一种多源不确定航天器姿控可靠性一体化建模评估方法

1.本发明涉及一种多源不确定航天器姿控可靠性一体化建模评估方法，它针对在自身参数和外部干扰不确定性影响下以传统确定性方法设计的航天器姿态控制器存在性能失效风险的问题，提出了一种基于不确定量化传递分析和失效率建模的航天器姿控可靠性一体化建模评估方法，属于航天器可靠性工程技术领域。


背景技术：

2.考虑到在设计和建造空间系统上消耗的大量资金、时间和人力资源，以及空间维修不可达弊端，系统可靠性和过程安全在航空航天工业中成为重要研究问题。在航天器各子系统中，姿态控制系统在满足其任务需求方面起着最为关键的作用。由于姿态控制系统必须在航天器的整个生命周期内持续运行，长时间受到内外部不确定性影响，如液体燃料的消耗引起转动惯量的变化、太空环境干扰力矩、内部执行机构振动和摩擦等，其在规定条件下和规定时间内完成规定控制性能的能力(控制可靠性)直接决定了任务质量。为实现对系统可靠度或失效概率的定量评估及保证系统具有足够的安全水平，研究多源不确定性影响下的航天器姿态控制可靠性建模方法具有重要的理论意义和工程价值。
3.国内外研究学者相继提出多种方法解决空间系统可靠性评估问题，包括马尔可夫链、基于中心极限的近似模型、自适应重要性抽样、贝叶斯网络、半马尔可夫过程和一阶可靠性方法等。文献[reliability of cubesats-statistical data,developers'beliefs and the way forward]对178颗发射的立方体航天器的数据进行了整理分析，从而得到系统的失效情况和各子系统对系统故障的影响程度。他们使用混合威布尔模型来拟合非参数数据，同时考虑将实际数据与历史任务数据联系起来。根据文献[a study of on-orbit spacecraft failures]和[three-axis attitude control using redundant reaction wheels with continuous momentum dumping]统计，59％的故障由电源子系统和姿态控制系统引起，而姿态控制系统更具备恢复和容忍故障的可能性。然而，控制系统可靠性不简单取决于各零部件的状态或功能发挥，而取决于系统全回路的一体化表现。由于反馈作用的存在，某个零部件的失效并不一定导致整个控制系统的失效，上述传统的可靠性建模方法，如单元级寿命分布和失效率建模方法、系统级可靠性框图和故障树分析方法等不完全适用于航天器姿态控制系统的控制可靠性量化分析。事实上，结构可靠性理论中的应力-强度干涉模型、极限状态函数方法是一体化可靠性建模的典型代表，其思想可应用于控制系统的可靠性度量和优化。结构可靠性建模的核心在于将系统的功能或性能表达为与系统参数、外部载荷等相关的函数关系，再通过对参数、载荷等函数变量的不确定性量化和基于函数关系的不确定性传递分析得到功能或性能响应的不确定性特征，进而由可靠性定义建立系统的可靠性模型。由于控制系统的动力学模型恰好描述了其控制响应与自身参数、外部干扰的动态特性，结构可靠性建模方法则能被很好地应用于其一体化可靠性建模中。
[0004]
目前，结构可靠性分析方法在结构振动主动抑制控制中应用较为广泛，原因在于传统处理不确定性的鲁棒控制方法试图通过显著放大增益裕度来实现系统的全局稳定性，
而这可能导致过于保守的结果，即造成不必要的控制能量消耗。为此，在不确定性影响下的系统安全边界需要被量化，即概率意义的可靠度概念，其中包括了概率分布模型框架下和区间数学模型框架下的模型形式，如文献[non-probabilistic time-variant reliability assessment(ntra)for the active control of vibration systems with convex uncertainties]基于空间状态转化和凸过程理论确定了振动系统的控制响应，进而利用首穿失效方法建立系统的可靠性模型。基于概率化的安全边界，可研究建立可靠度-控制优化模型，利用可靠度指标约束自由确定不确定性的抑制程度，从而降低传统鲁棒控制方法处理不确定性的保守性。
