远场窄带无线电信号波达方向估计方法

技术领域：

本发明属于阵列信号处理技术领域，具体的说是一种能够显著降低运算复杂度的基于最大公因式的广义多项式降阶求根的远场窄带无线电信号波达方向估计方法。

背景技术：
：

为了在复杂电磁环境下对空间目标进行识别、定位、跟踪，波达方向(directionofarrival，doa)估计需要利用空间平面内的天线阵列对不同信号的来波方向进行准确地估计，在雷达、声呐、导航等领域中具有重要的研究价值。以多重信号分类(music)为典型代表的搜索类算法的提出，使得传统测向理论正式迈入超分辨的时代。但在超分辨测向由理论研究向装备研发的工程化转型过程中，具有庞大计算复杂度的music算法阻碍了工程化的推进。为此，求根类波达方向估计技术的诞生则开启了新的篇章。

root-music算法是使用最为广泛的求根类波达方向估计技术。假设天线单元个数为m，为了避免music的谱峰搜索，root-music算法通过对一个包含目标信号doa信息的2(m-1)阶求根多项式进行求根运算来获取doa，其计算复杂度与(2(m-1))³成正比。现如今，为了追求超分辨算法具有良好角度分辨力的优势，接收端通常采用大型天线阵列，比如：相控阵雷达、超视距雷达和mimo通信系统等。此时，更高的2(m-1)阶求根多项式将会给测向系统带来计算冗余，同时降低了测向系统对接收数据的实时处理能力。

由于root-music算法在特征值分解(eigenvaluedecomposition,evd)和求根运算两个过程都进行复值运算，酉root-music算法(u-root-music)利用前后向平滑和酉变换等数学方法，在evd阶段实现了实值计算。受u-root-music算法的启发，近年来的全实值root-music算法(rv-root-music)通过对协方差矩阵的实部进行实值evd，实现了evd和求根运算的双重实值计算过程，极大地减少了计算复杂度。

但是，对于众多实值求根类波达方向估计技术而言，例如，u-root-music算法和rv-root-music算法等，虽然实值计算可以降低部分计算复杂度，但是求根多项式的阶数依旧为2(m-1)。在面对大型天线阵列的时候，高阶多项式所带来的计算负担显然已经成为了制约测向理论迈向装备研发的掣肘。为此，假设目标信号个数为l(通常l＜＜m)，若能构建一个阶数仅与l相关且仅包含目标信号doa信息的降阶求根多项式，那么将大幅度地降低求根运算过程中的计算复杂度。

技术实现要素：
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本发明针对现有技术中复求根多项式阶数过高的问题，提出一种基于最大公因式的广义多项式降阶求根波达方向估计新方法，通过求根多项式中系数与根的内在关系，构造了近似的求根多项式；另一方面，将近似多项式与其导数联立并组成病态方程组，通过提取方程组中的最大公因式，实现了高效的波达方向估计；同时，最大公因式的阶数仅与目标信号的个数有关，且最大公因式中仅包含目标信号的波达方向，理论分析和试验结果表明，该方法相对于求根类波达方向估计技术，显著地降低了求根过程中的计算复杂度。

本发明通过以下措施达到：

一种远场窄带无线电信号波达方向估计方法，其特征在于,接收辐射源信号后，获取辐射源信号的求根多项式，然后通过根与系数的关系，构造近似求根多项式及其导数；将所述近似求根多项式及其导数组成病态方程组后，提取方程组的最大公因式，在得到含有真实doa信息的最大公因式后，直接通过求根运算得到信号的波达方向。

本发明所述辐射源信号可以通过天线阵列接收获得，假设天线阵列中设有m个相互独立的阵元，以d等间距组成均匀线阵(ula)，考虑空间中存在l个远场窄带信号从方向θ＝[θ1,…,θl]入射到阵列，其中，假设l先验已知，阵元间距d满足d≤λ/2以避免相位模糊，λ为窄带信号的波长，则天线阵列接收辐射源信号为：

