一种基于模态展开的封闭空间瞬态声场仿真方法

本发明属于声学仿真，具体涉及一种封闭空间瞬态声场仿真方法。

背景技术：

1、目前，在封闭空间声场仿真中数值计算方法主要分为三大类：基于几何声学的声场模拟方法(声线跟踪法、虚声源法)、基于波动声学的声场模拟方法(有限元法、边界元法、无网格法、时域有限差分法、时域边界元法等)以及基于能量分析的声场模拟方法(辐射度法、统计能量分析法等)。

2、基于几何声学的声线跟踪法、虚声源法主要面向大型厅室的仿真研究，可实现对任意形状空间的数值计算，但是只能实现对高频的分析，并且是一种统计分析，无法得到准确的频率响应。

3、有限元法是一种标准的声学波动方程计算工具，在声学数值计算中具有简单有效、适用性较强的特点，在工程实际中已得到广泛应用，是一种良好的声学数值计算方法，但有限元法也存在诸多问题，如分析波数和精度受到数值色散的严重制约，对模型网格质量要求比较高。由于有限元法模型硬度偏大导致近似误差增大、数值色散严重，使得声学数值计算精度随计算频率的上升而急剧降低。因此在实际应用中，有限元法一般只用于计算低频范围的声学问题，对中高频问题其计算误差较大。边界元法是在有限元的基础之上发展而来的，边界元法能降低声学问题维数，适合求解复杂的声学模型，且计算精度较高，理论上可以计算很高频率的声学问题，也是一种良好的声学数值计算方法，但边界元法同样存在诸多缺陷，如系统矩阵是非对称满阵、计算效率低下，矩阵的计算复杂，同时问题规模存在一个临界值，不能处理大规模的声学计算问题，这些缺陷使得许多的声学工程师更愿意选择前面提及的有限元法处理声学问题。为了提高声学数值计算的精度，研究人员将无网格技术应用到声学波动方程的计算中。无网格法相比有限元法而言其计算精度有明显的提高，色散效应导致的污染误差大大降低，并且不需要划分网格单元，其前处理过程十分简单，可节省大量的工作量，但由于无网格方法的插值函数复杂，同时存在直接节点积分不稳定、施加直接边界条件困难的问题，导致声学问题的计算复杂，计算精度仍旧不高。此外，上述的有限元法、边界元法、无网格法主要是在频域的仿真，主要针对稳态声场。

4、时域有限差分直接显示的是时域特性，故在求解空间坐标系的流动问题时比较简单，基于时域有限差分算法良好的时间离散性和空间离散性，应用时域有限差分能完整的将声场迭代过程显示出来。但时域有限差分法网格的只能是矩形网格，并且计算时间久，这限制了时域有限差分的应用。时域边界元也可以实现对时域声场的仿真，由于采用时域边界元处理时域信号不需要引入傅里叶变换，其计算精度不会受卷绕误差等因素的影响，因此在处理宽频信号时能够获得较高的精度，例如处理脉冲信号，冲击信号以及一些短时非周期信号等。另一方面，由于时域边界元的系数矩阵为稀疏矩阵，因此时域边界元的计算速度比较快。但是当计算时间较长时，时域边界元存在时域非稳定性的问题，针对非稳定性问题，近年来有大量学者对其做了研究。rizos等提出一种采用b-spline插值的函数作为基本解的tbem。该方法能够获得较高的计算精度，且其稳定性不依赖于时间步长的选取。chappell等基于ergin等时域burton-miller方法的研究，推导了辐射问题的时域burton-miller公式。针对其中超奇异积分难处理的问题，chappell等将超奇异积分通过泰勒级数展开的方法转化为弱奇异积分，使计算容易进行，并且该方法适用于高阶的离散单元。wang等基于walker等对tbem单迭代矩阵特征值的分析，进一步研究特征值与腔体共振频率的关系，从理论与数值分析两方面证明了靠近1的特征值与腔体的共振频率一一对应。soares等提出了一个提高稳定性同时降低计算时间的时域过程。该过程只修改tbem中与卷积相关的矢量，因而能够很容易应用于已有的代码中。另外该方法通过引入一个稳定参数使近时积分和远时积分可以通过矩阵插值来实现，选择合适的稳定参数即可达到稳定和高效的效果。stutz和ochmann提出时域chief方法。类似于频域chief方法，该方法在腔体内部增加一些约束点，从而增加方程的个数，使时域求解稳定。然而，与频域chief方法不同的是，时域chief方法要求一次求解出所有时刻的未知量，而不是采用mot的方法求解，这就导致计算过程中要运算一个非常巨大的矩阵，而且随着计算时间的增加，这个矩阵的维数会呈几何倍数增长，这在实际应用中很大程度上受到计算机性能的限制。另外，该方法虽然能起到稳定的效果，但并不能消除特征频率的影响，这与频域chief方法也是不同的。falletta提出一种新的积分技术来提高tbem中积分的精度，减小积分计算的数值误差而提高时域稳定性。该方法需要与细密的时域插值函数结合才能达到只使用极少的积分点就可获得高精度计算结果的效果。以上方法都只抑制了时域非稳定性问题，并未从根本上解决这一问题。

