一种展成法摆线齿锥齿轮的磨齿方法与流程
本发明涉及齿轮机械制造，具体涉及一种展成法摆线齿锥齿轮的磨齿方法。
背景技术：
磨齿加工能够提高螺旋锥齿轮的齿距精度减少齿形偏差，从而显著降低齿轮副的振动噪声，并使得齿轮副具有良好的互换性。端面滚齿加工的摆线齿锥齿轮，由于其产形轮齿面理论上是刀刃沿延伸外摆线的扫掠曲面，而不是回转曲面(磨削加工的工具曲面必须是回转曲面)，理论上无法进行磨齿加工。由于齿面成形原理限制，摆线齿锥齿轮的磨齿加工方法尚未得到解决。目前也尚未见有摆线齿锥齿轮磨齿技术在生产实践中应用的报道。
德国的wiener发明了半完成法(semi-completingprocess),使用了与端面铣齿同样的机构,可在一次装夹中加工齿轮的凹凸两面，具有一定的便利性。但是这种方法实际上只是局部地以杯形砂轮的弧线去替代延伸外摆线齿线，由此带来了明显的局限性。砂轮和齿面形态的差异会导致齿面材料去除不均，导致部分齿面表面硬化层被过度破坏，而部分齿面则完全没有得到加工，同时也就破坏了摆线齿锥齿轮本身具有的传动特性。意大利a.artoni研究了采用杯形砂轮磨削摆线齿锥齿轮的方法，其中成型法齿轮采用单参数包络，展成法齿轮采用双参数包络。西安交通大学毛世民教授基于数字产形轮展成原理，实现了弧线齿和摆线齿两种螺旋锥齿轮的磨齿加工。西班牙
齿部理论上无法进行磨齿的现实，制约了摆线齿锥齿轮在高端传动装置中的应用，因此有必要研究摆线齿锥齿轮的齿面磨削加工新方法，突破其高效数控展成磨齿技术。本发明针对大规模生产中对摆线齿锥齿轮磨齿加工技术的迫切需求，提出一种展成法摆线齿锥齿轮的磨齿方法，该方法通过产形轮替代使展成法摆线齿锥齿轮具备高效可磨性，通过机床运动修正控制产形轮替代导致的磨齿偏差，保证齿轮副的啮合传动质量。从而使端面滚齿\磨齿工艺能够在高精度螺旋锥齿轮大批量制造中得到应用，对提高螺旋锥齿轮加工效率节约制造成本有重要意义。
技术实现要素：
本发明的目的是提供一种展成法摆线齿锥齿轮的磨齿方法，其通过产形轮替代使展成法摆线齿锥齿轮具备高效可磨性，通过机床运动修正控制产形轮替代导致的磨齿偏差，保证齿轮副的啮合传动质量。可实现采用弧线锥齿轮磨齿机及锥面砂轮通过单参数包络法实现展成法摆线齿锥齿轮的高效磨齿。
本发明所述的展成法摆线齿锥齿轮的磨齿方法，其包括如下步骤：
步骤一，产形面及齿轮理论齿面的确定，建立展成法摆线齿锥齿轮加工坐标系组，摇台坐标系σs＝{os,is,js,ks}，os为摇台中心，isosjs为摇台平面，ks为摇台轴线指向摇台外部；刀盘坐标系σc＝{oc,ic,jc,kc}，oc为刀盘中心，icocjc为刀顶平面上，jc为刀盘中心指向刀刃上的切齿参考点方向，kc为刀盘轴线指向刀顶平面；齿轮坐标系σg＝{og,ig,jg,kg}，og为齿轮轴错交点位置，ig为齿轮轴线背离锥顶方向，kg垂直于ig指向摇台外部；数控磨齿机坐标系σm＝{om,im,jm,km}，其与初始状态的齿轮坐标系重合；在摇台坐标系下，计算展成摆线齿锥齿轮加工所用的产形面v是两个参数的函数，记作v＝v(θ，bt)，θ为摆线齿锥齿轮加工时刀盘自转角度，bt为刀刃点在切矢tc上的长度，参数θ、bt的最大值和最小值表示加工过程中产形面上发生过与被加工齿面共轭啮合的范围，其区间可作为产形面的有效范围；同时根据展成法摆线齿锥齿轮的切齿调整参数中的齿轮安装参数及展成运动参数根据共轭啮合理论计算该产形面所展成的齿轮理论齿面vw。
