基于拟合灵敏度的航空发动机性能的广义近似建模方法及模型应用与流程

本发明涉及航空发动机性能的广义近似建模方法及模型应用。

背景技术：

航空发动机性能预测技术在运维和安全工程领域是及其重要的。在2008年1月，澳洲航空公司波音747-400在飞行过程中电力系统故障，并且4个发动机都失效。在美国，通过对7571架从1980年到2001年因机械故障导致失效的运输飞机进行研究，发现起落架和涡轮发动机是最容易失效的。此外，全球2007年商用飞机的维修费用达到上百亿美元，但是其中31％的支出用在发动机维修上。所以航空发动机的性能预测技术对降低飞机失事的概率、减少维修成本有重大意义。

由于航空发动机零件数目多、耦合性大，所以它是一个复杂的非线性装备。同时，航空发动机的性能参数是由大量的离散非线性数据点组成。所以，高度复杂性给预测技术的发展带来了困难。

现在，有很多方法可以来预测航空发动机的性能。在多学科设计优化、预测等领域，基于数据驱动的近似建模方法替代了难以获得的精确物理模型，很多具有随机和非线性特征的近似模型已经被建立，主要包括响应面模型(rs)，多项式回归模型，自回归滑动平均模型(arma)，人工神经网络模型(ann)，支持向量机(svm)，隐马尔科夫模型(hmm)和灰度模型[gm]等。这些近似模型主要应用于多变量的非线性仿真、聚类和预测等领域。在模型学习过程中，虽然近似模型对训练样本的过拟合能获得较小的拟合误差，但是影响了模型的泛化能力；然而，近似模型对训练样本的欠拟合又会降低其学习效果，使近似模型不能逼近物理模型。

针对过拟合的问题，学者们从不同的角度进行了研究。为了衡量模型对训练样本的拟合度，akaike考虑模型的复杂度和拟合精度从熵的概念出发提出aic准则。aic值越小，模型的综合性能越好，很多学者对aic准则进行了拓展研究。为了降低其对高维训练样本所训练出的模型复杂度，学者们在aic准则的基础上提出了bicc准则。同时，规则化目标函数的方法可以抑制过拟合，该方法通过控制模型参数的1范数或者2范数的值获得使模型简单化的参数向量。并且，调整算法参数、训练样本降维、设计交叉验证实验等方法也是抑制过拟合的有效手段。

采用贝叶斯正则化的人工神经网络对航空发动机的egt(exhaustgastemperature)进行预测的结果如图12所示。采用交叉验证的支持向量机对同样的数据进行预测的结果如图13所示。同样，采用灰度模型的预测结果如图14所示。

综上所述，正则化ann和交叉验证的svm能获得较好的预测精度，但预测精度有待提高，同时，gm虽然适用于预测带噪声的参数向量，但是预测精度仍有待提高。

技术实现要素：

本发明的目的是为了解决现有模型中出现的过拟合和欠拟合的问题，而提出基于拟合灵敏度的航空发动机性能的广义近似建模方法。

基于拟合灵敏度的航空发动机性能的广义近似建模方法包括以下步骤：

步骤一：建立基于拟合灵敏度的航空发动机性能的广义近似模型为：

公式(8)满足以下条件：

其中所述xk为航空发动机排气温度偏差的第k个训练样本值；yk为航空发动机排气温度偏差的第k个拟合值；a为基于拟合灵敏度的航空发动机性能的广义近似模型对xk的整体压缩系数；b为|xk-yk|对xk的压缩系数；c1为积分偏移量；ε为抑制过度欠拟合的调整系数；k为训练样本的序列号；n为训练样本的个数；p为训练样本的后p个点；

