单调时停止分解。据 此，我们可以总结出相应的算法描述：
[0044] (1)初始化：r0(t) = x(t)，i = 1 ;
[0045] (2)求第i个固有模态函数頂F1= c i (t):
[0046] (a)初始化：h0(t) = r; Jt), j = 1 ;
[0047] (b)找出hj i (t)的全部局部极值点；
[0048] (c)应用三次样条插值分别插值拟合h, dt)的极大和极小值点，求得上下包络 e+(t)和e (t)，并计算其均值川,(0 = ^(0 +纥(，)]*·
[0049] (d)从中减去包络的均值，求得hj(t) = hj Jt);
[0050] (e)判断收敛条件是否满足，若满足，有cjt) = hjt);若不满足，令j = j+1，返 回步骤（2);
[0051] (3)γ；(?) = r； 1(t)-ci(t)；
[0052] 若巧⑴的极值点个数多于1个，责令i = i+1，返回步骤（2)，否贝1J分解完成。
[0053] 图2给出了 EMD算法的流程图。
[0054] 1. 2. 1. 2集成经验模态分解（EEMD)
[0055] Flandrin等人通过EMD分解白噪声实验的统计结果表明，白噪声经EMD规律性的 分解出其均匀分布的各频率分量，EMD表现出其有效的二元滤波器组特性。通过利用EMD方 法的二元滤波器组特性，我们可以设定其截止频率，达到分离间断信号的效果，在一定程度 上降低模态混叠的影响。但是该阈值受主观影响过大，选取过小会滤除具有实际意义的信 号，无法还原信号本身性质；若选取过大则会被其他无意义的频率分量干扰，使结果失真。 Huang等人为解决模态混叠问题提出了间歇性测试（Intermittency Test)，即预先选取间 断频率，使分解后的頂F周期上限固定，频率落在特定范围。这种测试违背了 EMD的自适应 特性，且需要对数据资料有相当的了解才能选取出适宜的尺度。基于以上问题，Wu和Huang 提出了总体经验模态分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)，对 EMD 算法 进行了改进，通过在分解前添加高斯白噪声至原始信号中，利用高斯白噪声的频谱均匀分 布特性，有效的解决了模态混叠问题。
[0056] EEMD添加高斯白噪声至原始信号，将有效信号和噪声的组合看作一个总体，根据 白噪声频谱均匀分布的特性，使不同尺度的信号成分自动分布至合适的参考尺度，并利用 零均值噪声特性，经多次加总平均后噪声相互抵消。EEMD需预先选定添加的高斯白噪声的 比例以及加总平均的次数。若加总平均次数为n，则会产生η个相同百分比、不同实现的高 斯白噪声，将这η个白噪声分别添加到η个原始信号中并进行EMD分解，把得到的η组頂F 加总平均即得到EEMD分解的最终结果。加总平均使得到的頂F减少了模态混叠现象的影 响，不同时间尺度的信号不再容于同一 IMF。
[0057] 我们可以把EEMD的算法描述为以下三个步骤：
[0058] (1)生成xln] = xQ^+w1!；]!]，其中^[η]，i = 1，· · ·，I是高斯白噪声的不同实现；
[0059] (2)每个xKnLi = 1，···，Ι通过EMD分解得到他们的模态其中k = 1，. . .，K代表模态阶数；
[0060] 指定为x[n]的第k个模态，从而得到相应iMf?的均值为：
[0061] 1. 2. 1. 3完备集成经验模态分解（CEEMD)
[0062] EEMD的核心思想在于把添加了高斯白噪声的原始信号EMD后得到的模态进行加 总平均，这种分解方法解决了 EMD的模态混叠问题。然而它也引入了新的问题，包含了残余 噪声和带噪信号不同实现的重构信号可能产生不同的模态数量，IMF的总和并没有完美的 重构原始信号。基于以上问题，2011年Torres提出了一种EEMD算法的变体，可以在分解的 每一阶段添加一个特定噪声，并且计算一个唯一残差以得到每个模态。
[0063] CEEMD (Complete ensemble empirical mode decomposition)与 EEMD -样，也是 一种噪声辅助方法。其中，第一个MF的求取方法与EEMD方法相同。定义算子E j.)，当给 定一个信号，通过EMD求得第j个模态。w1是有单位方差的零均值的高斯白噪声，ε k系数 允许在每个阶段选择信噪比。如果X是目标信号，则CEEMD的步骤如下所述：
[0064] 首先，使用不同的噪声实现通过EMD重复分解过程I次，计算总体平均值并将其定 义为目标信号X的頂匕。即，
[0066] 然后，计算一阶残差，
[0067] r^x-IMFi (2)
