稀疏圆形声矢量传感器阵列四元数ESPRIT参数估计方法与流程

技术特征：

1.稀疏圆形声矢量传感器阵列四元数ESPRIT参数估计方法，其特征在于：

所述声矢量传感器阵列的阵元由一个声压传感器和三个空间轴向垂直的振速传感器组成，M个阵元均匀分布在半径为R的圆环上，第1个阵元位于x轴上，沿圆环逆时针方向分别是第1，...，M个阵元，坐标原点位于圆环的圆心，第m个阵元与x轴正向的夹角为其中，R＞＞λ_min/2，λ_min为入射信号的最小波长；

稀疏圆形声矢量传感器阵列四元数ESPRIT参数估计方法的步骤如下：阵列接收K个不同频率的远场、互不相关的窄带声波入射信号，

步骤一、对M个声矢量传感器组成的圆形阵列接收信号进行N次采样得到第一组采样数据X，阵列的接收信号延时ΔT后进行同步采样，得到第二组采样数据Y，X和Y均为4M×N的矩阵，K＜M-1，采样数据X和Y的各个组成分量叠加构成四元数数据Z₁和Z₂；

$X=\left[\begin{array}{ccccc}{x}_1\left(1\right),& ...,& x_1\left(n\right),& ...,& x_1\left(N\right)\\ .& & .& & .\\ .& & .& & .\\ .,& ...,& .,& ...,& .\\ x_m\left(1\right),& ...,& x_m\left(n\right),& & x_m\left(N\right)\\ .& & .& & .\\ .& & .& & .\\ .& ...,& .,& ...,& .\\ x_M\left(1\right),& ...,& x_M\left(n\right),& ...,& x_M\left(N\right)\end{array}\right],Y=\left[\begin{array}{ccccc}{y}_1\left(1\right),& ...,& y_1\left(n\right),& ...,& y_1\left(N\right)\\ .& & .& & .\\ .& & .& & .\\ .,& ...,& .,& ...,& .\\ y_m\left(1\right),& ...,& y_m\left(n\right),& & y_m\left(N\right)\\ .& & .& & .\\ .& & .& & .\\ .& ...,& .,& ...,& .\\ y_M\left(1\right),& ...,& y_M\left(n\right),& ...,& y_M\left(N\right)\end{array}\right]$

其中，x_mp(n)表示第m个阵元的声压传感器输出信号的第n次采样数据，表示第m个阵元的x轴方向质点振速传感器输出信号的第n次采样数据，表示第m个阵元的y轴方向质点振速传感器输出信号的第n次采样数据，表示第m个阵元的z轴方向质点振速传感器输出信号的第n次采样数据，y_mp(n)表示延时ΔT后第m个阵元的声压传感器输出信号的第n次采样数据，表示延时ΔT后第m个阵元的x轴方向质点振速传感器输出信号的第n次采样数据，表示延时ΔT后第m个阵元的y轴方向质点振速传感器输出信号的第n次采样数据，表示延时ΔT后第m个阵元的z轴方向质点振速传感器输出信号的第n次采样数据，m＝1，...，M表示阵元数，n＝1，...，N表示采样数；

将第一组采样数据X和第二组采样数据Y都按照同阵元的声压强度、x轴方向质点振速传感器、y轴方向质点振速传感器和z轴方向质点振速传感器的同次快拍数据叠加构成第一组接收四元数数据矩阵Z₁和第二组接收四元数数据矩阵Z₂：

$Z_1=\left[\begin{array}{ccccc}{z}_{11}\left(1\right),& ...,& z_{11}\left(n\right),& ...,& z_{11}\left(N\right)\\ .& & .& & .\\ .& & .& & .\\ .,& ...,& .,& ...,& .\\ z_{1m}\left(1\right),& ...,& z_{1m}\left(n\right),& & z_{1m}\left(N\right)\\ .& & .& & .\\ .& & .& & .\\ .& ...,& .,& ...,& .\\ z_{1M}\left(1\right),& ...,& z_{1M}\left(n\right),& ...,& z_{1M}\left(N\right)\end{array}\right],Z_2=\left[\begin{array}{ccccc}{z}_{21}\left(1\right),& ...,& z_{21}\left(n\right),& ...,& z_{21}\left(N\right)\\ .& & .& & .\\ .& & .& & .\\ .,& ...,& .,& ...,& .\\ z_{2m}\left(1\right),& ...,& z_{2m}\left(n\right),& & z_{2m}\left(N\right)\\ .& & .& & .\\ .& & .& & .\\ .& ...,& .,& ...,& .\\ z_{2M}\left(1\right),& ...,& z_{2M}\left(n\right),& ...,& z_{2M}\left(N\right)\end{array}\right]$

其中，表示由第m个阵元的声压强度、x轴方向质点振速传感器、y轴方向质点振速传感器、z轴方向质点振速传感器输出信号的第n次采样数据叠加构成第m个阵元的第n次采样的四元数数据，表示由第m个阵元的声压强度、x轴方向质点振速传感器、y轴方向质点振速传感器、z轴方向质点振速传感器接收信号延时ΔT后的第n次采样数据叠加构成第m个阵元延时ΔT后的第n次采样的四元数数据；

