机翼相关变量组和不相关变量组一阶敏感系数估计方法

1.本发明涉及一种敏感系数估计方法，尤其涉及一种机翼相关变量组和不相关变量组 一阶敏感系数估计方法。


背景技术：

2.降低飞机机翼最大应力的变化范围，既可以保证飞机的结构安全，又能提高机翼材 料的利用效率。飞机机翼应力的数学模型中存在相关变量组和不相关变量组，两种变量 组对机翼最大应力方差的贡献大小并不相同。如果可以快速获得相关变量组和不相关变 量组的灵敏度系数，并根据灵敏度系数调整飞机机翼参数，可以有效缩小飞机机翼最大 应力的波动范围，提高飞机机翼的结构安全性能。
3.全局灵敏度分析技术是一种用于计算变量组，在给定分布条件下的变化，对目标函 数方差影响大小的技术。但当前全局灵敏度技术所涉，相关变量组和不相关变量组一阶 敏感系数存在估算过程复杂，结果不容易收敛和输入变量取样效率低等问题。使得调整 飞机机翼结构的效果并不理想，机翼最大应力的波动范围依旧较大。
4.针对上述问题，需要一种能够针对飞机机翼最大应力计算模型，并且计算效率高的， 相关变量组和不相关变量组一阶敏感系数估计方法，进行机翼参数设计。同时也为机械 设计、航空航天、船舶制造等领域中类似情况，提供一种有效的解决方案。


技术实现要素：

5.发明目的：本发明旨在提供机翼相关变量组和不相关变量组一阶敏感系数估计方 法，解决飞机机翼最大应力全局灵敏度分析过程中，由于相关变量组和不相关变量组一 阶敏感系数估计流程复杂，估计结果不容易收敛，输入变量取样效率低等情况，导致飞 机机翼结构参数调整不理想的问题。
6.技术方案：本发明所述的机翼相关变量组和不相关变量组一阶敏感系数估计方法， 包括以下步骤：
7.(1)建立飞机机翼最大应力的计算模型，并以此作为目标函数；
8.(2)构建飞机机翼最大应力计算模型中相关变量的转换矩阵；
9.(3)根据转换矩阵，利用服从相关变量边缘分布的独立随机变量，表示相关变量；
10.(4)根据独立随机变量组的一阶敏感系数，获得飞机机翼最大应力计算模型中目 标函数中相关变量组的一阶敏感系数；
11.(5)获得飞机机翼最大应力计算模型中目标函数中不相关变量组的一阶敏感系数；
12.(6)根据获得的一阶敏感系数，修正飞机机翼参数的分布，降低机翼最大应力的 波动范围。
13.步骤(1)中，所述目标函数为：
14.z＝f(x1,x2,
…
,xs,x
s+1
,
…
,xn),
机变量表示飞机机翼最大应力计算模型中相关变量
[0027][0028]
其中，变量yk是服从相关变量xk边缘分布的独立随机变量，k＝1,2,
…
,s；μk是变量yk的均值；σk是变量yk的均方差；
[0029]
(32)将步骤(31)所示公式代入步骤(1)所示目标函数，目标函数可转换为
[0030]
z＝fk(y1,y2,y3,..,y
k-1
,yk,y
k+1
,..,ys,x
s+1
,..,xn),。
[0031]
步骤(4)中包括以下步骤：
[0032]
(41)基于其概率密度函数，根据蒙特卡洛法，对步骤(32)所示目标函数所有独 立输入变量取样；基于其边缘分布，根据蒙特卡洛法产生，对步骤(32)所示目标函数 所有输入不相关变量取样
[0033][0034][0035]
a1为第一次取样样本，a2为第二次取样样本，其中，y
k,m
为独立变量yk第一次取 样的第m个样本；为独立变量yk第二次取样的第m个样本；x
n,m
为不相关变量xn第 一次取样
[0044][0045]
其中：x
k,m
是相关变量xk第一次取样的第m个样本；是相关变量xk第二次取样的第 m个样本。
[0046]
(52)直接根据其边缘概率密度，参照蒙特卡洛法，对步骤(1)所示目标函数所 含不相关变量取样；将矩阵a3和a4所示相关变量样本和不相关变量的取样合并，得到 步骤(1)所示目标函数所有输入变量的样本
