一种基于蝶形有限差分的碱金属原子气室建模方法

1.本发明涉及光与原子相互作用的建模技术，特别是一种基于蝶形有限差分的碱金属原子气室建模方法，通过利用蝶形算法与有限差分理论相结合以对原子气室的布洛赫方程进行求解，能够有利于对碱金属原子气室的理论分析，精确获得气室内部原子极化率分布，从而可以在实验前完成对气室最优参数的评估，在实验验证时更快找到测定最优点的范围，大大节约人力成本和时间成本。


背景技术：

2.碱金属原子作为类氢原子具有和氢原子非常相近的物理化学性质，大量碱金属原子构成的原子系综气室被广泛应用于精密测量实验，在核磁共振、原子钟、冷原子等方面是最核心的器件之一，应用中通常侧重于原子极化率的测量，因而精确地分析碱金属原子气室的相关极化率具有重要意义，但是描述原子气室的布洛赫方程(bloch方程)在求解时往往因其非线性而遇到困难。
3.有限差分方法是数值求解微分方程、偏微分方程中常用的一种手段，其基本原理是通过泰勒展开的低阶近似对微分方程进行离散，进而将(偏)微分方程转化为线性方程组进行求解。这种方法的缺点是面对非线性(偏)微分方程时往往需要复杂的求解方法、高阶的泰勒展开、计算步长选取小使得计算缓慢，且对于有耦合的(偏)微分方程组。
4.蝶形算法是离散傅里叶变换(dft，discrete fourier series)中常用的一种算法，其特点是同时利用相邻两个运算数据交叉计算，从而实现运算量的指数级减小，大大提高运算速度。但是这种方法来自数字图像处理领域，而不被用于(偏)微分方程的数值求解。


