一种具有齿面裂纹缺陷的斜齿轮副啮合刚度计算方法与流程

本发明涉及机械动力学技术领域，尤其涉及一种齿轮副啮合刚度计算方法。

背景技术：

齿轮传动中，啮合刚度激励是齿轮啮合的主要动态激励之一，确定齿轮传动过程中轮齿的弹性变形即啮合刚度是齿轮动力学的重要任务之一。

裂纹是齿轮传动中的常见故障形式，含裂纹的斜齿轮啮合刚度的求解方法正被越来越多的专家学者所关注。目前，解析方法主要针对含有裂纹的直齿轮进行啮合刚度的分析，针对含有裂纹的斜齿轮的啮合刚度计算方法较少，且已有方法的解算效率低。

上述缺陷是本领域技术人员期望克服的。

技术实现要素：

(一)要解决的技术问题

为了解决现有技术的上述问题，本发明提供一种具有齿面裂纹缺陷的斜齿轮副啮合刚度计算方法，在确定了包括有裂纹缺陷的轮齿的裂纹扩展路径及裂纹深度后，将斜齿轮副等效为多个薄片直齿轮副并分别计算其啮合刚度，随后采用交错叠加的方式求取含有裂纹的斜齿轮副时变啮合刚度，计算简单且精度高。

(二)技术方案

为了达到上述目的，本发明采用的主要技术方案包括：

一种具有齿面裂纹缺陷的斜齿轮啮合刚度计算方法，包括以下步骤：

获取待计算啮合刚度的斜齿轮副的基础参数，所述斜齿轮副包括第一斜齿轮和第二斜齿轮，所述第一斜齿轮包括一个齿面上带有裂纹的缺陷轮齿；

获取所述缺陷轮齿的齿面裂纹类型及裂纹的形位参数；

根据所述基础参数、齿面裂纹类型及形位参数，确定所述缺陷轮齿上的裂纹扩展路径及沿扩展路径上的裂纹深度；

将所述第一斜齿轮等效为沿齿宽方向依次连接的n个齿宽相等的第一直齿轮薄片gj，其中，j为正整数，j∈[1,n]，所述第一直齿轮薄片gj相对于第一端面直齿轮薄片g1具有偏转角θj，位于所述裂纹扩展路径上的第一直齿轮薄片gj具有对应的局部裂纹；

将所述第二斜齿轮等效为沿齿宽方向依次连接的n个齿宽相等的第二直齿轮薄片hj，其中，j为正整数，j∈[1,n]，所述第二直齿轮薄片hj相对于第二端面直齿轮薄片h1具有偏转角θj；

计算每个所述第一直齿轮薄片gj和对应的所述第二直齿轮薄片hj构成的等效直齿轮副的时变啮合刚度kj(τ)，其中τ为无量纲数，τ∈[0,1]；

根据全部的所述时变啮合刚度kj(τ)，确定所述斜齿轮副的啮合刚度k。

具体地，所述的计算方法中，所述缺陷轮齿的齿面裂纹类型包括：

第一类裂纹，从一侧端面开始、向相对侧端面方向延伸，且未延伸至相对侧端面的裂纹；

第二类裂纹，从一侧端面开始、向相对侧端面方向延伸，且延伸至相对侧端面的裂纹；

第三类裂纹，从一侧端面开始、向齿顶方向延伸，且未延伸至齿顶面的裂纹；

第四类裂纹，从一侧端面开始、向齿顶方向延伸，且延伸至齿顶面的裂纹。

具体地，所述的计算方法中，所述裂纹的形位参数包括：

在中心点o'为所述第一斜齿轮的端面齿根圆与所述缺陷轮齿的端面平面上的纵向对称线的交点，v轴为所述缺陷轮齿的端面平面上的纵向对称线方向，u轴为所述端面齿根圆在中心点o'处的切线方向，w轴分别与所述u轴和所述v轴相垂直的三维直角坐标系(u，v，w)中，

