一种基于测试数据的强电磁设备低频辐射等效建模方法与流程

1.本发明涉及电磁兼容领域，具体是一种基于测试数据的强电磁设备低频辐射等效建模方法。


背景技术：

2.近年来，随着新材料、新型功率器件等技术高速发展，飞机、舰船等领域综合电力技术、电磁发射技术等高新电磁技术得到蓬勃发起站，并且向全电力推进、多电甚至是全电飞机技术方向发展。特别是，世界各国都在针对船舶综合全电力推进系统进行深入的研究，国外已经开发了多种类型的综合全电力推进系统并在多型船舶上应用。船舶综合全电力推进系统包括：发电、输电、配电、变电、拖动、推进、储能、监控和电力管理等诸多功能。新型飞机、舰船平台内所需的电磁能量大大增加，其需要在有限的平台空间内实现超大容量电磁能量的变换、转换、输配和使用，多系统多功能的复杂性带来了严重的电磁兼容问题。而电磁兼容性能关系着综合全电力推进系统各个功能模块是否运行良好，是否相互协调好，从而也关系着整个综合全电力推进系统是否能具有良好的运行状态和优异的工作性能。
3.与此同时，随着器件开关频率的增加、能量变换/转换中广泛采用数字控制和脉宽调制技术，这一方面会让平台上的强电磁设备产生大量的宽频干扰发射，另一方面使得强电磁设备中低压部分抗扰度会降低。
4.并且，强电磁设备的低频磁场辐射干扰也愈发严重。为此，需要针对船舶舱内各强电磁设备寻找到一种通用的方法构建表征各强电磁设备低频辐射的建模方法，用于船舶电磁环境预测仿真，进而能针对辐射干扰强烈的地方做好电磁屏蔽等电磁兼容控制措施，不至影响舱内其余设备的正常运工作；同时利用强电磁设备低频辐射模型，可以预测强电磁设备在平台舱室内的低频磁场分布特性，在考虑到低频敏感设备阈值的前提下，能支撑开展舱室设备布局设计及优化。考虑通常不知道强电磁设备具体内部构造、电路拓扑结果以及电气连接等信息的限值，需要能根据强电磁设备附近近场测量信息，反演建立强电磁设备高精度的低频等效辐射模型。


技术实现要素：

5.本发明的目的是提供一种基于测试数据的强电磁设备低频辐射等效建模方法，包括以下步骤：
6.1)对强电磁设备产生的近场磁场进行扫描，建立近场磁场方程；
7.所述磁偶极子阵列包括n个磁偶极子，其中，第n个磁偶极子的坐标为(xn，yn，zn)；n＝1,2,...,n。
8.对强电磁设备产生的近场磁场进行扫描的扫描点数为m，其中，第m个近场磁场扫描点的坐标为(xm，ym，zm)，m＝1,2,...,m。
9.近场磁场方程如下所示：
10.ax＝b
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(1)
11.其中，矩阵a、矩阵b和矩阵x分别如下所示：
[0012][0013][0014]
式中，表示第n个磁偶极子的磁偶极矩的x分量，h
nx
表示第n个近场测试数据点的磁场的x分量；表示第n个磁偶极子x分量的磁偶极矩与第n'个近场磁场扫描点磁场x分量的转换系数；n'＝1,2,...,n；
[0015]
其中，第n个磁偶极子x分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场x分量的转换系数第n个磁偶极子y分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场x分量的转换系数第n个磁偶极子z分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场x分量的转换系数第n个磁偶极子x分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场y分量的转换系数第n个磁偶极子y分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场y 分量的转换系数第n个磁偶极子z分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场 y分量的转换系数第n个磁偶极子x分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场
