一种用于非解析复数非线性系统的无味算法

1.本发明涉及复数信号处理技术领域，特别是涉及一种用于非解析复数非线性系统的无味算法。


背景技术：

2.无味算法(unscented transform，ut)是一种处理均值和协方差的非线性传递的算法。通过确定有限sigma点，用有限参数来近似随机量的概率统计特性。可以避免通过大量计算及数据存储。常常结合卡尔曼滤波算法应用于自动控制、导航、跟踪、人工智能、故障估计等实际场景中，进行非线性系统函数下的状态估计。
3.但是传统无味算法主要针对实数信号，关于复数信号的研究仍然较少，特别是对于非解析映射函数的研究更是一片空白，


技术实现要素：

4.有鉴于此，本发明的目的在于提供一种用于非解析复数非线性系统的无味算法，用以解决背景技术中提及的技术问题。
5.为了达到上述目的，本发明采用如下技术方案：
6.一种用于非解析复数非线性系统的无味算法，包括如下步骤：
7.步骤s1、计算增广形式的输入信号的二阶统计量，并将该二阶统计量输入非线性系统中，计算sigma点；
8.步骤s2、根据步骤s1中计算得到的sigma点，再采用无味算法，得到所述非线性系统对应输出点的一阶、二阶统计量；
9.步骤s3、当所述输入信号为非圆时，通过考虑误差与非圆度的关系，计算最优beta参数，减小系统误差。
10.进一步的，所述步骤s1具体包括：
11.步骤s101、所述输入信号为复数信号，将该复数信号及其共轭信号组成增广形式：x＝[x
t
，x
h
]
t
，其中，x表示为复数信号，x
t
表示为复数信号的转置，x
h
表示为复数信号的共轭转置；
[0012]
步骤s102、根据所述输入信号，计算二阶统计量，所述二阶统计量包括协方差矩阵和伪协方差矩阵，所述协方差矩阵的表达式为：
[0013][0014]
其中，表示为输入信号的协方差矩阵，r
x
表示为输入信号的协方差，p
x
表示为输入信号的的伪协方差，*为共轭符号，即及分别表示协方差及伪协方差的共轭。
[0015]
所述伪协方差矩阵的表达式为：
[0016][0017]
步骤s103、计算sigma点：
[0018][0019][0020][0021][0022]
其中，为sigma点，特别的是为均值点、p＝l为x的维数、为x的均值、λ为尺度参数。
[0023]
进一步的，所述步骤s2具体包括：
[0024]
步骤s201、无味算法的权重计算为：
[0025][0026][0027]
其中，w
i(m)
及w
i(c)
分别表示均值及协方差计算的权重系数、l为输入维数、α和β分别表示尺度参数，α用以控制sigma点距离均值的距离，一般取值较小大约为α＝10
‑3，β包含了部分输入的分布信息，当分布为高斯分布时，一般的取值为2。
[0028]
步骤s202、输出y的统计量被计算为：
[0029][0030][0031][0032][0033]
其中，分别为输入输出的统计点，特别的是为均值点、为输出的均值、r
′
y
及p
′
y
分别为y的协方差及伪协方差。
[0034]
进一步的，在所述步骤s3中，所述最优beta参数包括使得伪协方差误差最小的参数β
p
和使得协方差误差最小的参数β
r
；
[0035]
所述参数β
p
的表达式为：
[0036][0037]
其中，h
xx
为hessian矩阵，为对非线性函数的i阶导，
[0038]
所述参数β
r
的表达式为：
[0039][0040]
本发明的有益效果是：
[0041]
对于解析的非线性系统，本发明所用算法与实际输出经过蒙特卡罗算法后结果基本一致，能准确的计算输出的均值及方差、协方差，相比过去的增广算法有更好的准确度。
附图说明
[0042]
图1为实施例2中，当β为2时，改变非圆系数对系统误差的影响示意图。
[0043]
图2为实施例2中，当复数圆信号(非圆度ρ＝0)经过解析变换f＝x2时，传统增广ut算法与本算法结果示意图。
[0044]
图3为实施例2中，当复数非圆信号(非圆度ρ＝0.6)经过解析变换f＝x2时，传统增广ut算法与本算法结果示意图。。
[0045]
图4为实施例2中，一种用于非解析复数非线性系统的无味算法的算法流程图。
具体实施方式
[0046]
为使本发明实施例的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
[0047]
实施例1
[0048]
本实施例提供一种用于非解析复数非线性系统的无味算法，包括如下步骤：
[0049]
步骤101、将复数信号及其共轭信号组成增广形式x＝[x
t
，x
h
]
t
[0050]
步骤102、计算二阶统计量，协方差为：
[0051][0052]
伪协方差为：
[0053][0054]
增广协方差矩阵及增广伪协方差均包含了原x的协方差r
x
及伪协方差p
x
信息。
[0055]
步骤103、计算sigma点：
[0056][0057][0058][0059][0060]
可简写成：
[0061][0062]
其中σ
i
