一种基于凸组合法的时变时滞系统的反馈控制器设计方法与流程

本发明涉及控制器设计领域，特别是指一种基于凸组合法的时变时滞系统的反馈控制器设计方法。

背景技术：

时滞现象广泛存在于通信系统、化学工程、生物系统、核反应堆、过程控制和网络化控制系统等。

时滞的发生可能恶化系统性能甚至使系统失去稳定性，在分析时如果忽略时滞的影响会导致不正确的设计方案；因此，近年来，关于时滞系统的不确定性、稳定性及控制器设计等相关问题受到许多专家学者的广泛关注。

当前，时变时滞系统的稳定性研究一般首先通过构造合适的lyapunov-krasovskii泛函，结合自由权矩阵、积分不等式、时滞分割技术等方法来推导系统的稳定性判据。在文献robuststabilityandcontrolforuncertainneutraltimedelaysystems[j]中基于离散化思想，将离散时滞与分布时滞区间非均匀分割成若干份，并在对应区间构造合适的lyapunov-krasovskii泛函，推导出系统的稳定性判据；在文献delay-partitioningapproachtorobuststabilityofuncertainneutralsystemwithmixeddelays[j]基于时滞分割技术和jensen不等式法,推导出带混合时滞不确定中立型系统稳定的充分条件；以上文献均将时滞区间分成若干份,虽然能得到保守性较小的结果,但却增加了计算的复杂性；为了降低由于区间分段造成的计算复杂性，文献improvedrobuststabilizationmethodforlinearsystemswithintervaltime-varyinginputdelaysbyusingwirtingerinequality[j]针对不确定时变时滞系统的鲁棒镇定问题，将时滞区间分成两个子区间，构造合适的lyapunov-krasovskii泛函，在wirtinger不等式的基础上，利用交互式凸组合法^[11]得到改进的时滞相关稳定性结论；文献adelaydecompositionapproachtorobuststabilityanalysisofuncertainsystemswithtime-varyingdelay基于时滞分割法和自由权矩阵法，将时滞区间分割成两个子区间，对系统进行稳定性分析；文献noveldelaydependentrobuststabilitycriteriaforneutralsystemswithmixedtime-varyingdelaysandnonlinearperturbations[j]基于时滞分割技术和自由权矩阵法,将带有扰动的变时滞中立型系统的时滞区间均分成两个子区间,得到系统的鲁棒稳定判据；以上文献虽然得到了形式简单的结论，但由于构造的泛函相对简单，从而造成了结论的保守性。

技术实现要素：

本发明为解决现有的问题，提出一种基于凸组合法的时变时滞系统的反馈控制器设计方法。

本发明的技术方案是这样实现的：

一种基于凸组合法的时变时滞系统的反馈控制器设计方法，其特征在于：该控制器设计过程如下：

a.建立变时滞系统模型,

其中：x(t)∈rⁿ为系统的状态向量；a、a1均为已知适维矩阵；是连续初始向量函数；变时滞h(t)满足：0≤hd≤h(t)≤hd，其中，0≤hd≤hd和μ≥0是常数；

b.将时滞区间分割，将时滞区间分成n份等距的小区间，n>0,且是整数，则hi(i＝1,2,...,n+1)满足：hd＝h1<h2<…<hn<hn+1＝hd，其中每个小区间的长度为hα＝hi+1-hi＝(hd-hd)/n；

c.对系统进行稳定性分析，在分析过程中，引入引理1、引理2、引理3、引理4；

d.构造lyapunov-krasovskii泛函，对泛函进行求导，根据步骤b中的引理1、引理2、引理3、引理4最终得到系统稳定性条件，

当h(t)∈[hi,hi+1]时，本发明构造lyapunov-krasovskii泛函为：

其中，

vi1(t)＝ξ^t(t)pξ(t)，

其中，

沿系统(1)的轨迹可得泛函v(t)的导数为：

运用引理1和引理2可得下列式子成立：

其中

运用引理3得到

其中，δ^t(t)＝[x^t(t-hi)x^t(t-h(t))x^t(t-hi+1)]，

令

则

其中，

因此结合不等式(9)～(13)得到

对于h(t)∈[hi,hi+1]，根据引理4，若下列不等式成立：

则有：

则有由lyapunov稳定性理论可知，系统(1)是渐近稳定的；

e.得出系统稳定性的条件-定理1：对于给定标量0<hd<hd和0≤μ<1，系统是渐近稳定的，若存在正定矩阵ri>0(i＝1,2)及ui>0(i＝1,2)；以及任意合适维数的矩阵tj，yj(j＝1,2,3),使下面的矩阵不等式成立：

其中，

ξ12＝-p12+p13,ξ13＝p11a1,ξ14＝-p13,ξ15＝a^tp12+p22+hiu1,ξ16＝a^tp13+p23+hαu2,ξ22＝-q1-2r1+y1+y1^t,ξ26＝-p23+p33,ξ46＝-p33,ξ56＝0,ξ66＝-u2，

ac＝[a0a1000],

且满足hα＝hi+1-hi＝(hd-hd)/n，

f.镇定器的设计，在步骤e中定理1的基础上考虑系统的控制器的镇定设计，令控制器的形式为：

u(t)＝kx(t)(14)