z分量的转换系数第n个磁偶极子y分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场z分量的转换系数第n个磁偶极子z分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场z分量的转换系数分别如下所示：
[0016][0017][0018][0019][0020][0021][0022][0023][0024][0025]
其中，是自由空间波数，λ是波长，|r-r'|＝r，r'是编号为n号磁偶极子的坐标矢量，r则是近场测量点n’的坐标矢量。λ是波长； r是场点的位置矢量的模；ω为角频率；ε0为空气的介电常数；μ0为空气的磁导率。
[0026]
2)根据近场磁场方程，建立正则化目标函数；
[0027]
正则化目标函数如下所示：
[0028]
min||ax-b||2+λ2||x||2,x∈rnꢀꢀꢀ
(14)
[0029]
其中，λ是正则化参数。
[0030]
3)利用正则化目标函数求解磁偶极子的偶极矩矩阵；
[0031]
利用正则化目标函数求解得到磁偶极子坐标的步骤包括：
[0032]
3.1)计算正则化参数λ；
[0033]
计算正则化参数λ的步骤包括：
[0034]
3.1.1)更新正则化目标函数(14)，得到：
[0035][0036]
式中，bi表示矩阵b删去第i个元素后的新矩阵；a(i)表示矩阵a删去第i个元素后的新矩阵；表示矩阵x删去第i个元素后的新矩阵；
[0037]
3.1.2)引入对角元素t
ii
，更新正则化目标函数(15)，得到：
[0038][0039]
式中，t
ii
是矩阵a(a
t
a+λ2i)-1at
的对角元素；
[0040]
3.1.3)利用对角线元素的平均值代替t
ii
，更新正则化目标函数(16)，得到：
[0041][0042]
正则化目标函数(18)简化如下：
[0043][0044]
3.1.4)利用奇异值分解方法处理矩阵a，得到：
[0045][0046]
式中，σi为特征根；
[0047]
3.1.5)计算正则化参数λ，即：
[0048][0049]
3.2)将正则化参数λ代入正则化目标函数(14)，得到磁偶极子的偶极矩矩阵x，即：
[0050]
x＝((a)
t
a+λ2i)-1
(a)
tbꢀꢀ
(21)
[0051]
式中，i为单位向量。
[0052]
4)求解磁偶极子阵列产生的低频辐射场。
[0053]
求解磁偶极子阵列在外推平面上产生的低频辐射场的步骤包括：
[0054]
4.1)根据磁偶极子的定义建立磁偶极子辐射电磁场的球坐标系表达式；
[0055]
建立磁偶极子辐射电磁场球坐标系表达式的步骤包括：
[0056]
4.1.1)记磁偶极子线元上电流i(t)＝imcosωt＝re[ie
jωt
]，电流振幅为im； t为
时间；ω为角频率；
[0057]
建立球坐标系中磁偶极子辐射电磁场的各分量，即：
[0058][0059]
式中，是自由空间波数，λ是波长，是自由空间波阻抗，r是场点的位置矢量的模；l为磁偶极子线元的长度；θ为场点在球坐标系下的坐标之一，在球坐标系中，空间中任意一点的坐标为(r，θ，)；为电场分量；为电场分量；为磁场分量；
[0060]
4.1.2)引入中间参量f(r)、中间参量ke、中间参量kh、中间参量g1(r)、中间参量g2(r)、中间参量g3(r)，对公式(22)进行简化，得到：
[0061][0062]
式中，为z方向的磁偶极子的磁偶极矩。
[0063]
其中，中间参量f(r)、中间参量ke、中间参量kh、中间参量g1(r)、中间参量g2(r)、中间参量g3(r)分别如下所示：
[0064]
[0065]