[0005]
综上所述，一方面目前国内还未有相关文献和专利研究航天器控制系统的可靠性一体化建模评估，另一方面现有方法仍存在理论和应用局限，亟需发展更具有前瞻性、工程适用性的可靠性建模评估方法。本发明将主要围绕航天器的姿控可靠性一体化建模问题展开，并用案例验证方法的可行性。


技术实现要素：

[0006]
本发明解决的技术问题是：针对在自身参数和外部干扰不确定性影响下以传统确定性方法设计的航天器姿态控制器存在性能失效风险的问题，提出一种多源不确定航天器姿控可靠性一体化建模评估方法，其技术问题主要在于航天器系统参数和外部干扰不确定性影响下的航天器系统姿态误差状态的不确定性量化及如何将时间点上的可靠度估计值转化到时间内的可靠度估计值。
[0007]
本发明的技术解决方案为：一种多源不确定航天器姿控可靠性一体化建模评估方法，采用随机分布模型和区间数学模型两种不确定性量化方法量化转动惯量参数和外部干扰的不确定性特征，并通过不确定性传递分析方法得到航天器系统姿态误差状态的区间不确定性估计，并基于得到的姿态角误差区间估计和姿态角误差区间阈值构造失效率模型，最终根据可靠度和失效率的关系建立姿控可靠性评估模型。具体实现步骤如下：
[0008]
第一步，建立三轴外部干扰的不确定性量化模型和三轴转动惯量参数的不确定性量化模型确定航天器姿态控制系统受到的多源不确定性影响；所述多源不确定性指有两种以上不确定性，所述三轴指航天器系统的三轴，即滚转轴、俯仰轴和偏航轴；
[0009]
第二步，基于第一步转动惯量和外部干扰的不确定性量化模型，以及航天器姿态动力学模型，将航天器系统矩阵和控制矩阵转换为与转动惯量参数相关的区间矩阵，对区间矩阵通过区间数学理论和一阶泰勒级数展开分析，得到航天器系统三轴姿态误差的不确定性量化模型；所述航天器系统三轴姿态误差包括三轴姿态角误差，姿态角积分误差和姿态角微分误差；
[0010]
第三步，采用进入稳态前的瞬态响应可靠度trr和进入稳态后的稳态响应可靠度srr两类评估指标，基于第二步得到的三轴姿态角误差的不确定性量化模型，结合基于工程经验设定的姿态角误差阈值区间构造失效率模型，最终根据可靠度和失效率的关系建立姿控可靠性评估模型，用于航天器姿态控制的可靠程度概率量化和控制器设计参考依据。
[0011]
所述第一步中，三轴外部干扰的不确定性量化模型如下：
[0012]
d(t)＝dc+δd
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(11)
[0013]
式中，d(t)＝[d1(t),d2(t),d3(t)]
t
为三轴外部干扰向量，t表示时间；
为干扰均值向量，为干扰向量的下界和上界；其中为干扰向量径，δ＝[δ1,δ2,δ3]
t
为标准区间向量，δi∈[-1,1],i＝1,2,3，表示向量的对应元素相乘；
[0014]
建立三轴转动惯量参数的不确定性量化模型如下：
[0015][0016]
式中，为三轴转动惯量参数ji,i＝1,2,3,定义在区间[ai,bi]上的已知累计分布函数；ni为划分区间个数，为第ki个区间对应的基本概率分配；为保证基本概率分配之和为1，需对进行归一化处理，即对于三轴转动惯量参数的联合区间划分对应的联合基本概率分配为k1，k2，k3为任意正整数；此外，在某个联合区间划分下，三轴转动惯量参数由式(11)的区间数学形式表达，即：
[0017]
j＝jc+δj
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(13)
[0018]