裂纹起点在v轴上的坐标值l1，第一类裂纹或第二类裂纹终点在v轴上的坐标值l2，第三类裂纹或第四类裂纹终点在w轴上的坐标值l3，裂纹在vo'u平面内的深度q0，第一类裂纹或第三类裂纹终点在w轴上的坐标值lc；

所述基础参数包括：

第一斜齿轮和\或第二斜齿轮的齿顶圆半径ra，第一斜齿轮和\或第二斜齿轮的齿根圆半径rf，第一斜齿轮和\或第二斜齿轮的基圆半径rb，第一斜齿轮和\或第二斜齿轮的齿宽l，第一斜齿轮和\或第二斜齿轮的分度圆螺旋角β，第一斜齿轮和\或第二斜齿轮的端面齿轮的分度圆半径r。

具体地，所述的计算方法中，所述根据所述基础参数、齿面裂纹类型及形位参数，确定裂纹扩展路径，包括：

在所述缺陷轮齿的齿面裂纹类型为第一类裂纹或第二类裂纹时，在所述三维直角坐标系(u，v，w)中，根据第一公式确定裂纹扩展路径ν(w)，其中，w为裂纹扩展路径上任一点，ν(w)为所述任一点在所述v轴上的坐标值，所述第一公式为：

ν(w)＝l1+l2×w²/l²，w∈[0,l]；

在所述缺陷轮齿的齿面裂纹类型为第三类裂纹或第四类裂纹时，在所述三维直角坐标系(u，v，w)中，根据第二公式确定裂纹扩展路径ν(w)，所述第二公式为：

具体地，所述的计算方法中，根据所述基础参数、齿面裂纹类型及形位参数，确定沿扩展路径上的裂纹深度，包括：

在所述缺陷轮齿的齿面裂纹类型为第一类裂纹时，在所述三维直角坐标系(u，v，w)中，根据第三公式确定沿扩展路径上的裂纹深度q(w)，其中，w为裂纹扩展路径上任一点，q(w)为所述任一点所在的轮齿横截面内的裂纹深度，所述第三公式为：

在所述缺陷轮齿的齿面裂纹类型为第二类裂纹时，在所述三维直角坐标系(u，v，w)中，根据第四公式确定沿扩展路径上的裂纹深度q(w)，所述第四公式为：

在所述缺陷轮齿的齿面裂纹类型为第三类裂纹时，在所述三维直角坐标系(u，v，w)中，根据第五公式确定沿扩展路径上的裂纹深度q(w)，所述第五公式为：

在所述缺陷轮齿的齿面裂纹类型为第四类裂纹时，在所述三维直角坐标系(u，v，w)中，根据第六公式确定沿扩展路径上的裂纹深度q(w)，所述第六公式为：

具体地，所述的计算方法中，所述根据全部的所述时变啮合刚度kj(τ)，确定所述斜齿轮副的啮合刚度k，包括：

根据所述偏转角θj，确定所述时变啮合刚度kj(τ)相对于所述第一端面直齿轮薄片g1和对应的所述第二端面直齿轮薄片h1构成的等效直齿轮副的起始时变啮合刚度k1(τ)滞后或者超前的无量纲啮合周期δtj，并根据第七公式得到所述斜齿轮副的啮合刚度k，所述第七公式为：

具体地，所述的计算方法中，所述根据所述偏转角θj，确定所述时变啮合刚度kj(τ)相对于所述第一端面直齿轮薄片g1和对应的所述第二端面直齿轮薄片h1构成的等效直齿轮副的起始时变啮合刚度k1(τ)滞后或者超前的无量纲啮合周期δtj，包括：