4.2)将磁偶极子辐射电磁场的球坐标系表达式转换为直角坐标表达式，并进行偶极子阵列矢量求和，得到等效偶极子阵列产生的低频磁场。
[0066]
将磁偶极子辐射电磁场的球坐标系表达式转换为直角坐标表达式，并进行偶极子阵列矢量求和的步骤包括：
[0067]
4.2.1)将式(24)变换到直角坐标系，即：
[0068][0069]
4.2.2)利用直角坐标系各分量的对称性，推导出磁偶极矩m
x
和my与磁场的相应关系，从而计算得到由磁偶极子m
x
、my和mz的组合产生的磁场，即：
[0070][0071]
4.2.3)对每个磁偶极子产生的磁场进行矢量求和，得到磁偶极子阵列产生的低频辐射场，即：
[0072][0073]
式中，为第i个磁偶极子磁偶极矩的x分量，为第i个磁偶极子磁偶极矩的y分量，为第i个磁偶极子磁偶极矩的z分量；
[0074]
其中，参数r
i,j
如下所示：
[0075][0076]
xi、yi、zi是第i个磁偶极子的坐标，xj、yj、zj是第j个近场测量点的坐标。
[0077]
值得说明的是，电偶极子和磁偶极子是最基本的理想化辐射单元，本发明利用电偶极子或磁偶极子的阵列来等效辐射源的总体辐射特性，根据单个电偶极子或者磁偶极子的辐射电磁场表达式，即电偶极矩或磁偶极矩与电场或磁场的关系式，利用矢量求和，进而得到电偶极子阵列或磁偶极子阵列的表达的辐射电磁场表达式，故可以将强电磁设备附近
的近场测试数据和电/磁偶极子阵列的关系表示为一个矩阵方程ax＝b，其中系数矩阵a与近场测量的坐标和偶极子的坐标有关，未知量x是偶极子阵列的偶极矩，b是近场测量得到的近场信息，包含了幅值和相位信息。通过求解矩阵方程便可得到偶极子阵列的偶极矩，得到偶极矩后，得到基于等效偶极子法的强电磁设备辐射源模型。
[0078]
本发明的技术效果是毋庸置疑的，本发明具有以下优点：
[0079]
1)本发明能在不需要知道强电磁设备具体内部构造、电路拓扑结果以及电气连接的情况下，根据近场测量信息，建立强电磁设备高精度的等效辐射模型，该模型可以用于评估强电磁设备的辐射干扰状态，进而作为低频辐射干扰源可用于预测船舶、飞机等平台上强电磁设备低频辐射场的分布情况和低频电磁干扰，本发明具有广泛适用性，能用于船舶、飞机等平台辐射干扰评估分析。
[0080]
2)本发明提供了一种基于测试数据的强电磁设备低频辐射等效偶极子阵列的高精度建模方法，该方法首先通过测量得到船舶等平台上强电磁设备的低频辐射近场信息，通过tikhonov正则化和广义交叉验证方法建立辐射场的等效偶极子阵列辐射模型；在一定误差内，在感兴趣的位置处，该等效磁偶极子阵列辐射模型可以得到和实际强电磁设备一样的低频磁场分布。
[0081]
3)本发明通过近场测量，得到船舶等平台上强电磁设备的近场信息，其中信息包含了相位和幅值，以此近场信息建立等效偶极子阵列，可以得到距强电磁设备一定距离的面的磁场分布或者某点处的磁场，从而大大地提升评估船舶等平台上强电磁设备辐射干扰的效率。本发明不依赖于强电磁设备的内部构造、电路拓扑结果以及电气连接，均可采用本方法来得到其辐射源等效模型，且适用性强，不局限于某一种强电磁设备，特别适合掌握强电磁设备辐射的测试数据的情形；
[0082]
4)本发明不仅能够得到强电磁设备的高精度二维辐射源等效模型，也能够得到强电磁设备的高精度三维辐射源等效模型。本发明给出了采用结合吉洪诺夫正则化的最小二乘法和解决了等效偶极子法重构辐射源过程中出现的病态矩阵问题，大大提升了解的精确度；本发明在低频范围(50hz～1khz)内可实现对辐射源等效模型的高精度重构。
附图说明
[0083]
图1为基于广义交叉验证法的吉洪诺夫正则化流程图；图2为maxwell3d 中三相同步电机的模型(从上到下的三个面，依次为外推平面，测量平面以及偶极子阵列平面)；图3(a)-(d)为仿真数据得到的400mm处的磁场分布；图4(a)-(d)为等效偶极子法得到的400mm处的磁场分布；图5为磁场的相对误差；
