一种基于并行FORC和相位滞后‑超前补偿的磁悬浮转子谐波电流抑制方法与流程

本发明涉及磁悬浮转子谐波电流抑制的技术领域，具体涉及一种基于并行FORC(Fractional Order Repetitive Control,FORC)和相位滞后-超前补偿的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，用于对磁悬浮控制力矩陀螺转子系统中的谐波电流进行抑制，为磁悬浮控制力矩陀螺在“超静”卫星平台上的应用提供技术支持。

背景技术：

磁悬浮控制力矩陀螺CMG(Control Moment Gyroscope，CMG)中的磁轴承采用电磁力使转子悬浮起来。由于轴承转子和定子之间无接触，与机械轴承相比具有下列三方面优点：首先，CMG飞轮转速可以大幅度提高，相同角动量的转子尺寸和质量可以更小，同时可以实现长寿命；其次，可以通过磁轴承控制器对飞轮转子不平衡振动进行主动控制，获得极低的振动噪声；再次，由于CMG框架等效转动惯量与转子支承刚度有关，采用磁轴承支承转子可以通过调低轴承刚度来增大框架等效转动惯量，从而使用相同力矩电机可以获得更高的框架角速率精度，这样就可以提高CMG力矩输出精度，最终提高航天器的指向精度与稳定度。此外，磁轴承在航天器高精度长寿命姿态控制执行机构中已得到广泛应用。因此，基于磁轴承的高精度长寿命大型CMG是我国空间站姿态控制执行机构的理想选择，具有迫切的应用需求。

虽然磁悬浮控制力矩陀螺无摩擦，但是仍然存在高频振动，影响卫星平台的指向精度和稳定度。磁悬浮控制力矩陀螺的高频振动主要由转子不平衡和传感器谐波引起，不仅会导致同频振动，还会造成倍频振动，合称为谐波振动。其中转子不平衡量是主要振动源，由转子质量的不平衡引起。由于传感器检测面的圆度误差、材质不理想、电磁特性不均匀等原因，位移传感器信号中存在同频和倍频成分，即传感器谐波。谐波电流不仅会增加磁轴承功耗，还会引起谐波振动，并通过磁轴承直接传递给航天器，影响航天器姿态控制的精度。

谐波振动抑制可以分为零电流、零位移和零振动三类，其中零电流可以用最少的计算量和功耗抑制大部分的振动。现有技术主要针对单一频率的干扰进行抑制，对于谐波扰动抑制研究相对较少，主要有并联多陷波器或多个LMS滤波器、重复控制RC算法等。但并联多陷波器不能针对所有振动同时抑制，计算量大，且需要考虑不同滤波器间的收敛速度问题，设计起来比较复杂；而重复控制RC算法则无需并联多个滤波器便可实现对不同频率成分振动的同时抑制。重复控制RC算法是根据内模原理实现系统零静态误差的一种方法，而现有的应用于磁悬浮转子控制系统的重复算法均没有考虑针对特定频段谐波抑制问题和系统的动态响应性能等问题。

技术实现要素：

本发明的目的为：克服现有技术的不足，发明一种基于并行FORC和相位滞后-超前补偿的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，通过自适应设计系统内模结构，实现磁悬浮转子任意定转速下的谐波电流的快速、精确抑制。

本发明采用的技术方案为：一种基于并行FORC和相位滞后-超前补偿的磁悬浮转子谐波电流抑制方法，包括以下步骤：

步骤(1)建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型

磁悬浮转子径向两自由度由主动磁轴承控制，其余三个自由度由安装在转子和定子上的永磁环实现无源稳定悬浮。Q表示磁轴承定子的几何中心，O表示转子的几何中心，C表示转子的质心。以Q为中心建立惯性坐标系QXY，以O为中心建立旋转坐标系Oεη，(x,y)表示转子几何中心O在惯性坐标系下的坐标值。