步骤二：对步骤一建立的基于拟合灵敏度的航空发动机性能的广义近似模型的参数求解；

步骤二一：设置p的取值；

步骤二二：设置抑制过度欠拟合的调整系数ε；

步骤二三：设置基于拟合灵敏度的航空发动机性能的广义近似模型对xk的整体压缩系数a和|xk-yk|对xk的压缩系数b；

步骤二四：根据步骤二一至步骤二三设置积分偏移量c1。

本发明的有益效果为：

本发明针对建立近似预测模型中出现的过拟合和欠拟合的问题，本发明推导了可控制拟合精度的广义近似模型。该模型综合逼近精度和拟合灵敏度的作用，可有效控制近似模型的拟合效果和泛化特性。分析了模型中各参数设置方式和优化范围，建立了以拟合度为目标的优化模型，采用遗传算法对模型进行求解。通过实验分析了新灰度模型中各参数变化对模型精度的影响。并且，通过分析贝叶斯正则化后的ann模型和新ann模型的预测结果，证明了基于拟合灵敏度的广义近似模型能够获得合理的拟合度和更好的泛化能力。

附图说明

图1为拟合值yk与训练样本xk在dy/dx＝1时的位置关系；

图2为拟合值yk与训练样本xk在dy/dx＝2时的位置关系；

图3为拟合值yk与训练样本xk在dy/dx＝0.6时的位置关系；

图4为在过度欠拟合下拟合值yk与训练样本xk的位置关系；

图5为200个循环的航空发动机的degt图，degt为排气温度偏差；

图6为degt预测准确度评估的真实值；

图7为新灰度模型和灰度模型在不同a下的rmses箱形图；

图8为新灰度模型和灰度模型在不同n下的rmses箱形图；

图9为新灰度模型和灰度模型在不同p下的rmses箱形图；

图10为新灰度模型和灰度模型在不同ε下的rmses箱形图；

图11为新ann和贝叶斯正则化的ann的rmses箱形图；

图12为正则化ann的预测结果；

图13为交叉验证svm的预测结果；

图14为gm的预测结果。

具体实施方式

具体实施方式一：基于拟合灵敏度的航空发动机性能的广义近似建模方法的具体过程为：

拟合灵敏度分析

将训练样本表示为x＝[x1,x2,...,xn]，拟合值表示为y＝[y1,y2,...,yn]，则当x和y具有相同的初值(x1＝y1)时，拟合度可以表示为拟合灵敏度模型dy/dx。

(a)当dy/dx→1时，yk对xk过拟合，即△y≈△x。拟合值yk的变化趋势与xk一致，如图1所示。

(b)当dy/dx>1时，yk对xk欠拟合且△y>△x，如图2所示。拟合值yk扩大了训练样本xk的变化趋势，此时yk是不稳定的且随着xk的变化而震荡，进而获得不稳定的预测结果。这种状态称为“过度欠拟合”。

(c)当0<dy/dx<1时，yk对xk欠拟合且△y<△x，如图3所示。拟合值yk压缩了训练样本xk的变化趋势，此时yk逼近xk的变化趋势，进而获得较精确的预测结果。这种状态称为“合理欠拟合”。

所以，当x与y的初值相同，不同的过拟合和欠拟合程度对应着不同的拟合灵敏度dy/dx。将dy/dx的值设置在区间(0，1)内能够获得合理的拟合度，在一定程度上避免过拟合和过渡欠拟合。

步骤一：建立基于拟合灵敏度的航空发动机性能的广义近似模型为：

公式(8)满足以下条件：

其中所述xk为航空发动机排气温度偏差的第k个训练样本值；yk为航空发动机排气温度偏差的第k个拟合值；a为基于拟合灵敏度的航空发动机性能的广义近似模型对xk的整体压缩系数，a>1；b为|xk-yk|对xk的压缩系数；c1为积分偏移量；ε为抑制过度欠拟合的调整系数；k为训练样本的序列号；n为训练样本的个数；p为训练样本的后p个点；

步骤二：对步骤一建立的基于拟合灵敏度的航空发动机性能的广义近似模型的参数求解；

式(8)和(9)所构建的模型参数有抑制过拟合的调整系数a、b、p、c1，抑制过度欠拟合的调整系数ε。其中，a、b、p、ε的值根据参数的物理意义设置；c1的值需要综合考虑过拟合和过度欠拟合的约束条件，建立基于拟合度的优化模型，并采用遗传算法搜索得到最优解。