[0084]
图6为测量面以及外推平面的相对位置(其中内部为测量平面，外部为外推平面)；图7为重构辐射磁场的面编号；图8(a)-(d)为仿真数据得到面1 的磁场分布；图9(a)-(d)为等效偶极子法得到的面1的磁场分布；图10 为面1磁场的相对误差；
[0085]
图11(a)-(d)为仿真数据得到面2的磁场分布；图12(a)-(d)为等效偶极子法得到的面2的磁场分布；图13为面2磁场的相对误差；图14(a)
ꢀ‑
(d)为仿真数据得到面3的磁场分布；图15(a)-(d)为等效偶极子法得到的面3的磁场分布；
[0086]
图16为面3磁场的相对误差；图17(a)-(d)为仿真数据得到面4的磁场分布；图18(a)-(d)为等效偶极子法得到的面4的磁场分布；图19为面 4磁场的相对误差；图20(a)-(d)
为仿真数据得到面5的磁场分布；
[0087]
图21(a)-(d)为等效偶极子法得到的面5的磁场分布；图22为面5磁场的相对误差；图23(a)-(d)为仿真数据得到面6的磁场分布；图24(a)
ꢀ‑
(d)为等效偶极子法得到的面6的磁场分布；图25为面6磁场的相对误差。
具体实施方式
[0088]
下面结合实施例对本发明作进一步说明，但不应该理解为本发明上述主题范围仅限于下述实施例。在不脱离本发明上述技术思想的情况下，根据本领域普通技术知识和惯用手段，做出各种替换和变更，均应包括在本发明的保护范围内。
[0089]
实施例1：
[0090]
参见图1至图25，一种基于测试数据的强电磁设备低频辐射等效建模方法，包括以下步骤：
[0091]
1)对强电磁设备产生的近场磁场进行扫描，建立近场磁场方程；
[0092]
所述磁偶极子阵列包括n个磁偶极子，磁偶极子沿z轴放置，其中，第n 个磁偶极子的坐标为(xn，yn，zn)；n＝1,2,...,n。
[0093]
对强电磁设备产生的近场磁场进行扫描的扫描点数为m，其中，第m个近场磁场扫描点的坐标为(xm，ym，zm)，m＝1,2,...,m。
[0094]
近场磁场方程如下所示：
[0095]
ax＝b
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(1)
[0096]
其中，矩阵a、矩阵b和矩阵x分别如下所示：
[0097]
[0098][0099]
式中，表示第n个磁偶极子的磁偶极矩的x分量，h
nx
表示第n个近场测试数据点的磁场的x分量；表示第n个磁偶极子x分量的磁偶极矩与第n'个近场磁场扫描点磁场x分量的转换系数；n'＝1,2,...,n；
[0100]
其中，第n个磁偶极子x分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场x分量的转换系数第n个磁偶极子y分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场x分量的转换系数第n个磁偶极子z分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场x分量的转换系数第n个磁偶极子x分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场y分量的转换系数第n个磁偶极子y分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场y 分量的转换系数第n个磁偶极子z分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场 y分量的转换系数第n个磁偶极子x分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场z分量的转换系数第n个磁偶极子y分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场z分量的转换系数第n个磁偶极子z分量的磁偶极矩与第n'个点辐射磁场z分量的转换系数分别如下所示：