针对X通道谐波电流，建模如下：

根据牛顿第二定律，磁悬浮转子在X方向的动力学方程如下：

其中，m表示转子质量，f_x表示磁轴承在X方向的轴承力，e表示转子几何中心与质心之间的偏差，Ω表示转子转速，φ表示转子不平衡质量的初始相位。

主被动磁轴承轴承力由主动磁轴承电磁力和被动磁轴承磁力两部分组成，X通道中轴承力f_x可写为：

f_x＝f_ex+f_px

其中，f_ex为X通道主动磁轴承电磁力，f_px为X通道被动磁轴承磁力，被动磁轴承产生的力与位移呈线性关系，表示为：

f_px＝K_prx

其中，K_pr是被动磁轴承位移刚度；

当转子悬浮在磁中心附近时，主动磁轴承电磁力可近似线性化为：

f_ex≈K_erx+K_ii_x

其中，K_er、K_i分别为主动磁轴承位移刚度、电流刚度，i_x为功放输出电流；

对于含有质量不平衡的转子系统，有：

X(t)＝x(t)+Θ_x(t)

其中，X(t)为转子质心位移，x(t)为转子几何中心位移，Θ_x(t)为质量不平衡引起的位移扰动，记为：

Θ_x(t)＝l cos(Ωt+θ)

其中，l为质量不平衡的幅值，θ为相位，Ω为转子转速；

在实际转子系统中，由于机械加工精度和材料的不均匀因素的影响，传感器谐波不可避免，传感器实际测得的位移x_s(t)可表示为：

x_s(t)＝x(t)+x_d(t)

其中，x_d(t)为传感器谐波，可重写为：

其中，c_a是传感器谐波系数的幅值，θ_a是传感器谐波系数的相位，w为传感器谐波的最高次数；

将i_x、X(t)、Θ_x(t)、x_d(t)依次进行拉普拉斯变换得i_x(s)、X(s)、Θ_x(s)、x_d(s)，写出转子动力学方程有：

ms²X(s)＝(K_er+K_pr)(X(s)-Θ_x(s))+K_ii_x(s)

其中，

i_x(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s)+x_d(s))

其中，K_s为位移传感器环节、G_c(s)为控制器环节，G_w(s)为功放环节；

从上式可以看出，由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致线圈电流中存在与转速同频电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s))和倍频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)x_d(s)。

在主动磁轴承可控的径向平动自由度X通道和Y通道中，两通道解耦，所以Y通道电流模型与X通道相似，具体分析如下：

转子动力学方程有：

ms²Y(s)＝(K_er+K_pr)(Y(s)-Θ_y(s))+K_ii_y(s)

式中，Y(s)为转子质心位移y(t)的拉式变换，Θ_y(s)为质量不平衡引起的位移扰动Θ_y(t)的拉式变换，i_y(s)是Y通道功放输出电流i_y(t)的拉式变换。

上式中，

i_y(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(Y(s)-Θ_y(s)+y_d(s))

式中，y_d(s)为传感器谐波y_d(t)的拉式变换。

从上式可以看出，由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致线圈电流中存在与转速同频电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(Y(s)-Θ_y(s))和倍频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)y_d(s)。

步骤(2)设计基于并行分数阶RC和相位滞后-超前补偿方法的磁悬浮转子谐波电流抑制方法

以谐波电流为控制目标，算法控制器以“插入”的形式接入原闭环系统。将谐波电流i_x作为误差信号输入至该插入式重复控制器模块，该模块的输出等效反馈至原控制系统的功放输入端。该模块的设计主要包括以下三个方面：

①采用并行RC结构算法，根据实际磁悬浮转子系统在特定转速下产生的谐波电流，进行频谱分析，得到谐波电流主要频率成分,采用平行结构，根据并行RC设计一般方式，设计且N为信号序列周期)阶主导频率相对应的内模环节，最后将设计的各环节并联形成并行RC算法。谐波电流中占主导地位的谐波分量由频谱分析得到；并行RC内模结构由主要谐波分量得到。

②分数阶环节，由分数阶延时滤波器得到，用来消除采样频率与谐波扰动信号基频的比值不为整数情况下带来的误差，实现任意定转速下的磁轴承谐波电流精确抑制；

③相位超前-滞后补偿环节由相位超前-滞后校正环节和一阶低通滤波器组成，根据系统函数相频特性及系统稳定性条件得到，用来提高系统稳定性，拓宽控制器增益的取值上限。采用以上两个环节相串联的方式，使得系统稳定性设计冗余度增加、动态性能和稳态性能都有很大提高。