[0047][0048][0049]
x
θ,m
是不相关变量x
θ
第一次取样的第m个样本；是不相关变量x
θ
第二次取样的 第m个样本；
[0050]
(53)将所有相关变量当作一个独立的整体，获得飞机机翼最大应力计算模型中不 相关变量组的一阶敏感系数
波动范围。
[0066]
各步骤的具体实现如下：
[0067]
(1)采集飞机机翼相关参数，建立飞机机翼最大应力的计算模型作为目标函数
[0068]
z＝f(x1,x2,
…
,xs,x
s+1
,
…
,xn),
[0069]
式中：输入变量(x1,x2,
…
,xs,x
s+1
,
…
,xn)～n(μ,σ)，x1,x2,
…
,xs是相关变量，x
s+1
,
…
,xn是 不相关变量，假设目标函数拥有有限方差。
[0070]
(2)飞机机翼最大应力计算模型中相关变量转换矩阵构建
[0071]
(21)输入变量相关系数矩阵
[0072][0073]
其中，ρ
i,j
是变量xi和xj的相关系数；ρ
i,j
＝ρ
j,i
；ρ
i,i
＝1，i＝1,2,
…
,n；j＝1,2,
…
,n。
[0074]
(22)当输入变量服从多元正态分布时，不相关变量为独立变量，所以相关变量的 取样与不相关变量的取样没有关系。为了简化相关变量的取样流程，将相关系数矩阵c
ρ 简化成矩阵c
ρ-s
，简化相关系数矩阵c
ρ-s
只包含所有相关变量间的相关系数。
[0075][0076]
(23)基于简化相关系数矩阵c
ρ-s
，利用cholesky factorization方法，获得相关变量转 换矩阵l
ρ-s
。
[0077][0078]
(3)利用服从相关变量边缘分布的独立随机变量表示飞机机翼最大应力计算模型中 相关变量
[0079]
(31)根据矩阵l
ρ-s
和相关系数的性质，进行的相关变量转换。
[0080][0081]
即
[0082][0083]
式中：变量yk是服从相关变量xk边缘分布的独立随机变量，k＝1,2,
…
,s；μk是独立随机变 量yk的均值；σk是独立随机变量yk的均方差。
[0084]
(32)将步骤(32)所示目标函数代入步骤(1)所示目标函数，目标函数可以变 为
[0085]
z＝fk(y1,y2,y3,..,y
k-1
,yk,y
k+1
,..,ys,x
s+1
,..,xn),
[0086]
(4)飞机机翼最大应力计算模型中相关变量组一阶敏感系数估计
[0087]
(41)相关变量组一阶敏感系数转化
[0088]
根据相关变量组一阶敏感系数定义如式(1)：
[0089][0090]
式中：su是相关变量组u的一阶敏感系数；u＝[x1,x2,
…
,xk]；e(
·
)为函数期望，v(
·
)为函数 方差，f(x)|u是给定相关变量集u的条件下目标函数f(x)的取值。
[0091]
将步骤(31)所示公式和步骤(32)所示目标函数代入式(1)，式(1)可以变成有式(2)。
[0092][0093]
在输入变量的分布条件确定的条件下，μ
α
、σ
α
和d
αβ
均为常数，α＝1,2,
…
,k，β＝1,2,
…
,k； α≤β。根据上述结论，推导出式(3)。
[0094][0095]
综合式(2)和式(3)，推导出式(4)。
[0096][0097]
当相关变量根据步骤(31)所示公式产生时，得到式(5)。
[0098]
[0099]
式中：是相关变量根据步骤(31)所示公式产生时，相关变量集v的一阶敏 感系数；v＝[y1,y2,
…
,yk]；
[0100]
比较式(4)和式(5)，推导出(6)。
[0101][0102]
