的方法，其中：
a.输入复数的实数模量的实数二进制对数形成所述作为结果的复数的实部，并且；
b.以输入复数的幅角表示的2的实数的整数幂次旋转形成所述作为结果的复数的虚部。
3.根据权利要求1或2所述的方法，其中，所述转换基本上是通过对复数的二进制表示的位移位、比较和运算来实现的。
4.根据权利要求1所述的方法，其中，输入和输出范围的减小是通过将基本上对应于输入复数的分量的舍入的值分别处理到另外的部分来执行的。
5.根据权利要求2所述的方法，其中，输入和输出范围的减小是通过将基本上对应于输出复数的分量的舍入的值分别处理到另外的部分来执行的。
6.根据权利要求1所述的方法，其中，能够以不等于1的值来初始化输出复值，使得迭代的应用将修改非统一值，以由原始旨在被输出的值计算复数乘法。
7.根据权利要求1所述的方法，其中，另外的复值被实例化，使得应用于输出复值的运算也能够被应用于这些另外的值，由原始旨在被输出的复值产生这些另外的复值的乘法。
8.根据权利要求2所述的方法，其中，另外的复值被实例化，使得应用于输入复值的运算也能够被应用于这些另外的值，由输入的复值产生这些另外的复值的除法。
9.根据权利要求1所述的方法，其中，冗余数系统被用于实施被应用于现存复值的重复运算的过程。
10.根据权利要求2所述的方法，其中，冗余数系统被用于实施被应用于现存复值的重复运算的过程。
11.一种被设计用于执行权利要求1至10所述的任一方法的设备。
12.一种被配置为执行权利要求1至10所述的任一方法的数据处理器。
7.由二次型问题的krylov子空间构建的声场
本公开描述了一种在被表示为特征系统时操纵二次型问题以产生用于包括在线性系统中的降秩基组的方法。通过使用降秩基，可以自动地导出基函数的最佳信息保持组(潜在减少的)以用于包括在复值线性系统中，以找到这样的基函数的最佳复值重新加权以实现由许多测试函数描述的一组目地。
将描述减少的基函数组的导出以及它们如何包括在声场线性优化问题的实施的适当阶段中。
i.线性控制区域
线性控制区域，其被定义为执行与诸如压力的线性声学量的积分的算子，具有复值加权函数，w(χ)，χ＝{x，y，z}：
可以被用于评估声场。应该注意的是，当w(χ)与声学量中的类似相位分布配对时，复数共轭被用于最大化函数评估。可以使用对该积分(诸如采样)的任何近似，或者实际上这可以被用于近似声压力场上的任何线性算子。可以构造另外的积分以使用矢量粒子速度(其中每个矢量分量由于该场的谐波运动而是复值的)来优化控制区域，只要它也是线性的，其中：
其中u是介质的粒子速度，并且w是每个维度是复值的三维矢量场，其用作具有如上相同目的的加权函数。以这种方式，可以以线性方式评估不同的声学量模式，其中，当相位与由w中的标量或矢量函数创建的‘模板’对准时，该结果的特定相位将使目标函数最大化。
还应该注意的是，w(χ)可以大部分为零(或由零矢量组成)以创建对多个看似不相交的区域的单个评估。可以使用任何积分近似(诸如采样)，因为该公式可以扩展到线性声学量的场上的任何线性算子。
ii.二次型问题和特征问题
可以通过控制每个换能器的一系列复值系数来描述相控阵列。利用这样的输入x矢量以固定频率驱动声换能器阵列以最大化在矩阵m中编码的声学量可以被表示为线性代数问题，所以意图是：
最大化xhmx
受制于xhx＝1，
并且
这可以通过取矩阵m的主特征矢量来求解，因为该问题的陈述也是特征矢量(这里为x)的定义。可以通过首先考虑由每个换能器发射的线性声学量作为所讨论的声学量的全局空间中的基函数来实现构建矩阵m。这是在绝对位置χ描述的单个点处实现压力和其他声学量的最大化的方式。然而，使用所描述的控制区域积分，可以将控制发射到每个单独的换能元件的场中的声学量的q(χ)替换为f(χ)，从而产生列矢量：