进一步地，所述的步骤(2)谐波电流抑制算法为：

①、并行RC控制器的结构设计

重复控制器RC是基于内模原理来跟踪误差信号的，通过引入无穷多个闭环极点来消除所有倍频谐波分量。而并行RC控制器采用平行结构，包含nk±i阶谐波频率所对应的内模，针对每一种需要抑制的频率分量都引入相对应的内模环节，因此对于每一个需要抑制的低阶谐波频率可以准确地定位和引入极点，从而在相应频率点处，系统频率响应可获得无穷增益。

并行RC的传递函数G(z)可以表示为：

其中，K_r为G_r(z)所对应的控制器增益，Q(z)为使系统鲁棒性提高而引入的低通滤波器；(N/n)′＝round(N/n)，表示不超过N/n的最大整数；j为一虚数单位。

采用并行RC结构，根据实际磁悬浮转子系统在特定转速下产生的谐波电流，进行频谱分析，得到谐波电流主要频率成分，采用平行结构，根据RC设计一般方式，设计nk±i阶主导频率相对应的内模环节，最后将设计的各环节并联形成并行RC结构。谐波电流中主要谐波频率分量由频谱分析得到；并行RC内模结构由主要谐波频率分量得到。

根据内模原理，此时，该频率响应可被抑制为零。同时，并行RC相较于传统的RC控制器，其收敛速度会加快n倍；并且，通过改变内模环节的控制器增益K，可以实现系统的动态性能的改善。

②、分数阶补偿环节的设计：

考虑到实际转子系统中，采样频率与谐波电流基频的比值一般不恒为整数，设计中沿用传统分数阶补偿环节，即延时环节可用一p阶拉格朗日插值多项式来近似表示：

其中系数D_b可表示如下：

式中，A＝N/n-(N/n)′，表示小数部分；T_s为采样频率。

这种方式消除了采样频率与谐波扰动信号基频的比值不为整数情况下带来的误差，实现任意定转速下的磁轴承谐波电流精确抑制。

③、相位补偿函数K_f(z)的设计

为使系统稳定，提出了一种多个超前环节和滞后环节组成的系统校正方法，即：补偿函数K_f(z)设计为：

K_f(z)＝G₁(z)G₂^m(z)G₃(z)q(z) (m＝0,1,2…)

其中，G₁(z)为低频段补偿，其一般表达形式为：(Z(·)为离散化记号)

系数b根据具体系统选取，使得系统低频段被有效校正又不严重影响高频段的特性。

G₂^m(z)为中频段超前补偿，一般表达形式为：

系数a、参数T_a、m根据具体系统选取，使得系统中频段被有效校正。

G₃(z)为中低频段滞后校正，一般表达形式为：

系数c、参数T_b根据G₂^m(z)超前校正效果设计，使得系统在经过G₂^m(z)超前校正后中频段满足系统稳定条件。

q(z)为截止频率为ω_c的一个低通滤波器，一般表达形式为：

其中，ω_c为系统截止频率。

采用以上三者相串联的方式，使得系统稳定性设计冗余度增加、动态性能和稳态性能都有很大提高。

步骤(3)为一种针对特定谐波信号快速自适应调整并行FORC控制器增益的方法

针对步骤(2)并行FORC控制器内模环节增益调整问题，本发明给出了一种根据实际信号能量比来近似各个内模环节增益比的方法，具体推导过程如下：

对于一个周期为N的信号i(t)，其能量可以表示为：

其中E为信号总能量。

由Parseval定理可知，信号i(t)所含有的能量(功率)恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量(功率)之和，也就是信号在时域的总能量等于信号在频域的总能量，即信号经傅里叶变换后其总能量保持不变，符合能量守恒定律。

设信号i(t)经过傅里叶变换后变为R(n)，则有：

定义对该序列按大小重新排列，可以得到一个新的向量

其中，|S(1)|>|S(2)|>…>|S(N-1)|。

由于向量中的元素是按各自幅值大小排序组成的，因此下式是成立的：

若定义E_m为谐波电流中主要分量所对应总能量，根据Parseval定理可推得下式：

式中，E_d(d＝0,1,…,M-1)为各主要谐波分量分别对应的能量，M为主要频率分量个数。

为了衡量分能量E_d在总能量E中所占比例的大小，定义一个变量η_d，使得：

同样，定义一个变量λ_r，使得：

在实际系统中，可令M＝i,d＝r,η_d＝λ_r，即：

则有：

其中，K_r为并行FORC控制器第r个环节的内模环节的增益，由步骤(2)给出。

这种针对特定谐波信号快速自适应调整FORC控制器增益的方法，实现了系统动态性能和稳态性能的动态优化，节省了调节时间。

本发明基本原理：对于磁悬浮转子来讲，其振动的主要来源是质量不平衡和传感器谐波。本发明针对谐波电流进行抑制，减小谐波振动。由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致控制电流和中含有谐波，即谐波电流，从而使磁悬浮转子系统中含有谐波振动。通过建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型，分析谐波电流，提出一种基于并行FORC算法和相位滞后-超前补偿算法的谐波电流抑制方法。

