本发明涉及一种用于在无界域中对声学建模以确定该域的控制体积内的场变量的计算机实现的方法，该方法包括：(a)提供映射控制体积的坐标系，(b)提供对象的几何规格，该对象作为声源在该控制体积中发出声音，其中，该几何规格基于所述坐标系。此外，本发明还涉及一种计算机产品、一种计算机可读介质和一种系统。在各种应用中(例如，在汽车工业、航空航天工业和船舶工业中)，对工业机器的声音特性的分析至关重要。一方面，在许多情况下，工程师在设计其产品时需要注意音质和声级，使其对潜在客户更具吸引力。另一方面，对与暴露于高声级有关联的潜在健康风险的认识的不断提高导致了对城市环境中的声发射的更加严格的法规。另外，在工业世界中，存在对数字孪生的与日俱增的兴趣。在这种情况下，高保真3d模拟模型不仅在产品周期的设计阶段期间被使用，而且在运作阶段期间使用，其中，它们通过虚拟传感算法与测量数据相结合，以更深入地了解产品的状态。高保真3d模拟模型典型地更为复杂且开发成本更高，但与代理模型相比，高保真3d模拟模型提供了建模的系统的更精确且更逼真的模拟。智能虚拟传感算法从[24]中已知。在本公开的上下文中，数字孪生是物理对象、系统或用于模拟并分析其行为和性能的过程的虚拟的副本。数字孪生是使用来自传感器、相机和其他源的数据来典型地创建，这些传感器、相机和其他源捕捉关于物理对象或系统的信息，并将其与该对象的模拟模型相结合。数字孪生能够用于测试并优化其在不同条件下的性能。它们能够更好地监测并控制物理系统，使预测性维护和性能改进成为可能。数字孪生技术在许多场景中都非常有用，例如，在结构健康监测应用中。由于该问题的本质，需要高保真模型的紧凑表现，其能够用于运行稳定的时域模拟。例如，数字孪生技术从以下出版物中已知：d.hartmann和h.van der auweraer的“the executabledigital twin:merging the digital and the physics worlds”(2022)arxiv预印本arxiv:2210.17402，或a.g.de miguel、o.atak和m.a.blanco的“a digital twin forfull-field monitoring in multi-channel control with applications to directfield acoustic testing”。在许多(振动)声学应用中，需要行进至无穷的声波模型，这意味着声波正在行进远离并且不会被反射回来。
背景技术：
：：1、以下出版物提供了本发明
技术领域：
：的技术人员已知的一些背景知识：2、[1]d.givoli的“computational absorbing boundaries”，载于《computationalacoustics of noise propagation in fluids-finite and boundary elementmethods》，施普林格出版社，2008年，第145至166页。3、[2]a.bayliss、e.turkel的“radiation boundary conditions for wave-likeequations”，《纯数学与应用数学通讯(communications on pure and appliedmathematics)》第33卷(1980年)第707至725页。4、[3]j.-p.berenger的“a perfectly matched layer for the absorption ofelectromagnetic waves”，《计算物理学杂志(journal of computational physics)》第114卷(1994年)第185至200页。5、[4]u.basu、a.k.chopra的“perfectly matched layers for transientelastodynamics of unbounded domains”，《工程数值方法国际杂志(internationaljournal for numerical methods in engineering)》第59卷(2004年)第1039至1074页。