步骤二一：设置p的取值；

步骤二二：设置抑制过度欠拟合的调整系数ε；

步骤二三：设置基于拟合灵敏度的航空发动机性能的广义近似模型对xk的整体压缩系数a和|xk-yk|对xk的压缩系数b；

步骤二四：根据步骤二一至步骤二三设置积分偏移量c1。

基于拟合灵敏度的广义近似模型拟合误差分析

分析拟合值与训练样本的拟合误差d：

由式8得:

如式11所示，当时，d＝0。即当拟合值yk为常数时，模型的拟合误差为0。但事实上，yk是随xk变化的时间序列。所以，d必定大于一个较小的数δ，即d>δ。

由式9得:

综上所述，得到了拟合误差d的上下界:

如式16所示，本模型将拟合误差d控制在一定范围内，在一定程度上抑制过拟合的同时又抑制了欠拟合。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：所述步骤一中建立基于拟合灵敏度的航空发动机性能的广义近似模型的具体过程为：

将dy/dx的值设置在区间(0，1)内，当x1＝y1时建立拟合灵敏度模型：

其中x＝[x1,x2,...,xn]为训练样本，y＝[y1,y2,...,yn]为拟合值；

(a)当|xk-yk|变大，则拟合值yk偏离训练样本xk。因为拟合值yk应该体现训练样本的主趋势，所以训练样本xk包含了很强的噪声和波动。为了使yk获得较缓的主趋势，yk对xk的灵敏度dyk/dxk应该降低。

(b)当|xk-yk|变小，则拟合值yk逼近训练样本xk。因为拟合值yk应该体现训练样本的主趋势，所以训练样本xk的变化趋势较缓和。为了保持住这种缓和的主趋势，yk对xk的灵敏度dyk/dxk应该提高。

将式(1)转换为积分形式得到：

变换积分变量：

式(4)是基于拟合灵敏度的近似模型隐式表达，将其变换后得广义近似模型：

式5的第一项是近似模型对训练样本xk的拟合值yk，第二项是对传统预测模型的调整量。

上面建立的近似模型能避免过拟合，然而为了使该模型避免过度欠拟合(如图4所示)，需要给它添加约束条件。

如果|xk-yk|→+∞，则dyk/dxk→0，不可避免地导致yk对xk的过度欠拟合。所以，dyk/dxk的下边界设置为：

当ε→0，|xk-yk|→0；当ε→1/a，|xk-yk|→+∞。所以，将系数ε在(0,1/a)内缩放调整yk和xk的距离|xk-yk|。式6的约束条件是作用于整个时域内，即k＝1,...,n。但当训练样本数太大时，难以使任意k点处满足|xk-yk|小于一个较小的数△。鉴于此问题，同时考虑越接近预测位置的样本点对提高预测精度的影响最大，故将该约束条件限定在训练样本的后p个点，式(6)对k＝n-p+1,n-p+2,...,n成立，则：

将式(5)带入式(7)，得到基于拟合灵敏度的航空发动机性能的广义近似模型，即式(8)和式(9)。

其它步骤及参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：所述步骤二一中设置p的取值为：1<p<n。

在训练预测模型参数时，由于训练样本数太多，难以保证任意样本段都不出现过度欠拟合，为了提高预测精度，只对训练样本的最后p个样本点进行约束，使其满足抑制过度欠拟合的约束条件。p最大可取到训练样本长度n,最小可取到1，即p∈[1,n]且p∈n。

当p→1时，模型只约束最后很少个点，使训练样本后段的拟合值不陷入过度欠拟合，但很少的点不包含xk的趋势信息，从而导致预测结果不准确。

当p→n时，模型约束整个训练样本段，使训练样本的拟合值不陷入过度欠拟合，这是很难实现的，即便所有的训练样本都不陷入过度欠拟合，但由于包含了太多与未来趋势无关的历史信息，也同样导致预测结果不准确。