该方法重点从以下四个方面进行了论述：对谐波电流进行频谱分析，得到占主导地位的谐波分量，根据这些分量设计相对应的内模结构，将各内模结构并联起来得到本方法的基本框架；分数阶延时滤波器设计，当转子转速改变时，可通过改变分数阶延时滤波器的系数实现小数部分精确补偿；相位滞后-超前补偿环节设计，对系统进行稳定性分析，通过设计多个超前环节和一个滞后环节串联的补偿环节以保证稳定性和较好的系统性能；基于信号能量的观点，设定各内模环节增益比近似等于对应谐波分量的能量比，最终实现任意转速下磁悬浮转子谐波电流的精确抑制。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)、为了有效抑制磁悬浮转子系统中的谐波电流，本发明提出一种基于并行FORC算法和相位滞后-超前补偿的谐波电流抑制方法，并行RC控制器采用平行结构，包含(nk±i)阶谐波频率所对应的内模，对于每一个需要抑制的低阶谐波频率可以准确地定位和引入极点，从而可以精确抑制相应谐波电流。同时，并行RC相较于传统的RC控制器，其收敛速度会加快n倍。并且，通过改变内模环节的控制器增益K，可以实现系统的动态性能的改善。而引入分数阶，可以实现任意频率谐波电流的精确抑制。加入相位滞后-超前补偿环节，一方面可以保证系统稳定，另一方面增加了系统稳定鲁棒性，拓宽了系统控制器增益取值上限，使系统动态性能得到改善。并且并行RC可以减小控制器内存空间，适用于存在质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子谐波电流抑制。

(2)、本发明将并行FORC算法和相位滞后-超前环节相互结合起来，不仅提高了系统的动态性能，使收敛速度相较于传统RC有了很大提高，同时还考虑了系统的稳态性能，使收敛精度提高。

(3)、本发明总结出了一种基于信号能量，设定各内模环节增益比近似等于对应谐波分量的能量比，最终实现任意转速下磁悬浮转子谐波电流的精确抑制的方法，在实际应用中可以快速调整各环节控制器增益，实现了系统动态性能和稳态性能的动态优化，节省了调节控制器增益所用时间。

附图说明

图1为本发明的流程图；

图2为主被动磁悬浮转子系统结构示意图；

图3为转子静不平衡示意图；

图4为传感器谐波示意图；

图5为X通道磁轴承控制系统框图；

图6为Y通道磁轴承控制系统框图；

图7为针对X通道改进插入式重复控制器整体系统框图；

图8为针对X通道改进插入式重复控制器整体系统框图；

图9为插入式重复控制器具体结构框图；

图10为加入传统RC后信号时域波形；

图11为加入传统RC后信号功率谱；

图12为加入并行FORC后信号时域波形；

图13为加入并行FORC后信号功率谱；

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施例进一步说明本发明。

如图1所示，一种基于并行FORC和相位滞后-超前补偿的磁悬浮转子谐波电流抑制方法的实施过程是：首先建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型；然后设计一种基于并行FORC和相位滞后-超前补偿的谐波电流抑制方法；最后应用一种基于信号能量观点的快速自适应调整控制器增益的方法，实现了系统动态性能和稳态性能的动态优化。

步骤(1)建立含质量不平衡和传感器谐波的磁悬浮转子动力学模型

磁悬浮转子系统结构示意图如图2所示，主要由永磁体(1)、主动磁轴承(2)和转子(3)组成，其径向两自由度由主动磁轴承控制，其余三个自由度由安装在转子和定子上的永磁环实现无源稳定悬浮。图3为转子静不平衡示意图，Q表示磁轴承定子的几何中心，O表示转子的几何中心，C表示转子的质心。以Q为中心建立惯性坐标系QXY，以O为中心建立旋转坐标系Oεη，(x,y)表示转子几何中心O在惯性坐标系下的坐标值。针对径向平动自由度X通道，建模如下：