式中，j＝[j1,j2,j3]
t
为三轴转动惯量参数向量；为转动惯量参数均值向量，转动惯量参数向量的下界和上界；其中为转动惯量参数向量径，δ＝[δ1,δ2,δ3]
t
为标准区间向量，δi∈[-1,1],i＝1,2,3，表示向量的对应元素相乘。
[0019]
所述第二步中，建立航天器系统三轴姿态误差的不确定性量化模型如下：
[0020]
x(t)＝xc(t)+δx(t)
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(14)
[0021]
式中，为航天器系统三轴姿态误差向量，由式(14)计算得到，且e
p
(t)＝p(t)-pe(t)＝[e
φ
(t),e
θ
(t),e
ψ
(t)]
t
＝[x4(t),x5(t),x6(t)]
t
,p(t)＝[φ(t),θ(t),ψ(t)]
t
为三轴姿态角误差向量，φ(t)，θ(t)，ψ(t)分别为航天器本体坐标系和轨道坐标系之间的三轴欧拉角，即滚转角、俯仰角和偏航角；pe(t)＝[φe,θe,ψe]
t
为期望姿态角向量；xc(t)为x(t)的均值向量；其中δx(t)为x(t)的向量径，δi∈[-1,1],i＝1,2,
…
,9；xc(t)和δx(t)分别由下式计算得到：
[0022][0023]
[0024]
式中，a(jc)，b(jc)为与三轴转动惯量参数均值相关的航天器系统矩阵和控制矩阵，g为控制增益；xc(t)＝x(jc,dc,t)为与转动惯量参数均值和干扰均值相关的三轴姿态误差均值向量。
[0025]
所述第三步中，提出的两类可靠性评估指标定义如下：
[0026]
定义1：瞬态响应可靠度trr(transient response reliability，简写为trr)指在规定条件下和规定时间[t0,t]内，t0为初始时间点，t≤ts，ts为调整时间，姿态角误差与期望姿态值之间的误差不超过规定瞬态响应阈值的概率；
[0027]
定义2：稳态响应可靠度srr(steady-state response reliability，简写为srr)指在规定条件下和规定时间(ts,t]内，t＞ts，ts为调整时间，姿态角误差与期望姿态值之间的误差绝对值不超过规定稳态响应阈值的概率；
[0028]
由三轴姿态角误差的不确定性量化模型和基于工程经验设定的姿态角误差阈值区间建立的失效率模型λi(t
h～h+1
),i＝4,5,6如下：
[0029][0030]
其中：
[0031][0032]
式(17)-(18)中，δt＝t
h+1-th为等时间步长，th,h＝0,1,2,
…
为离散时间点，t
h～h+1
指th到t
h+1
的时间段；和为在时间th上由三轴姿态角误差的不确定性量化模型得到的姿态角误差的下界和上界，[-ei,ei]表示姿态角误差阈值区间，指姿态角误差阈值区间和姿态角误差区间交集的长度，如图4所示；为时间th和t
h+1
上姿态角误差联合区间和阈值联合区间的相交部分，如图5阴影部分所示，为时间th和t
h+1
上姿态角误差联合区间的总区域，如图5斜矩形所示；
[0033]
根据可靠度和失效率的关系，建立的姿控可靠性评估模型ri(th),i＝4,5,6如下：
[0034][0035]
其中在某个联合区间划分下的条件姿控可靠性评估模型ri(th|ωk)为：
[0036][0037]
本发明与现有技术相比的优点在于：
[0038]
(1)本发明在不确定性量化方面，不同于已有文献只针对系统参数进行不确定性量化，利用概率分布模型和区间数学模型两种不确定性量化方法同时对惯量随机不确定性和干扰认知不确定性进行量化建模和到控制响应的传递分析；在失效率建模方面，基于失效率定义并考虑失效率累积过程中的重复因素影响建立了一种在响应区间过程下时间相关失效率模型；在可靠性建模方面，一方面首次针对性提出了瞬态响应可靠度和稳态响应可靠度两类评价指标，另一方面建立了一种新的区间阈值下的姿控可靠性一体化近似评估模型，并结合失效率模型进行求解。