根据第八公式计算所述第一直齿轮薄片gj相对于第一端面直齿轮薄片g1的偏转角θj，所述第八公式为：

根据所述偏转角θj及第九公式计算所述时变啮合刚度kj(τ)相对于所述起始时变啮合刚度k1(τ)滞后或者超前的无量纲啮合周期δtj，所述第九公式为：

其中，δθ为所述斜齿轮副在一个啮合周期内转过的圆周角度。

(三)有益效果

本发明的有益效果是：本发明提供的具有齿面裂纹缺陷的斜齿轮副啮合刚度计算方法，在确定了包括有裂纹缺陷的轮齿的裂纹扩展路径及裂纹深度后，将斜齿轮副等效为多个薄片直齿轮副并分别计算其啮合刚度，随后采用交错叠加的方式求取含有裂纹的斜齿轮副时变啮合刚度，计算简单且精度高。

附图说明

图1为本发明一个实施例的具有齿面裂纹缺陷的斜齿轮啮合刚度计算方法的流程示意图；

图2为具有端面延伸裂纹缺陷的轮齿的三维示意图；

图3为具有顶面延伸裂纹缺陷的轮齿的三维示意图；

图4为裂纹扩展路径在轮齿纵向对称平面上的投影示意图；

图5为斜齿轮副的啮合线示意图；

图6为端面齿轮沿着螺旋线拉伸得到斜齿轮的空间示意图；

图7为螺旋线沿分度圆展开的平面示意图；

图8为采用本发明一个实施例的方法计算的斜齿轮副时变啮合刚度与采用有限元方法计算的斜齿轮副时变啮合刚度的对比图。

附图标记：

a：健康齿轮的时变啮合刚度曲线；

b：具有顶面非穿透裂纹时的时变啮合刚度曲线；

c：具有顶面穿透裂纹时的时变啮合刚度曲线；

d：具有端面非穿透裂纹时的时变啮合刚度曲线；

e：具有端面穿透裂纹时的时变啮合刚度曲线。

具体实施方式

为了更好的解释本发明，以便于理解，下面结合附图，通过具体实施方式，对本发明作详细描述。

本发明实施例的具有齿面裂纹缺陷的斜齿轮副啮合刚度计算方法建立在势能法和切片理论的基础上，是一种求解斜齿轮副时变啮合刚度的解析方法。其中，势能法将齿轮视为变截面悬臂梁，利用材料力学中的势能法求解齿轮的啮合刚度。利用切片理论，在求取斜齿轮的啮合刚度时，将斜齿轮等效为多个沿齿宽方向依次排列的直齿轮薄片，也即所有这些直齿轮薄片累加而成作为分析对象的斜齿轮，从而可以方便地将直齿轮副的时变啮合刚度解析理论应用在斜齿轮副的时变啮合刚度求解上。

根据切片理论，斜齿轮可以看作是无数片直齿轮薄片进行交错叠加而成。斜齿轮副所对应的直齿轮薄片在啮合过程中有着单齿啮合，双齿啮合相互交替的变化过程。在啮合过程中，这些直齿轮薄片最多有两对轮齿参与啮合。

在计算齿轮副的时变啮合刚度时，需要先分别计算主动轮和从动轮的轮齿刚度。在齿轮啮合理论中，在单齿啮合区，主动齿轮的轮齿刚度与从动齿轮的轮齿刚度为串联的关系。在双齿啮合区，主动齿轮的轮齿刚度与从动齿轮的轮齿刚度为串联的关系，在两对啮合轮齿之间，两对啮合轮齿的轮齿刚度为并联关系。

具体地，如下式所示：

当齿轮副处于双齿啮合区：

当齿轮副处于单齿啮合区：

其中，下标的第一个数字的含义为：

1代表主动轮，2代表从动轮。

下标的第二个数字的含义为：1代表第一对啮合轮齿，2代表第二对啮合轮齿。

另外，需要说明的是，在一对啮合的齿轮副中，主动轮或者从动轮都可能会发生裂纹缺陷。本发明实施例提出的计算方法适于计算从动轮或主动轮上具有裂纹缺陷的斜齿轮副的时变啮合刚度。