其中，θk为空间中第k∈[1,l]个信号的来波方向，a(θ)为m×l维的阵列流型矩阵，s(t)为l×1维的入射信号矢量，n(t)为m×1维的加性高斯白噪声矢量，a(θ)为a(θ)的列向量，表示为：

a(z)＝[1,z,z²,…,z^m-1]^t,

其中，(·)^t为转置运算，z＝jφ，φ＝(2π/λ)dsinθ；

m×m维阵列协方差矩阵为：

其中，(·)^h为共轭转置运算，rss＝e[s(t)s^h(t)]为l×l的信号协方差矩阵，为噪声功率，为单位矩阵。理论上rxx不可知，但可用n个快拍数据对其估计：其复值特征值分解可以表示为：

本发明所述获取辐射源信号的求根多项式是指通过现有方法，如root-music算法、u-root-music算法或rv-root-music算法，获得求根类波达方向估计技术的求根多项式,具体分别如下：

root-music算法的求根多项式为：

其中，(·)^-1为矩阵的逆运算，ξk为多项式froot-music(z)的系数。u-root-music算法利用前后向平滑技术构造了半实值求根多项式，可表示为：

其中，ζk为多项式fu-root-music(z)的系数，u是由单位矩阵和反对角单位矩阵构成的酉矩阵，且定义为：

rv-root-music算法通过对的实部进行特征值分解，构造了实值求根多项式，可表示为：

其中，ηk是多项式frv-root-music(z)的系数；假设，span(·)为空间张成运算，(·)为共轭运算，那么

本发明所述通过根与系数的关系，构造近似求根多项式及其导数,

其中以root-music算法为例，利用根与系数的内在关系将froot-music(z)因式分解为：

其中，zi为含有真实doa的根，zj为余下不含有doa信息的根,由于zi和分别位于单位圆两侧且彼此的距离非常近，即因此，froot-music(z)可近似为：

其中

froot-music(z)的导数可进一步表示为：

其中

由于qroot-music,1(z)和γ(z)无法被qroot-music,2(z)整除，因此qroot-music,2(z)分别是froot-music(z)和的一重和二重不可约多项式。

本发明中组成病态方程组，具体为:

将froot-music(z)和联立，组成病态方程组：

并且得出结论，二重不可约多项式qroot-music,2(z)是病态方程组iaeroot-music中的最大公因式,这意味着在root-music算法中，原始的求根多项式和其导数的最大公因式包含且仅包含真实的doa信息,因此，对froot-music(z)进行求根运算获取doa信息的传统处理过程可转换为对如下最大公因式(greatestcommondivisor，gcd)进行求根运算：

可以清晰地看出，gcdroot-music阶数仅为l。

本发明所述快速提取最大公因式，包括：

(1)首先将iaeroot-music中两个多项式转化为具有相同阶数的首一多项式：

其中，ξm-1和ψm-2分别为froot-music(z)和中具有最高阶数的项的系数,由于gcdroot-music是由多个相似的根所构成，因此，按照下式进行递归运算：

gk+1(z)＝gk-1(z)-gk(z)，k∈[3,2+(2(m-1)-2-l)×2]，

最终，可以得到含有真实doa信息的gcdroot-music

gcdroot-music＝gk(z)；

(2)fu-root-music(z)具有和froot-music(z)相同的根与系数的内在关系,因此，在fu-root-music(z)中，根的近似性和froot-music(z)相同，即相似地，gcdu-root-music表示为：

而对于frv-root-music(z)而言，它的根呈共轭和共轭对称分布,因此，在frv-root-music(z)中，根的近似性应为同理，gcdrv-root-music可以表示为：

可以看出，gcdu-root-music和gcdrv-root-music的阶数分别仅为l和2l。

本发明在得到含有真实doa信息的最大公因式后，直接通过求根运算可以得到所有doas的估计值：

其中deg(gcd)代表gcd的阶数。

本发明针对求根类波达方向估计技术中求根多项式阶数过高的问题，提出一种基于最大公因式的广义多项式降阶求根波达方向估计新方法，通过求根多项式中系数与根的内在关系，对多项式进行近似并求其导数；同时将两者组成病态方程组后，快速提取方程组中的最大公因式，实现了求根多项式的降阶，显著地降低了计算复杂度，为波达方向估计的工程化推进提供了重要的理论支撑。