[0039]
(2)本发明的方法原理简单易懂，容易实现工程化应用，用于指导控制器设计以提高姿控系统在轨运行寿命，从而产生较大的经济和社会效益。
附图说明
[0040]
图1为本发明方法的实现流程图；
[0041]
图2为三轴转动惯量参数的联合概率分配示意图；
[0042]
图3为t1和t2时刻姿态角误差xi(t1)和xi(t2)的相关性特性示意图；
[0043]
图4为姿态角误差区间和阈值区间干涉示意图；
[0044]
图5为姿态角误差xi(th)和xi(t
h+1
)的联合区间与阈值联合区间的干涉示意图；
[0045]
图6为某转动惯量参数联合区间下的俯仰角输出响应图；
[0046]
图7为不同控制器参数下稳态响应可靠度变化曲线图；
[0047]
图8为不同控制器参数下瞬态响应可靠度变化曲线图。
具体实施方式
[0048]
下面结合附图及实施例对本发明进行详细说明。
[0049]
如图1所示，本发明一种多源不确定航天器姿控可靠性一体化建模评估方法为：第一步，开展基于航天器姿态动力学模型的不确定性因素分析和量化，以基于区间分析方法和证据理论的区间数学模型描述三轴(滚转轴、俯仰轴和偏航轴)外部干扰认知不确定性，以随机分布模型描述三轴转动惯量参数不确定性，并对其进行区间划分、概率分配和区间数学表达，最终建立外部干扰和转动惯量参数的不确定性量化模型；第二步，基于第一步对转动惯量和外部干扰的不确定性量化，以航天器姿态动力学模型为不确定性传递桥梁，将系统矩阵和控制矩阵写为与转动惯量相关的区间矩阵，并在区间数学理论和一阶泰勒级数展开基础上分析得到航天器系统姿态误差状态向量(包括姿态角误差，姿态角积分误差和姿态角微分误差)的区间不确定性估计；第三步，从姿态控制响应不同阶段的相异特点和精细化设计需求出发，提出进入稳态前的瞬态响应可靠度(transient response reliability，简写为trr)和进入稳态后的稳态响应可靠度(steady-state response reliability，简写为srr)两类评估指标，并基于第二步得到的姿态角误差区间估计和姿态
角误差区间阈值构造失效率模型，最终根据可靠度和失效率的关系建立姿控可靠性评估模型。
[0050]
第一步，开展基于航天器姿态动力学模型的不确定性因素分析和量化，以基于区间分析方法和证据理论的区间数学模型描述三轴(滚转轴、俯仰轴和偏航轴)外部干扰认知不确定性，以随机分布模型描述三轴转动惯量参数不确定性，并对其进行区间划分、概率分配和区间数学表达，最终建立外部干扰和转动惯量参数的不确定性量化模型。假设航天器本体坐标系和轨道坐标系之间的欧拉角很小,可以得到如下航天器线性化姿态动力学模型：
[0051][0052]
式中：j1，j2，j3分别为滚转、俯仰和偏航三轴的转动惯量；υ为航天器轨道角速度；φ(t)，θ(t)，ψ(t)分别为航天器本体坐标系和轨道坐标系之间的三轴欧拉角(滚转角、俯仰角和偏航角)；d1(t)，d2(t)，d3(t)分别为三轴集总干扰力矩；u1，u2(t)，u3(t)分别为三轴控制力矩。式(21)可被改写为：
[0053][0054]
式中：p(t)＝[φ(t),θ(t),ψ(t)]
t
为三轴姿态角向量；u(t)＝[u1(t),u2(t),u3(t)]
t
为三轴控制力矩向量；d(t)＝[d1,d2,d3]
t
为三轴干扰力矩向量；且有m＝diag{j1,j2,j3},k＝diag{4υ2(j
2-j3),3υ2(j
1-j3),υ2(j
2-j1)},
[0055]
进一步，将式(22)改写为状态空间表达形式：
[0056][0057]
式中：为系统的状态向量，且有：e
p
(t)＝p(t)-pe(t)＝[e
φ
(t),e
θ
(t),e
ψ
(t)]