6、[5]j.diaz、p.joly的“a time domain analysis of pml models inacoustics”，《应用力学与工程中的计算机方法(computer methods in appliedmechanics and engineering)》第195卷(2006年)第3820至3853页。7、[6]z.chen、x.wu的“long-time stability and convergence of the uniaxialperfectly matched layer method for time-domain acoustic scattering 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p-fem fortimeharmonic acoustic wave propagation”，《计算物理学杂志》第378卷(2019年)第234至256页。52、[50]j.biermann、o.von estorff、s.petersen、c.wenterodt的“higher orderfinite and infinite elements for the solution of helmholtz problems”，《应用力学与工程中的计算机方法》第198卷(2009年)第1171至1188页。53、[51]c.geuzaine、j.-f.remacle的“gmsh:a 3-d finite element meshgenerator with built-in pre-and post-processing facilities”，《工程数值方法国际杂志》第79卷(2009年)第1309至1331页。54、[52]d.leykekhman的math 3795:introduction to computationalmathematics，2008年。55、文献中公开了在无界域中对瞬态(振动)声学波传送现象数值建模的几个选项；最流行的技术包括：56、-使用无限元对外域建模，和57、-完美匹配层[pml]。58、pml是在计算声学中用于在无界区域中对声波的行为建模的技术。pml最初开发用于在电磁模拟中使用。pml技术涉及围绕计算域构建层，在波远离该域传送时，该层逐渐吸收波。该层设计为在模拟无限介质的属性、有效地消除反射，并且防止波泄漏到周围空间里面。59、在连续层级处，对于任何入射角[3]，在fem与外域之间的界面处不会发生反射。存在用于时域模拟的各种pml构想(formulations)[10；7；5]。60、然而，存在与此类瞬态pml构想相关联的若干问题：61、a)为了使系统矩阵与频率无关，在pml层中引入了新的辅助变量。这意味着对于瞬态计算，与对应的频域模拟相比dof(自由度)的数量相当大。这将导致构建rom需要大量时间和内存。62、b)这些构想往往相当复杂，并且难以在模拟软件中实现。63、c)在文献中所呈现的许多构想的稳定性分析不容易实施，并且每个构想都需要单独检验[5]。对于在[10]中所呈现的构想，需要抑制一些项以稳定瞬态模拟，从而引入了新的逼近误差。64、d)从文献[26]中已知，在模型降阶(mor)的情况下，为了保证在投影步骤后保持稳定性属性，有必要使用分裂基底方法，该方法产生更大的降阶模型。在分析在自由场中辐射的板的数值实验中，作者比较了pml和无限元用于时域mor的效率：作者表明，无限元在较小全阶模型中产生(使降阶程式更快)，并且在最终rom中的dof的数量比从pml配置获得的dof的数目少3倍。增加的dof导致pml构想的计算时间更长。65、在工程和应用数学领域中已知若干模型降阶(mor)技术。这里是一些最常见的技术：66、1.本征正交分解(pod)：该技术通过使用统计方法来识别系统中最重要的变化模式，从而降低系统的维度。它经常在流体动力学、结构力学和其他领域中使用。67、2.平衡截断：该技术通过平衡系统在其输入和输出之间的能量来降低系统的维度。它经常在控制系统和线性系统中使用。