步骤二，产形轮替代及砂轮参数的确定，
a.用锥面替代理论产形轮并确定砂轮结构参数初值；通过分析产形轮齿面共轭接触部分的几何形态,用锥面砂轮替代延伸外摆线扫掠面的理论产形面；建立如下方程组：
式中，vgc为砂轮中心点径矢初值，vc1、vc3为刀刃扫掠线上两个端点的径矢，vc2为刀刃扫掠线中点的径矢，rg为砂轮半径初值，对该方程组进行求解得到砂轮结构参数初值；
b.引入调整量，在砂轮初值上引入调整量，得到砂轮中心点、半径径矢和母线的表达式分别为：
vgca＝vgc+[x，y，z]，式中，vgca为引入调整量后的砂轮中心点，x、y、z为砂轮锥底中心点径矢在机床坐标系的三个坐标轴上的调整量，
kga的计算公式为
c.建立优化目标函数，对含有调整量的砂轮参数进行优化计算；
步骤三，产形轮替代后重新确定砂轮安装参数；将锥面砂轮替代展成法端面滚齿加工的理论产形面后，需要根据砂轮位置参数确定磨齿加工时砂轮的安装参数，设步骤一计算得到摇台坐标系中砂轮中心的径矢初值的分量形式为vgc＝[igc，jgc，kgc]，则可按下式计算砂轮的安装参数：
式中，r为最后确定的锥面砂轮顶部半径，
步骤四，在磨齿加工的机床调整参数中引入高阶运动系数，即将机床参数(包含砂轮安装参数及齿轮安装参数)展开为多阶泰勒级数形式，其自变量为瞬时摇台角相对滚切中心摇台角的差值；为了充分利用各调整参数高阶运动系数的对齿面局部的修形功能，将各调整参数对应的滚切中心摇台角设置为不同数值，由此可引入更多的参数修正砂轮与齿轮之间的相对运动，从而使被磨削齿面的形状修正有更大柔性。
步骤五，优化机床调整参数及其高阶修正系数使产形轮替代导致的齿形偏差最小化；考虑替代产形轮与理论产形面存在偏差，因此会导致磨齿后的齿面相对理论齿面存在偏差；由于齿轮副接触印痕主要受齿面在接触迹线附近的形状影响，因此以磨齿实际齿面相对展成法摆线齿锥齿轮的理论齿面的在啮合接触迹线上的综合齿形偏差为优化目标函数，并设定优化的约束条件，对机床参数及其高阶系数进行优化调整。
步骤六，全数控磨齿刀位计算，在最终确定展成法摆线齿锥齿轮的磨齿调整参数后，需根据调整参数确定砂轮和被加工齿轮的相对位置及相对运动，并将其转化为全数控锥齿轮磨齿机的磨齿加工刀位；在数控磨齿机坐标系内设v1为刀盘中心相对与齿轮轴错交点的径矢，kc'为刀倾、刀转后的砂轮轴线矢量；
由于刀倾后砂轮轴线矢量偏离数控磨齿机的z轴(km)方向，则要使得砂轮轴线矢量位于km方向，则可让砂轮与齿轮一起首先绕im轴旋转角度a1使其位于imomkm，然后再绕轴jm旋转角度b使其与km方向一致；两次变换的角度可按下式求解：
经过两次变换后则砂轮轴线矢量与数控磨齿机z轴方向一致，对应的变换后砂轮中心的位置矢量v1'为：
v1'＝m(jm,-b)m(im,a1)v1
则有：
式中x,y,z分别为数控磨齿机三个直线轴的坐标，a为机床工件主轴(a轴)坐标，b为机床b轴坐标，a1为刀倾导致的a轴附加转角，a2为与齿面展成对应的a轴转角，raq为产形轮展成齿面的滚比值，q为齿面展成过程的瞬时摇台角，q0为齿面展成过程的起始摇台角。