[0101][0102]
[0103][0104][0105][0106][0107][0108][0109][0110]
其中，是自由空间波数，λ是波长，|r-r'|＝r，r'是编号为2号磁偶极子的坐标矢量，r则是近场测量点1的坐标矢量。λ是波长； r是场点的位置矢量的模；ω为角频率；ε0为空气的介电常数；μ0为空气的磁导率。
[0111]
2)根据近场磁场方程，建立正则化目标函数；
[0112]
正则化目标函数如下所示：
[0113]
min||ax-b||2+λ2||x||2,x∈rnꢀꢀꢀ
(14)
[0114]
其中，λ是正则化参数。rn为实数集。
[0115]
3)利用正则化目标函数求解磁偶极子的偶极矩矩阵；
[0116]
利用正则化目标函数求解得到磁偶极子坐标的步骤包括：
[0117]
3.1)计算正则化参数λ；
[0118]
计算正则化参数λ的步骤包括：
[0119]
3.1.1)更新正则化目标函数(14)，得到：
[0120][0121]
式中，bi表示矩阵b删去第i个元素后的新矩阵；a(i)表示矩阵 a删去第i个元素后的新矩阵；表示矩阵x删去第i个元素后的新矩阵；
[0122]
3.1.2)引入对角元素t
ii
，更新正则化目标函数(15)，得到：
[0123][0124]
式中，t
ii
是矩阵a(a
t
a+λ2i)-1at
的对角元素；
[0125]
3.1.3)利用对角线元素的平均值代替t
ii
，更新正则化目标函数(16)，得到：
[0126][0127]
正则化目标函数(18)简化如下：
[0128][0129]
3.1.4)利用奇异值分解方法处理矩阵a，得到：
[0130][0131]
式中，σi为特征根；
[0132]
3.1.5)计算正则化参数λ，即：
[0133][0134]
3.2)将正则化参数λ代入正则化目标函数(14)，得到磁偶极子的偶极矩矩阵x，即：
[0135]
x＝((a)
t
a+λ2i)-1
(a)
tbꢀꢀ
(21)
[0136]
式中，i为单位向量。
[0137]
4)求解磁偶极子阵列产生的低频辐射场。
[0138]
求解磁偶极子阵列在外推平面上产生的低频辐射场的步骤包括：
[0139]
4.1)根据磁偶极子的定义建立磁偶极子辐射电磁场的球坐标系表达式；
[0140]
建立磁偶极子辐射电磁场球坐标系表达式的步骤包括：
[0141]
4.1.1)记磁偶极子线元上电流i(t)＝imcosωt＝re[ie
jωt
]，电流振幅为im； t为时间；ω为角频率；
[0142]
建立球坐标系中磁偶极子辐射电磁场的各分量，即：
[0143][0144]
式中，是自由空间波数，λ是波长，是自由空间波阻抗，r是场点的位置矢量的模；l为磁偶极子线元的长度；θ为场点在球坐标系下的坐标之一，在球坐标系中，空间中任意一点的坐标为(r，θ，)；为电场分量；为电场分量；为磁场分量；
[0145]
4.1.2)引入中间参量f(r)、中间参量ke、中间参量kh、中间参量g1(r)、中间参量g2(r)、中间参量g3(r)，对公式(22)进行简化，得到：
[0146][0147]
式中，为z方向的磁偶极子的磁偶极矩。
[0148]
其中，中间参量f(r)、中间参量ke、中间参量kh、中间参量g1(r)、中间参量g2(r)、中间参量g3(r)分别如下所示：
[0149][0150]
4.2)将磁偶极子辐射电磁场的球坐标系表达式转换为直角坐标表达式，并进行偶极子阵列矢量求和，得到等效偶极子阵列产生的低频磁场。
[0151]
将磁偶极子辐射电磁场的球坐标系表达式转换为直角坐标表达式，并进行偶极子阵列矢量求和的步骤包括：
[0152]
4.2.1)将式(24)变换到直角坐标系，即：
[0153][0154]