68、3.krylov子空间方法：该技术通过使用krylov序列的子空间来逼近系统的响应，从而降低系统的维度。它经常在线性系统和控制系统中使用。69、4.经由插值的模型降阶(mri)：该技术通过使用一组插值点来近似系统的传递函数，从而降低系统的维数。它经常在控制系统、电路模拟和其他领域中使用。70、5.缩减基方法：该技术通过使用快照解集为系统的解空间构建基(basis)来降低系统的维度。它经常在无限元分析、结构力学和其他领域中使用。71、这些技术用于降低数学模型和模拟的复杂性，使其更容易求解并且计算效率更高。它们广泛地在工程、物理和其他领域中用于分析并优化复杂的系统和过程。72、无限元方法(ifem)是pml的一种流行替代方案，对于时域模型特别具有竞争力。73、astley-leis无限元构想[20]产生频率无关的系统矩阵，并且能够容易地被用于瞬态模拟。存在两种类型的astley-leis构想：74、1.标准astley-leis构想[39]基于以球面坐标书写的截断多极展开(所谓的阿特金森威尔科特斯(atkinson wilcox)展开[40])；75、2.另一方面，球体构想[28]基于以球体坐标书写的截断多极展开。76、因此，球面坐标和球体坐标的主要区别在于，球面坐标是用从点到固定点的距离和两个角度来描述该点，而球体坐标是用从点到固定点的距离以及定义该点相对于更复杂形状(如椭圆体)的定向的两个角度来描述该点。77、这两种构想都依赖于在无限物理元与对应的有限父元之间的奇异映射。对于每个无限元，与所谓虚拟源的距离被映射到父元径向坐标；为了形成形状函数，使用了以父坐标书写的常用多项式。为使标准astley-leis构想准确地捕捉正确的解，虚拟源应与所分析的问题中包围所有声源的最小球体的中心(也称为辐射中心)重合。当不满足该约束时，就无法保证解的准确性。78、在这种情况下，父元是用作构建物理域的有限元模型的模板的参考元。它可能具有简单的几何形状，诸如三角形、四边形、四面体或六面体。79、父元由节点组或结点组定义，这些节点或结点用于在元内插值解。节点能够位于父元的顶点、边或面处，并且解由满足连续性和可微分性条件的多项式或分段多项式函数来逼近。父元能够使用几何变换集(诸如仿射变换或等参映射)来变换并映射到物理域上。80、在这种情况下，形状函数是用于在每个有限元内插场变量的值的数学函数。81、标准astley-leis构想的使用允许使用任何凸形的fem域进行频域计算。然而，对于依赖于此类构想的瞬态模拟，无限元应被正交拉伸到外部fem边界包络线，以保证方法[4]的稳定性。这一点以及上文提及的关于虚拟源的定位的准则都强制使用对fem域的球面截断。对于时域中的细长散射体的分析，这意味着当使用标准astley-leis无限元时，必须使用不必要的大网格，从而产生了dof的禁止的数量，如图18所示。82、球体astley-leis构想能够通过允许围绕散射体拟合较小fem域来规避这个问题。83、在[32，33]中，证明了对于此类构想，形状函数的径向阶经常需要比对于标准astley-leis构想更高，从而抵消使用较小fem域的益处。84、因此表明自动地拉伸无限元的问题尚未得到解决，这似乎是以前的文献中还没有解决的问题。85、特别具有挑战性的情况是当仅fem网格可用并且几何形状不是用cad工具建模时。在这种情况下，需要直接从fem区域的网格来计算拉伸(extrude)无限元所需的几何数据。在[47]中报告了一种称为自动匹配层(aml)的pml的版本，对于该自动匹配层，用户必须只提供散射体几何形状(cad模型或fem网格)；然后，使用所谓的快速凸包(quickhull)算法(该算法从[36]中已知)自动地生成声学内部凸域，并在运行时期间自动地拉伸aml。然而，aml仅对于频域模拟可用。86、在这种情况下，快速凸包算法是用于计算多维空间中的点集的凸包的计算几何算法。点集的凸包是包围在该集中的所有点的最小凸多边形。换句话说，它是点集的最外层边界。快速凸包算法是分而治之算法，它递归地将点集分割成更小的子集，并找出每个子集的凸包。87、分而治之算法是众所周知的问题解决策略，它涉及将问题分解成更小、更易管理的子问题，并且单独地解决每个子问题。