进一步，所述步骤一中对含有调整量的砂轮参数的优化方式为：所述步骤二中对含有调整量的砂轮参数的优化方式为：首先在产形面上根据θ和bt的值域合理将其分割，形成m×n的参数网格，并将其对应的θ和bt赋值到函数v＝v(θ,bt)中，可得m×n产形面网格点，并使其作为砂轮锥底的垂线，在锥底上得到m×n个点的垂足，垂足径矢p的计算式为：p＝v-kg·(v-vgc)·kg，kg为砂轮轴线，其初值的计算式为：
进一步，所述步骤四中引入高阶运动系数后机床调整参数的表达式为：
式中，raq瞬时滚比值，raq0为滚切中心的滚比值，raq1、raq2、raq3为滚比进行泰勒公式展开后的的一、二、三阶运动系数；xp为瞬时水平轮位，xp0为滚切中心的水平轮位，xp1、xp2、xp3为水平轮位的一、二、三阶运动系数；xb为瞬时床位，xb0为滚切中心的床位，xb1、xb2、xb3为床位的一、二、三阶运动系数；xe为瞬时的垂直轮位，xe0为滚切中心的垂直轮位，xe1、xe2、xe3为垂直轮位的一、二、三阶运动系数；s为瞬时径向刀位，s0为滚切中心的径向刀位，s1、s2、s3为径向刀位的一、二、三阶运动系数；q为加工时的瞬时摇台角；qaq0，qp0，qb0，qe0，qs0分别为以上各调整参数对应的滚切中心摇台角，δqaq0，δqp0，δqb0，δqe0，δqs0为瞬时摇台角与滚切中心摇台角的差值；同理，磨齿的其他调整参数，机床安装根锥角γ，基本刀倾角i，基本刀转角j也可按以上方式进行展开，引入不同的滚切中心摇台角及高阶运动系数。
进一步，所述步骤五中机床参数及高阶运动系数的优化方式为：首先运用理论齿面的接触分析方法，分析被磨削齿面与其相配齿轮齿面啮合时的接触轨迹线在被磨削齿面上的位置；以高阶运动下磨削齿面相对展成法摆线齿锥齿轮理论齿面沿接触轨迹线方向的综合偏差f1为优化目标：
为了保证齿轮副啮合时的接触区形态不发生大的变化，还需以瞬时接触椭圆长轴方向的齿形综合偏差f2建立另一优化目标：
进一步，在对机床调整参数及高阶运动系数进行优化时，对摆线齿锥齿轮的齿根深度进行限制，齿根深度的总偏差约束表达式为：
本发明根据理论产形面形状得到替代锥面砂轮结构参数的初值，通过引入调整量进一步完善砂轮结构参数，减小产形面替代偏差，结合磨齿高阶运动以及沿齿面接触迹线方向的齿形误差控制，齿根深度及角度控制以及基于共轭差曲面原理的相配齿轮齿形自适应，实现通过单参数包络原理采用通用锥面砂轮实现展成法摆线齿锥齿轮的高效磨齿，同时使被加工齿轮的齿面形状得到良好控制，保证了齿轮副的啮合传动质量。
附图说明
图1是展成法摆线齿锥齿轮端面滚齿加工的坐标系示意图；
图2是摆线齿锥齿轮理论产形面及替代产形面示意图；
图3是刀倾导致摆线齿锥齿轮产形面扭转示意图；
图4是理论产形面与替代砂轮锥面的相对位置关系示意图；
图5是理论产形面与替代砂轮锥面偏差计算示意图；
图6是砂轮锥面控制参数示意图；
图7是砂轮锥面控制参数的优化流程图；
图8是替代产形轮磨削齿面与理论齿面齿形偏差形态示意图；
图9是替代产形轮磨削齿面齿形偏差控制示意图；
图10砂轮位置及姿态变换示意图；