所以，需要综合考虑影响预测精度的训练样本段，在[1，n]内合理选择p，选择出即包含趋势信息又不包括无用信息的训练样本段。

其它步骤及参数与具体实施方式一或二相同。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：所述步骤二二中设置抑制过度欠拟合的调整系数ε具体为：

在模型学习过程中，为了限制k＝n-p+1,n-p+2,...,n处的过度欠拟合，引入参数ε，使得训练样本后p个点的拟合灵敏度dyk/dxk>1/a-ε，ε∈(0,1/a)。

如式(9)所示，当ε→0时，dyk/dxk→1/a，训练样本后p个点的拟合值yk(k＝n-p+1,n-p+2,...,n)对xk的灵敏度较大，拟合精度高；当ε→1/a时，dyk/dxk→0，训练样本后p个点的拟合值yk(k＝n-p+1,n-p+2,...,n)对xk的灵敏度较小，拟合精度低。

所以，综合考虑训练样本后p个点的拟合值yk(k＝n-p+1,n-p+2,...,n)对xk的灵敏度，在(0,1/a)内选择合适的ε值。

其它步骤及参数与具体实施方式一至三之一相同。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：所述步骤二三中设置基于拟合灵敏度的航空发动机性能的广义近似模型对xk的整体压缩系数a和|xk-yk|对xk的压缩系数b的具体过程为：

a的取值为

如式(9)所示，a、b是抑制过拟合的调整系数。调整a值保证拟合灵敏度dyk/dxk<1，调整b值改变|xk-yk|对xk的压缩系数，使yk逼近xk的主趋势，减小预测结果的震荡。

调整a值避免yk对xk的过拟合。当yk对xk过拟合时，max|yk-xk|→0。此时，dyk/dxk＝1/a+b·(xk-yk)²→1/a，在拟合灵敏度小于1时可有效抑制过拟合，1/a<1，即a>1；但当a→+∞时，dyk/dxk＝1/a+b·(xk-yk)²→0，此时yk不受xk的影响，拟合结果不准确。又因为1/a-ε>0，所以a在(1，1/ε)区间取值。

调整b值使yk逼近xk的主趋势。拟合值yk应该代表训练样本的主趋势。所以，当|xk-yk|<△(△时距离阈值)，yk对xk变化的灵敏度大；当|xk-yk|>△时，yk对xk变化的灵敏度小。

如式9所示，由抑制过度欠拟合的约束条件(即公式(9))可得最小灵敏度是1/a-ε。当yk到xk的距离达到最大，即|xk-yk|＝△时，拟合灵敏度dyk/dxk最小，如下式所示：

由式(17)求得b：

所述△为xk和yk之间的距离阈值，

如式18所示，设置阈值△之后，b的值可以完全确定。以训练样本中最大的相邻点差值为单位衡量△的大小。由工程实际意义得到，当|xk-yk|>s·m(s为常数)时，拟合值yk偏离xk太远，拟合结果不正确，拟合灵敏度dyk/dxk应该减小。本发明设置s＝5，即当yk与xk的距离超过5倍的m认为拟合无效，此时

其它步骤及参数与具体实施方式一至四之一相同。

具体实施方式六：本实施方式与具体实施方式一至五之一不同的是：所述步骤二四中根据步骤二一至步骤二三设置积分偏移量c1的具体过程为：

步骤二四一：构造适应度函数；

适应度函数即优化模型的目标函数，决定群体的搜索方向。基于拟合灵敏度的新灰度预测模型能有效抑制过拟合，将式(8)抽象为适应度函数，如下式所示：

式(19)的取值越小，适应度越高；

步骤二四二：对公式(19)添加抑制过度欠拟合的约束条件，构造用遗传算法求解的优化模型；

适应度函数考虑了在训练模型参数时抑制过拟合，除此之外，为了抑制过度欠拟合，对上述适应度函数添加约束。

遗传算子的设计是非常成熟的，在此不再赘述。优化模型的优化变量是c1，本说明对该优化变量的初始种群设置做出说明。

c1是在积分过程中产生的偏移量，下面讨论其初值的设置。为了提高预测精度，在训练预测模型参数时，需提高训练样本最后p个样本点的拟合效果，对且k∈n，使c1k满足式(4)，即：