然后，将子问题的解决方案相结合以解决原始问题。这里，对如从[36]中已知的几何问题应用了该策略。88、因此，在无界域中对瞬态(振动)声学波传播现象数值建模的挑战在现有技术中仍是开放的。技术实现思路1、本发明的一个目的是改进在无界域中对瞬态(振动)声学波传播现象数值建模的效率。2、为了解决这个问题，本发明呈现了一种根据本发明的方法。提出了一种根据初期提及类型的计算机实现的方法，该方法包括附加步骤：3、(c)使用快速凸包算法围绕所述声源构建凸形，4、(d)从凸形开始拉伸无限元，5、(e)通过将坐标的径向坐标映射到从凸形延伸至无限元的辅助坐标将坐标系变换为场变量坐标系，6、(f1)使用辅助坐标来构建形状函数，7、(g)通过求解数值模拟模型来确定场变量。8、根据本发明，数值模拟模型涉及在无界域中对瞬态(振动)声学波传播现象数值建模。因此，能够将该模型理解为并称为用于“在无界域中对瞬态(振动)声学波传播现象数值建模”的模型。9、优选地，场变量为压力场。最优选地，场变量能够是压力场或参数压力场的任何导数。10、本发明的基本思想是能够称为灵活无限元的无限元构想，其能够与有限元方法(fem)相结合地使用，以有效地对声波在无界介质中的时域传播建模。特别地，新构想解决了这样的挑战，即，使此类瞬态无界振动声学模拟非常快速和紧凑，使得它们能够在数字孪生场景中使用，包括其中模拟需要接近实时地运行的应用。11、描述声波的物理行为的控制方程能够在频域或时域中书写。在频域模拟中，输入信号被表示为谐波之和。通过将信号分解成各个频率分量，能够单独地计算在每个频率下的稳态压力响应。另一方面，时域模拟(也称为瞬态模拟)将声波建模为压力随时间的变化。在数字孪生应用中，时域描述非常重要。12、在过去的几十年中，高效且准确地模拟声波在无界域中的传播问题已经得到了广泛的研究。能够用有限元方法(fem)或者替代地用其他数值方法(诸如边界元方法(bem))以各种方式对非反射条件建模。bem的时域版本使其本身不易于构建降阶模型(rom)。由于数字孪生场景中需要此类紧凑表示，本发明的重点在于fem。13、由于fem是域离散化方法，因此对无限域建模内在地是不可行的。fem网格必须被截断，并且必须在外部边界上实现非反射边界条件，以防止声学波行进回到fem域中。14、本发明呈现了一种新颖的灵活无限元构想。它是一种独特的方法，其允许将一般凸形包络线用于无限元，同时具有时间稳定性；其几何灵活性使其在模拟由细长结构散射的声音时特别具有吸引力。它还与mor技术兼容，因为它具有频率无关的系统矩阵。因此，它还允许紧凑的表示。15、现有构想基于与虚拟源的距离和径向父元坐标之间的标准映射来构建无限元形状函数，与此不同的是，在径向坐标和新的辅助坐标之间引入了新的辅助映射。通常的父元坐标用于几何插值的定义，而在无限元之内的形状函数的多项式则用新的辅助父元坐标来表达，如图所示，该新的辅助父元坐标由切向方向上的标准父元坐标和径向方向上的新的辅助坐标组成。在这种构想中，形状函数在任何几何配置下都能紧密地模拟截断的球面多极展开。16、因此，无论映射节点在无限域中的定位如何，数值方案都能够提供准确的结果。因此，新构想在几何上是灵活的，从而允许将无限元附加到一般凸形包络线，而不会损害瞬态模拟的准确性。17、为了保证灵活无限元构想的时间稳定性，成功地开发了一种准确性保持稳定程式。18、根据本发明，快速凸包算法用于围绕任何给定散射体生成凸声学域，而在无限元之内的映射节点在运行时以使用与[12]中相同的规则来计算的法线方向正交于外部fem边界拉伸。由于所采用的策略，即使当没有散射体几何形状的cad可用时，也保持了用户干预，以使对声学和外域的构建最小化。19、另外，由于所提出的方法产生频率无关的系统矩阵，因此能够很容易地与mor方法(诸如基于krylov的方法)相结合。这一方面以及新构想的几何灵活性在无界(振动)声学领域中开启了新的数字孪生应用。20、本发明的优选实施例提供，在步骤(e)中，针对在凸形之外的位置的所述辅助坐标被定义为：21、22、其中：23、s、t、为参数化凸形外部的所述位置的3维坐标(s、t为切向坐标，为径向坐标)；24、识别凸形边界γ上最接近所述外部位置的点，为辐射中心和γ上的该特定点之间的距离；25、定义在辐射中心与所述位置之间的距离；26、为辅助坐标。