附图说明

图1是本发明的流程图。

图2是实施例1中本发明与root-music算法、u-root-music算法和rv-root-music算法中根的分布图，其中m＝12，snr＝5db，n＝100，l＝2，θ1＝10°，θ2＝30°。

图3是是实施例1中本发明算法根的分布图，其中m＝12，snr＝5db,n＝100，l＝2，θ1＝10°，θ2＝30°。

图4是是实施例1中本发明与不同算法的rmse随输入信噪比的变化情况，其中m＝12，n＝100，l＝2，θ1＝10°，θ2＝30°。

图5是是实施例1中本发明与不同算法的rmse随快拍数的变化情况，其中m＝12，snr＝5db,l＝2,θ1＝10°,θ2＝30°。

图6是是实施例1中本发明与不同算法的计算效率随阵元数的变化情况，其中snr＝5db，n＝100，l＝2，θ1＝10°，θ2＝30°。

图7是不同算法中计算复杂度的对比。

具体实施方式：

下面结合附图和实施例，对本发明作进一步的说明：

本发明针对求根类波达方向估计技术中求根多项式阶数过高的问题，提出一种基于最大公因式的广义多项式降阶求根波达方向估计新方法，通过求根多项式中系数与根的内在关系，对多项式进行近似并求其导数；同时将两者组成病态方程组后，快速提取方程组中的最大公因式，实现了求根多项式的降阶，显著地降低了计算复杂度，为波达方向估计的工程化推进提供了重要的理论支撑。

如附图1所示,本发明通过以下步骤实现：

第一步，利用天线阵列接收辐射源信号，所述第一步包括以下步骤：

(1)假设天线阵列中设有m个相互独立的阵元，以d等间距组成均匀线阵(ula)，考虑空间中存在l个远场窄带信号从方向θ＝[θ1,…,θl]入射到阵列，其中，假设l先验已知，阵元间距d满足d≤λ/2以避免相位模糊，λ为窄带信号的波长，则天线阵列接收辐射源信号为：

其中，θk为空间中第k∈[1,l]个信号的来波方向，a(θ)为m×l维的阵列流型矩阵，s(t)为l×1维的入射信号矢量，n(t)为m×1维的加性高斯白噪声矢量，a(θ)为a(θ)的列向量，可以表示为：

a(z)＝[1,z,z²,…,z^m-1]^t,

其中，(·)^t为转置运算，z＝jφ，φ＝(2π/λ)dsinθ；

(2)m×m维阵列协方差矩阵为：

其中，(·)^h为共轭转置运算，rss＝e[s(t)s^h(t)]为l×l的信号协方差矩阵，为噪声功率，为单位矩阵，理论上rxx不可知，但可以用n快拍数据对其估计：

其复值特征值分解可以表示为：

第二步：以root-music算法、u-root-music算法和rv-root-music算法为例，获得求根类波达方向估计技术的求根多项式，所述第二步包括以下步骤：

(1)root-music算法的求根多项式为：

其中，(·)^-1为矩阵的逆运算，ξk为多项式froot-music(z)的系数。

(2)u-root-music算法利用前后向平滑技术构造了半实值求根多项式，可表示为：

其中，ζk为多项式fu-root-music(z)的系数，u是由单位矩阵和反对角单位矩阵构成的酉矩阵，且定义为：

(3)rv-root-music算法通过对的实部进行特征值分解，构造了实值求根多项式，可表示为：

其中，ηk是多项式frv-root-music(z)的系数；假设，span(·)为空间张成运算，(·)为共轭运算，那么

第三步：通过多项式中系数与根的内在关系，对求根多项式进行近似并求其导数，所述第三步包括以下步骤：

(1)因为噪声投影矩阵和是hermitian矩阵，所以复系数ξk和ζk均是中心共轭对称，即ξk＝ξ-k，ζk＝ζ-k。因此，froot-music(z)和fu-root-music(z)中的根均以共轭对称对的形式呈现，即如果z0是froot-music(z)或fu-root-music(z)的根，那么同样是对应的根。