其中c1k为第k个c1，n为自然数；

设置c1的初值为：

其它步骤及参数与具体实施方式一至五之一相同。

具体实施方式七：本实施方式与具体实施方式一至六之一不同的是：将所述模型应于于航空发动机性能(排气温度偏差、排气温度裕度、增压比(低压涡轮出口总压与风扇进口总压之比))的预测。

利用上述建立的基于拟合灵敏度的航空发动机性能的广义近似建模方法对航空发动机性能参数进行预测。首先，选用传统的近似模型(ann，svm，gm等)计算航空发动机性能参数的拟合值yk；其次，设置模型参数a、b、p、c1、ε；最后，采用式(8)，(9)对航空发动机的性能参数进行预测。

其它步骤及参数与具体实施方式一至六之一相同。

采用以下实施例验证本发明的有益效果：

实施例一：

实验中使用的数据是200个循环的航空发动机的性能参数degt(thedifferencebetweenthemonitoredexhaustgastemperatureandthebenchmark)时间序列。degt是航空发动机非常重要的性能参数，但是实测数据包含了很大的随机性和波动，如图5所示。

实验数据中的有效信号因为噪声的存在而难以找到，所以，由航空发动机制造商认可的平滑数据作为实验对比的真实值，如图6所示。

实验以新灰度模型为例，建立基于拟合灵敏度灰度模型，如式(25)、(26)所示。

为了分析新灰度模型参数a、n、p、ε对预测精度的影响，采用单一变量法依次观察不同的参数取值对预测精度的影响。将a、n、p、ε在有意义的合理范围内取值，并且对比分析不同取值对预测误差的影响。此外，在所有实验中的预测点数为20。

(a)参数a对模型精度的影响

为了研究单一变量a对预测精度的影响，我们设置n＝70，p＝10，ε＝0.1。新灰度模型的a在(1，1/ε)＝(1，10)内取值，将a设置为1.25，3，5，7和9，组成5组实验。对于每一个a都做60次实验。新灰度模型在不同a下的rmses的箱形图如图5所示。为了对比，传统灰度模型的rmses箱形图也在图7中画出。rmses在箱形图中有7个指标：max—上边缘，q1—上四分位数，median—中位数，q3—下四分位数，min—下边缘，outlier—异常值的数目，dqq--q1与q3的距离。

新灰度模型和灰度模型在不同a下的rmses箱形图指标如表1所示。

表1新灰度模型和灰度模型在不同a下的rmses箱形图指标

其中gm：灰度模型；max：上边缘；q1：上四分位数；median：中位数；q3：下四分位数；min：下边缘；outlier：异常值的数目；dqq：q1与q3的距离。

如表1所示，新灰度模型rmse中位数的最小值是3.22，dqq的最小值是2.93，且此最小值在a＝3时得到。rmse中位数的最小值3.22对应着模型较高的预测精度，dqq的最小值是2.93对应着预测误差较小的分散性。

在本发明研究的预测模型中，训练期间的拟合度一定程度上决定于a值的大小。当a→1时，可能会出现过拟合；当a→+∞可能会出现欠拟合。所以，一定存在一个a值使模型具有较高的预测精度。这里，较高的预测精度在a＝3时得到。

新灰度模型的预测结果比传统灰度模型好，因为前者具有较小的rmse中位数和dqq，分别对应着较高的预测精度和较小的误差分散性。

(b)参数n对模型精度的影响

为了研究单一变量n对预测精度的影响，我们设置a＝3，p＝10，ε＝0.1。将新灰度模型的n设置为30，40，50，60，70和80，组成6组实验。对于每一个n都做60次实验。新灰度模型在不同n下的rmses箱形图如图8所示。