27、这种变换能够快速且准确地对声学建模并求解以在合理的时间内确定场变量。28、另外的优选实施例提供了向用户显示所述场变量和/或根据所述场变量计算的关键数字或图示所述场变量的图像。在默认情况下，显示使用显示器作为人机界面，告知用户关于对象的声学行为。29、另外的优选实施例包括将所述场变量提供给所述对象的迭代对象设计过程以用于以改进声学发射为设计目标来设计所述对象的步骤。30、另外的优选实施例包括根据如由所述迭代对象设计过程所确定的设计来生成所述对象的步骤。该生成能够通过任何制造或生产方法来完成。31、所述迭代对象设计能够包括如下步骤：32、选择所述对象(obj)设计的待改进的至少一个设计参数；33、提供迭代终止准则作为所述场变量的阈值或根据所述场变量计算的关键数字；34、定义所述对象(obj)的至少两个变体(vrt)，这两个变体在选定的设计参数上有所不同；35、根据本发明对所述变体(vrt)的声学建模；36、在建模结果的基础上从所定义的变体中选择最佳变体；37、重复定义、建模、选择的步骤直至满足终止准则；38、选择满足终止准则的变体的设计参数；39、有选择地，选择至少一个不同的设计参数并处理与上文针对新选定的至少一个不同的设计参数而定义的迭代相同的迭代。40、该过程稳健且高效。其他迭代对象设计策略也可能适用。41、此外，本发明还涉及一种经布置并配置以执行根据本发明的计算机实现的方法的步骤的计算机产品。42、此外，本发明还涉及一种用可执行指令编码的计算机可读介质，当该可执行指令被执行时，使上文定义的计算机产品实施根据本发明的方法。43、此外，本发明还涉及一种用于确定对象的发射的声学参数的系统，该系统包括至少一个处理器，该至少一个处理器通过上传计算机可执行代码来准备执行根据本发明的方法。44、1.介绍45、有限元方法(fem)是模拟声波传播最流行的技术之一，因为它允许通过离散化感兴趣的物理域来有效地解决复杂的问题。无界区域中的波场模拟呈现出挑战，因为计算机只能处理有限数目的元素。最简单但相当不准确的方法包括在有限元域的人工边界处应用阻抗边界条件[1]。高阶吸收边界条件[2]和完美匹配层(pml)[3]代表了更准确的替代方案。具体地，pml已被证明对于解决频域波动问题非常有效。pml还针对瞬态应用进行了广泛的研究(参见[4]至[10]和其中的参考文献)。然而，对于时域模拟，pml需要使用辅助变量；由此产生的自由度(dof)数目的增加使得pml对于模拟瞬态现象的吸引力降低。46、bettess和zienkiewicz[11]提出的无限元方法通过采用特殊元素避免了截断计算域的问题，这些特殊元素从fe域的边界延伸到无穷远处。多年来，文献中已经提出了不同的构想。具体地，开发了在无限域中测试函数的选择上不同的两组构想：非共轭构想，其中，测试基函数和形状函数相同，以及共轭构想，其中，测试基函数是形状函数的复共轭。文献[12]中对这些不同策略进行了详细比较，其中，详细分析了两者的优点和缺点。astley-leis构想[13]与经典共轭构想的不同之处仅在于乘以测试函数的权重因子，该权重因子被设计成取消需要计算以获得系统矩阵的积分中的无界项。47、无限元的几何离散化也存在替代方案。所谓的映射构想依赖于从物理元到母元的映射[13]至[16]：它们的主要优点是几何灵活性，因为它们能够附加到任意凸形的fe边界。相比之下，对于burnett元素[17]至[19]，包络线的几何形状受限于球状体并且不采用映射。48、astley-leis元素具有多种有吸引力的特性。首先，由于测试函数中使用的权重因子，系统矩阵积分能够使用标准求积规则来评估。此外，它们产生频率无关的系统矩阵并保持fem系统的稀疏性，这使得它们对于时域模拟[20]至[22]容易获得并且适合模型降阶(mor)[23]。这是特别有趣的，因为近年来用于瞬态模拟的mor已经形成许多应用中的关键技术之一[24]至[27]。mor技术的目标是构建降阶模型(rom)，其仅使用dof的一小部分来捕获对应的初始全阶模型(fom)的最相关动态。