然而，由于噪声投影矩阵是对称矩阵，所以实系数ηk是对称相等，即ηk＝η-k。因此，frv-root-music(z)中的根以共轭和共轭对称对的形式呈现，即均是frv-root-music(z)的根。

(2)为了简化而不失一般性，首先以root-music算法为例，利用前文根与系数的内在关系将froot-music(z)因式分解为：

其中，zi为含有真实doa的根，zj为余下不含有doa信息的根。值得注意的是，zi和分别位于单位圆两侧且彼此的距离非常近，即因此，froot-music(z)可近似为：

其中

froot-music(z)的导数可以进一步表示为：

其中

由于qroot-music,1(z)和γ(z)无法被qroot-music,2(z)整除，因此qroot-music,2(z)分别是froot-music(z)和的一重和二重不可约多项式。

第四步：组成病态方程组，所述第四步包括以下步骤：

将froot-music(z)和联立，组成病态方程组：

并且得出结论，二重不可约多项式qroot-music,2(z)是病态方程组iaeroot-music中的最大公因式。这意味着在root-music算法中，原始的求根多项式和其导数的最大公因式包含且仅包含真实的doa信息。因此，对froot-music(z)进行求根运算获取doa信息的传统处理过程可以转换为对如下最大公因式(greatestcommondivisor，gcd)进行求根运算：

可以清晰地看出，gcdroot-music阶数仅为l。

第五步：快速提取最大公因式，所述第五步包括以下步骤：

(1)为了高效地提取出gcdroot-music从而实现求根多项式阶数的降低，首先将iaeroot-music中两个多项式转化为具有相同阶数的首一多项式：

其中，ξm-1和ψm-2分别为froot-music(z)和中具有最高阶数的项的系数。由于gcdroot-music是由多个相似的根所构成，因此，可以按照下式进行递归运算：

gk+1(z)＝gk-1(z)-gk(z)，k∈[3,2+(2(m-1)-2-l)×2]，

最终，可以得到含有真实doa信息的gcdroot-music

gcdroot-music＝gk(z)。

(2)根据前文可知，fu-root-music(z)具有和froot-music(z)相同的根与系数的内在关系。因此，在fu-root-music(z)中，根的近似性和froot-music(z)相同，即相似地，gcdu-root-music可以表示为：

而对于frv-root-music(z)而言，它的根呈共轭和共轭对称分布。因此，在frv-root-music(z)中，根的近似性应为同理，gcdrv-root-music可以表示为：

可以看出，gcdu-root-music和gcdrv-root-music的阶数分别仅为l和2l。

值得注意的是，对于具有中心共轭对称系数的求根类波达方向估计技术而言，可以参考froot-music(z)和fu-root-music(z)来通过提取最大公因式实现求根多项式的降阶；同时，最大公因式的阶数仅为l。而对于具有对称相等系数的求根类波达方向估计技术而言，可以参考frv-root-music(z)来实现求根多项式的降阶，最大公因式的阶数为2l。

第六步：获得信号的波达方向，所述第六步包括以下步骤：

在得到含有真实doa信息的最大公因式后，直接通过求根运算可以得到所有doas的估计值：

其中deg(gcd)代表gcd的阶数。

如图7所示,比较本发明与root-music算法、u-root-music算法和rv-root-music算法的计算复杂度，其中o(·)表示实值计算的计算复杂度。考虑到一次复值计算需要进行四次实值计算，因此，在evd和求根过程中复值计算的计算复杂度为实值计算的四倍。另一方面，本发明只降低了求根多项式的阶数，所以evd的计算复杂度保持不变。考虑到root-music算法和u-root-music算法中最大公因式gcdroot-music和gcdu-root-music的阶数仅为l，因此，两者在求根过程中仅需要4×o(l³)的计算复杂度。而gcdrv-root-music的阶数为2l，因此，对其进行求根运算的计算复杂度仅为o((2l)³)。由图7可知，本发明相比于传统求根类波达方向估计技术而言，显著地降低了求根过程中的计算复杂度。

