基于宽参数双涡卷保守混沌系统的数字信号发生器

本技术属于混沌系统领域，涉及基于宽参数双涡卷保守混沌系统的数字信号发生器。

背景技术：

1、探索混沌系统非线性原理，如何构造结构相对简单、动力学特性更复杂的混沌系统有助于非线性系统研究。目前主流的连续混沌系统有普通的三维连续混沌系统和四维以上的超混沌连续系统，其中对于保守连续混沌系统的研究和应用相对较少。但保守混沌系统往往具有更强的空间遍历性，且已经创立的连续混沌系统大多为单涡卷，而双涡卷或双翅膀混沌系统具有更为复杂的拓扑结构和动力学特性，因此也更适用于信息安全领域。尤其是可以将混沌信号发生器所产生的混沌数字信号，通过pcie和光纤等快速通信协议输出到需要的应用装置，其应用包含但不限于信息安全、图像加密、机密运算和区块链等领域。

2、现在越来越多的研究者选择将混沌系统放在fpga上去实现，因fpga相对于普通的冯诺依曼结构的计算机，具有体积更小且没有串行运行速度慢的缺点，即可以做到并行运算、多通道同时输入和输出，极大加快了混沌信号产生速率。而如何设计好实现混沌系统的数字电路，在fpga中进行系统布局，并因不同的电路结构对于输出的结果影响巨大，如何选择合适的电路结构来平衡硬件资源和输出速率等问题有待商榷。在数字电路的设计中，混沌系统微分方程的最大逻辑组合结构的计算长度，决定了fpga板内电路模块的最大时钟频率，所以如何用最短的逻辑组合结构的计算长度争取最快的时钟频率而又不会丧失复现混沌系统的准确性，如何用fpga更节省资源且更快速地复现保守混沌系统，对于混沌系统的应用也是一个可进行扩展性研究的问题。

技术实现思路

1、本实用新型的目的在于针对背景技术中存在的问题，提供一种节约资源且输出速率高的宽参数双涡卷保守混沌系统的信号发生器。

2、本实用新型针对宽参数双涡卷保守混沌系统的信号发生器，设计的一种新的四维双涡卷保守混沌系统方程如下:

3、

4、式中，x、y、z、u表示系统的状态变量，a、b、c、d、e表示系统参数，具体地a=-4，b=8，c=-8，d=-8，e=8。本实用新型使用matlab2021b软件对系统进行动态特性的分析，并初步采用四阶龙格库塔法对本混沌系统进行离散化求解，系统时间步长h取值为1/64。

5、混沌系统动力学特性分析

6、李雅普诺夫指数

7、李雅普诺夫指数(lyapunov exponent，le)可以分析混沌系统的混乱程度， le的计算公式如下：

8、

9、系统初值分别取x0=1，y0=1，z0=1，u0=1，各系统变量分别为a=-4，b=8，c=-8，d=-8，e=8，步长取1/64，时间长度t为1000，可求得le1=0.26164433487438，le2=0.007998255633539，le3= -0.006780134019510，le4=-0.262862456917076，le图谱如图4所示：

10、由图4可见，∂x(t)/ ∂x(0)曲线表示x维的le有一个明显大于0的状态，说明该混沌系统会进入无法预测的运动状态，因而可判定该系统属于混沌系统。

11、此外，表征了相空间系统体积的增长率或减小率，计算公式如下：

12、

13、通过公式（1）可以计算出公式（2）：

14、

15、根据上式可证明该系统的变化是有界的，倘若很明显的小于0时，说明系统空间体积在不断减小，即为耗散型。而此四维混沌系统值非常接近于0，则说明系统的相空间内体积增长和减小的速度在整体上可近似等价为0，因而该系统并非耗散型更不是增长型，而是保守型混沌系统。

16、稳定性分析

17、为了进一步验证该系统是否为保守混沌系统，求得系统的平衡状态方程为:

18、

19、当系统初值分别取x0=1，y0=1，z0=1，u0=1，各系统变量分别为a=-4，b=8，c=-8，d=-8，e=8，通过解方程组（4）可得出三个实数平衡点，依次为r1=（0，0，1，0），r2=（0，0，0，0），r3=（0，0，-1，0），该系统的雅可比矩阵为：