在[26]中提出了数值测试，其中，来自kaltenbacher等人[10]的瞬态构想的性能与astley-leis无限元构想进行了比较。具体地，结果表明，由于辅助变量的存在，使用pml会产生更多的dof。此外，从mor的角度来看，有必要使用分割基方法，这会导致最终rom的dof数目增加三倍，以保证mor后pml构想的时域稳定性保持。由于pml与无限元方法之间的性能比较受限于单个数值测试，得出一般性结论是困难的。然而，引用的研究似乎给出了强有力的指示，即，使用无限元用于无界瞬态问题可能是最佳选择，尤其是在使用mor技术时。49、astley和hamilton[28]表明，只要无限边与在fem与外部域之间的界面的法线对准，astley-leis构想就是时间稳定的。然而，传统映射无限元的性能随虚拟源的位置而变化[14]；所提到的稳定性要求不允许自由地选择虚拟源的位置，并且当分析任意凸形内部域时，这通常代表在瞬态分析中的准确性问题。实际上，对于大多数场景，这意味着应该将映射的astley-leis无限元仅附加到球形包络线以进行瞬态模拟。基于holford展开[29]，已经提出了频域和时域[30]、[31]两者的替代性映射球体无限元构想。然而，对于这样的构想以及非映射球体构想[17]至[19]，较小的内部域的好处可能会因无限元形状函数的径向阶的必要增加而被取消，如在[31]、[32]和[33]中所观察到的。50、li等人[34]提出了替代性共轭映射构想，其中，对拉格朗日类型的径向形状函数进行修改，以精确地满足沿着无限边的截断多极展开，而不管虚拟源的位置。然而，他们只解决了频域问题，其中，标准astley-leis构想已经提供了令人满意的结果；此外，由于受限于从拉格朗日多项式导出的径向形状函数，li的元素对于高径向阶数具有较差的条件[35]。51、在这项工作中，我们提出了适用于任何类型的径向形状函数的新颖的无限元构想，其精确地满足截断多极展开，而不管无限边的定向。因此，我们采用新的灵活无限元来实现任意凸形包络线的时间稳定且准确的构想。讨论了将灵活的无限元集成到高阶软件中。提出了策略，当只有内部域的网格可用时，自动地拉伸无限元。另外，我们还展示了如何利用由西门子工业软件(siemens industry software)开发的模拟包simcenter 3d[37]中实现的快速凸包算法[36]，以自动地生成无限元围绕散射体附加的包络线。最后，讨论了所提出的构想与现有mor策略的组合。本文的结构如下。在部分2中，介绍了亥姆霍兹问题和由此产生的时域方程组，以及标准astley-leis构想的描述。在部分3中，提出了新颖的灵活无限元，并讨论了其稳定性能。在部分5中，我们通过两个学术示例证明了所提出方法的有效性，而在部分6中，我们考虑了工业复杂性问题。最后，在部分7中提出结论。52、2.声学的有限元和无限元53、2.1.问题陈述54、2.1.1.控制方程55、我们约定场的时间依赖性为eiωt，其中，ω是角频率，并且τ是时间。56、无界域ω中压力场p的行为由频域中的helmholtz方程描述：57、58、其中，k是波数。域ω被细分为内部域ωi和外部域ωe；我们用γ表示在两个域之间的界面(见图1)。59、图1示出外部声学问题的示意图。ωi和ωe分别是内部域和外部域。γ是在两个域之间的界面，并且γs是施加索末菲条件的包络线。60、在域ωi的内部边界γn处，规定了诺伊曼(neumann)边界条件。狄利克雷(dirichlet)和罗宾(robin)边界条件也能够很容易地处理，但是为了便于表示，这里不会考虑。索末菲条件指出无穷远处没有波能够被反射；在数学术语中，在d维域中，这能够写为：61、因为r→∞,(2)62、其中，r是球面/柱面半径。63、如[38]中所示，近似(2)，我们能够重写：64、在γs上,(3)65、其中，是笛卡尔坐标中的梯度算子，并且γs是具有向外单位法线n的包络线，放置在距包络线γ径向距离r处，其中，r→∞。66、对应的边界值问题如下：67、68、其中，ρ是流体密度，并且vn是在γn上规定的法向速度。69、2.1.2.变分构想和离散化70、使用加权残差方法，我们得到变分构想：71、72、其中，h1是寻求解的索伯列夫(sobolev)空间。