实施例1：

本例提出了一种基于最大公因式的广义多项式降阶求根波达方向估计新方法：

第一步，利用天线阵列接收辐射源信号，所述第一步包括以下步骤：

(1)假设天线阵列中设有m个相互独立的阵元，以d等间距组成均匀线阵(ula)，考虑空间中存在l个远场窄带信号从方向θ＝[θ1,…,θl]入射到阵列，其中，假设l先验已知，阵元间距d满足d≤λ2以避免相位模糊，λ为窄带信号的波长，则天线阵列接收辐射源信号为：

其中，θk为空间中第k∈[1,l]个信号的来波方向，a(θ)为m×l维的阵列流型矩阵，s(t)为l×1维的入射信号矢量，n(t)为m×1维的加性高斯白噪声矢量，a(θ)为a(θ)的列向量，可以表示为：

a(z)＝[1,z,z²,…,z^m-1]^t,

其中，(·)^t为转置运算，z＝jφ，φ＝(2π/λ)dsinθ；

(2)m×m维阵列协方差矩阵为：

其中，(·)^h为共轭转置运算，rss＝e[s(t)s^h(t)]为l×l的信号协方差矩阵，为噪声功率，为单位矩阵。理论上rxx不可知，但可以用n快拍数据对其估计：

其复值特征值分解可以表示为：

第二步：本例以root-music算法、u-root-music算法和rv-root-music算法为例，获得求根类波达方向估计技术的求根多项式，具体包括以下步骤：

(1)以root-music算法的求根多项式为：

其中，(·)^-1为矩阵的逆运算，ξk为多项式froot-music(z)的系数。

(2)u-root-music算法利用前后向平滑技术构造了半实值求根多项式，可表示为：

其中，ζk为多项式fu-root-music(z)的系数，u是由单位矩阵和反对角单位矩阵构成的酉矩阵，且定义为：

(3)rv-root-music算法通过对的实部进行特征值分解，构造了实值求根多项式，可表示为：

其中，ηk为多项式frv-root-music(z)的系数；假设，span(·)为空间张成运算，(·)为共轭运算，那么

第三步：通过多项式中系数与根的内在关系，对求根多项式进行近似并求其导数，所述第三步包括以下步骤：

(1)因为噪声投影矩阵和是hermitian矩阵，所以复系数ξk和ζk均是中心共轭对称，即ξk＝ξ-k，ζk＝ζ-k；因此，froot-music(z)和fu-root-music(z)中的根均以共轭对称对的形式呈现，即如果z0是froot-music(z)或fu-root-music(z)的根，那么同样是对应的根。

然而，由于噪声投影矩阵是对称矩阵，所以实系数ηk是对称相等，即ηk＝η-k，因此，frv-root-music(z)中的根以共轭和共轭对称对的形式呈现，即均是frv-root-music(z)的根。

(2)为了简化而不失一般性，首先以root-music算法为例，利用前文中根与系数的内在关系将froot-music(z)进行因式分解为：

其中，zi为含有真实doa的根，zj为余下不含有doa信息的根。值得注意的是，zi和分别位于单位圆两侧且彼此的距离非常近，即因此，froot-music(z)可近似为：

其中

froot-music(z)的导数可以进一步表示为：

其中

由于qroot-music,1(z)和γ(z)无法被qroot-music,2(z)整除，因此qroot-music,2(z)分别是froot-music(z)和的一重和二重不可约多项式。

第四步：组成病态方程组，所述第四步包括以下步骤：

将froot-music(z)和联立，构成病态方程组：

并且得出结论，二重不可约多项式qroot-music,2(z)是病态方程组iaeroot-music中的最大公因式。这意味着在root-music算法中，原始的求根多项式和其导数的最大公因式包含且仅包含真实的doa信息。因此，对froot-music(z)进行求根运算获取doa信息的传统处理过程可以转换为对如下最大公因式(greatestcommondivisor，gcd)进行求根运算：