4.2.2)利用直角坐标系各分量的对称性，推导出磁偶极矩m
x
和my与磁场的相应关系，从而计算得到由磁偶极子m
x
、my和mz的组合产生的磁场，即：
[0155][0156]
4.2.3)对每个磁偶极子产生的磁场进行矢量求和，得到磁偶极子阵列产生的低频辐射场，即：
[0157][0158]
式中，为第i个磁偶极子磁偶极矩的x分量，为第i个磁偶极子磁偶极矩的y分量，为第i个磁偶极子磁偶极矩的z分量；
[0159]
其中，参数r
i,j
如下所示：
[0160][0161]
xi、yi、zi是第i个磁偶极子的坐标，xj、yj、zj是第j个近场测量点的坐标。
[0162]
实施例2：
[0163]
一种基于测试数据的强电磁设备低频辐射等效建模方法，包括以下步骤：
[0164]
1)针对某种强电磁设备的低频辐射特性建模需求，首先采用低频电磁场测试系统通过测试等方法获取强电磁设备某个或全部覆盖6个面上的近场测试数据，见图2和图6所示。
[0165]
2)在磁偶极子阵列平面上，由单个磁偶极子与其辐射场的关系，得到磁偶极子阵列与近场测试数据关系矩阵。
[0166]
具体的，等效的磁偶极子放置在一个二维平面上，且该平面与强电磁场设备的某一面平行，等效的磁偶极子以阵列的形式均匀分布在二维平面内，每个等效的偶极子由x、y和z方向的分量m
x
、my和mz组成。
[0167]
假设由n个磁偶极子组成磁偶极子阵列，这里对磁偶极子阵列中的磁偶极子进行了编号，不同的编号对应不同的磁偶极子，同样对近场磁场扫描的点进行编号，不同的编号对应不同的磁场点。其中，磁偶极子的坐标为(xn，yn，zn)，其中，n＝1,2,...,n。近场磁场扫描的点数为m，坐标为(xm，ym，zm)，其中， m＝1,2,...,m。等效磁偶极子阵列产生的近场磁场表达式可写成如下矩阵的形式：。
[0168]
ax＝b
[0169]
其中，
[0170][0171][0172]
其中，表示第一个磁偶极子的x分量，h
1x
表示第一个近场测试数据点的磁场的x分量。表示磁偶极子阵列中磁偶极矩与近场测试数据的转化系数，上标表示对应磁偶极子的矩分量，下标表示对应近场测试数据点的磁场分量，即表示编号为2的磁偶极子x分量的磁偶极矩与编号为1的点辐射磁场x分量的转换系数。
[0173][0174]
其中，是自由空间波数，λ是波长，|r-r'|＝r，r'是编号为2号磁偶极子的坐标矢量，r则是近场测量点1的坐标矢量，y2和z2分别是编号为2的磁偶极子的y轴和z轴坐标。
[0175]
同理，系数矩阵a中其余转换系数的表达式如下：
[0176][0177]
[0178][0179][0180][0181][0182][0183][0184]
3)通过求解线性方程组(1)可以得到待求的等效偶极子阵列的偶极矩。由于该线性方程组的系数矩阵a的条件数很大，为病态矩阵，直接求解的结果与真实值之间的误差很大，可以根据最小二乘法和正则化来得到一个稳定且误差小的解。
[0185]
解决病态矩阵，常用的是吉洪诺夫(tikhonov)正则化方法，结合最小二乘法的tikhonov正则化形式如下：
[0186]
min||ax-b||2+λ2||x||2,x∈rn[0187]
其中，λ是正则化参数。
[0188]
可以看出式(14)中，a和b都是已知量，x是待求解量，正则化参数λ是未知量，因此在求解矩阵方程的解时，还需要先求解正则化参数。
[0189]
a)利用广义交叉验证方法求解tikhonov正则化参数。
[0190]
常用的两种正则化参数求解方法是广义交叉验证法和l-curve法。广义交叉验证方法的思想是：从统计学上考虑，一个良好的正则化参数能够预测丢失的结果。利用广义交叉验证方法，将数据分为两部分，一部分求近似解，另一部分验证该近似解。例如删去b中的第i个元素bi，得到向量b(i)，对应的删除矩阵a的第i行，得到矩阵a(i)，计算吉洪诺夫正则化解，如下：
[0191][0192]