t
＝[x4(t),x5(t),x6(t)]
t
,,其中pe(t)＝[φe,θe,ψe]
t
为期望姿态信息。
[0058]
假设式(23)中状态可测，则可设计状态反馈控制器为：
[0059]
u(t)＝-gx(t),
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(24)
[0060]
式中：g为控制增益。将式(24)代入式(23)，可得：
[0061][0062]
转动惯量的量值取决于物体的形状、质量分布及转轴的位置。一般而言，航天器的
转动惯量数据是较易获得的，且数据量充足，可归属于随机不确定性范畴，因此可采用随机分布模型对其进行量化建模。不失一般性，可假设ji(i＝1,2,3)是定义在区间[a,b]上且具有已知概率密度函数的随机变量。此外，各轴间转动惯量在统计意义上假设是相互独立的。
[0063]
空间环境中的各类干扰事实上是难以精确量化的，可获得的数据很少，但它们又制约着姿态控制性能，因此仍需要在人们认知的范围内进行一定的假设和量化，从而在一定程度上提高控制性能。外部干扰不确定性属于认知不确定性，可采用基于区间分析方法和证据理论的区间数学模型对其进行量化建模。对于集总干扰d(t)＝[d1(t),d2(t),d3(t)]
t
，可由下面的区间集合进行描述：
[0064][0065]
式中：分别为三轴干扰力矩向量的上下界，其值随时间变化，基于区间数学，式(26)进一步改写为：
[0066][0067]
式中：表示向量的对应元素相乘；δ＝[δ1,δ2,δ3]
t
为标准区间向量，其中δi∈[-1,1],i＝1,2,3；di为区间集合向量；均值向量dc和向量径δd分别表示为：
[0068][0069]
上述干扰d(t)只有一个概率和为1的区间，然而，若专家经验或有限数据可支持进一步的区间划分，则可基于证据理论将其表达为几个可能的区间以及与这些区间对应的概率值形式，可见以下对转动惯量的不确定性处理过程。当参数随机不确定性和干扰认知不确定性同时影响姿态角的不确定性统计特征时，应采用两者中认知程度较低的区间数学模型对姿态角进行不确定性描述；为了得到姿态角响应的区间不确定性估计，对用随机分布模型描述的转动惯量进行随机变量的区间化处理，即将三轴的转动惯量随机变量离散成连续的子区间，并确定各随机变量每个区间的基本概率分配，然后求解随机变量的联合概率分配；
[0070]
对于定义在区间[a,b]上且具有已知概率密度函数的转动惯量参数ji(i＝1,2,3)，对其作区间划分：设总划分区间个数均为ni，ji对应的第k
i-th个区间的范围为则第ki个区间对应的基本概率分配为：
[0071][0072]
式中：为ji(i＝1,2,3)的累计分布函数。为保证基本概率分配之和为1，对其进行归一化处理，即：
[0073]
[0074]
如图2所示，假设三轴转动惯量参数的联合区间划分为对应的联合基本概率分配为：
[0075][0076]
式中：k1，k2，k3为任意正整数。
[0077]
若用j＝[j1,j2,j3]
t
表示三轴转动惯量参数集合，在某个联合区间划分下，转动惯量参数也可由式(27)-(28)的区间数学形式表达，即：
[0078][0079][0080]
若干扰d(t)也表达为几个可能的区间以及与这些区间对应的概率值形式，则需综合考虑三轴转动惯量参数和三轴干扰力矩的联合概率分配。不失一般性，以下分析仅考虑干扰d(t)只有一个区间的形式。
[0081]
第二步，基于第一步对转动惯量和外部干扰的不确定性量化，以航天器姿态动力学模型为不确定性传递桥梁，将系统矩阵和控制矩阵写为与转动惯量相关的区间矩阵，并在区间数学理论和一阶泰勒级数展开基础上分析得到航天器系统姿态误差状态向量(包括姿态角误差，姿态角积分误差和姿态角微分误差)的区间不确定性估计。首先，状态方程(25)的a，b矩阵可被改写为与转动惯量相关的区间矩阵，具体可用a(j)，b(j)表示。于是，式(25)可进一步表示为：