根据牛顿第二定律，磁悬浮转子在X方向的动力学方程如下：

其中，m表示转子质量，f_x表示磁轴承在X方向的轴承力，e表示转子几何中心与质心之间的偏差，Ω表示转子转速，φ表示转子不平衡质量的初始相位。

主被动磁轴承包括主动磁轴承和被动磁轴承，主被动磁轴承轴承力由主动磁轴承电磁力和被动磁轴承磁力两部分组成，X通道中轴承力f_x可写为：

f_x＝f_ex+f_px

其中，f_ex为X通道主动磁轴承电磁力，f_px为X通道被动磁轴承磁力，被动磁轴承产生的力与位移呈线性关系，表示为：

f_px＝K_prx

其中，K_pr是被动磁轴承位移刚度；

当转子悬浮在磁中心附近时，主动磁轴承电磁力可近似线性化为：

f_ex≈K_erx+K_ii_x

其中，K_er、K_i分别为主动磁轴承位移刚度、电流刚度，i_x为功放输出电流；

在实际转子系统中，由于图2中的磁轴承装配不完美、转子测量表面圆度误差和电磁不均匀的影响，会产生如图4所示的传感器谐波，图中，4表示传感器，5表示定子，6表示转子。传感器实际测得的位移x_s(t)可表示为：

x_s(t)＝x(t)+x_d(t)

其中，x_d(t)为传感器谐波，可重写为：

其中，c_a是传感器谐波系数的幅值，θ_a是传感器谐波系数的相位，w为传感器谐波的最高次数；

磁轴承X方向平动控制系统如图5所示，其中，K_s为位移传感器环节、G_c(s)为控制器环节，G_w(s)为功放环节，P(s)为转子系统的传递函数；将i_x、X(t)、Θ_x(t)、x_d(t)依次进行拉普拉斯变换得i_x(s)、X(s)、Θ_x(s)、x_d(s)，写出转子动力学方程有：

ms²X(s)＝(K_er+K_pr)(X(s)-Θ_x(s))+K_ii_x(s)

其中，

i_x(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s)+x_d(s))

式中，X(t)为转子质心位移，x(t)为转子几何中心位移，Θ_x(t)为质量不平衡引起的位移扰动。

从上式可以看出，由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致线圈电流中存在与转速同频电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(X(s)-Θ_x(s))和倍频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)x_d(s)。

在主动磁轴承可控的径向平动自由度X通道和Y通道中，两通道解耦，所以Y通道电流模型与X通道相似，具体分析如下：

磁轴承Y方向平动控制系统如图6所示，其中，K_s为位移传感器环节、G_c(s)为控制器环节，G_w(s)为功放环节，P(s)为转子系统的传递函数。

转子动力学方程有：

ms²Y(s)＝(K_er+K_pr)(Y(s)-Θ_y(s))+K_ii_y(s)

式中，Y(s)为转子质心位移y(t)的拉式变换，Θ_y(s)为质量不平衡引起的位移扰动Θ_y(t)的拉式变换，i_y(s)是Y通道功放输出电流i_y(t)的拉式变换。

上式中，

i_y(s)＝-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(Y(s)-Θ_y(s)+y_d(s))

式中，y_d(s)为传感器谐波y_d(t)的拉式变换。

从上式可以看出，由于质量不平衡和传感器谐波的存在，导致线圈电流中存在与转速同频电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)(Y(s)-Θ_y(s))和倍频的电流成分-K_sK_iG_c(s)G_w(s)y_d(s)。