还需要说明的是，基于本发明实施例提出的裂纹扩张路径及裂纹深度的计算方法，本发明实施例提出的计算方法适于针对齿轮副中的一个齿轮上具有一个裂纹缺陷轮齿或两个连续的裂纹缺陷轮齿，另一个齿轮上具有一个裂纹缺陷轮齿或两个连续的裂纹缺陷轮齿、及无裂纹缺陷轮齿等多种裂纹缺陷轮齿组合情况下的每个典型的啮合周期内时变啮合刚度的计算。

如图1所示，本发明一个实施例的具有齿面裂纹缺陷的斜齿轮啮合刚度计算方法，包括如下步骤：

第一步：获取斜齿轮副的基本参数及裂纹的形状与位置参数。

在第一步中，斜齿轮副的基本参数包括：主动轮和从动轮的齿数，模数，主动轮和从动轮的齿宽，变位系数等涉及到齿轮几何尺寸的参数；主动轮和从动轮的本体材料，齿面热处理或表面处理信息，齿面硬度等齿轮的材质参数；主动轮和从动轮的转速等运转参数。

其中，与计算裂纹在轮齿中的位置有关的参数包括：裂纹所在斜齿轮的齿顶圆半径ra，裂纹所在斜齿轮的齿根圆半径rf，裂纹所在斜齿轮的基圆半径rb，裂纹所在斜齿轮的齿宽l，裂纹所在斜齿轮的分度圆螺旋角β，裂纹所在斜齿轮的端面齿轮的分度圆半径r。

需要说明的是，为了表述方便，可以将斜齿轮副中具有裂纹缺陷轮齿的那个斜齿轮定义为第一斜齿轮，而将不具有裂纹缺陷轮齿的那个斜齿轮定义为第二斜齿轮。

轮齿上的裂纹情况多种多样。目前主要关注两类典型的裂纹，即：齿根裂纹和齿面裂纹。这两类裂纹分别可以再进一步细分为贯穿裂纹与非贯穿裂纹。

而描述裂纹的形状与位置的参数包括：裂纹的起点、终点、裂纹的走向(即扩展的路径)，裂纹沿扩展路径上各处的深度和走向等。

在本发明的实施例中，针对具有下述4种情况的齿面裂纹的缺陷轮齿的斜齿轮副的时变啮合刚度进行求解：

第一类裂纹，从一侧端面开始、向相对侧端面方向延伸，且未延伸至相对侧端面的裂纹；

第二类裂纹，从一侧端面开始、向相对侧端面方向延伸，且延伸至相对侧端面的裂纹；

第三类裂纹，从一侧端面开始、向齿顶方向延伸，且未延伸至齿顶面的裂纹；

第四类裂纹，从一侧端面开始、向齿顶方向延伸，且延伸至齿顶面的裂纹。

图2示出了具有端面延伸裂纹缺陷的轮齿的三维示意图；图3示出了具有顶面延伸裂纹缺陷的轮齿的三维示意图，图4中示出了裂纹扩展路径在轮齿纵向对称平面上的投影示意图。

如图2、图3和图4所示，针对以上四类裂纹，描述裂纹的形位参数包括：

在中心点o'为裂纹所在斜齿轮的端面齿根圆与所述缺陷轮齿的端面平面上的纵向对称线的交点，v轴为所述缺陷轮齿的端面平面上的纵向对称线方向，u轴为所述端面齿根圆在中心点o'处的切线方向，w轴分别与所述u轴和所述v轴相垂直的三维直角坐标系(u，v，w)中，