[0082][0083]
在闭环反馈控制下，转动惯量和外部干扰在所属区间范围内的变化会形成一定的姿态角响应集合，可表示为：
[0084][0085]
一般地，不规则集合ω
x
难以用解析解表达。基于区间数学理论，可求解得到一个超矩形或区间向量来尽可能近似不规则集合ω
x
。因此，动态姿态角响应x(t)的上下界可被近似分析得到，即：
[0086][0087]
为了获得式(36)的区间过程解，首先需针对a(j)，b(j)进行一阶泰勒级数展开，即：
[0088][0089]
对应地，姿态角响应也可近似表达为：
[0090][0091]
将式(37)和(38)联立代入式(34)，可得：
[0092][0093]
将式(39)展开并忽略高阶项，可得到：
[0094][0095]
以及：
[0096][0097]
采用精细时间积分方法，可求解得到xc(t)，δx(t)。进一步，可任意取6组不同的参数集[δj1,δj2,δj3,δd1,δd2,δd3]，求解得到6组δx(t)响应，这样即能求得和于是，x(t)的向量径δx(t)可表示为
[0098][0099]
根据区间扩展方法，可得到：
[0100][0101]
式中：δix(t)＝[-δx(t),δx(t)]。那么，式(36)可进一步表示为：
[0102][0103]
采用精细时间积分方法得到的式(44)事实上是离散区间过程，在每一时刻即退化为区间变量。根据随机过程理论，在时间t1和t2的控制响应相关关系可由自协方差函数或相关系数函数表示。自协方差函数可表示为：
[0104][0105]
式中：jacobian向量为
[0106]
进一步，基于区间过程理论，相关系数函数可表示为：
[0107][0108]
式中：γi(t1,t2)为图3所示的标准化旋转矩形中的特征长度，且：
[0109][0110]
由式(45)-(46)可计算得到
[0111][0112]
第三步，从姿态控制响应不同阶段的相异特点和精细化设计需求出发，提出进入稳态前的瞬态响应可靠度(transient response reliability，简写为trr)和进入稳态后的稳态响应可靠度(steady-state response reliability，简写为srr)两类评估指标，并基于第二步得到的姿态角误差区间估计和姿态角误差区间阈值构造失效率模型，最终根据可靠度和失效率的关系建立姿控可靠性评估模型。姿态角响应是与时间相关的动态过程，在控制信号输入后，经过一段有限时间，系统即进入稳态。系统进入稳态前和进入稳态后的特征差异较大，如果统一考虑对其进行可靠性建模评估，会造成不同初值下进入稳态后的可靠度评估结果差异较大，而事实上从稳态误差角度来看差异并不会很大。此外，控制系统设计时也会分别考虑稳态误差和瞬态指标。因此，从不同阶段的相异响应特点和精细化设计需求出发，针对姿控可靠性一体化建模评估首次提出进入稳态前的瞬态响应可靠度(transient response reliability,简写为trr)和进入稳态后的稳态响应可靠度(steady-state response reliability，简写为srr)两类评估指标，分别定义如下：
[0113]
定义1：瞬态响应可靠度指在规定条件下和规定时间[t0,ts]内(t0为初始时间点，ts为调整时间)，姿态角响应与期望姿态值之间的误差(式(23)中的系统状态e
p
(t))不超过规定瞬态响应阈值e
tr
＝[e
4,tr
,e
5,tr
,e
6,tr
]
t
的概率；
[0114]
定义2：稳态可靠度指在规定条件下和规定时间(ts,t]内(t＞ts，ts为调整时间)，姿态角响应与期望姿态值之间的误差绝对值不超过规定稳态响应阈值e
sr
＝[e
4,sr
,e
5,sr