式(6)表明：相关变量集u的一阶敏感系数，和相关变量根据步骤(31)所示公式产 生时，相关变量集v的一阶敏感系数是相等的。所以可以通过相关变量根据步骤(31) 所示公式产生时，相关变量集v的一阶敏感系数的估计，实现相关变量组u的一阶敏感 系数的估计。于是有式(7)成立。
[0103][0104]
式中：是相关变量集u一阶敏感系数的估计值；是相关变量根据步骤(31)所 示公式产生时，独立变量组v一阶敏感系数
[1]
的估计值。
[0105]
(42)飞机机翼最大应力计算模型中相关变量组一阶敏感系数估计
[0106]
首先产生步骤(32)所示公式中所有输入变量的样本，独立变量y1,y2,
…
,ys的样本基 于其概率密度函数，根据蒙特卡洛法产生；不相关变量x
s+1
,x
s+2
,
…
,xn的样本，基于其边缘 分布，根据根据蒙特卡洛法产生；
[0107]
取样结果如矩阵a1和a2所示，y
km
为独立变量yk第一次取样的第m个样本；为 独立变量yk第二次取样的第m个样本；x
n,m
为不相关变量xn第一次取样的第m个样本； 为不相关变量xn第二次取样的第m个样本；
[0108][0109][0110]
当输入变量服从多元正态分布时，不相关变量x
s+1
,
…
,xn也是独立变量。因为y1,y2,
…
,ys也是独立变量，所以步骤(31)所示目标函数中所有输入变量都是独立的。因此，当相 关变量根据步骤(32)所示公式产生时，独立变量组v的一阶敏感系数可以，参照saltelli 法，基于式(8)进行估计。
[0111]
基于矩阵a1和a2中的样本，参照saltelli，根据式(8)估计独立变量组v的一阶敏感 系数。
[0112][0113]
综合式(7)和式(8)，有式(9)成立。基于式(9)，就可以完成相关变量组u的一阶敏感 系数估计。
[0114][0115]
(5)飞机机翼最大应力计算模型中不相关变量组一阶敏感系数估计
[0116]
产生两组目标函数f(x1,x2,
…
,xs,x
s+1
,
…
,xn)的输入变量样本，相关变量x1,x2,
…
,xs的样本 源于矩阵a3和a4。其中矩阵a3和a4。将矩阵a1和a2所示独立变量y1,y2,
…
,yk,
…
,ys的样 本，分别代入步骤(31)所示公式，获得相关变量x1,x2,
…
,xk,
…
,xs的样本。
[0117][0118]
其中：x
k,m
是相关变量xk第一次取样的第m个样本；是相关变量xk第二次取样的第 m个样本。
[0119]
不相关变量x
s+1
,
…
,xn的样本，直接根据其边缘概率密度，参照蒙特卡洛法取得。x
θ,m
是不相关变量x
θ
x
θ
第一次取样的第m个样本；是不相关变量x
θ
第二次取样的第m 个样
本。
[0120]
最终取样结果如矩阵a5和a6所示：
[0121][0122][0123]
当输入变量服从多元正态分布时，不相关变量x
s+1
,
…
,xn都是独立变量。如果所有的 相关变量(x1,x2,
…
,xs)看成一个独立的整体，那么目标函数f(x1,x2,
…
,xs,x
s+1
,
…
,xn)的输入变量 都是独立的。所以当所有的相关变量被看成一个独立整体时，不相关变量组w(w＝[x
s+1
,x s+2
,
…
,x
θ
]；θ＝s+1,s+2,
…
,n)的一阶敏感系就可以,参照saltelli法，直接基于 f(x1,x2,
…
,xs,x
s+1
,
…
,xn)进行估计。
[0124]
基于矩阵a5和a6的样本，参照saltelli法，根据式(10)估计不相关变量的一阶敏感 系数。
[0125][0126]
式中：是不相关变量组w的一阶敏感系数估计值。
[0127]
(6)飞机机翼参数调整
[0128]