裂纹起点qs在v轴上的坐标值l1，第一类裂纹或第二类裂纹终点qe在v轴上的坐标值l2，第三类裂纹或第四类裂纹终点qe^’在w轴上的坐标值l3，裂纹在vo'u平面(即缺陷轮齿的起始端面上)内的深度q0，第一类裂纹或第三类裂纹终点qc在w轴上的坐标值lc。如图2所示，记缺陷轮齿的纵向对称平面所在的vo'w平面为i，uo'w平面为ii。裂纹延伸路径在i平面的投影如图4中的两条起点为qs^’、终点为qe^’的间断线所示，该两条间断线中，qc’为非贯穿裂纹终点在i平面的投影。

第二步：确定裂纹的形状及裂纹扩展路径方程。

在第二步中，首先确定待计算啮合刚度的斜齿轮副的缺陷轮齿上的裂纹的类型(限定为上述的4类裂纹类型中的一种)；然后，根据裂纹类型，确定裂纹扩展路径方程。

具体地，裂纹扩展路径方程包括：裂纹扩展路径ν(w)和裂纹深度q(w)。

针对裂纹扩展路径ν(w)：

在所述缺陷轮齿的齿面裂纹类型为第一类裂纹或第二类裂纹时，在所述三维直角坐标系(u，v，w)中，根据第一公式确定裂纹扩展路径ν(w)，其中，w为裂纹扩展路径上任一点，ν(w)为所述任一点在所述v轴上的坐标值，所述第一公式为：

ν(w)＝l1+l2×w²/l²，w∈[0,l]；

在所述缺陷轮齿的齿面裂纹类型为第三类裂纹或第四类裂纹时，在所述三维直角坐标系(u，v，w)中，根据第二公式确定裂纹扩展路径ν(w)，所述第二公式为：

针对裂纹深度q(w)：

在所述缺陷轮齿的齿面裂纹类型为第一类裂纹时，在所述三维直角坐标系(u，v，w)中，根据第三公式确定沿扩展路径上的裂纹深度q(w)，其中，w为裂纹扩展路径上任一点，q(w)为所述任一点w所在的轮齿横截面内的裂纹深度，所述第三公式为：

在所述缺陷轮齿的齿面裂纹类型为第二类裂纹时，在所述三维直角坐标系(u，v，w)中，根据第四公式确定沿扩展路径上的裂纹深度q(w)，所述第四公式为：

在所述缺陷轮齿的齿面裂纹类型为第三类裂纹时，在所述三维直角坐标系(u，v，w)中，根据第五公式确定沿扩展路径上的裂纹深度q(w)，所述第五公式为：

在所述缺陷轮齿的齿面裂纹类型为第四类裂纹时，在所述三维直角坐标系(u，v，w)中，根据第六公式确定沿扩展路径上的裂纹深度q(w)，所述第六公式为：

需要说明的是，q(w)即坐标值为w时，裂纹在对应的轮齿横截面上的深度，也即裂纹深度q(w)为裂纹坐标值w的函数，其中，该轮齿横截面距离齿轮起始端面的距离为w。

第三步：将斜齿轮副的轮齿沿齿宽方向分解为n个独立且均匀的薄片直齿轮，n表示切边数，每个薄片直齿轮的宽度为dl。

在第三步中，n为足够大的正整数，从而使得dl足够小，以保证将斜齿轮等效为沿齿宽方向依次连接的n个齿宽相等的直齿轮薄片gj求解得到的斜齿轮的时变啮合刚度的精度满足使用要求。另一方面，较大数值的n，增加了计算的复杂程度，也将消耗更多的求解时间。针对某一个待求解的斜齿轮，在求解精度与求解效率之间存在一个较优的平衡，也即，求解时存在一个相对优选的数值n。如何确定n，在公开的直齿轮副啮合刚度求解文献中有详细说明，这里不再赘述。

具体地，将含有裂纹缺陷的斜齿轮沿中心轴线方向分成等厚的份数，当份数足够多的时候则对于每片齿轮而言，裂纹的深度和位置都近似为定值。

具体地，将具有缺陷轮齿的斜齿轮沿齿宽方向划分为依次连接的n个齿宽相等的直齿轮薄片gj之后，(j为正整数，j∈[1,n])所述直齿轮薄片gj相对于端面直齿轮薄片g1具有偏转角θj，位于所述裂纹扩展路径上的直齿轮薄片gj具有对应的裂纹深度。