图11是典型全数控磨齿机床结构示意图；
图12是本发明的流程示意图。
具体实施方式
下面结合附图对本发明作详细说明。
摆线齿锥齿轮不能高效展成磨齿的根本原因是理论上其产形轮齿面不是回转曲面。如果要获得延伸外摆线扫掠曲面的准确形状，则需要回转型砂轮进行多参数包络，加工效率受到制约。本项目首次提出产形面替代展成磨齿方法，用回转曲面直接逼近理论产形面的共轭接触部分，再利用确定共轭曲面的另一因素—相对运动修正产形面替代导致的齿形偏差，获得理论上近似但工程上一致的磨齿齿面。理论上相对运动的可调性越高，其对共轭齿形的修正能力越强。全数控磨齿机的出现让机床的运动柔性大大增强，已有大量的研究运用机床的运动柔性获得良好的加工误差修正效果。因此也可以用其修正理论齿面，以减小产形面偏差导致的理论齿形偏差。这样在未改变摆线齿锥齿轮几何特性的情况下，解决了其齿面高效展成磨齿的可磨性问题。
参见图12，一种展成法摆线齿锥齿轮的磨齿方法，其包括如下步骤：
建立展成法摆线齿锥齿轮加工坐标系组，参见图1，摇台坐标系σs＝{os,is,js,ks}，os为摇台中心，isosjs为摇台平面，ks为摇台轴线指向摇台外部；刀盘坐标系σc＝{oc,ic,jc,kc}，oc为刀盘中心，icocjc为刀顶平面上，jc为刀盘中心指向刀刃上的切齿参考点方向，kc为刀盘轴线指向刀顶平面；齿轮坐标系σg＝{og,ig,jg,kg}，og为齿轮轴错交点位置，ig为齿轮轴线背离锥顶方向，kg垂直于ig指向摇台外部；数控磨齿机坐标系σm＝{om,im,jm,km}，其与初始状态的齿轮坐标系重合。
在摇台坐标系下，计算展成摆线齿锥齿轮加工所用的产形面v是两个参数的函数，记作v＝v(θ，bt)，θ为摆线齿锥齿轮加工时刀盘自转角度，bt为刀刃点在切矢tc上的长度，参数θ、bt的最大值和最小值表示加工过程中产形面上发生过与被加工齿面共轭啮合的范围，其区间可作为产形面的有效范围；同时根据展成法摆线齿锥齿轮的切齿调整参数中的齿轮安装参数及展成运动参数根据共轭啮合理论计算该产形面所展成的齿轮理论齿面vw。
参见图2，摆线齿锥齿轮的理论产形面为直线沿延伸外摆线轨迹的扫掠面，可见其产形轮齿面不是回转曲面与锥面的几何结构具有相当的差异。但实际上齿面展成过程中产形轮齿面与齿轮齿面的共轭接触部分只占刀刃沿延伸外摆线扫掠曲面的一小部分。在产形轮齿面的工作区域内齿线曲率的变化不大，可以考虑在空间中寻找一锥面对其进行近似替代，并通过控制替代锥面的位置及参数使其在替代之初就尽可能接近产形面。
步骤二，产形轮替代及砂轮参数的确定，
a.用锥面替代理论产形轮并确定砂轮结构参数初值。
取摆线齿螺旋锥齿轮齿面的四个角点，代入齿面方程能够分别解算出展成该四点对应的齿面参数(q，θ，bt)，其中摇台角q确定的是产形面在摇台坐标系的相位，其变化与产形面本身的形态无关。参数θ、bt的最大值和最小值确定产形面的有效范围，将该区间代入产形面方程，并将摇台角q取任意值，可生成整个有效产形面。
