一种局部集中载荷作用下的组合梁精细化应力位移分析方法与流程

本发明属于组合梁领域，具体涉及一种局部集中载荷作用下的组合梁精细化应力位移分析方法。

背景技术：

1、组合结构能高效发挥多种材料的各自优势，已被广泛用于生产和生活中。通过将结构受拉和受压区域分离，或区分结构层和保护层，可构成层合式组合结构并获得大量应用。其中，组合梁是一种最常见的结构形式。针对组合梁的变形特点，目前主要有解析和数值两类分析方法。解析方面，由于组合梁不同层材料具有差异的变形特征，须独立描述其各自变形，并整合层间的连续性关系。在此基础上，已发展了多种高阶剪切变形理论和分段式zigzag变形分析方法。上述方法可较为准确的给出组合梁整体变形分析结果。然而，仍然面临组合结构界面应力协调困难和局部分析精度不高的问题。

2、数值求解方面，有限元方法提供了精细化分析的有力工具。针对多种复杂结构，可对应划分较大规模的网格以实现对局部区域变形和应力的准确分析。然而，与单一均质材料不同，组合结构由于材料组成不同，其在界面处面临应力和位移的双重协调要求。常规基于位移的有限元分析工具，仅能保证位移的连续和协调，却带来界面处由于杨氏模量不同而产生的应力突变。与此同时，当结构具有多种分析尺度时，传统有限元工具更暴露出其繁琐而低效的缺陷。如针对集中力作用下的组合梁局部分析问题，若在全梁长精细化划分单元，势必产生规模巨大的求解矩阵，且难以随着荷载移动而快速调整和计算，精度和效率较低；

3、组合梁结构在局部荷载作用下的变形和破坏，对于大型复杂结构的安全性具有重要影响，对其准确、快速的计算具有显著的工程价值。而当前的解析和数值计算工具，在求解这类问题时，均面临各自的局限性。如何协调多种不同材料在界面处的应力和位移关系，并建立准确、方便的界面连接关系，是有待解决的关键技术问题之一；如何处理组合梁结构整体和荷载作用局部区域之间的不同尺度关系，建立高效、精确的局部分析方法，并适用于多种荷载类型，是关键技术问题之二。

技术实现思路

1、本发明的目的是为了克服以上的不足，提供一种局部集中载荷作用下的组合梁精细化应力位移分析方法，克服了微分方程求解过程中的数值稳定问题，有效考虑组合结构整体变形对于局部区域应力分布的影响，同时适用于多种不同的荷载组合。

2、本发明的目的通过以下技术方案来实现：一种局部集中载荷作用下的组合梁精细化应力位移分析方法，具体步骤包括，

3、s1、建立描述组合梁的二维模型：研究内容为任意多层组合结构在局部应力作用下的响应分析，x方向为梁长方向，z方向为梁高方向；各层材料的材料与几何参数包括弹性模量，剪切模量，泊松比，层高，其中，，l表示组合梁的跨径；

4、s2、控制方程推导：

5、对于第i层材料，其平衡方程为

6、 ,  (1)

7、式（1）中，和表示层材料中x方向与z方向的应力，表示剪应力；

8、正交各向异性材料在平面应力状态下的应力与位移的关系为 (2)

9、式（2）中和表示层材料中x方向与z方向的位移，

10、, , (3)

11、将式(2)代入式(1)，可得如下的矩阵形式(4)

12、和 (5)

13、而对于两端简支的桥梁，我们可以假设位移与应力的级数展开式如下，(6)

14、式（6）中, ,,,表示位移与应力的各阶级数状态量，和是x方向与z方向的无量纲坐标，e是具有弹性模量量纲的值，不失一般性，取为第一层材料的x方向的弹性模量，即，把式(6)代入式(4)，得到无穷多个4阶常微分方程组(7)

15、式中 (8)

16、以及, , , ，再把式(6)代入式(5)，得到 (9)

17、式(7)的解为 (10)