那么被删去的元素bi就可以通过估计。选择m个近场数据来验证。合适的正则化参数λ可以使所有元素的期望误差最小。
[0193]
[0194]
即：
[0195][0196]
式中t
ii
是矩阵a(a
t
a+λ2i)-1at
的对角元素，使用对角线元素的平均值代替t
ii
，则有：
[0197][0198]
即：
[0199][0200]
奇异值分解方法处理矩阵a可以得到：
[0201][0202]
因此，吉洪诺夫正则化的广义交叉验证法得到的最优正则化参数满足条件：
[0203][0204]
b)结合最小二乘法的tikhonov正则化。
[0205]
再求解得到正则化参数后，代入式(14)，并求解式(14)对应的x，x的表达式为：
[0206]
x＝((a)
t
a+λ2i)-1
(a)
tb[0207]
式(22)就是矩阵方程ax＝b的稳定解。
[0208]
4)利用磁偶极子与其辐射场的关系式，再利用矢量求和，求解等效磁偶极子阵列在外推平面上产生的低频辐射场。
[0209]
4.1)磁偶极子辐射电磁场的球坐标系表达式
[0210]
磁偶极子沿z轴放置，假设线元上电流随时间做正弦变化 i(t)＝imcosωt＝re[ie
jωt
]，其电流振幅为im。
[0211]
则可求出球坐标系中磁偶极子辐射电磁场的各分量为：
[0212][0213]
其中，是自由空间波数，λ是波长，是自由空间波阻抗，r是场点的位置矢量的模。
[0214]
为了简化计算公式，进行如下替换：
[0215][0216]
z方向磁偶极子产生的电磁场可以表示为：
[0217][0218]
其中，为z方向的磁偶极子的磁偶极矩。
[0219]
4.2)将磁偶极子产生的磁场的表达式由球坐标系转换到直角坐标系，以便偶极子阵列矢量求和，求解等效偶极子阵列产生的低频磁场。
[0220]
(a)将式(25)从球坐标系变换到直角坐标系，z方向磁偶极子产生的磁场可以表示为
[0221][0222]
利用直角坐标系各分量的对称性，可推导出磁偶极矩m
x
和my与磁场的相应关系。则由磁偶极子m
x
、my和mz的组合产生的磁场可写成：
[0223][0224]
(b)辐射源等效模型产生的磁场分布就是每个磁偶极子产生的磁场的矢量和。
[0225][0226]
其中，为第i个磁偶极子磁偶极矩的x分量，为第i个磁偶极子磁偶极矩的y分量，为第i个磁偶极子磁偶极矩的z分量
[0227][0228]
实施例3：
[0229]
一种基于测试数据的强电磁设备低频辐射等效建模方法的实验，包括以下内容：
[0230]
1)在maxwell3d软件中建立一台三相同步发电机，其基波频率为60hz，建立发电机模型是为了仿真得到发电机的近场信息，利用近场信息通过等效偶极子法实现二维平面辐射源重构。近场测量平面大小为400mm*400mm，平面位于电机上方，距电机300mm远；利用近场信息，根据等效偶极子法重构辐射源可以得到其他位置处的磁场分布。本实例中利用300mm处的磁场信息得到等效磁偶极子阵列模型，再利用等效模型得到450mm远处外推平面的磁场分布，再与maxwell3d的仿真结果进行对比。图2中一共有三个平面，从上到下依次是外推平面、测量平面以及等效偶极子阵列所在的平面。相对误差的定义如下：
[0231][0232]
其中h
calc
是等效偶极子法得到磁场，h
ref
是仿真得到的磁场。
[0233]
2)以同样的电机模型，设置频率为150hz，利用近场信息通过等效偶极子法实现三维辐射源重构。近场测量平面大小为180mm*180mm，共6个平面位于电机四周，距电机180mm远；利用近场信息，根据等效偶极子法重构三维辐射源等效模型。利用6个测量面的磁场信息得到三维等效磁偶极子阵列模型，再利用等效模型得到6个距离电机300mm远处且平面大小为300mm*300mm 的磁场分布，再与maxwell3d的仿真结果进行对比。相对误差的定义如下：
[0234]
。