对应地，将与其啮合的另一斜齿轮等效为沿齿宽方向依次连接的n个齿宽相等的第二直齿轮薄片hj，其中，j为正整数，j∈[1,n]，所述第二直齿轮薄片hj相对于第二端面直齿轮薄片h1具有偏转角θj。

第四步：利用能量法求解相对应的两个直齿轮薄片构成的等效直齿轮副的时变啮合刚度。

在第四步中，针对划分后的n个直齿轮薄片gj和对应的直齿轮薄片hj构成的等效直齿轮副，计算其时变啮合刚度kj(τ)，其中τ为无量纲数，τ∈[0,1]。

啮合刚度由齿基刚度、接触刚度、轴向压缩刚度、弯曲刚度和剪切刚度组成。齿基刚度的求解通常利用经验公式求得，接触刚度则利用赫兹接触刚度求得，轴向压缩刚度、弯曲刚度和剪切刚度则利用能量法(即势能法)求得。

通常认为，齿面裂纹的存在对齿基刚度、轴向压缩刚度和接触刚度没有影响。但由于裂纹的存在，齿轮部分截面的截面积和惯性矩发生了变化，因此齿轮的弯曲刚度和剪切刚度会有所改变。

记时变啮合刚度的周期为t，以端面直齿轮的双齿啮合区起始点作为时间零点，直齿轮薄片gj转过角度θ经过的时间记为t，则无量纲时间τ＝t/t。具体地，以端面直齿轮的双齿啮合区起始点作为起始位置，直齿轮薄片gj的角速度为ω，若直齿轮薄片gj转过角度θ，则经过的时间t＝θ/ω。

则每一对直齿轮薄片副的啮合刚度都是时变函数，记为kj(τ)，j表示第j片直齿轮薄片。

直齿轮薄片副的啮合刚度计算方法在已经公开的直齿轮副啮合刚度求解文献中有详细说明，这里不再赘述。

第五步：计算每一片直齿轮薄片与第一片直齿轮薄片错开的角度以及对应的滞后时刻。

在第五步中，根据第八公式计算所述直齿轮薄片gj相对于起始斜齿轮端面g1的偏转角θj，所述第八公式为：

根据所述偏转角θj及第九公式计算时变啮合刚度kj(τ)相对于端面直齿轮薄片g1和对应的所述端面直齿轮薄片h1构成的等效直齿轮副的起始时变啮合刚度k1(τ)滞后或者超前的无量纲啮合周期δtj，所述第九公式为：

其中，δθ为该斜齿轮在一个啮合周期内转过的圆周角度，其单位为弧度，δθ＝2π/z。

需要说明的是，端面直齿轮薄片g1和h1形成的齿轮副的起始时变啮合刚度k1(τ)对应的δt1＝0。

第六步：将全部的直齿轮薄片副的啮合刚度叠加，最终求得具有含有裂纹的斜齿轮副的时变啮合刚度。

在第六步中，根据第四步中求解得到的全部的所述时变啮合刚度kj(τ)，确定所述具有齿面裂纹缺陷的斜齿轮副的啮合刚度k。

具体地，根据所述偏转角θj，确定所述时变啮合刚度kj(τ)相对于端面直齿轮薄片g1和对应的端面直齿轮薄片h1构成的等效直齿轮副的起始时变啮合刚度k1(τ)滞后或者超前的无量纲啮合周期δtj，并根据第七公式得到斜齿轮副啮合刚度k，所述第七公式为：

在计算每一对直齿轮薄片副相对于起始或端面直齿轮薄片副错开的角度和滞后的时间之后，对每对直齿轮薄片副的啮合刚度进行偏移、累加，最终得到含有裂纹的斜齿轮副时变啮合刚度。