18、式中 ；

19、s3、使用特征值分解技术，将原本不稳定的指数矩阵计算转化为求解代数方程组问题：矩阵的相似对角阵为： (11)

20、式中，, (12a)

21、 (12b)

22、 (12c)

23、求得矩阵的相似对角阵后，将矩阵表示为： (13)

24、式（13）中，p表示由矩阵转化为所对应产生的相似变换矩阵，引入变量代换，并代入式(7)可得关于的控制微分方程： (14)

25、

26、由于为对角阵，易得上式的通解为： (15)

27、为强化数值稳定性，引入稳定系数降低指数矩阵的指数大小： (16)

28、联立式(15)和式(16)，可得的通解： (17)

29、其中,  (18)

30、为待定系数；

31、考虑到特征值会出现复数，且成对出现，对于这样的共轭根，做如下处理，以将其转化到实数域计算，，  (19)

32、其中，， （20a）

33、(20b)

34、在第i层与第i+1层的界面即第i个界面上，设状态量有如下的传递关系 (21)

35、式(21)建立了n层组合梁各层界面处未知系数之间的传递关系，共个方程。

36、本发明的进一步改进在于：建立n层组合梁上下表面状态量之间的代数方程组求解关系，适用于任意表面载荷分布形式，对于局部区域集中载荷，利用傅里叶级数将其展开，上表面的局部载荷和可展开为如下的级数：, (22)

37、式中系数和分别为,(23a)

38、 (23b)

39、将组合梁上表面已知的应力分量代入式(19)得到(24)

40、对于简支梁而言，一般下表面无外力作用，则有(25)

41、联立式(24)与(25)的3、4两行，可得关于上下层界面应力条件的四个方程，结合界面间传递关系式(21)，即可求解系数，通过将系数代入式(21)可得各阶级数状态量，最后根据式(6)进行级数状态量累加可得全体位移与应力分量值。

42、本发明的进一步改进在于：实现组合梁在任意局部荷载下的应力位移计算，对于组合梁层间的部分组合关系，引入刚度传递矩阵，式（21）中矩阵由界面的连接条件决定，如果该界面是完美连接，即界面处位移u,w和应力,连续，则矩阵为4阶单位矩阵，如果该界面是弱连接，并满足如下关系(26a)

43、 (26b)

44、把式(6)代入式（26a）和（26b），我们得到

45、 (27a)

46、 (27b)

47、把式（27a）、式（27b）写成如式(21)所示的矩阵形式，则可得表示部分连接强度的传递矩阵为 (28)

48、本发明与现有技术相比具有以下优点：

49、1、为了解决当前求解方法在组合梁局部精细化分析上的不足，本发明提出了一种基于状态空间的组合梁局部变形和应力分布二维解析理论。该理论以应力和位移为求解变量，并引入层间传递关系，可有效保证界面多变量的连续和建立界面关系的准确描述。基于矩阵特征值分解技术，该理论既可以保留使用状态空间法准确描述多层结构材料特性的优势，又保证了求解过程的数值稳定性，较好解决了全梁长和荷载局部区域之间的多尺度矛盾问题，实现了对组合梁局部变形和应力的高精度分析。利用傅里叶级数，可准确模拟多种不同的局部分布形态，并快速得到各种不同荷载分布下的局部应力和变形结果。

50、2、本发明基于平面问题假设，提出了一种适用于两端简支的多层组合结构局部应力分析的解析方法。首先通过平衡方程和本构关系，建立组合结构的微分控制方程；随后，将位移与应力的分布分解为梁长方向的级数展开形式与厚度方向的传递形式，建立各阶级数常微分方程组；最后引入矩阵特征值分解，克服了微分方程求解过程中的数值稳定问题。该方法可有效考虑组合结构整体变形对于局部区域应力分布的影响，同时适用于多种不同的荷载组合。数值算例中对层间部分连接的混凝土-木材组合梁的研究，反映了本文方法在计算整体变形与局部应力分布上的正确性。