比较相关变量组u和不相关变量组w一阶敏感系数，将一阶敏感系数大的变量组所 含变量的方差调小，高效降低飞机机翼最大应力波动范围。
[0129]
本实施例中，采用本发明所述的方法对飞机机翼九盒段的相关变量和不相关变量一 阶敏感系数进行了估计，并根据估计结果修正了飞机机翼九盒段的结构参数的变化范 围。
[0130]
(1)建立目标函数
[0131]
飞机机翼九盒段的简化几何形状和受力状况如图3所示，九盒段根部前后缘四个节 点设为固定端,内部四个节点设为单自由度支座；九盒段上表面前后缘6个节点受力为 x4,中间6个节点受力为2x4。上述九盒段的最大应力可以根据式(11)进行计算。
[0132][0133]
式中：x1为九盒段杆的单位长度(cm)(九盒段里所有杆长度为x1的整数倍)；x2为九盒 段杆的横截面积(cm2)；x3为九盒段蒙皮的厚度(mm)；x4为九盒段表面的单位载荷(kn)； x5为九盒段杆材料的弹性模量(gp)。式(11)的输入变量服从多元正态分布；各输入变量 的均值和均方差如表1所示；x1、x2和x3是相关变量；x4和x5是不相关变量。
[0134]
表1 九段盒随机输入变量的分布情况
[0135][0136]
(2)相关变量转换矩阵构建
[0137]
(21)输入变量相关系数矩阵
[0138][0139]
(22)将相关系数矩阵c
ρ
简化成矩阵c
ρ-3
。(简化相关系数矩阵c
ρ-3
只包含所有相关 变量间的相关系数。)
[0140][0141]
(23)基于简化相关系数矩阵c
ρ-3
，利用cholesky factorization方法，获得相关变量 转换矩阵l
ρ-3
。
[0142][0143]
(3)利用服从相关变量边缘分布的独立随机变量表示相关变量
[0144]
根据矩阵l
ρ-3
和相关系数的性质，进行式(12)的相关变量转换。
[0145][0146]
即
[0147][0148]
式中：y1是服从相关变量x1边缘分布的独立变量；y2是服从相关变量x2边缘分布的独 立变量；y3是服从相关变量x3边缘分布的独立变量
[0149]
将式(12)代入式(11)，目标函数可以由式(11)变为式(13)。
[0150][0151]
(42)相关变量组一阶敏感系数估计
[0152]
首先产生式(13)中所有输入变量的样本。独立变量y1,y2,y3的样本，基于其概率密度 函数，根据蒙特卡洛法产生；不相关变量x4,x5的样本，基于其边缘分布，根据蒙特卡洛 法产生；取样结果如矩阵a1和a2所示(供取2000组数据)。
[0153][0154][0155]
基于上述样本，根据式(14)，借助独立变量组v(v＝[y1,y2])的一阶敏感系数，估计相 关变量组u(u＝[x1,x2])的一阶敏感系数。
[0156][0157]
(5)不相关变量组一阶敏感系数估计
[0158]
产生两组目标函数f(x1,x2,
…
,xs,x
s+1
,
…
,xn)的输入变量样本。将矩阵a1和a2所示独立 变量y1,y2,y3的样本，分别代入式(12)，得到相关变量x1,x2,x3的样本。相关变量x1,x2,x3的取样结果如矩阵a3和a4所示。
[0159][0160][0161]
不相关变量x4,x5的样本，直接根据其边缘概率密度，参照蒙特卡洛法取得。所有输 入变量的取样结果如矩阵a5和a6所示。
[0162][0163][0164]
基于上述样本，根据式(15)，估计不相关独立变量组w(w＝[x4,x5])的一阶敏感系数。
[0165][0166]
(6)飞机机翼参数调整
[0167]
由上述相关变量组u和不相关独立变量组w的一阶敏感系数计算结果可知：相关变量 组u的一阶敏感系数较大。将相关变量组u所含变量的方差均调小25％。飞机机翼九盒段最 大应力的方差减小41.3％。