均布载荷下最大挠度受限的圆薄膜的挠度确定方法

1.本发明涉及一种横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜在最大挠度受限制的条件下的挠度的确定方法。


背景技术：

2.横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜在最大挠度受限制的条件下的轴对称变形问题的解析解，在许多工程技术领域都有应用，例如，用来研制薄膜/基层体系粘附能测量仪器、以及平行板电容器式压力传感器等。然而从现有文献的查新结果来看，由于横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜在最大挠度受限制的条件下的轴对称变形问题存在较强的非线性，因而该轴对称变形问题难以被精确地解析求解，所以通常会采用这样或者那样的近似或者假设，例如发明专利“最大挠度受限制状态下圆形薄膜挠度的确定方法”(专利号：zl201710032534.6)中所采用的解析解，就是采用了通常所谓的薄膜小转角假设而获得的。显而易见，这些近似或者假设的采用，无疑会降低所获得的解析解的精度，从而影响技术应用。
3.所谓薄膜小转角假设是指，假设薄膜在外部荷载的作用下所产生的薄膜转角θ很小，因而在解析求解过程中可以据此采用一些近似处理。例如，通常会用sinθ＝tanθ来替代因此，这一近似自身所产生的误差(即|sinθ-tanθ|/sinθ)大约是：1.54％(当θ＝10
°
时)、6.42％(当θ＝20
°
时)、15.47％(当θ＝30
°
时)、30.54％(当θ＝40
°
时)。然而实践中，可能会出现薄膜转角θ比较大的情形，甚至有些应用中的薄膜转角θ可能会大于40度。那么在这种情况下，如果采用由sinθ＝tanθ来近似而获得的解析解，由此而产生的误差对某些技术应用的影响，可能会超出这些技术应用的允许范围，例如，精密仪器的允许误差是1％以内，一般测量的允许误差是3％以内，而土木工程的允许计算误差是15％以内。显而易见，当薄膜的转角θ等于30度时，采用sinθ＝tanθ来替代自身所产生的误差已经超过了土木工程的允许计算误差(15％)，更何况在解析求解的过程中还会存在误差放大的问题，即，采用由sinθ＝tanθ来近似而获得的解析解，当薄膜的转角θ等于30度时，所产生的计算误差可能远大于15％。
4.毫无疑问，在解析解的推导过程中，如果能尽量少采用这样或者那样的近似或者假设，这肯定会有利于提高所获得的解析解的精度。例如，如果能放弃薄膜小转角假设，即采用而不是采用sinθ＝tanθ，那么这样不仅会提高所获得的解析解的计算精度，而且还会扩大所获得的解析解的适用范围，因为允许圆形薄膜产生更大的转角，就意味着允许对圆形薄膜施加更大的横向均布载荷，因而扩大了加载范围。所以，在解析求解横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜在最大挠度受限制的条件下的轴对称变形问题时，如果能够在放弃薄膜小转角假设的条件下来推导解析解，这无疑是一件非
常有价值的工作。然而，由于横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜在最大挠度受限制的条件下的轴对称变形问题存在较强的非线性，因而在解析解的推导过程中，如果放弃薄膜小转角假设，那么必定会产生难以解析处理的非线性方程，即，这样做会加大解析解的求解难度，但这也正是本发明所要致力于解决的困难和问题。