第一组采样数据X构成的四元数数据矩阵Z₁＝B₁P+N₁，其中，P＝[p₁，p₂，...，p_K]为K个互不相关入射声波的声强，N₁＝[n₁，n₂，...，n_M]为噪声的四元数表示，信号和噪声互不相关，为M×K的导向矢量矩阵，A₁＝[A₁₁，A₁₂，...，A_1K]表示声压和Z轴方向的振速矢量构成的子阵导向矢量，A₂＝[A₂₁ A₂₂ ... A_2K]表示X轴和Y轴方向的振速矢量构成的子阵导向矢量，其中A_1k＝a_1kq(θ_k，φ_k)，A_2k＝a_2kq(θ_k，φ_k)，是M个传感器与位于原点处的传感器之间相位差构成空域导向矢量，θ_k∈[0，π/2]和φ_k∈[-π/2，π/2]是第k个声源信号的方位角和俯仰角，表示第m个传感器在圆周上的角坐标；

第二组采样数据Y构成的四元数数据矩阵Z₂＝B₂P+N₂，其中，B₂＝B₁Ф第二组采样数据对应的阵列导向矢量矩阵，为时延矩阵，N₂为四元数表示的噪声，信号和噪声互不相关；

构造全阵列接收数据矩阵其中，是全阵列接收数据对应的阵列导向矢量矩阵，是全阵列接收数据四元数噪声矩阵；

步骤二、计算全阵列接收数据矩阵Z的数据自相关矩阵R_z，对数据自相关矩阵进行四元数特征分解，得到第一组四元数数据对应的阵列导向矢量估计值第二组四元数数据对应的阵列导向矢量估计值和全阵列接收数据对应的阵列导向矢量矩阵估计值

$R_z=\frac{1}{N}\[{\mathrm{ZZ}}^H\]={\mathrm{BR}}_P{B}^H+{\mathrm{\σ}}^{2}I,$

其中，为入射信号的自相关函数，σ²为噪声的方差，I为单位矩阵，(·)^H表示转置复共轭操作；

对数据自相关矩阵R_z进行四元数矩阵特征分解，得到由K个大特征值对应的特征向量构成的信号子空间E_s和2M-K个小特征值对应的特征向量构成的噪声子空间E_n，根据子空间原理，存在K×K的非奇异矩阵T，满足E_s＝BT，分别取E_s的前M行及后M行组成信号子空间矩阵E₁和E₂，由信号子空间的定义，B₁、B₂与E₁、E₂之间满足E₁＝B₁T，E₂＝B₂T＝B₁ФT，则有其中

矩阵不是厄米特矩阵不能直接进行四元数的特征分解，需要转换为复数自伴随矩阵其中Ψ＝Ψ_r+iΨ_i，i是复数域虚数单位矢量，Ψ_r和Ψ_i分别是Ψ的实部和虚部，和分别是Ψ_i和Ψ_r的共轭矩阵，对C_Ψ进行特征分解其中，c_k是特征矢量，v_k是特征值，Ψ的右特征值也是v_k，对应的特征矢量其中，是维数为J×2J的还原矩阵，J＝M，I_J代表维数为J×J的单位阵；从而由第二次特征分解得到阵列导向矢量的估计值和延时ΔT后的阵列导向矢量估计值及全阵列导向矢量估计值以及时延矩阵的估计值其中，为Ψ的特征向量矩阵；

步骤三、由时延矩阵估计值估计信号频率，由导向矢量重构子阵导向矢量和根据两子阵导向矢量之间的旋转不变关系矩阵Ω得到信号方位角和俯仰角的粗略估计值，进而得到方向余弦的粗略估计值；

由时延矩阵估计值可得到频率的估计值

${\hat{f}}_k=\frac{\arg \left({\widehat{\mathrm{\Φ}}}_{kk}\right)}{2\mathrm{\π}\mathrm{\Δ}T}$

由导向矢量重构子阵导向矢量和即：且与满足的关系，Ω＝diag[Ω₁₁，...，Ω_KK]，由关系式可获得声波到达角粗略估计值和其中，arg(·)表示取相位；

由到达角的粗略估计值可得到方向余弦的粗略而无模糊的估计值

步骤四、由导向矢量矩阵的估计值得到归一化空域导向矢量的估计值根据方向余弦的粗略估计值解空域导向矢量的相位周期性模糊，从而得到信号方位角和俯仰角的精确估计值；

根据导向矢量矩阵计算的归一化空域导向矢量其中，表示的第k列，表示的第k列的第1个元素；对空域导向矢量取相位得到相位矩阵是有模糊的相位估计值；

通过这个优化问题得到模糊数矢量r_opt，其中是由步骤三中方向余弦的粗略估计值得到的粗略相位矩阵估计值，则精确相位矩阵估计值为根据计算第k个声波信号的x轴方向和y轴方向余弦的精确估计值和其中，[W]^#＝[(W)^HW]^-1(W)^H是位置矩阵W的伪逆矩阵，位置矩阵W为

$W=\frac{2\mathrm{\π}R}{\mathrm{\λ}}\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ sin\mathrm{\Δ}& cos\mathrm{\Δ}\\ .& .\\ .& .\\ .& .\\ sin\[(M-1)\mathrm{\Δ}\]& cos\[(M-1)\mathrm{\Δ}\]\end{array}\right]$

其中，Δ＝2π/M。

根据方向余弦的精确估计值和得到信号到达角的精确估计值：

$\left\{\begin{array}{c}{\widetilde{\mathrm{\θ}}}_k=\arcsin \left(\sqrt{{\widetilde{\mathrm{\α}}}_k^2+{\widetilde{\mathrm{\β}}}_k^2}\right)\\ {\widetilde{\mathrm{\φ}}}_k=\arctan \frac{{\widetilde{\mathrm{\α}}}_k}{{\widetilde{\mathrm{\β}}}_k}\end{array}\right.;$

前述步骤中的m＝1，...，M，M为阵列的阵元数，n＝1，...，N，N为采样次数，为四元数的3个虚数单位。