其闭环系统为：

将(14)带入系统(15)，可得

j.在定理1的基础上，给出镇定器的存在性条件-定理2，用a+bk代替a，并在式(2)、(3)两端左乘右乘diag{x,x,x,x,x,x,x,x}及其转置，其中令定义即可得其中

已知对于任意不等式j>0，不等式(21)成立：

由于j>0，对任意矩阵x有

(x-j)j^-1(x-j)>0

对于任意给定的ε

(ε^-1x-j)(ε^-2j)^-1(ε^-1x-j)

＝xj^-1x-2εx+ε²j>0

即：

xj^-1x>2εx-ε²j(22)

由式19)～(22)，应用schur补引理可得式(17)、(18)；

定理2对于给定标量0<hd<hd,0≤μ<1和ε，若存在适当维数的矩阵l＝l^t>0，若存在正定矩阵及以及任意合适维数的矩阵使下面的lmi成立：

ξ13＝a1x,

ξ35＝0,ξ36＝0,

ξ56＝0,

且满足hα＝hi+1-hi＝(hd-hd)/n，

那么是渐近稳定的且控制反馈增益为：k＝vx^-1。

基于凸组合法的时变时滞系统的反馈控制器设计方法，由于式(18)～(20)中存在非线性项xj^-1x，无法利用凸优化算法求解控制器增益，因此采用线性化处理方法对非线性项进行处理。

本发明的有益效果是：在本发明的泛函构造中，不仅充分利用了时滞的下界信息，且添加了三重积分项，这两部分特性都可使系统保守性降低；通过构造三重积分泛函项，结合推广的积分不等式，得到了基于凸组合方式的稳定性结论，与其他运用时滞分割法的系统相比，本发明引入了较少的矩阵变量，降低了计算的复杂度，并且为下一步得到基于lmi的控制器存在性条件提供了便利。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为μ＝0.5时hd取不同值的时滞上界hd值的对比；

图2为μ未知时hd取不同值的时滞上界hd值的对比；

图3为hd＝0时μ取不同值的时滞上界hd(n＝2)；

图4为不同的ε值对应的闭环系统零输入状态响应曲线；

图5为ε取不同值时系统状态响应曲线趋于稳定的时间。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有付出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

一种基于凸组合法的时变时滞系统的反馈控制器设计方法，该控制器设计过程如下：

a.建立变时滞系统模型，

其中：x(t)∈rⁿ为系统的状态向量；a、a1均为已知适维矩阵；是连续初始向量函数；变时滞h(t)满足：0≤hd≤h(t)≤hd，其中，0≤hd≤hd和μ≥0是常数；

b.将时滞区间分割，将时滞区间分成n份等距的小区间，n>0,且是整数，则hi(i＝1,2,...,n+1)满足：hd＝h1<h2<…<hn<hn+1＝hd，其中每个小区间的长度为hα＝hi+1-hi＝(hd-hd)/n；

c.对系统进行稳定性分析，在分析过程中，引入如下引理：

引理1对于x(t)∈rⁿ具有一阶连续导数,当r^n×n>0，h>0及向量值函数以下积分不等式成立：

其中，

引理2对于任一适当维数的矩阵w∈r^n×n，w＝w^t>0常量h>0及向量值函数以下积分不等式成立：

其中，

引理3设r1≤r(t)≤r2，则对任意矩阵r∈r^n×n,r＝r^t>0，以及任意合适维数的矩阵ti，yi(i＝1,2,3),,以下积分不等式成立：

其中，x^t(t-r(t))x^t(t-r2)]，

引理4h1,h2,h3为具有适当维数的常数矩阵，η(t)为具有上下界的时变函数，η1≤η(t)≤η2，那么不等式h1+(η2-η(t))h2+(η(t)-η1)h3<0成立的充要条件是下式成立

d.构造lyapunov-krasovskii泛函，对泛函进行求导，根据步骤b中的引理1、引理2、引理3、引理4最终得到系统稳定性条件，

当h(t)∈[hi,hi+1]时，本发明构造lyapunov-krasovskii泛函为：

其中，

vi1(t)＝ξ^t(t)pξ(t)，

其中，

沿系统(1)的轨迹可得泛函v(t)的导数为：

运用引理1和引理2可得下列式子成立：

其中

运用引理3得到

其中，δ^t(t)＝[x^t(t-hi)x^t(t-h(t))x^t(t-hi+1)]，

令

则

其中，

因此结合不等式(9)～(13)得到

对于h(t)∈[hi,hi+1]，，根据引理4，

若下列不等式成立：

则有：

则有由lyapunov稳定性理论可知，系统(1)是渐近稳定的；

e.得出系统稳定性的条件-定理1：对于给定标量0<hd<hd和0≤μ<1，系统是渐近稳定的，若存在正定矩阵ri>0(i＝1,2)及ui>0(i＝1,2)；以及任意合适维数的矩阵tj，yj(j＝1,2,3),使下面的矩阵不等式成立：