技术实现要素：

5.本发明致力于横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜在最大挠度受限制的条件下的轴对称变形问题的解析研究，在放弃薄膜小转角假设的条件下，建立了面外平衡方程和几何方程，进而给出了该轴对称变形问题的新的解析解，并在此基础上，给出了横向均布载荷作用下周边固定夹紧的最大挠度受限制的圆形薄膜的挠度的确定方法。
6.均布载荷下最大挠度受限的圆薄膜的挠度确定方法：对一块半径为a、厚度为h、杨氏弹性模量为e、泊松比为ν的周边固定夹紧的最初平坦的圆形薄膜施加一个横向均布载荷q，让圆形薄膜产生轴对称变形、并与一块平行于最初平坦的圆形薄膜的刚性平板形成一个圆形光滑接触区域，其中刚性平板与最初平坦的圆形薄膜之间的距离为g，那么基于该圆形薄膜轴对称变形的静力平衡分析，就可以得到轴对称变形后的圆形薄膜上各点的挠度w(r)与横向均布载荷q的解析关系为
[0007][0008]
其中，r为圆形薄膜上的一点到圆形薄膜的对称轴的距离(αa≤r≤a)，并且
[0009][0010][0011][0012]
[0013][0014][0015][0016]
η＝(1+2α-3α2)/4、
[0017]
β＝(1+α)/2，
[0018]
而α、c0、c1以及c2、c3、c4、c5、c6、d1、d2、d3、d4、d5、d6的值由方程
[0019][0020][0021][0022][0023]
[0024][0025][0026][0027][0028][0029][0030][0031]
[0032][0033][0034]
η＝(1+2α-3α2)/4、
[0035]
β＝(1+α)/2
[0036]
确定。
[0037]
这样，只要测得横向均布载荷q的值，就可以由方程
[0038][0039]
把轴对称变形后的圆形薄膜上各点的挠度w(r)确定下来，其中，r为圆形薄膜上的一点到圆形薄膜的对称轴的距离，且αa≤r≤a，而a、h、g、r、w(r)的单位均为毫米(mm)，e、q的单位均为牛顿每平方毫米(n/mm2)，v、α、c0、c1、c2、c3、c4、c5、c6、d0、d1、d2、d3、d4、d5、d6、q、β、η均为无量纲的量。
附图说明
[0040]
图1为横向均布载荷作用下周边固定夹紧的圆形薄膜在最大挠度受限制的条件下的轴对称变形的示意图，其中，1是轴对称变形后的圆形薄膜，2是平行于最初平坦的圆形薄膜的刚性平板，3是最初平坦的圆形薄膜外边缘的夹紧装置，4表示最初平坦的圆形薄膜的几何中面所在的平面，5是固定最初平坦的圆形薄膜外边缘夹紧装置的支座，6是固定刚性平板的支座，而a表示最初平坦的圆形薄膜的外半径及其外边缘夹紧装置的内半径，b表示轴对称变形后的圆形薄膜与刚性平板之间形成的圆形光滑接触区域的半径，o是坐标原点(位于最初平坦的圆形薄膜的几何中面的形心)，r是径向坐标(用来表示变形前或者变形后的圆形薄膜上的一点到变形前或者变形后的圆形薄膜的对称轴的距离)，w是横向坐标(用来表示轴对称变形后的圆形薄膜的挠度)，q表示作用在圆形薄膜上的横向均布载荷，g表示最初平坦的圆形薄膜与刚性平板之间的距离。
具体实施方式
[0041]
下面结合具体案例对本发明的技术方案作进一步的说明：
[0042]
如图1所示，对一块半径a＝100mm、厚度h＝1mm、杨氏弹性模量e＝7.84n/mm2、泊松
比ν＝0.47的周边固定夹紧的最初平坦的圆形薄膜施加一个横向均布载荷q，让圆形薄膜产生轴对称变形、并与一块平行于最初平坦的圆形薄膜的刚性平板形成一个圆形光滑接触区域，其中刚性平板与最初平坦的圆形薄膜之间的距离g＝10mm，测得横向均布载荷q＝0.0018mpa，那么采用本发明所给出的方法，由方程
[0043][0044][0045][0046][0047][0048][0049][0050][0051][0052]
[0053][0054][0055][0056][0057][0058]
η＝(1+2α-3α2)/4、
[0059]
β＝(1+α)/2
[0060]
得到α＝0.506674、c0＝0.024005、c1＝-0.002746以及c2＝-0.05265514006、c3＝0.08763560390、c4＝-0.2812853015、c5＝0.6191500790、c6＝-1.573693196、d1＝-0.2495578054、d2＝-0.2771342451、d3＝-0.2508150155、d4＝-0.1684193769、d5＝-0.6379439588、d6＝-0.04072572967，再由方程
[0061]
[0062]
得到d0＝0.074260，最后由方程
[0063][0064]
得到
[0065]
w(r)＝7.426000-24.9558(0.01r-0.753337)-27.7134
×
(0.01r-0.753337)
2-25.0815
×
(0.01r-0.753337)
3-16.8419
×
(0.01r-0.753337)4。-63.7944
×
(0.01r-0.753337)
5-4.726
×
(0.01r-0.753337)6[0066]
因此，该圆形薄膜在q＝0.0018mpa的横向均布载荷作用下的各点的挠度w(r)由方程
[0067]
w(r)＝7.426000-24.9558(0.01r-0.753337)-27.7134
×
(0.01r-0.753337)
2-25.0815
×
(0.01r-0.753337)
3-16.8419
×
(0.01r-0.753337)
4-63.7944
×
(0.01r-0.753337)
5-4.726
×
(0.01r-0.753337)6[0068]
确定。