基于点对邻域正交化算法的对称特征化石三维模型局部变形恢复方法与流程

技术特征：

1.一种基于点对邻域正交化算法的对称特征化石三维模型局部变形恢复方法，其特征在于，所述恢复方法包括下述步骤:

1)先在变形物体表面找到相应的点对；

2)计算每个点对的加权质心；

3)对于每个点对，估计其邻域的非正交坐标系；

4)计算最小拉伸去正交每个局部框架；

5)拉伸后，旋转所有的邻域去使对称平面平行于y轴；

6)在输出模型的点对中将局部拉伸和旋转融合进整体的解决方案。

2.根据权利要求1所述的对称特征化石三维模型局部变形恢复方法，其特征是，所述的步骤1、2、3、4中的计算每个局部邻域的变换使其近似双侧对称，包括如下过程：

对于压缩模型

为了近似局部对称，将一对仿射变换(M_pi,M_qi)应用于点对p_i和q_i的邻域：先计算矩阵与其结果经过压缩或弯曲后作为输入；在每个局部的邻域中，估算最小的拉伸使邻域局部对称；

第一步，估计目标平面H*，通过变形将其能转换成对称平面，具体过程如下：高斯权重θ_i,j确定每个p_i，q_i周围的加权邻域P_i，Q_i，为了缩短符号接下来P,Q＝P_i,Q_i；将目标平面H*与(P,Q)相匹配，如果其协差方矩阵的主要元素是单位向量的话，那么这个点集具有各向同性的性质；P'UQ'是双侧对称点集，但是仿射变换A，A不成比例的缩放，那么(P,Q)＝(AP',AQ')就不再是双侧对称，而具有各向同性的仿射变换T，TPUTQ就是双侧对称；所以用矩阵T组成最好的对称面H；用H*＝T^-1H来匹配对称的目标平面(P,Q)；从PUQ中的加权协方差矩阵计算T，t为PUQ的质量重心，协方差矩阵为：

$C=\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\θ}}_{i,j}\left(\right(p_j-t){\left(p_j-t\right)}^T+(q_j-t\left){\left(q_j-t\right)}^T\right)---\left(1\right)$

规定T＝C^-1/2，这里C^-1/2是一个矩阵，C^-1/2C^-1/2＝C^-1，这里的矩阵通过计算C的SVD分解得到；然后找到双侧对称点集(TP,TQ)的优化的对称平面H及其法线n，最后通过H*＝T^-1H,n*＝T^-1n将H与n变换回(P,Q)空间；

第二步，计算最小拉伸使邻域通过H*对称，具体过程如下：找到了H*之后，拉伸其坐标使n*垂直于H*，使用一个最小拉伸系数γ，最小对称化拉伸的方位向量v位于一个平面上，其横跨n*以及n*在H*的投影m；

v＝(n*-m)/2，γ＝tan(β/2) (2)

这里的β是向量n*与-m的夹角；

用S_i表示拉伸矩阵，在全局阶段设置应用同样的方法将S_i到两边去得到合适的双侧对称，使n_i＝S_in*，其为拉伸后的对称平面的法线；

对于关节型模型

关节型模型有关节，因此弯曲或旋转，所以当其模型对称部分的邻域随意换了一个姿势时，模型就不会双侧对称了，对于每个邻域(P_i,Q_i)，找到最小旋转角Z_i，用使P和Q双侧对称；

第一步，缩小旋转R与反射U的误差，具体过程如下：首先移动两个点集P_i，Q_i使他们的矩心都落在原点上，注意旋转与反射在以原点为中心的点集中是可交换的；用下面公式缩小旋转R与反射U的误差：

$\underset{i}{\Σ}\left|\right|p_i-{\mathrm{URq}}_i|{|}^2---\left(3\right)$

A表示对跖映射，因为A(p)＝-p，

$\underset{i}{\Σ}\left|\right|p_i-{\mathrm{URq}}_i|{|}^2=\underset{i}{\Σ}||p_i-\left(AU\right)RA\left(q_i\right)|{|}^2---\left(4\right)$