谐波电流不仅会增加磁轴承功耗，还会引起谐波振动，通过磁轴承传递给航天器，影响航天器姿态控制的精度。因此，对于谐波电流需要采取适当的控制方法加以有效抑制；

步骤(2)设计基于并行FORC和相位滞后-超前补偿的谐波电流抑制方法

针对步骤(1)线圈电流中存在谐波电流这一问题，本发明采用一种基于并行FORC算法和相位滞后-超前补偿的方法对谐波电流进行抑制。

针对X通道谐波电流，在原X通道闭环系统基础上插入并行FORC，如图7所示，由X通道转子不平衡质量引起的位移偏差以及传感器谐波作为干扰信号R_x(s)和D_x(s)，经过控制器G_c(s)和功放G_w(s)后形成谐波电流I_x(s)，I_x(s)可通过两路不同方式反馈至输入端，一路通过转子系统G_p(s)，另一路则通过“插入”的并行FORC重复控制器。图7中并行FORC控制器的具体结构框图如图9所示，其中I(z)是X通道谐波电流I_x(s)经过离散化后的电流序列，也即跟踪误差，K_k(k＝0,1,2,…,i-1)为并行FORC控制器不同谐波分量所对应内模环节控制器的增益，N为电流序列I(z)的周期，且有N＝f_s/f₀，f₀为X通道谐波电流中基波频率，f_s为系统采样频率；是采样周期的分数阶延时环节，由分数延时滤波器近似得到。(N/n)′代表一个整数，其等价的表示方式为(N/n)′＝round(N/n)，N_h为相位补偿环节的阶数，A＝N/n-(N/n)′为小数部分。K_f(z)表示在低频段和中频段的相位补偿函数，在设计中，表示高频段的相位补偿函数，Q(z)是为增加系统鲁棒性而加入的低通滤波器。

针对Y通道谐波电流，由于X、Y通道解耦，仿照上述X通道抑制方式，Y通道电流抑制具体实施步骤如下：在原Y通道闭环系统基础上插入并行FORC，如图8所示，由Y通道转子不平衡质量引起的位移偏差以及传感器谐波作为干扰信号R_y(s)和D_y(s)，经过控制器G_c(s)和功放G_w(s)后形成谐波电流I_y(s)，I_y(s)可通过两路不同方式反馈至输入端，一路通过转子系统G_p(s)，另一路则通过“插入”的并行FORC控制器(即图中PSFRC控制器)。图8中并行FORC控制器的具体结构框图如图9所示，此时I(z)则是Y通道谐波电流I_y(s)经过离散化后的电流序列，也即跟踪误差，K_k(k＝0,1,2,…,i-1)为并行FORC控制器不同谐波分量所对应内模环节控制器的增益，N为电流序列I(z)的周期，且有N＝f_s/f₀，f₀为Y通道谐波电流中基波频率，f_s为系统采样频率；是采样周期的分数阶延时环节，由分数延时滤波器近似得到。(N/n)′代表一个整数，其等价的表示方式为(N/n)′＝round(N/n)，N_h为相位补偿环节的阶数，A＝N/n-(N/n)′为小数部分。K_f(z)，以及Q(z)的作用、定义与X通道一致。

由图9可知，并行RC的传递函数G(z)可以表示为：

其中，Q(z)为使系统鲁棒性提高而引入的低通滤波器；j为一虚数单位。

并行FORC控制器设计过程如下：

本发明应用的磁悬浮转子系统，在高转速情况下，根据频谱分析可知，转子有效谐波扰动主要表现在同频、二倍频、三倍频、五倍频、七倍频和九倍频。根据图9中并行FORC一般结构，针对该转子系统，选择n＝10，并行FORC由6条结构相似的支路并联组成，每条支路分别对应1,2,3,5,7,9倍频的谐波分量内模。

每个内模的传递函数G_i(z)可表示为：

1.分数阶延时环节分析

在工程应用中，分数阶延时环节无法直接应用，需要找到一种替换形式。分数阶延时环节可用一p阶拉格朗日插值多项式来近似表示：

其中系数D_l可表示如下：

多项式与分数阶延时环节的差值R_p可表示如下：

其中，ξ∈[T_l,T_l+1]，T_l和T_l+1分别表示第l个和第l+1个采样时刻。

从上式可以看出，随着拉格朗日插值多项式阶数p的增大，R_p逐渐减小，即拉格朗日插值多项式的近似程度逐渐升高。但是，随着p的增大，算法计算量大幅度增大，并且会出现算法不稳定的现象。在该系统中，应综合考虑差值R_p尽量小以及计算量尽量小。