可以清晰地看出，gcdroot-music阶数仅为l。

第五步：快速提取最大公因式，所述第五步包括以下步骤：

(1)为了高效地提取出gcdroot-music从而实现求根多项式阶数的降低，首先将iaeroot-music中两个多项式转化为具有相同阶数的首一多项式：

其中，ξm-1和ψm-2分别为froot-music(z)和中具有最高阶数的项的系数。由于gcdroot-music是由多个相似的根所构成，因此，可以按照下式进行递归运算：

gk+1(z)＝gk-1(z)-gk(z)，k∈[3,2+(2(m-1)-2-l)×2]，

最终，可以得到含有真实doa信息的gcdroot-music

gcdroot-music＝gk(z)。

(2)根据前文可知，fu-root-music(z)具有和froot-music(z)相同的根与系数的内在关系。因此，在fu-root-music(z)中，根的近似性和froot-music(z)相同，即相似地，gcdu-root-music可以表示为：

而对于frv-root-music(z)而言，它的根呈共轭和共轭对称分布。因此，在frv-root-music(z)中，根的近似性应为同理，gcdrv-root-music可以表示为：

，可以看出，gcdu-root-music和gcdrv-root-music的阶数分别仅为l和2l。

值得注意的是，对于具有中心共轭对称系数的求根类波达方向估计技术，可以参考froot-music(z)和fu-root-music(z)来通过提取最大公因式实现求根多项式的降阶；同时，最大公因式的阶数仅为l。而对于具有对称相等系数的求根类波达方向估计技术，可以参考frv-root-music(z)来实现求根多项式的降阶，最大公因式的阶数为2l。

第六步：获得信号的波达方向，所述第六步包括以下步骤：

在得到含有真实doa信息的最大公因式后，直接通过求根运算可以得到所有doas的估计值：

其中deg(gcd)代表gcd的阶数。

本例所记载技术方案的性能可通过以下仿真说明：

仿真条件如下:假设采用12阵元的阵元间距为d＝λ2的ula阵型，两个入射信号的方向为θ1＝10°和θ2＝30°。为了进一步评价本发明的性能，设置蒙特卡洛实验次数为500，将均方根误差(rootmeansquareerror,rmse)作为评价指标，并引入克拉美罗界(cramér-raolowerbound,crlb)作为对比。

仿真1，设置阵元数m＝12，信源数l＝2，比较本例所记载技术方案与root-music算法、u-root-music算法和rv-root-music算法中根的分布，其结果如图2和图3所示。

由图2和图3可知，root-music算法、u-root-music算法和rv-root-music算法需要计算2(m-1)＝22个根，其中root-music算法、u-root-music算法各有两对根贴近单位圆，rv-root-music算法有四对根贴近单位圆。而针对root-music算法和u-root-music算法，本发明仅需要计算l＝2个根；针对rv-root-music算法，本例仅需要计算2l＝4个根。这个结果证实了此前分析的正确性。

仿真2，设置快拍数n＝100，比较本发明与root-music算法、u-root-music算法和rv-root-music算法的rmse随输入信噪比(signal-to-noiseratio,snr)的变化情况，其结果如图4所示。

由图4可知，root-music算法、u-root-music算法和rv-root-music算法在snr≤0db时性能略优于本发明，但是随着snr增加，本发明和其他三种传统算法性能十分接近。

仿真3，设置信噪比snr＝5db，比较本发明与root-music算法、u-root-music算法和rv-root-music算法的rmse随快拍数的变化情况，其结果如图5所示。

由图5可知，root-music算法、u-root-music算法和rv-root-music算法在快拍数n≤80时性能略优于本发明，随着n的增加，本发明的rmse和其他三种传统算法性能十分接近。

仿真4，比较本发明与不同算法的计算效率，其中通过在intel(r)core(tm)i5-94002.90ghzcpu处理器和16gbram内存的同一pc环境中运行matlab代码，从cpu时间的角度对计算效率进行等效评估。

由图6可知，相比另外三种算法，本发明的计算效率更高；结合上述仿真可知，本发明同时可以提供优良的角度估计精度。

综上,可以说明本发明相对于现有技术具有显著的优越性。