在有效产形面的顶端的起始、中点和末尾位置各取一点，通过三点拟合圆弧得到的半径可以比较好的代表产形轮在顶端的总体半径。在三点所确定的平面圆弧中心作垂线，可以作为砂轮的初始轴线。则只需找到一条母线绕其旋转就能得到一个初始的回转砂轮锥面。当展成法摆线齿锥齿轮的切齿调整参数中刀倾角不为0时，由于刀倾刀转的变换会使得刀盘自身轴线与摇台轴线不平行，因此在连续分齿运动中刀刃随着刀盘转动的同时其轴线也不停地绕摇台轴线旋转，参见图3，导致刀刃在空间中扫掠出一个头尾两端扭转的曲面。此时若取产形轮中间位置的刀刃直线作为替代锥面的母线可减小产形面的替代误差，因此将θ在有效范围内的中间值代入dbt可以得到一个切矢量，将其作为母线方向并代入砂轮半径就可以建立砂轮的初始方程。首先寻找三点所拟合圆弧圆心在机床坐标系下的径矢，由于圆心到三点的距离相等，同时包括圆心在内的四点共面，可建立如下方程组：
式中，vgc为砂轮中心点径矢初值，vc1、vc3为刀刃扫掠线上两个端点的径矢，vc2为刀刃扫掠线中点的径矢，rg为砂轮半径初值，对该方程组进行求解得到砂轮结构参数初值；
b.引入砂轮参数调整量，通过优化方法调整砂轮参数以减小砂轮锥面相对理论产形面的偏差。为了避免求解砂轮锥面上点到理论产形面的最小距离所带来的复杂的迭代运算，参见图4，将产形面上离散点到离其自身位置最近的锥面母线的距离作为两者的偏差值。首先在产形面的上根据θ和bt的值域合理将其分割，形成m×n的参数曲线网格，并将网格上每一点对应的θ和bt赋值到函数v＝v(θ，bt)中，得m×n个点，并分别作其至砂轮锥面锥底的垂线，在锥底上得到m×n个点的垂足，垂足径矢p的计算式为：
p＝v-kg·(v-vgc)·kg，
kg为砂轮轴线，其初值的计算式为：
然后将在半径位置固定的母线旋转到垂足的位置，其自身变换表达式为：
tc21＝m(kg,αp)·tc2，
m(kg,αp)为矢量绕kg轴旋转αp角度的变换矩阵(下面有关矢量变换的操作符号m意义与此相同)，αp为刀刃切矢转换到指向垂足时的转角，其值的计算式为：
将与母线固定的半径一同旋转：vgen1＝m(kg,αp)·vgen，vgen代表原点在锥底中心的初始半径径矢，其值的计算式为：vgen＝vc2-vgc，
将固定在半径上的母线切矢旋转到锥底的垂足方向后，就能够求该垂足所对应的产形面网格点到该母线的距离，参见图5，用产形面网格点到母线原点的距离矢量叉乘锥面母线上的方向矢量，其值的一种物理意义为一平行四边形的面积，其边长分别为网格点到母线原点的距离矢量的模和母线矢量的模。由于产形面母线的单位矢量是该平行四边形一条模为1的边，因此平行四边形的面积的算术值本身即为网格点到该母线的距离，其计算方式如下：
dg＝(v-vgen1)×tc21，
此时若对m×n个产形面网格点分别计算并记录其对于初始锥面的误差dg，可以得到其总体初始误差的分布情况。
参见图6，为了让初始设置的砂轮锥面成为空间中一个完全自由的锥面，需要对其引入形态和位置的控制参数。x、y、z为砂轮锥底中心点径矢在机床坐标系的三个坐标轴上的调整量，以控制砂轮锥面位置；i、j、k为砂轮轴线矢量在机床坐标系的三个坐标轴上的调整量，以控制砂轮锥面姿态；ra、
vgca＝vgc+[x，y，z]，式中，vgca为引入调整量后的砂轮中心点，
kga的计算公式为