,e
6,sr
]
t
的概率；
[0115]
虽然两类可靠度指标定义略有差别，但它们的计算方法是类似的。以稳态响应可靠度求解计算为例，首先定义如下极限状态函数gi(t)：
[0116]gi
(t)＝e
i,sr-|xi(t)|,i＝4,5,6,
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(49)
[0117]
式中：|
·
|为绝对值符号。在任意时刻t，gi(t)＞0意味着若不考虑t之前的失效情况，在当前时刻系统是可靠的，否则意味着当前时刻失效发生。对应地，根据定义2，在转动
惯量参数某个联合区间划分下，各轴在时间区间(ts,t]内的条件稳态响应可靠度指标r
i,sr
(t|ωk),i＝4,5,6可由下式计算：
[0118][0119]
考虑所有转动惯量参数联合区间划分，姿控可靠性的稳态响应可靠度指标r
i,sr
(t),i＝4,5,6则为：
[0120][0121]
显然，式(50)很难求得解析解，且姿态角的区间响应xi(t)也是离散的。为此，可采用精细时间积分得到的离散化gi(t)并结合区间数学方法和下面所提出的失效率建模方法近似获得式(50)的数值解。具体步骤如下：
[0122]
步骤1：假设精细时间积分的等时间步长为δt，则任意轴上gi(t)的离散时间序列表示为：
[0123][0124]
式中：th＝ts+hδt,h＝0,1,2,
…
,.
[0125]
步骤2：根据失效率定义(失效率是指工作到某一时刻尚未失效的产品，在该时刻后，单位时间内发生失效的概率)，构造失效率函数λi(t
h～h+1
),i＝4,5,6
[0126][0127]
由式(53)可看出，若想近似计算得到λi(t
h～h+1
)，则需已知r
i,sr
(th|ωk)和r
i,sr
(t
h+1
|ωk)，这显然是不可行的，因为本身要求的就是稳态响应可靠度。然而，在忽略时间的影响下，每个时刻上的失效概率信息是容易求得的，这提醒要充分利用好该信息去近似所要求得的时间段内的可靠度。因此，本发明提出一种近似的失效率建模评估方法，首先在时间段[th,t
h+1
]的失效概率近似为：
[0128][0129]
式(54)意味着用时间th的可靠度r
i,sr
(th|ωk)与t
h+1
时刻的概率pr{gi(t
h+1
)＞0}的乘积来近似时间t
h+1
的可靠度r
i,sr
(t
h+1
|ωk)。在时间点t
h+1
上的概率pr{gi(t
h+1
)＜0}易由区间数学方法得到，参照图4，其值由下式计算：
[0130][0131]
式中指两个区间交集的长度。
[0132]
结合式(53)-(55)可得时间[th,t
h+1
]内失效率的近似估计为：
[0133][0134]
步骤3：在每一个时间区间[t
h-1
,th]内，失效率可近似认为是恒定的，根据可靠度和失效率的关系可得r
i,sr
(th|ωk),i＝4,5,6的近似解为：
[0135][0136]
观察式(57)，各时间段的失效率是累积增加的。然而，必须意识到相邻两个时间段的失效率可能会有重叠部分，也即造成失效的原因有相同的部分。因此，重叠部分必须被消除，否则会造成可靠度偏低。于是，修正式(56)为：
[0137][0138]
式(58)意味着[th,t
h+1
]内的失效率来自于上一个时刻可靠的情形中，这抹除了失效原因的重复影响。pr{gi(t
h+1
)＜0,gi(th)＞0}的计算则需考虑时间th和t
h+1
的控制响应相关性，由图3和区间阈值可得图5所示的阴影区域，则可得到：
[0139][0140]
于是，可得到最终的失效率模型和可靠性模型分别为：
[0141]
[0142][0143]
令初始时刻各轴上的条件稳态响应可靠度为r
i,sr