技术实现思路

1、为了克服现有技术的不足，本发明提供了一种基于模态展开的封闭空间瞬态声场仿真方法，基于模态展开理论对波动方程进行求解，最终将声场表示为一系列声模态的叠加，即表示为模态展开系数和特征函数乘积的线性组合，其中模态展开系数是与时间信息相关的量，特征函数是与空间信息相关的量。本发明基于时域波动方程的分解建立了融合边界与内部空间的计算格式，避免传统有限差分法的时、空两方面的大计算量问题；通过瞬态模态展开系数的求解建立时间尺度稳定模型，避免时域边界元方法在时间尺度上所出现的不稳定问题。本发明通过对封闭空间内声场的传播和衰减过程进行精确建模，实现了高效、准确的封闭空间瞬态声场仿真。

2、本发明解决其技术问题所采用的技术方案包括如下步骤：

3、步骤1：对封闭空间进行几何建模、网格划分；

4、步骤2：封闭空间声场建模，当声场内部没有体声源时，声场的时空分布由波动方程和边界条件决定；

5、波动方程：

6、

7、式中为拉普拉斯算子，在三维空间笛卡尔坐标系中，p(r,t)为位置r处t时刻的声压；c为空气中的声速；t0为声源发声时刻；r0为声源位置；

8、边界条件：

9、

10、式中为梯度算子，在三维空间笛卡尔坐标系中，n为封闭空间壁面外法线向量；β为比抗导纳；

11、步骤3：求解波动方程，根据模态展开理论，波动方程的解为：

12、

13、其中φm(r)是封闭空间的模态函数，pm(t)为模态展开系数；m为模态阶数；

14、步骤4：根据房间简正波理论求模态函数：

15、

16、式中m为模态阶数，x、y、z为空间点坐标，分别表示为在x、y、z方向上的第n阶模态，lx、ly、lz分别表示在x、y、z方向上的长度，v为空间体积；

17、模态函数具有如下性质：

18、(1)模态函数在空间ω中满足正交性质：

19、

20、(2)模态函数φm与其对应的模态频率ωm具有如下关系：

21、

22、步骤5：求解模态展开系数，模态展开系数的求解依赖于对波动方程式(1)的变换，首先两边同乘φm，在对方程进行空间ω积分，得到：

23、

24、根据格林公式有：

25、

26、对式(8)变换得到：

27、

28、将式(9)代入式(7)得：

29、

30、又将式(2)、(3)、(5)、(6)代入式(10)得到关于模态展开系数pm的微分方程：

31、

32、求解式(11)得到：

33、

34、式中s为封闭空间表面积；

35、步骤6：求解空间脉冲响应，由式(3)、(4)、(12)得：

36、

37、步骤7：求解空间声场分布，根据声传播理论，空间声场分布用声源信号和脉冲响应的卷积积分来确定：

38、

39、式中q(r0,t0)为声源信号；v0为声源体积。

40、优选地，所述在三维空间笛卡尔坐标系中，

41、本发明的有益效果如下：

42、本发明将声场表示为一系列声模态的叠加，可以实现对封闭空间瞬态声场快速、准确的仿真，并且可以可视化展示声波在空间中的传播、反射、衰减等现象。本发明可以为封闭空间声源定位、声源识别、噪声控制、声品质设计、声环境监测等应用提供准确依据，具有重要的理论意义及实际工程应用价值。