c.建立优化目标函数，对含有调整量的砂轮参数进行优化计算；参见图7，将调整后的砂轮锥面与产形面网格点最大误差的最小作为目标函数，当含有调整量的砂轮的锥面与产形面网格点的最大误差为最小值时，输入所有调整量并根据调整量对砂轮结构参数进行修改，能够有效降低砂轮初始锥面与产形面之间的误差，完成比较良好的初步替代，若不满足优化目标函数，则重新调整砂轮锥面参数。
步骤三，产形轮替代后重新确定砂轮安装参数。将锥面砂轮替代展成法端面滚齿加工的理论产形面后，需要根据砂轮位置参数确定磨齿加工时砂轮的安装参数。参见图1，建立展成法摆线齿锥齿轮端面滚齿加工的基本机床模型，按步骤一计算得到摇台坐标系中砂轮中心的径矢初值的分量形式为vgc＝[igc，jgc，kgc]，则可按下式计算砂轮的安装参数：
式中，r为最后确定的锥面砂轮顶部半径，
步骤四，引入磨齿高阶运动参数，由于替代锥面与理论产形面之间的误差无法完全消除，因此有替代锥面砂轮磨削后的齿面也会偏离理论的展成法摆线齿锥齿轮齿面。由于摆线齿锥齿轮齿长方形的曲率特性，参见图8，利用锥面砂轮展成摆线齿锥齿轮齿面时，在实际磨削齿面与理论齿面偏差较小的情况下，二者在齿线方向会发生交叉重叠，即两者在齿长方向会产生回归式抛物线形的齿形偏差，也即为三次多项式函数的形态，因此为了对该形态进行修正，在磨齿加工的机床调整参数中引入高阶运动系数，即将机床参数(包含砂轮安装参数及齿轮安装参数)展开为三阶泰勒级数形式，其自变量为瞬时摇台角相对滚切中心摇台角的差值。为了充分利用各调整参数高阶运动系数的对齿面局部的修形功能，将各调整参数对应的滚切中心摇台角设置为不同数值，由此可引入更多的参数修正砂轮与齿轮之间的相对运动，从而使被磨削齿面的形状修正有更大柔性；
引入高阶运动系数后机床调整参数的表达式为：
式中，raq瞬时滚比值，raq0为滚切中心的滚比值，raq1、raq2、raq3为滚比进行泰勒公式展开后的的一、二、三阶运动系数；xp为瞬时水平轮位，xp0为滚切中心的水平轮位，xp1、xp2、xp3为水平轮位的一、二、三阶运动系数；xb为瞬时床位，xb0为滚切中心的床位，xb1、xb2、xb3为床位的一、二、三阶运动系数；xe为瞬时的垂直轮位，xe0为滚切中心的垂直轮位，xe1、xe2、xe3为垂直轮位的一、二、三阶运动系数；s为瞬时径向刀位，s0为滚切中心的径向刀位，s1、s2、s3为径向刀位的一、二、三阶运动系数；q为加工时的瞬时摇台角；qaq0，qp0，qb0，qe0，qs0分别为以上各调整参数对应的滚切中心摇台角，δqaq0，δqp0，δqb0，δqe0，δqs0为瞬时摇台角与滚切中心摇台角的差值；同理，磨齿的其他调整参数，机床安装根锥角γ，基本刀倾角i，基本刀转角j也可按以上方式进行展开，引入不同的滚切中心摇台角及高阶运动系数。
步骤五，建立优化目标函数，设定优化的约束条件，对机床调整参数及高阶运动系数进行优化调整。参见图9，由于齿轮副接触印痕主要受齿面在接触迹线附近的形状影响，因此以磨齿实际齿面相对展成法摆线齿锥齿轮的理论齿面的在啮合接触迹线上的综合齿形偏差为优化目标函数，并设定优化的约束条件，对机床参数及其高阶系数进行优化调整；
参见图10，首先运用理论齿面的接触分析方法，分析被磨削齿面与其相配齿轮齿面啮合时的接触轨迹线在被磨削齿面上的位置。以高阶运动下磨削齿面相对展成法摆线齿锥齿轮理论齿面沿接触轨迹线方向的综合偏差f1为优化目标：