技术实现要素：

5.本发明针对现有技术中的不足，提供一种基于蝶形有限差分的碱金属原子气室建模方法，通过利用蝶形算法与有限差分理论相结合以对原子气室的布洛赫方程进行求解，能够有利于对碱金属原子气室的理论分析，精确获得气室内部原子极化率分布，从而可以在实验前完成对气室最优参数的评估，在实验验证时更快找到测定最优点的范围，大大节约人力成本和时间成本。
6.本发明的技术解决方案如下：
7.一种基于蝶形有限差分的碱金属原子气室建模方法，其特征在于，包括以下步骤：
8.步骤1，对碱金属原子气室采用网格剖分的方式剖分成若干个单元网格，每个单元网格是边长为h的小正方体，每一个小正方体包括6个面心节点和1个体心节点，体心节点坐标(i,j,k)，其中i,j,k均取非负整数，正面面心坐标(i+1,j,k)，后面面心坐标(i-1,j,k)，左面面心坐标(i,j,k-1)，右面面心坐标(i,j,k+1)，顶面面心坐标(i,j+1,k)，底面面心坐标(i,j-1,k)；
9.步骤2，各面心节点坐标沿x轴方向的原子极化率记为各面心节点坐标沿z轴方向的原子极
化率记为体心节点坐标沿x轴方向的原子极化率记为沿中z轴方向的原子极化率记为
10.步骤3，对以下两个方程进行迭代求解：
[0011][0012][0013]
其中，代表第n次迭代计算时空间位置处于(i,j,k)处的原子极化率矢量在x方向上的分量大小，代表第n次迭代计算时空间位置处于(i,h,k)处的在z方向上的分量大小，n为正整数，d为输运系数，rop为光抽运率，rrel为弛豫率，by为y轴方向磁场分量，γ为电子旋磁比。
[0014]
在步骤3中，给定迭代计算时的初始条件，即将每个小正方体的体心和面心的初始值给定。
[0015]
在步骤3中，各个节点的px和pz全部设为1，作为第一次计算的初始值进行迭代。
[0016]
利用步骤3的迭代求解结果确定原子气室布洛赫bloch方程的解。
[0017]
本发明的技术效果如下：本发明的一种基于蝶形有限差分的碱金属原子气室建模方法，通过将数值计算与数字图像处理两个领域的两大重要计算方法进行融合，发明了一种基于蝶形有限差分的数值方法，降低了布洛赫方程的求解难度，提高了计算效率，解决了人工实际测量碱金属原子气室时实验难以参数选取的问题，通过仿真计算可以提前预判大致需要进行实验的参数范围，从而减少了人力资源的消耗，节省了科研成本与时间成本。
附图说明
[0018]
图1是实施本发明一种基于蝶形有限差分的碱金属原子气室建模方法中对碱金属原子气室的网格剖分以及单元网格内的节点标定示意图。图1中采用xyz三轴直角空间坐标。图1中左边(a)示意了一个4*4*4网格大正方体，其中包括64个单元网格或称之为64个小正方体，h为小正方体的边长(h也称之为步长)。图1中右边(b)是以左边(a)中涂黑的小正方体为例进行节点标定(节点也可称之为格点)，包括体心节点坐标(i,j,k)，其中i,j,k均取非负整数；p为原子极化率，p
x/y/z
＝p
x/y/z
(i,j,k)为在体心节点的分量表示模式；正面面心坐标(i+1,j,k)，后面面心坐标(i-1,j,k)，左面面心坐标(i,j,k-1)，右面面心坐标(i,j,k+1)，顶面面心坐标(i,j+1,k)，底面面心坐标(i,j-1,k)，共计6个面心节点。
[0019]
图2是在图1基础上采用蝶形有限差分结合算法以求解原子气室布洛赫方程的迭代运算示意图。图2中包括px求解和pz求解，利用第n次的迭代计算(第n次计算)结果作为初始条件以进行第n+1次的迭代计算(第n+1次计算)。在求解px时涉及6个面心节点的px分量和1个体心节点的pz分量，在求解pz时涉及6个面心节点的pz分量和1个体心节点的px分量，这就基于有限差分的格式引入了一种蝶形算法，通过对全空间的遍历即可实现大型线性方程组的求解。
具体实施方式
[0020]
下面结合附图(图1-图2)和实施例对本发明进行说明。
[0021]
图1是实施本发明一种基于蝶形有限差分的碱金属原子气室建模方法中对碱金属原子气室的网格剖分以及单元网格内的节点标定示意图。图2是在图1基础上采用蝶形有限差分结合算法以求解原子气室布洛赫方程的迭代运算示意图。参考图1至图2所示，一种基于蝶形有限差分的碱金属原子气室建模方法，其特征在于，包括以下步骤：
[0022]
步骤1，对碱金属原子气室采用网格剖分的方式剖分成若干个单元网格，每个单元网格是边长为h的小正方体，每一个小正方体包括6个面心节点和1个体心节点，体心节点坐标(i,j,k)，其中i,j,k均取非负整数，正面面心坐标(i+1,j,k)，后面面心坐标(i-1,j,k)，左面面心坐标(i,j,k-1)，右面面心坐标(i,j,k+1)，顶面面心坐标(i,j+1,k)，底面面心坐标(i,j-1,k)；步骤2，各面心节点坐标沿x轴方向的原子极化率记为各面心节点坐标沿z轴方向的原子极化率记为体心节点坐标沿x轴方向的原子极化率记为沿中z轴方向的原子极化率记为步骤3，对以下两个方程进行迭代求解：