因为旋转V＝(AU)R，

那么得到：

$\underset{i}{\Σ}\left|\right|p_i-{\mathrm{URq}}_i|{|}^2=\underset{i}{\Σ}||p_i-V\left({\mathrm{Aq}}_i\right)|{|}^2---\left(5\right)$

第二步，缩小旋转V来优化点集P_i与Aq_i的校准误差，具体过程如下：旋转V虽然是唯一的，但是优化双侧对称D并不是唯一的；假设D绕任意轴旋转180°，使U＝AD，以及R＝DV，那么：

$\begin{array}{c}\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\left|\right|p_i-V\left({\mathrm{Aq}}_i\right)|{|}^2\\ =\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\left|\right|p_i-AADDV\left({\mathrm{Aq}}_i\right)|{|}^2\\ =\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\left|\right|p_i-AUR\left({\mathrm{Aq}}_i\right)|{|}^2\\ =\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\left|\right|p_i-{\mathrm{URq}}_i|{|}^2\end{array}---\left(6\right)$

也就是说，对于任意D，都计算旋转R与反射U的来缩小对称误差，V为a轴的旋转角，其范围是0≤θ≤π，所以D是关于a轴的旋转，最小的旋转R＝DV绕着a轴旋转γ＝θ-π，Z_i绕a轴旋转了γ/2，设置n_i为U的映射平面的法线。

3.根据权利要求1所述的数字化化石对称问题的解析解处理方法，其特征是，所述的步骤5、6中的将局部变换与局部对称融合为组合变形，然后在最小二乘意义上保持形状，包括如下过程：

对于全局对称

全局对称的输入是一组三元的集，每一个都编码了点对周围两表面邻域的双侧对称；((p_i,q_i),n_i,(M_pi,M_qi))是元组，其包含了点对(pi,qi)，局部平面镜像对称的法线n_i；为了近似局部对称，将一对仿射变换(M_pi,M_qi)应用于p_i和q_i的邻域；由n_i构成的向量域必须指向x轴的负极，对于每个n_i先计算旋转矩阵Q_i，使n_i指向负极；

需要计算点对新的位置r_i和s_i，其相对于y-z平面对称，同时使连接相邻点的向量尽可能与变形输入的向量一致；他们的相似度表达如下：

$\begin{array}{c}\underset{i}{\mathrm{\Σ}}\underset{j}{\mathrm{\Σ}}{\mathrm{\φ}}_{i,j}{\[\left(r_i-r_j\right)-Q_i{M}_{pi}\left(p_i-p_i\right)\]}^2\\ +{\mathrm{\φ}}_{i,j}{\[\left(s_i-s_j\right)-Q_i{M}_{qi}\left(q_i-q_j\right)\]}^2\\ +{\mathrm{\α\φ}}_{i,j}{\[\left(r_i-r_j\right)-Q_i\left(p_i-q_j\right)\]}^2\\ +{\mathrm{\α\φ}}_{i,j}{\[\left(s_i-s_j\right)-Q_i\left(q_i-p_j\right)\]}^2\end{array}---\left(7\right)$

其中：

r_i,x＝-s_i,x,r_i,y＝s_i,y,r_i,z＝s_i,z

这里的φ_i,j是连接点i和j的高斯权重：

${\mathrm{\φ}}_{i,j}=min\left\{e^{\frac{-d^2(p_i-p_j)}{h^2}},e^{\frac{-d^2(q_i-q_j)}{h^2}}\right\}---\left(8\right)$

高斯权重确定了基于欧几里德距离的p_i与q_i的邻域；根据经验为每个模型选取了不同的宽度h，大概是标记与邻近点距离的5倍，常数α通常取0.01；这个函数的法线方程组形成3个关于x，y，z的线性方程；根据等式约束用r_i替代s_i，解这些方程会得到点r_i；最后，用博板样条曲线移动网络的其他部分到由r_i位置组成的对称位置。