(ts|ωk)＝pr{gi(ts)＞0}。由于初始时刻的可靠度可能不为1，因此其失效率需被计入式(61)。为了提高模型的准确性，可用第一次出现时的失效率修正式(61)，其中表示第一次出现的时间，那么式(61)变为：
[0144][0145]
进一步，在任意时刻t，其条件稳态响应可靠度可由下式计算：
[0146][0147]
式中：式中：为向下取整符号。
[0148]
步骤4：基于式(60)-(63)和式(51)，即可得到任意时刻各轴姿控可靠性的稳态响应可靠度指标r
i,sr
(t),i＝4,5,6，同理可得到瞬态响应可靠度指标r
i,tr
(t),i＝4,5,6。
[0149]
下面给出一个具体的实施例如下：
[0150]
第一步，以航天器俯仰轴为例，建立外部干扰和转动惯量参数的不确定性量化模型如表1、表2和式(64)所示：
[0151]
表1相关模型参数和初始状态
[0152][0153]
表1中tn(μ,σ2)表示转动惯量服从截断正态分布，其概率密度函数为：
[0154][0155]
式中：表示标准正态分布函数，a，b分别为上下界，μ，σ分别为均值和标准差。不失一般性，对各轴转动惯量参数均作区间长度为0.1的区间划分，表2给出了部分区间划分结果和联合基本概率分配结果。
[0156]
第二步，以控制器参数[6.2,6.3)，[5.4,5.5)，[2.1,2.2)的联合区间划分为例分析得到航天器姿态角误差的区间不确定性估计如图6所示。由图6可知，由本发明方法得到的俯仰角下界、俯仰角均值和俯仰角上界与由蒙特卡洛方法得到的俯仰角下界、俯仰角均值和俯仰角上界接近，这说明了本发明的姿态角响应的不确定分析方法准确。
[0157]
第三步，建立姿控可靠性评估模型并计算得到如图7-8所示的俯仰角姿态控制可靠性的稳态响应可靠度和瞬态响应可靠度结果。通过本实施例公开的一种多源不确定航天器姿控可靠性一体化建模评估方法给出的可靠性评估结果与蒙特卡洛仿真方法给出的可靠性评估结果进行对比，如图7-8所示，说明本发明的优点。
[0158]
表2部分区间划分结果和联合概率分配结果
[0159][0160]
(1)当闭环姿态控制系统的不确定性不可忽略时，对其进行可靠性建模分析是极其必要的，否则设计的控制器在实际环境中使用时很有可能会失效；
[0161]
(2)不同控制器参数(包括g＝[10,15,15]，g＝[10,20,20]，g＝[10,25,20]，g＝[20,25,20]，g＝[20,30,24.5]，g＝[20,30,25]，g＝[20,30,26])下的瞬态响应可靠度和稳态响应可靠度计算结果有所差异，一般而言，控制增益越大，可靠度越高，这意味着可在控制可靠性模型框架下进行控制器的可靠性优化设计，例如在满足一定可靠性指标约束下求解控制作用最小的控制增益，从而降低传统鲁棒控制的保守性；
[0162]
(3)瞬态响应可靠度和稳态响应可靠度指标差异较大，稳态响应可靠度变化比较单一，这是因为进入稳态后姿态角响应变化较小。对于控制器参数g＝[20 30 24.5]而言，其以接近于1的概率抑制了瞬态过程中参数和干扰的不确定性影响，而在稳态过程中却只能以0.8左右的概率满足参数和干扰不确定性影响下的稳态指标。因此，在控制器设计时可分别考虑瞬态响应可靠度和稳态响应可靠度指标，这也会带来全新的设计理念和方法；
[0163]
(4)本发明所提方法计算得到的瞬态可靠度和稳态可靠度与蒙特卡洛方法计算得到的瞬态和稳态可靠度略有差异，但差异较小，这充分验证了所提模型方法的正确性。此外，所提方法的计算量依赖于转动惯量的区间划分数量，而蒙特卡洛仿真法的计算量依赖于抽样样本数量。如果数据量有限导致转动惯量和干扰的区间划分较少，则所提方法在计算效率上会有明显优势。若忽略计算复杂性，使用超大样本的蒙特卡洛仿真方法可保证更高的评估准确性。
[0164]
本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。