[0023][0024][0025]
其中，代表第n次迭代计算时空间位置处于(i,j,k)处的原子极化率矢量在x方向上的分量大小，代表第n次迭代计算时空间位置处于(i,j,k)处的在z方向上的分量大小，n为正整数，d为输运系数，rop为光抽运率，rrel为弛豫率，by为y轴方向磁场分量，γ为电子旋磁比。
[0026]
在步骤3中，给定迭代计算时的初始条件，即将每个小正方体的体心和面心的初始值给定。在步骤3中，各个节点的px和pz全部设为1，作为第一次计算的初始值进行迭代。利用步骤3的迭代求解结果确定原子气室布洛赫bloch方程的解。
[0027]
碱金属气室的演化方程满足布洛赫方程，这是一个非线性的矢量微分方程且方程各个分量之间存在耦合，用常规的有限差分方法因计算量过大收敛缓慢从而难以进行数值求解，本技术采取了将有限差分与蝶形算法结合，降低迭代运算量的同时实现了方程的数值求解。
[0028]
本发明的发明原理如下：
[0029]
稳态下光泵浦碱金属原子气室满足的bloch方程为
[0030][0031]
其中，是空间中任意一点的原子极化率，γ为电子旋磁比，
为外磁场，r
op
＝r
op
(x,y,z)为空间中任意一点的光抽运率，为电子自旋角动量，r
rel
为弛豫率，d为输运系数，q(p)为核减缓因子。
[0032]
在实际技术应用中，通常关心的物理量为极化率的x和z分量，利用中心差商公式分别对x和z方向的方程进行离散，得到求解格式
[0033][0034][0035]
其中，代表第n次迭代计算时空间位置处于(i,j,k)处的在x方向上的分量大小，代表第n次迭代计算时空间位置处于(i,j,k)处的在z方向上的分量大小，h代表离散步长。可以发现，想获得第n+1次迭代的其方程不仅仅含有第n次计算的p
x
，还含有第n次计算的pz，同样，想获得第n+1次迭代的其方程不仅仅含有第n次计算的pz，还含有第n次计算的p
x
，也就是说两个方程之间存在耦合，对上述有限差分得到的方程进行蝶形迭代求解即可得到方程的解，求解的过程即为本技术的实现。
[0036]
本发明技术包含以下步骤：
[0037]
1)将气室进行网格剖分，剖分成边长为h的多个小正方体，对于其中每一个小正方体，考虑其周围六个面上的中心点(面心)以及小正方体的几何中心(体心)；
[0038]
2)给定迭代计算时的初始条件，即将每个小正方体的体心和面心的初始值给定；
[0039]
3)利用原理部分的迭代公式，结合蝶形算法与高斯—赛德尔迭代法进行数值求解。
[0040]
图1中(a)给出了气室的网格剖分方法，即使用小立方体对气室的几何形状进行剖分，该小正方体的边长为h，其中处于(x,y,z)位置的待求量每一个小正方体的正中心(i,j,k)代表离散后的求解节点的坐标，i,j,k取非负整数，离散前后坐标的对应关系为在求解时，将矢量方程分解为三个分量的标量方程p
x
,py,pz。单独考察其中的一个小正方体，与计算有关的节点为正方体的体心以及正方体的六个面心。其中体心代表的结果p
x/y/z
在图1中的(b)中标出，为了简洁，其他位置在标注时对物理量p
x
、pz进行了省略。
[0041]
首先给定计算的初始值，比如空间中各个点的p
x
和pz全部设为1，作为第一次计算的初始值进行迭代。遵从图2所示的计算方法，利用第n次的迭代计算结果作为初始条件以进行第n+1次的迭代计算。在计算时，以p
x
的求解为例，计算第n+1次运算空间中某一点的需要使用第n次计算的p
x
的小正方体的六个面心以及第n次计算的pz的体心在求解p
x
的时候，不仅仅用到了p
x
，还用到了pz，这就基于有限差分的格式引入了一种蝶形
算法，通过对全空间的遍历即可实现大型线性方程组的求解。
[0042]
同样反过来，利用方程的对称性，计算第n+1次空间中某一点的pz，需要使用第n次计算的pz的小正方体的六个面心以及p
x
的体心而此时由于之前已经求解出来第n+1次迭代运算的p
x
，这时可以将第n次的p
x
替换为第n+1次的p
x
从而加速收敛。本发明通过将数值计算与数字图像处理两个领域的两大重要计算方法进行融合，发明了一种基于蝶形有限差分的数值方法，降低了布洛赫方程的求解难度，提高了计算效率，解决了人工实际测量碱金属原子气室时实验难以参数选取的问题，通过仿真计算可以提前预判大致需要进行实验的参数范围，从而减少了人力资源的消耗，节省了科研成本与时间成本。
[0043]
本发明说明书中未作详细描述的内容属于本领域专业技术人员公知的现有技术。在此指明，以上叙述有助于本领域技术人员理解本发明创造，但并非限制本发明创造的保护范围。任何没有脱离本发明创造实质内容的对以上叙述的等同替换、修饰改进和/或删繁从简而进行的实施，均落入本发明创造的保护范围。