形函数构造方法及系统与流程

本发明涉及一种形函数构造方法及系统。

背景技术：

有限元法是目前结构仿真分析的主要方法，在土木工程、机械工程、航空航天和军事工业等领域均有大量的应用。在有限元算法有一项不可避免的数学推导环节：形函数的构造。在常规有限元算法中，形函数主要基于多项式构造，可以分为(1)艾尔米特类型，(2)完全拉格朗日类型，和(3)不完全拉格朗日类型。第(1)类方法构造的形函数可以实现所模拟的物理量具有高阶连续性(cⁿ连续，n≥1)，但是构造方法复杂，在工程中应用相对较少，第(2)和(3)类方法构造简单，但所模拟的物理量在单元之间仅零阶连续(c⁰连续)，在工程中应用最为广泛。

目前传统的有限元形函数推导方法主要由人工手动完成，而且形函数的节点数和布置位置也是固定的，每增加一种形函数，就需要人工重新推导和建立一类新的有限元。有限元库是有限的，因此，一般有限元模拟软件仅提供每个坐标轴方向2-4个节点。此外，在有限元算法中，形函数求导运算也是不可避免的，传统方法主要依靠人工求导。

技术实现要素：

本发明的目的在于提供一种形函数构造方法及系统，能够解决传统的有限元形函数推导方法主要由人工手动完成，而且形函数的节点数和布置位置也是固定的，每增加一种形函数，就需要人工重新推导和建立一类新的有限元的问题。

为解决上述问题，本发明提供一种形函数构造方法，包括：

第一步：确定形函数的维数，对于一维插值问题，建立[-1,1]范围的ξ坐标轴；对于二维问题，建立[-1,1]×[-1,1]范围的ξ，η直角坐标系；对于三维问题，建立[-1,1]×[-1,1]×[-1,1]范围的ξ，η，ζ直角坐标系；

第二步：选定ξ,η,ζ三个坐标轴的上坐标范围为[-1,1]的节点，在ξ坐标轴上取nx个节点，从小到大分别为ξ1,ξ2,ξ3…,ξnx；在η坐标轴上取ny个节点，从小到大分别为η1,η2,η3…,ηny；在ζ坐标轴上取nz个节点，从小到大分别为ζ1,ζ2,ζ3,…,ζnz；

第三步：分别计算ξ,η,ζ三个坐标轴上坐标分布的节点的微分求积法组合系数组合系数的意义为：一般地，对于ξ坐标轴上从小到大排列的nx个节点ξ1,ξ2,ξ3…,ξnx，函数f(ξ)在ξi的m阶导数可以表示为对于η和ζ坐标轴上的有限个节点，以此类推，亦可得到对应坐标轴的微分求积法组合系数

第四步：生成三个轴各自的形函数，其中，

对于ξ轴的第r个坐标点形函数的m阶导数为其中li为第i个节点对应的拉格朗日插值基

对于η轴的第s个坐标点形函数的n阶导数为其中，

对于ζ轴的第t个坐标点形函数的p阶导数为其中，

第五步：生成ξ轴第r节点，η轴第s个节点，ζ轴第t个节点的形函数关于ξ，η和ζ分别m，n和p阶偏导的形函数n＝nξrnηsnζt。

进一步的，在上述方法中，所述第二步中，对于有限元，所述nx,ny和nz取三者相等。

进一步的，在上述方法中，所述第二步中，对于无限元，所述nx,ny和nz中，无限长方向的节点点数设定地大于有限长边的节点数。

根据本发明的另一面，提供一种函数构造系统，包括：

第一装置，用于确定形函数的维数，对于一维插值问题，建立[-1,1]范围的ξ坐标轴；对于二维问题，建立[-1,1]×[-1,1]范围的ξ，η直角坐标系；对于三维问题，建立[-1,1]×[-1,1]×[-1,1]范围的ξ，η，ζ直角坐标系；

第二装置，用于选定ξ,η,ζ三个坐标轴的上坐标范围为[-1,1]的节点，在ξ坐标轴上取nx个节点，从小到大分别为ξ1,ξ2,ξ3…,ξnx；在η坐标轴上取ny个节点，从小到大分别为η1,η2,η3…,ηny；在ζ坐标轴上取nz个节点，从小到大分别为ζ1,ζ2,ζ3,…,ζnz；