表示增广协方差或增广伪协方差的第i列均方矩阵根。
[0063]
其中非解析的复数系统，其系统函数与x及其共轭均有关，对于非解析的复数非线性系统，其泰勒展开为：
[0064][0065][0066]
其中h
xx
、h’xx
、h
xx
均为hessian矩阵，定义为：
[0067][0068]
其均值为：
[0069][0070]
ut算法的sigma点泰勒展开为：
[0071][0072][0073]
步骤201、无味算法(unscented transform，ut)的权重计算为：
[0074][0075]
[0076]
步骤202、带入权重，输出y的统计量可被计算为：
[0077][0078][0079][0080][0081]
得到ut算法近似均值计算为：
[0082][0083]
奇数项正负号互相抵消
[0084][0085]
其中
[0086][0087]
所以有
[0088][0089]
注意到在ut的实际运算中仍然是把函数当成解析函数来看的，只是通过增广向量将对于复数的求导引入到公式中，故在求均值时，仍然是带入伪协方差的sigma点：
[0090]
来计算，而并非某些文献中使用的
[0091]
这样使用增广输入使得ut算法在对于非解析函数时，仍然保证前二阶精度。
[0092]
步骤301、ut算法伪协方差计算为：
[0093][0094]
其中由于
[0095][0096]
且
[0097][0098]
第四阶可以写作：
[0099][0100]
对于实际的协方差来说，在均值处的泰勒展开奇数项的均值都为0，而在ut中通过接近0的系数α来控制奇数项及高阶，而二阶的实际结果与ut算的结果是一致的。
[0101]
而第四阶的误差项为
[0102]
[0103]
当h
xx
矩阵为对角阵，则有β为2能得到最小误差，然而当h
xx
非对角阵时，即f非解析，简单地定义β为2，则并不能去除前一项的误差。
[0104]
例如当f＝|x|2＝xx
*
，e[δx
t h
xx
δxδx
t h
xx
δx]＝4e[δx
*
δxδx
*
δx]＝4(2r2+pp
*
)
[0105]
当β＝1+ρρ
*
时，ut与蒙特卡洛法计算结果一致，其中ρ为非圆系数，
[0106]
步骤302、同理对于ut协方差，应带入点计算协方差，计算得β的最优值为
[0107][0108]
例如当f＝|x|2＝xx
*
，有
[0109][0110]
当β＝ρρ
*
+ρ+ρ
*
‑
1时，ut与蒙特卡洛法计算结果一致。
[0111]
实施例2
[0112]
参见图1
‑
图4，本实施例同样提供一种用于非解析复数非线性系统的无味算法，本实施例提供的算法可用于但不局限于复数非线性解析变换后的均值及二阶统计量分析，也适用于实数及解析函数变换。对于非解析函数，本实施例以f＝|x|2＝xx
*
为例，分析了输入的非圆度对系统误差的影响，并展示了本算法在优化参数后下计算的准确度。对于解析函数，为了方便对比，本示例以复数经过解析变换f＝x2为例，通过误差结果来展现本发明所述算法的优越性。
[0113]
如图4所示，将本发明所述算法包括如下步骤：
[0114]
步骤s1、计算增广形式的输入信号二阶统计量——增广方差及协方差，并将其输入系统，计算sigma点；
[0115]
步骤s2、无味算法可以通过少量sigma特征点的计算，得到非线性系统对应输出点的一阶、二阶统计量；
[0116]
步骤s3、通过研究误差与非圆度关系，调节beta参数，减小算法误差。
[0117]
计算的sigma点满足以下等式：
[0118][0119][0120]
[0121][0122]
无味算法(unscented transform，ut)的权重计算为：
[0123][0124][0125]
输出y的统计量可被计算为：
[0126][0127][0128][0129][0130]
使得伪协方差误差最小的参数β
p
满足
[0131][0132]
使得协方差误差最小的参数β
r
满足
[0133][0134]
具体的说，对于不同的非线性函数有着不同的最优β参数，但都与信号本身的非圆度有关。如图1所示，输入的非圆度影响着系统的误差，这也是为什么许多论文中发现最优的参数并不是一成不变的原因。如表1所示，平衡了非圆度的影响，采用了随着输入非圆度变化的参数后，系统的误差大大的减小了。
[0135]
表1
[0136]
[0137]
对于解析的非线性系统，如图2、图3所示，本发明所用算法与实际输出经过蒙特卡罗算法后结果基本一致，能准确的计算输出的均值及方差、协方差。相比过去的增广算法有更好的准确度。
[0138]
本发明未详述之处，均为本领域技术人员的公知技术。
[0139]
以上详细描述了本发明的较佳具体实施例。应当理解，本领域的普通技术人员无需创造性劳动就可以根据本发明的构思作出诸多修改和变化。因此，凡本技术领域中技术人员依本发明的构思在现有技术的基础上通过逻辑分析、推理或者有限的实验可以得到的技术方案，皆应在由权利要求书所确定的保护范围内。