20、

21、将系统(1)在平衡点r1处线性化，所对应的jacobi矩阵为：

22、

23、将系统(1)在平衡点r2处线性化，所对应的jacobi矩阵为：

24、

25、将系统(1)在平衡点r3处线性化，所对应的jacobi矩阵为：

26、

27、求特征根和特征向量的公式为：

28、

29、根据上式可求得 r1和r3所对应的四个特征值，分别为（8.8098i，-8.8098i，5.1369i，-5.1369i），r2所对应的四个特征值分别为（-7.6693，5.9007i，-5.9007i，7.6693），三个平衡点对应特征值在复平面的分布如图5所示。从图5可知，平衡点r2的特征根分别有两个纯虚数和两个纯实数，且为一正一负，即可判定该平衡点存在一个非稳定的特征根（正实数）及其对应的特征向量，也存在一个稳定的特征根（负实数）及其对应特征向量。因而在相平面上，解的运动轨线将会有一个既发散又存在收敛的趋势，此时可认为该平衡点是系统的一个鞍点。而平衡点r1和r3所对应的特征根在复平面上的分布与平衡点r2的稍有不同，由图5可见，这两个平衡点对应特征根的分布都在虚轴上，即实部为0，因而系统的解轨迹将会是一个以原点为圆心的圆，故可以判定这两个平衡点是系统的一组中心型平衡点，进一步证明了该系统的相空间运动既没有耗散也没有增大的趋势，且这种特点大多存在于保守系统中，因此可以判定该系统为保守混沌系统。

30、系统的相图分析

31、从相图上可以宏观观察系统特性，在绘制相图的实验中，状态变量初值分别取x0=1，y0=1，z0=1，u0=1，各系统变量分别为a=-4，b=8，c=-8，d=-8，e=8，步长h取值为1/64，时间长度t为600，即每个相图是由38400个坐标点绘制而成，本系统经仿真得到的所有二维平面相图如图6和图7所示。

32、从图6和图7可以看出，本实用新型设计的保守混沌系统呈现出双涡卷混沌吸引子的现象，为了测试该系统的遍历性，本实用新型将经典的lorenz普通耗散型系统的三维相图和该实用新型设计的保守混沌系统的三维相图进行对比如图8所示。从图8可以看出，保守混沌系统的相图比普通混沌系统的相图在三维空间上的分布更加均匀，几乎是遍历了混沌运动空间内的所有坐标点，而普通混沌系统则呈现出两头大中间空的缺点，从宏观上可以看出该保守混沌系统的遍历性更好。为了进一步准确验证保守混沌系统的遍历性，根据系统在四个维度的输出数据进行总结如表1至表4所示：

33、表1：x维度数值分布统计

34、

35、表2：y维度数值分布统计

36、

37、表3：z维度数值分布统计

38、

39、表4：u维度数值分布统计

40、

41、根据表1至表4可画出该保守混沌系统的各维度数值分布直方图，将每个维度的分布直方图分别与lorenz系统的分布直方图对比，如图9至图11所示。从图9至图11数值分布直方图对比更能直观地看出，各个维度上该四维保守混沌系统的数值分布相较lorenz系统更为均匀，因此可以证明保守混沌系统空间遍历性较普通混沌系统更好。

42、本实用新型的有益效果在于：

43、（1）通过f（sn）混沌微分方程计算电路模块实现了很大系统参数范围的双涡卷四维保守混沌系统，该系统具有很大范围的宽参数特性和很大的空间遍历性。

44、（2）fpga在实现混沌系统中电路结构的有效改进，在实现混沌系统微分方程的f（sn）混沌微分方程计算电路模块中，没有使用一个乘法器，而是全部使用加法器、移位器和取反操作完成，这样既节省资源也提高了效率。

45、（3）对于求解连续混沌系统的离散化输出时，设计了一种新的基于龙格库塔法的组合逻辑电路和状态机时序，通过五个时钟周期完成一次迭代，有效加快迭代速率。