第三装置，用于分别计算ξ,η,ζ三个坐标轴上坐标分布的节点的微分求积法组合系数组合系数的意义为：一般地，对于ξ坐标轴上从小到大排列的nx个节点ξ1,ξ2,ξ3…,ξnx，函数f(ξ)在ξi的m阶导数可以表示为对于η和ζ坐标轴上的有限个节点，以此类推，亦可得到对应坐标轴的微分求积法组合系数

第四装置，用于生成三个轴各自的形函数，其中，

对于ξ轴的第r个坐标点形函数的m阶导数为其中li为第i个节点对应的拉格朗日插值基

对于η轴的第s个坐标点形函数的n阶导数为其中，

对于ζ轴的第t个坐标点形函数的p阶导数为其中，

第五装置，用于生成ξ轴第r节点，η轴第s个节点，ζ轴第t个节点的形函数关于ξ，η和ζ分别m，n和p阶偏导的形函数n＝nξrnηsnζt。

进一步的，在上述系统中，所述第二装置，用于对于有限元，所述nx,ny和nz取三者相等。

进一步的，在上述系统中，所述第二装置，用于对于无限元，所述nx,ny和nz中，无限长方向的节点点数设定地大于有限长边的节点数。

与现有技术相比，本发明旨在发明一种高效的形函数自动生成方法，解决目前形函数人工推导的效率低，软件应用不方便，形函数精度低的问题，本申请的方法将微分求积法得到的组合系数再进行拉格朗日插值，可生成一维、二维和三维插值形函数及其任意阶偏导数，支持任意分布节点。本发明提出的方法具有流程简单，计算机程序编写容易的特点；本发明提出的方法构造的形函数阶次可变，精度可调，对有限元仿真模拟具有显著提升效率的作用。

附图说明

图1是本发明一实施例的ξ，η，ζ直角坐标系图；

图2是本发明一实施例的在ξ坐标轴上取nx个节点、在η坐标轴上取ny个节点的示意图；

图3是本发明一实施例的在η坐标轴上取ny个节点、在ζ坐标轴上取nz个节点的示意图；

图4是本发明一实施例的微分求积法计算数值微分公式线性组合系数的示意图。

具体实施方式

为使本发明的上述目的、特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。

如图1所示，本发明提供一种形函数构造方法，包括：

第一步：确定形函数的维数，对于一维插值问题，建立[-1,1]范围的ξ坐标轴；对于二维问题，建立[-1,1]×[-1,1]范围的ξ，η直角坐标系；对于三维问题，建立[-1,1]×[-1,1]×[-1,1]范围的ξ，η，ζ直角坐标系，如图1所示；

第二步：选定ξ,η,ζ三个坐标轴的上坐标范围为[-1,1]的节点，如图2和3所示，在ξ坐标轴上取nx个节点，从小到大分别为ξ1,ξ2,ξ3…,ξnx；在η坐标轴上取ny个节点，从小到大分别为η1,η2,η3…,ηny；在ζ坐标轴上取nz个节点，从小到大分别为ζ1,ζ2,ζ3,…,ζnz；

第三步：分别计算ξ,η,ζ三个坐标轴上坐标分布的节点的微分求积法组合系数算法公式由图4给出。组合系数的意义如下：一般地，对于ξ坐标轴上从小到大排列的nx个节点ξ1,ξ2,ξ3…,ξnx，函数f(ξ)在ξi的m阶导数可以表示为对于η和ζ坐标轴上的有限个节点，以此类推，亦可得到对应坐标轴的微分求积法组合系数

第四步：生成三个轴各自的形函数，其中，

对于ξ轴的第r个坐标点形函数的m阶导数为其中li为第i个节点对应的拉格朗日插值基

对于η轴的第s个坐标点形函数的n阶导数为其中，

对于ζ轴的第t个坐标点形函数的p阶导数为其中，

第五步：生成ξ轴第r节点，η轴第s个节点，ζ轴第t个节点的形函数关于ξ，η和ζ分别m，n和p阶偏导的形函数n＝nξrnηsnζt；

其中，令m＝n＝p＝0则退化为不求导的情况。公式中的nx,ny和nz可以为互不相等的正整数，对于有限元可以取三者相等，在有限元模拟中有利于达到较好的精度；在无限元中，无限长方向的节点点数宜设定地稍大于有限长边的节点数。