通过调用线性度，驱动每个换能器的复数激活值可以被相乘，从而导致矢量：
其中n是传感器的数量。鉴于该m是线性算子对线性场进行运算的结果，它可以是埃尔米特转置的并且乘以其自身以生成二次型形式。最后，
mhm＝xhmx＝xhffhx。
通过修改加权函数w(χ)并求解矩阵m的特征矢量，各种不同的波束、表面和其他声学现象可以被创建并被最大化，从而在声场中产生最佳致动的区域。
先前讨论的零空间生成技术(“针对半空触觉系统中的二次型问题的特征系统解”)也可以被用于扩展该方法以描述声悬浮，以及通过在描述结构的位置处将零点引入到场中而允许半空纹理的零控和形成。应该注意的是，该过程增加了矩阵的秩，因此如果使用这则简化是不可能的。
同样地，对于许多控制区域，可以通过将m个矩阵加在一起来执行多个优化。这也可以包括表示控制点的矩阵。这生成具有增加的秩的矩阵，因此一些简化方法在使用这的情况下是不可能的。
iii.对高秩矩阵的降秩近似
关键点在于可以有意地创建高秩矩阵，使得可以生成降秩近似。例如，具有好几百个单独点的系统可以被自动地重现分组，使得非常少的点由独立的基函数来描述，创建基组的实数化，其看起来是比其原本更高维度的，以增加保真度，降低复杂性并允许基函数根据需要被自动地创建。
现有方法针对每个控制点或控制区域生成新的基函数。通过创建用于优化每个控制点或控制区域并对它们求和或者添加空值的特征系统，特征系统秩增加。通过重复添加基函数矩阵和/或空值，最终矩阵可以获得高的秩。由于资源的约束，线性系统可能仅能够使用至多m个测试函数来处理最多n个基函数。该优化矩阵的高的秩在这种情况下可以为n'，其中用于生成单独基函数的n″优化矩阵已经通过加法被合并在一起。使用这种方法，其中n'>n和/或n″>n的其他不可能的情况可以被简化为以具有n个基函数的简化基组表示的问题，该基函数可以用具有有限处理能力的该系统来求解。
通过计算krylov子空间来找到该简化的基组，所述krylov子空间基本上占据与由基函数的多个优化组成的最终矩阵的n个最主要的特征矢量相同的矩阵子空间。可以使用诸如arnoldi迭代的标准技术找到krylov子空间，其中找到主特征矢量并且然后将其从其余矩阵中移除并且然后以重复方式应用这直到找到n个这样的特征矢量为止。
iv.混合方法
从高秩矩阵提取基函数的该方法由此可以与现有的特定基函数方法混合和匹配。例如，两个控制区域或点可以被指定为必须具有(must-have)并被添加到输入到线性系统的基组中。然后，其余的基函数(假设它们可以通过二次型优化来指定，并且从而它们自己的优化矩阵被指定)可以被添加到单个矩阵，然后使用此krylov子空间方法对其进行解构，以找到最主要的n-2个特征矢量来构成其余数量的输入到线性系统的基函数组。以这种方式，预先指定的两个基函数被保证，因为它们被直接导入到线性系统中，但该组的其余函数被近似。甚至可以进一步地采用该系统，其中可以从不相交的基函数组中指定和取得设定数目的基函数，所述不相交的基函数组中每个由高秩的优化矩阵以及然后取得的设定数目的基组来描述。可以被用于导出简化的基函数的另外的技术继续从矩阵取基函数直到幂阈值被越过为止。该阈值对于由相交的基组构成的每个矩阵来说可以是不同的，并因此产生不同幂的特征矢量，其中每个特征矢量的幂由其对应的特征值量值来描述，并且以这种方式允许可以通过基于实数优先值和对应的特征值量值的乘积来选择从每个矩阵计算出的特征矢量来产生特征矢量。
8.使用测试函数的线性系统解