[0068] 继续分解实现Γι+ ε屯(w1)，其中i = 1，. . .，I，直到满足他们的第一个頂F条件， 并定义总体平均值为第二个MF :
[0070]对 k = 2, . . .，K，计算 k 阶残差：rk= r k fIMFk，然后提取 rk+ ε kEjw1)的第一个 MF分量，其中i = 1，...，1，并计算它们的总体平均值从而得到目标信号的頂Fk+1:
[0072] 继续筛选过程直到得到的残差不能再被分解为止（残差的极值最多不超过两个 时），则得到：
[0074] 其中R是最终残差，K是IMF的总数。因此，目标彳目号可以被表述为：
[0076] 上式表明，原始信号得到了精确的重构，该方法是一个完备的分解方法。
[0077] 1. 2. 2短时傅里叶变换（STFT)基本原理
[0078] 传统信号频谱分析的基础是傅里叶变换（Fourier transform, FT)，定义信号x(t) 的傅里叶变换为：
[0080] Χ(ω)即为x(t)的频谱。式中t为时间，w为角频率。其逆变换定义为：
[0082] 傅里叶变换将信号变换至频率域，傅里叶逆变换将信号变回至时间域，使得在时 间和频率方面分析信号成为可能，在信号分析中有着重要地位。但其缺乏局部信息，只能给 出信号整体的频谱能量，无法反映信号频谱随时间的变化。短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform，STFT)在傅里叶变换的基础上发展而来，应用时窗将信号截取分段，并 假设在时窗之内的数据是平稳的，再分别对这些加窗数据依次进行傅里叶变换。则信号为 χ(τ)，时窗函数为w(t)的STFT可以表示为：
[0084] 由于时窗函数w( τ )的移位使STFT具备局部特性，它既是时间的函数，也是频率 的函数。对于一定时刻t，F(t，ω)可以视为该时刻的"局部频谱"。时频能量谱常用来描绘 信号的时频分布，定义为STFT的模，SP :
[0086] 其中，F(t，ω)为经STFT得到的信号复数谱，S(t，ω)为时频能量谱。
[0087] STFT在时域的逆变换可以写为：
[0089] STFT是信号加窗后的频谱，因而位于以t为中心的局部时窗宽度内的信号特征都 会在F(t，ω)中显示出来。时窗的添加在很多信号分析中能够带给我们直观和易于理解的 结果，窗内信号被放大，窗外信号被抑制，从而实现对信号的局部分析。
[0090] Spectrogram算法是一种获得信号短时傅里叶变换（STFT)的分析算法，它产生一 维信号的二维图像形式输出一一语谱图（同时亦可获得数值矩阵）。语谱图使用时间η做 横坐标，频率f作为纵坐标，将能量密度谱函数的值表示为二维的伪彩图。这种反应信号动 态频谱特性的时频图在信号分析中具有重要的实用价值，也被称为"可视语言"。
[0091] 从语谱图上可以得到一些频域分析参数（如共振峰、基音周期等）随时间的变化 情况；还可以得到能量随时间的变化情况，图像的每个像素的伪色彩值（或者灰度值）大小 表示相应时刻、相应频率的信号能量密度。
[0092] 1. 2. 3时频信息熵
[0093] 信息熵的数学定义为：设p (Pu p2,...，pn)为一不确定的概率分布，k为任意的常 数，一般取为1，则该分布所具有的信息熵定义为：
[0095] 信息熵的大小可以用来描述概率系统的平均不确定程度。若某一概率系统中某一 事件产生的概率为1，其他事件产生的概率为0,由式（12)计算后可知，该系统的信息熵S =0,因而是一个确定系统，不确定度为0。如果某一系统中，其概率分布是均匀的，则表示 系统中每一事件产生的概率相等，该系统的信息熵具有最大值，即该系统的的不确定性最 大。根据这一理论，最不确定的概率分布具有最大的熵值，信息熵值反映了其概率分布的均 匀性。
[0096] 信号的时频分布是描述信号在采样时间内各个频率处的能量变化，同一离心栗在 不同工作状态下的时频分布往往不同，为了定量的描述这种差异程度，将信息熵理论引入 到时频分布中。不同信号在时频分布上的差异表现为时频平面上不同的小块时频片段的能 量分布的差异，各时频区能量分布的均匀性则反映了机器运行状态的差别，信息熵是概率 分布均匀程度的度量。如图3所示，我们将时频平面等分为N个面积相等的时频块，每块内 的能量为1 (i = 1，. . .，N)，整个时频平面的能量为A，对每块进行能量归一化，得到q;= Wi/A(i = 1，. . .，N)，于是就有
，符合计算信息熵的初始归一化条件，仿照信息熵的计 算公式，信号的时频信息熵的计算公式定义为：
[0098] 1. 3基于多分类支持向量机（multi-SVM)的模式识别
[0099] 1. 3