在此，本发明旨在发明一种高效的形函数自动生成方法，解决目前形函数人工推导的效率低，软件应用不方便，形函数精度低的问题，本申请的方法将微分求积法得到的组合系数再进行拉格朗日插值，可生成一维、二维和三维插值形函数及其任意阶偏导数，支持任意分布节点。本发明提出的方法具有流程简单，计算机程序编写容易的特点；本发明提出的方法构造的形函数阶次可变，精度可调，对有限元仿真模拟具有显著提升效率的作用。该方法与现有技术相比，有益效果在于：

(1)支持形函数控制节点个数任意可变，从而实现高精度的目的；

(2)支持形函数的控制节点任意布置，有利于提高有限元模拟精度；

(3)形函数的导数可以自动生成，无需人工求导，方便计算机任意增加单元库；

根据本发明的另一面，提供一种形函数构造系统，包括：

第一装置，用于确定形函数的维数，对于一维插值问题，建立[-1,1]范围的ξ坐标轴；对于二维问题，建立[-1,1]×[-1,1]范围的ξ，η直角坐标系；对于三维问题，建立[-1,1]×[-1,1]×[-1,1]范围的ξ，η，ζ直角坐标系；

第二装置，用于选定ξ,η,ζ三个坐标轴的上坐标范围为[-1,1]的节点，在ξ坐标轴上取nx个节点，从小到大分别为ξ1,ξ2,ξ3…,ξnx；在η坐标轴上取ny个节点，从小到大分别为η1,η2,η3…,ηny；在ζ坐标轴上取nz个节点，从小到大分别为ζ1,ζ2,ζ3,…,ζnz；

第三装置，用于分别计算ξ,η,ζ三个坐标轴上坐标分布的节点的微分求积法组合系数组合系数的意义为：一般地，对于ξ坐标轴上从小到大排列的nx个节点ξ1,ξ2,ξ3…,ξnx，函数f(ξ)在ξi的m阶导数可以表示为对于η和ζ坐标轴上的有限个节点，以此类推，亦可得到对应坐标轴的微分求积法组合系数

第四装置，用于生成三个轴各自的形函数，其中，

对于ξ轴的第r个坐标点形函数的m阶导数为其中li为第i个节点对应的拉格朗日插值基

对于η轴的第s个坐标点形函数的n阶导数为其中，

对于ζ轴的第t个坐标点形函数的p阶导数为其中，

第五装置，用于生成ξ轴第r节点，η轴第s个节点，ζ轴第t个节点的形函数关于ξ，η和ζ分别m，n和p阶偏导的形函数n＝nξrnηsnζt。

进一步的，在上述系统中，所述第二装置，用于对于有限元，所述nx,ny和nz取三者相等。

进一步的，在上述系统中，所述第二装置，用于对于无限元，所述nx,ny和nz中，无限长方向的节点点数设定地大于有限长边的节点数。

本发明的各系统实施例的详细内容，具体可参见各方法实施例的对应部分，在此，不再赘述。

本说明书中各个实施例采用递进的方式描述，每个实施例重点说明的都是与其他实施例的不同之处，各个实施例之间相同相似部分互相参见即可。

专业人员还可以进一步意识到，结合本文中所公开的实施例描述的各示例的单元及算法步骤，能够以电子硬件、计算机软件或者二者的结合来实现，为了清楚地说明硬件和软件的可互换性，在上述说明中已经按照功能一般性地描述了各示例的组成及步骤。这些功能究竟以硬件还是软件方式来执行，取决于技术方案的特定应用和设计约束条件。专业技术人员可以对每个特定的应用来使用不同方法来实现所描述的功能，但是这种实现不应认为超出本发明的范围。

显然，本领域的技术人员可以对发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包括这些改动和变型在内。