‘测试’基函数组是否实现与基函数组分开定义的某些目标的方法将是有价值的。对这些目标是否实现的定量评估被提供给优化，并且这被用于在声场中生成由这些测试函数定义的期望性质。
将描述测试函数及其在复值线性系统优化中的作用。
i.线性控制区域
线性控制区域，其被定义为执行与诸如压力的线性声学量的积分的算子，具有复值加权函数，w(χ)，χ＝{x，y，z}：
可以被用于评估声场。应该注意的是，当w(χ)与声学量中的类似相位分布配对时，复数共轭被用于最大化函数评估。可以使用对该积分(诸如采样)的任何近似，或者实际上这可以被用于近似声压力场上的任何线性算子。可以构造另外的积分以使用矢量粒子速度(其中每个矢量分量由于该场的谐波运动而是复值的)来优化控制区域，只要它也是线性的，其中：
其中u是介质的粒子速度，并且w是每个维度是复值的三维矢量场，其用作具有如上相同目的的加权函数。以这种方式，可以以线性方式评估不同的声学量模式，其中，当相位与由w中的标量或矢量函数创建的‘模板’对准时，该结果的特定相位将使目标函数最大化。
还应该注意的是，w(χ)可以大部分为零(或由零矢量组成)以创建对多个看似不相交的区域的单个评估。可以使用任何积分近似(诸如采样)，因为该公式可以扩展到线性声学量的场上的任何线性算子。
ii.基函数组
给定一组n个基函数作为输入，可以通过线性系统使用m个测试函数来找到n个基函数的最佳线性组合，以实现m个测试函数的期望的目标评估。这些m个测试函数可以采用线性控制区域评估的形式。使用如以上给出的目标f的形式，这些将是：
或者可以通过如下的单个控制点定义来评估它们：
其中上划线表示复数共轭，χ是三维位置，q参数化所有换能器元件，并且x是换能器激活，其乘以换能器的压力场的共轭。由粒子速度定义的控制点的等效形式也可以被用作评估器，尽管具有定义的法线方向：
其中也可以省略指向错误方向的任何换能器q(当
在两个单个控制点定义中，现有方法可以被视为具有控制区域评估的单位加权函数情况的特殊单个点积分评估。这里的目标函数然后是不具有额外副作用的简单的声学量。
iii.找到主特征矢量
通过使用n个测试函数中的每一个来评估m个基函数中的每一个，得到为复值的矩形矩阵。如之前，主特征矢量表示m个基函数的组合，其最佳跨越由n个测试函数定义的空间。然而，由于这不一定是方阵，因此奇异值分解更合适，但是唯一需要的特征矢量是占主导的特征矢量。可以构造正方的埃尔米特矩阵，其主特征矢量表示系统基函数的主组合的元素。然后通过以下来描述特征系统：
其中b1，…，bn描述其相位生成m个测试函数的参数空间的覆盖的系数。因此，主特征矢量具有分量b1，…，bn，其描述了利用单个组合矢量可实现的空间的最佳覆盖，并且其相位因此优化了该覆盖。
应该注意的是，即使在测试函数的数量等于基函数的数量的情况下(因此m＝n)，现有的特征系统方法可能不一定适用。这是由于如下事实：该矩阵可能不再是埃尔米特矩阵，并因此在不完成以上步骤的情况下将rayleigh-ritz方法直接应用于该矩阵可能导致该方法无法收敛到主特征矢量。
如果未指定相位数据或相位数据不完整，则应该将主特征矢量用于相位信息。在每次迭代结束时，特征矢量可以被修改以从单独的时间步骤的先前解中剥离幅度数据(其在相位上平均为零、在相位级数上是有限的)，或者以具有针对持有现有和恒定相位关系的一些基函数的一组相位解，同时该组的补码利用它们自身与现有相位的固定组之间的相位来进行优化。以这种方式，该矩形矩阵系统可以被用于实现类似于现有特征系统方法的效果，其专用于生成基组的函数与用于评估基组的目标的函数相同的情况。
iv.线性系统解