新灰度模型和灰度模型在不同n下的rmses箱形图指标如表2所示。

表2新灰度模型和灰度模型在不同n下的rmses箱形图指标

如表2所示，新灰度模型rmse中位数的最小值是3.22，dqq的最小值是2.93，且此最小值在n＝70时得到。rmse中位数的最小值3.22对应着模型较高的预测精度，dqq的最小值是2.93对应着预测误差较小的分散性。

在本发明研究的预测模型中，过大的n值引入了太多与训练样本趋势不相关的信息，但太小的n不能包含充分的有效信息。所以，一定存在一个n值使模型具有较高的预测精度。这里，较高的预测精度在n＝70时得到。

(c)参数p对模型精度的影响

为了研究单一变量p对预测精度的影响，我们设置a＝3，n＝70，ε＝0.1。将新灰度模型的p设置为1，10，20，30，40，50和60，组成7组实验。对于每一个p都做60次实验。新灰度模型在不同p下的rmses箱形图如图9所示。

新灰度模型和灰度模型在不同p下的rmses箱形图指标如表3所示。

表3新灰度模型和灰度模型在不同p下的rmses箱形图指标

如表3所示，新灰度模型rmse中位数的最小值是3.05(当p＝40时)，dqq的最小值是2.93(当p＝10时)。新灰度模型的预测结果比传统灰度模型好，因为前者具有较小的rmse中位数和dqq，分别对应着较高的预测精度和较小的误差分散性。

当p→1时，对不包含拟合值yk趋势信息的少量训练样本添加了抑制过度欠拟合的约束条件；当p→n时，对包含不相关历史信息的训练样本添加了抑制过度欠拟合的约束条件。所以，一定存在一个p值使模型具有较高的预测精度。

(d)参数ε对模型精度的影响

为了研究单一变量ε对预测精度的影响，我们设置a＝3，n＝70，p＝10。将新灰度模型的ε设置为0.1，0.2和0.3，组成3组实验。对于每一个ε都做60次实验。新灰度模型在不同ε下的rmses箱形图如图10所示。

新灰度模型和灰度模型在不同ε下的rmses箱形图指标如表4所示。

表4新灰度模型和灰度模型在不同ε下的rmses箱形图指标

如表4所示，新灰度模型rmse中位数的最小值是3.22，dqq的最小值是2.93，且此最小值在ε＝0.1时得到。新灰度模型的预测结果比传统灰度模型好，因为前者具有较小的rmse中位数和dqq，分别对应着较高的预测精度和较小的误差分散性。

当ε→0时，拟合值对训练样本有很大的拟合度；当ε→1/a＝0.33时，拟合值对训练样本的拟合度在后p个点时较低。所以，一定存在一个ε值使模型具有较高的预测精度。这里，较高的预测精度在ε＝0.1时得到。

为了进一步验证基于拟合灵敏度的近似建模方法的优越性，采用基于拟合灵敏度的贝叶斯规则化ann模型对航空发动机的degt进行预测。为了对比，同时统计贝叶斯规则化ann模型的预测结果。

根据以上原则设计的8组实验如表5所示。

表5实验设计

其中annwithregularization：正则化的ann；novelann：基于拟合灵敏度的ann。

新ann和规则化ann的预测结果如图11和表6所示。

表6新ann和贝叶斯正则化的ann的rmses箱形图指标

通过分析数据，发现新ann比规则化ann模型的rmse中位数更小，但是新ann模型的预测误差的dqq不是最小。所以，采用新ann模型进行预测能获得更好的预测精度，但是预测误差的分散性不是最小。

本发明还可有其它多种实施例，在不背离本发明精神及其实质的情况下，本领域技术人员当可根据本发明作出各种相应的改变和变形，但这些相应的改变和变形都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。