2.稳定性分析和相位滞后-超前补偿环节设计：

a)、稳定性分析：

对于如图7、8所示的闭环系统，若同时满足下列条件，则闭环系统是渐进稳定的：

条件1：

条件2：

其中，K_f(z)K_b′(z)F(z)＝L(ω)e^jθ(ω)。

对于图9所示系统，的取值范围由条件1给定，N₂的取值范围由条件2限定。针对一个实际系统而言，L(ω)、θ(ω)、A以及T_sω(ω≈ω_c)均是已知，因此，系统参数是可以完全被确定的。

b)、相位滞后-超前补偿环节设计：

相位补偿环节K_f(z)的一般形式为：

K_f(z)＝G₁(z)G₂^m(z)G₃(z)q(z) (m＝0,1,2…)

其中，G₁(z)为低频段补偿，其一般表达形式为(Z(·)为离散化记号)：

系数b根据具体系统选取，使得系统低频段被有效校正又不严重影响高频段的特性。

G₂^m(z)为中频段超前补偿，一般表达形式为：

中频段相位补偿环节G₂^m(z)由m个相位超前环节构成。由于每个相位超前环节所能提供的最大超前角不超过65°，因此G₂(z)所能提供的最大超前角不超过m×65°。为了保证校正后系统有一定的相位冗余度和信噪比，一般使得每个超前环节提供的超前角在40°到50°之间。根据系统达到稳定状态需要的角度和每个超前环节提供的超前角，来确定m值。如系统bode图相位最低点所对应相位为选择超前环节提供的超前角为40°，则：

G₃(z)为中低频段滞后校正，一般表达形式为：

系统在经过G₂^m(z)的超前相位补偿后，有可能使得中低频段内系统相位发生较大幅度的改变，从而影响系统整体性能。为减弱由于G₂^m(z)对系统中低频段的影响，需要加入滞后校正环节G₃(z)。

系数c、参数T_b根据G₂^m(z)超前校正效果设计，使得系统在经过G₂^m(z)超前校正后中频段满足系统稳定条件。

q(z)为截止频率为ω_c的一个低通滤波器，一般表达形式为：

其中，ω_c为系统截止频率，主要作用是用来减弱高频补偿环节对系统高频段的相位影响。

综上所述，通过串联相位补偿函数和增益系数，可以保证加入算法后系统的稳定性。

步骤(3)基于信号能量观点的一种快速自适应调整并行FORC控制器增益的方法

针对步骤(2)中并行FORC控制器内模环节增益调整问题，本发明给出了一种根据实际信号能量比来近似各个内模环节增益比的方法，具体实现方式如下：

根据步骤(2)中设计的并行FORC结构以及频谱分析结果，采用步骤(3)中方法，得到各主要频率谐波的能量比，根据步骤(3)中推导及结论，各主要谐波的能量比应近似等于各重复控制器内模环节增益比，由此可以得到步骤(2)中并行FORC结构中各阶谐波电流频率的控制器增益。

其原理如下：

设信号i(t)经过傅里叶变换后变为R(n)，则有：

定义对该序列按大小重新排列，可以得到一个新的向量

其中，|S(1)|>|S(2)|>…>|S(N-1)|。

由于向量中的元素是按各自幅值大小排序组成的，因此下式是成立的：

若定义E_m为谐波电流中主要分量所对应总能量，根据Parseval定理可推得下式：

式中，E_d(d＝0,1,…,M-1)为各主要谐波分量分别对应的能量，M为主要频率分量个数。

为了衡量分能量E_d在总能量E中所占比例的大小，定义一个变量η_d，使得：

同样，定义一个变量λ_r，使得：

在实际系统中，可令M＝i+1,d＝r,η_d＝λ_r，即：

则有：

其中，K_r为并行FORC控制器第r个环节的内模环节的增益，由步骤(2)给出。

因此，在步骤(2)设计的并行FORC控制器的基础上，每个内模环节的增益K_i可由实际信号的能量比来近似确定。

针对本发明提出的并行FORC设计方法，本实施例以一个磁悬浮转子系统为例，对谐波进行抑制。加入传统RC算法后，信号时域波形如图10所示，对应功率谱如图11所示，很明显，此时RC算法是收敛的，0.8s后达到稳态值，且衰减了10dB左右，并没有完全抑制掉主要谐波分量。采用并行FORC算法后，信号时域波形如图12所示，对应功率谱如图13所示。相较于传统RC，时域波形经过0.3s后就达到了稳态，比传统RC快了将近2.5倍，且幅值衰减很明显好于传统RC，比传统RC抑制效果突出。

本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。