通过控制沿接触迹线方向的齿形偏差，保证齿轮副啮合时的接触区中心位置及接触走向。式中p[i]、n[i]为理论齿面接触迹线上第i个离散点的径矢和法矢，pg[i]为第i个理论齿面接触迹线点所对应的磨削齿面点径矢，d[i]为两齿面在第i个点的偏差值，n为理论齿面上接触迹线的离散的点数。
为了保证齿轮副啮合时的接触区形态不发生大的变化，还需以瞬时接触椭圆长轴方向的齿形综合偏差f2建立另一优化目标：
式中δ[i][j]表示实际磨齿齿面相对理论齿面沿接触迹线啮合时第i个接触椭圆长轴方向上第j个离散位置的齿形偏差，m为齿面沿接触椭圆长轴方向的离散点数。以函数f＝w1f1+w2f2为优化目标函数，w1、w2为权重因子，对机床参数及高阶运动系数进行优化。
在对机床调整参数及高阶运动系数进行优化时，还需对摆线齿锥齿轮的齿根深度进行限制，齿根深度的总偏差约束表达式为：
δ1为设定的齿根深度总差值的容许范围，δh为参数改变过后的齿面与目标齿面的齿根深度差值。同时需对摆线齿锥齿轮的齿根线的角度进行限制，齿根线的角度偏差约束表达式为：
rr1、rr3为参数改变过后的齿面在大、小两端的齿面点径矢，r01、r03为目标齿面在大、小两端的齿面点径矢，χ1为两齿面在齿根位置的角度偏差容许值。
步骤六，全数控磨齿刀位计算，在最终确定展成法摆线齿锥齿轮的磨齿调整参数后，需根据调整参数确定砂轮和被加工齿轮的相对位置及相对运动，并将其转化为全数控锥齿轮磨齿机的磨齿加工刀位。参见图1，设v1为刀盘中心相对与齿轮轴错交点在数控磨齿机坐标系内的径矢，则：
vl＝m(jm,γ)(va+vs)
va＝xpvp-xbks+xejs
vs＝s[cos(q),-sin(q),0]
vp＝[-cos(γ),0,sin(γ)]
上式中va为齿轮轴错交点到摇台中心的径矢，vs为摇台中心到刀盘中心的径矢，vp为齿轮轴线矢量。
设k′c为刀倾、刀转后的砂轮轴线在数控磨齿机坐标系的方向矢量，则：
k′c＝m(jm,γ)m(js,j)m(is,i)kc
参见图10，由于刀倾后砂轮轴线矢量偏离数控磨齿机的z轴(km)方向，则要使得砂轮轴线矢量位于km方向，则可让砂轮与齿轮一起首先绕im轴旋转角度a1使其位于imomkm，然后再绕轴jm旋转角度b使其与km方向一致。两次变换的角度可按下式求解：
经过两次变换后则砂轮轴线矢量与数控磨齿机z轴方向一致，对应的变换后砂轮中心的位置矢量v1'为：
v1'＝m(jm,-b)m(im,a1)v1
则有：
式中x,y,z分别为数控磨齿机三个直线轴的坐标，a为机床工件主轴(a轴)坐标，b为机床b轴坐标，a1为刀倾导致的a轴附加转角，a2为与齿面展成对应的a轴转角，raq为产形轮展成齿面的滚比值，q为齿面展成过程的瞬时摇台角，q0为齿面展成过程的起始摇台角。
参见图11，所示的全数控锥齿轮磨齿机，其实际的机床原点常常不在轴错交点上，这种情况下只需要在式中加上所使用机床的坐标原点到齿轮装夹后轴错交点在机床中的相对位置矢量并进行相应后续计算即可得到相应机床结构下的磨齿刀位。
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