复值线性系统现在具有修改的作用，即找到最佳复制测试函数的给定值的基函数组。这里必须使用的线性系统采用矩形矩阵的形式：
由于矩阵是矩形的，其可以是测试函数的数量大于基函数的数量、导致复值的最小二乘系统，或者测试函数的数量小于基函数的数量、导致复值的最小范数系统。在任一种情况下，可以使用标准分解来找到解矢量，其解释是解矢量的每个分量是要应用于每个基函数的系数，这些基函数致使声场在被测试时表达测试函数的给定值。
这些测试函数可以表示在点处的声压力或方向粒子速度，或者空间中的区域上的压力和方向粒子速度的混合。然后，这些函数的任何组合可以构成m个测试函数，其针对线性系统的最终步骤来求解。
一旦基函数的系数已知，致动换能器的最终值就可以被扩展为：
给出单个单色载波频率的假设(由于环境变化可能或多或少有效)的输入信号可以通过将该x的分量应用于每个换能器来构造。
9.结论
前述实施例的各个特征可以被选择并组合以产生改进的触觉系统的许多变化。
在前述说明书中，已经描述了特定实施例。然而，本领域普通技术人员理解的是，可以在不脱离权利要求中阐述的本发明的范围的情况下做出许多修改和变化。因此，说明书和附图应当被看作例示性的而非限制性意义，并且所有这些修改旨在被包括在本教导的范围内。
益处、优点、对问题的解决方案、以及可以使得任何益处、优点或方案出现或变得更明显的任何(多个)要素不应被解释为任何或所有权利要求的至关重要的、所需要的、或必要的特征或要素。本发明仅由所附权利要求限定，包括在本申请未决期间做出的任何修改以及所公布的那些权利要求的所有等同物。
此外，在本文档中，诸如第一和第二、顶部和底部之类的关系术语可以仅用于区分一个实体或动作与其他实体或动作，而不一定需要或暗示这样的实体或动作之间的任何实际的这种关系或次序。术语“包括(comprise)”、“包括(omprising)”、“具有(have)”、“具有(having)”、“包含(include)”、“包含(including)”、“含有(contain)”、“含有(containing)”或其任何其他变型旨在涵盖非排他性的包括，比如，包括、具有、包含、含有一列要素的处理、方法、物品或装置并非仅包括这些要素，而且可以包括没有明确列出的或者对于这种处理、方法、物品或设备而言固有的其他要素。跟随有“包括……一种”、“具有……一种”、“包含……一种”、“含有……一种”的要素在没有更多限制的情况下不排除在包括、具有、包含、含有该要素的处理、方法、物品或设备中存在附加的相同的要素。术语“一种”和“一个”被定义为一个或多个，除非本文中另有明确规定。术语“基本上”、“本质上”、“近似”、“大约”或其任何其他版本被定义为如本领域普通技术人员所理解的接近。本文中使用的术语“耦合”被定义为连接，尽管不一定直接地且不一定机械地连接。以某种方式“配置”的设备或结构至少以这种方式配置，但是也可以以未列出的方式配置。
本公开的摘要被提供以允许读者快速弄清本技术公开的本质。摘要以其将不被用于解释或限制权利要求的范围或含义的理解而被提交。另外，在前述详细描述中，可以看出的是在各种实施例中将各种特征分组到一起是出于使本公开精简的目的。所公开的方法不被解释为反映了所要求保护的实施例需要比每个权利要求中明确记载的特征更多的特征的意图。相反，如所附权利要求所反映的那样，发明主题在于小于单个公开的实施例的所有特征。因此，所附权利要求由此结合到详细说明中，其中每个权利要求各自独立地作为单独要求保护的主题。
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