其中，

ξ12＝-p12+p13,ξ13＝p11a1,ξ14＝-p13,^ξ15＝a^tp12+p22+hiu1,ξ16＝a^tp13+p23+hαu2,ξ22＝-q1-2r1+y1+y1^t,ξ26＝-p23+p33,ξ46＝-p33,ξ56＝0,ξ66＝-u2，

ac＝[a0a1000],

且满足hα＝hi+1-hi＝(hd-hd)/n，

f.镇定器的设计，在步骤e中定理1的基础上考虑系统的控制器的镇定设计，令控制器的形式为：

u(t)＝kx(t)(14)

其闭环系统为：

将(14)带入系统(15)，可得

j.在定理1的基础上，给出镇定器的存在性条件-定理2，用a+bk代替a，并在式(2)、(3)两端左乘右乘diag{x,x,x,x,x,x,x,x}及其转置，其中令定义即可得其中

已知对于任意不等式j>0，不等式(21)成立：

由于j>0，对任意矩阵x有

(x-j)j^-1(x-j)>0

对于任意给定的ε

(ε^-1x-j)(ε^-2j)^-1(ε^-1x-j)

＝xj^-1x-2εx+ε²j>0

即：

xj^-1x>2εx-ε²j(22)

由式19)～(22)，应用schur补引理可得式(17)、(18)；

定理2对于给定标量0<hd<hd,0≤μ<1和ε，若存在适当维数的矩阵l＝l^t>0，若存在正定矩阵及以及任意合适维数的矩阵使下面的lmi成立：

ξ13＝a1x,

ξ35＝0,ξ36＝0,

ξ56＝0,

且满足hα＝hi+1-hi＝(hd-hd)/n，

那么是渐近稳定的且控制反馈增益为：k＝vx^-1。

由于式(18)～(20)中存在非线性项xj^-1x，无法利用凸优化算法求解控制器增益，因此采用线性化处理方法对非线性项进行处理。

为验证以上结果的有效性和较小保守性，对以下2个例子进行仿真分析：

例1.考虑时变时滞系统(1)，其系数矩阵为：

当μ＝0.5时，给定时滞下界hd，且当定理1中的i＝n时，求取能保证系统渐近稳定的最大时滞上界，为增加可信性，将本发明定理1与文献a：improveddelay-range-dependentstabilitycriteriaforlinearsystemswithtime-varyingdelays与文献b：robuststabilitycriteriaforuncertainlinearsystemswithintervaltime-varyingdelay进行比较，图1给出了hd取不同值时，时滞上界的取值，从图1中可看出，与其他运用时滞分割法的系统相比，定理1的变量数较少，计算简单；通过与文献a与文献b进行比较，当μ＝0.5时，系统时滞下界hd＝1时，得出的时滞最大上界，其中文献b为2.3912，而应用定理1，当n＝2得到的是2.4526,当n＝4得到的是2.9413，当n＝9得到的是3.5353；通过图1可知定理1的保守性较小。

例2.考虑时变时滞系统(1)，其系数矩阵为：

当μ未知时，给定时滞下界hd，且当定理1中的i＝n时，求取能保证系统渐近稳定的最大时滞上界，将本定理与文献c：furtherimprovementondelay-range-dependentstabilityresultsforlinearsystemswithintervaltime-varyingdelays和文献d：anovelapproachtodelay–fractional–dependentstabilitycriterionforlinearsystemswithintervaldelay进行对比，如图2；当hd＝0时，给定μ值，且当定理1中的i＝n时，求取能保证系统渐近稳定的最大时滞上界，将本定理与文献e：newstabilitycriteriaforcontinuoustimesystemswithintervaltime-varyingdelay和文献f：improveddelay-range-dependentstabilitycriteriaforlinearsystemswithintervaltime-varyingdelays进行对比，如图3；

经过以上仿真分析可知本系统的保守性较小，这是由于本发明中所构造的lyapunov-krasovskii泛函不仅充分采用加入三重积分项,也利用分解时滞区间为多个等距的小区间的方法对时变时滞系统进行稳定性分析。

接下来设b＝[0；1]，例1系统初始状态为x0＝[1-1]^t，将例1应用于定理2得到系统的反馈控制增益为k＝[-0.6731-1.6609]；并仿真得出闭环系统零输入状态响应曲线如图4所示：

当ε取不同值时，系统状态响应趋于稳定的时间列于图4，可看出采用本发明控制器设计方法，取不同ε值，趋于稳定的时间也不同，当ε＝0.1时，系统状态响应曲线在4.9s趋于稳定；当ε＝1时，系统状态响应曲线在3.9s趋于稳定；ε＝4时，系统状态响应曲线在2.8s趋于稳定；而当ε>4时系统状态响应曲线仍在2.8s趋于稳定；而文献improvedrobuststabilizationmethodforlinearsystemswithintervaltime-varyinginputdelaysbyusingwirtingerinequality[j]和文献noveldelay-partitioningstabilizationapproachfornetworkedcontrolsystemviawirtinger-basedinequalities[j]中系统状态响应曲线趋于稳定的时间分别为7s和28s左右，这证明了本发明所提方法是正确和有效的。

以上所述仅为本发明的较佳实施例而已，并不用以限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。