斜齿轮的齿廓曲线的形成方式与直齿轮类似，只是在基圆展开面上，接触线与齿轮的中心轴线成βb(基圆螺旋角)的夹角。相应地，在分度圆展开面上，接触线与齿轮的中心轴线成β(分度圆螺旋角)的夹角。斜齿轮的啮合线不再沿着齿宽的方向。如图5所示，对于一个斜齿轮面而言，在啮合的过程中，啮合线总是从齿轮面的一个角开始，啮合线逐渐边长，然后稳定在一定的长度，最后逐渐变短退出啮合，其中，εα为端面重合度，pbt为端面基节。

如图6所示，斜齿轮可以看做是端面齿轮沿着螺旋线k1k2拉伸所得，螺旋线沿着分度圆展开的平面示意图如图7所示，其中，螺旋线终点k2随着分度圆螺旋角的改变而改变。当分度圆螺旋角为零时，斜齿轮退化为直齿轮。

为了方便对斜齿轮进行分析，将斜齿轮近似地看做是n个具有相同端面参数的直齿轮薄片的叠加，每个齿轮薄片的宽度为l/n，而且第j个直齿轮薄片相对起始端面转过的角度为θj。θj可以通过下面的公式进行计算：

式中，r为端面齿轮的分度圆半径，β为分度圆螺旋角。

斜齿轮在一个啮合周期内转过的角度为：

式中，z为斜齿轮的齿数。

则第j片直齿轮薄片的啮合刚度曲线相对于第一片直齿轮薄片滞后或者超前的周期为：

计算出每片直齿轮薄片的啮合刚度kj(τ)以及相应的偏移周期δt后，将所有直齿轮薄片副的啮合刚度累加，就可得到相应的斜齿轮副的啮合刚度：

以下以一个轮齿上具有裂纹缺陷的斜齿轮副为例，利用本发明实施例提供的方法分别计算主动斜齿轮的一个轮齿具有不同类型裂纹时斜齿轮副的时变啮合刚度。

该斜齿轮副的基本参数如表1所示：

表1斜齿轮副的参数

该主动斜齿轮可能具有的4种类型的空间裂纹如图2和图3所示。分别采用解析方法和有限元方法进行计算。这4种类型的裂纹形式包括：顶面非穿透裂纹(即上述的第三类裂纹)、顶面穿透裂纹(即上述的第四类裂纹)、端面非穿透裂纹(即上述的第一类裂纹)、端面穿透裂纹(即上述的第二类裂纹)，裂纹的参数如表2所示。

表2不同形式裂纹参数

将具有缺陷轮齿的主动斜齿轮和不具有缺陷轮齿的从动斜齿轮分别沿齿宽方向分解为n个独立且均匀的薄片直齿轮，l表示齿宽，n表示切片数。每个薄片直齿轮的宽度为dl。此处取n＝100，将斜齿轮切成100片薄片的直齿轮，每片的厚度为0.3mm。

利用含有裂纹的直齿轮副啮合刚度计算公式对每一对直齿轮薄片副进行啮合刚度的求解。

最后解算得到在主动斜齿轮的一个轮齿具有不同裂纹形式时斜齿轮副的时变啮合刚度曲线图如图8所示。

从图8可以形象直观地看出裂纹对啮合刚度的削弱作用，且不同类型的裂纹对啮合刚度的削弱作用不同。

将解析方法得到的结果(如图8(a)所示)与有限元分析得到的结果(如图8(b)所示)对比可以看出：本发明实施例的方法与有限元分析方法相比，啮合刚度的计算误差较小，其精度可以满足一般情况下对啮合刚度的精度要求。而解析法的计算时间却远远小于有限元法，因此本发明实施例的方法在满足精度要求的同时具有较高的计算效率。

最后应说明的是：以上所述的各实施例仅用于说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或全部技术特征进行等同替换；而这些修改或替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。