73、方程(5)通过在ωi中使用h1一致有限元并将无限元附加到包络线γ来求解。场变量p和测试函数q由和近似，其中，vh是形状函数空间，并且qh是测试函数空间。在astley-leis构想中，由于测试函数中使用的权重因子，自动地满足索末菲条件，并且不需要在变分构想中考虑[39]。在这种情况下，离散变分构想为：74、75、其能够重写为线性方程组：76、[-ω2m+iωc+k]p(ω)＝f(ω) (7)77、其中，p是dof向量，f是力向量，并且m、c和k∈rndof×ndof分别是质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，并且ndof是dof的数量。系统矩阵的精密公式能够在[13]中找到。78、因为，对于astley-leis构想，系统矩阵是频率无关的，方程(7)能够很容易地变换到时域中：79、80、其中，pτ和fτ分别是p和f的逆傅里叶变换。81、2.1.3.多极展开82、atkinson-wilcox定理[40]指出，在包围所有声音源的最小球体之外的任何点处，问题(4)的解能够写为多极展开：83、84、其中，gn是方向性函数，α和θ是球面角，并且r是径向距离，从与最小球体中心重合的辐射中心测量。为了便于表示，在本文的其余部分中，我们将假设绝对笛卡尔坐标系统的原点o与辐射中心重合。85、holford[29]已经扩展了atkinson-wilcox定理，以包括球体情况。通过将包络线γ放置在最小球体(对于atkinson-wilcox展开)或球状体(对于holford展开)之外，我们确保外部域ωe中的解仅由向外传播波组成：此考虑用于在无限元中选择适当的尝试解。86、所谓的球体构想在过去已经受到了一些批评[32]、[33]，因为在实际应用中，fem区域中较少数量的dof常常被外部域中更高的径向阶数的需要所抵消。另一方面，数值实验已经使用基于展开(9)的映射无限元在频域中进行，其中，明确地违反了atkinson-wilcox定理的条件[41]、[35]、[42]：即，使用了非球形包络线，部分地位于最小封闭的球体的内部。尽管这种方法的收敛性尚未得到正式证明[43]，但具有足够平滑包络线的数值实验给出了令人满意的结果(更多详细信息请参见[44])。对于我们研究期间遇到的所有测试用例，我们的观察结果与引用的文献一致。这些内容将在部分6中进一步扩展。87、2.2.astley-leis无限元综述88、在本小节中，我们描述了astley-leis构想的主要特征，并且我们分析了它在时域中稳定的条件。89、2.2.1.几何插值90、astley-leis构想依赖于从无限物理元到有限母元的映射。具体地，在二维中(参见图2)，物理元映射到二次母元在三维中，母元能够是三棱柱或立方体，取决于对应的物理元的形状，并且母元坐标命名为s、t和符号是为所有与虚拟源概念相关的变量引入的(参见该部分后面如何定义虚拟源)。具体地，在引入径向映射(16)和(24)之后，母元径向坐标与距物理空间中虚拟源的距离之间的联系将变得清晰。91、图2示出映射无限元的示意图。在我们的约定中，辐射中心与笛卡尔坐标系的原点o重合。92、在图2中，我们示意性地表示了在二维中映射的无限元，显示了物理元和母元两者。对于第i个节点γiie，其位置在内部域的网格划分过程期间定义，在包络线γ上(在外部域与内部域之间的界面处)，在第e个无限元中，用户定义了外部域中映射节点的位置，笛卡尔坐标为：93、94、类似地，我们将映射节点γiie在γ上的笛卡尔坐标写为：95、96、第i条无限边是从节点γiie发出，经过节点并延伸至无穷远处的线(参见图2)。对于γ上的所有节点，定义了无限边。97、我们用表示映射节点与γiie之间的距离：98、99、其中，‖·‖是欧几里德(euclidean)范数。虚拟源笛卡尔坐标为：100、101、其沿着第i条无限边的方向朝向内部域位于距γie距离处(参见图2)：102、103、因此，虚拟源与外部域中的映射节点之间的距离为：104、105、包络线σ是物理空间中所有点的并集，其母元径向坐标为对于无限边上的任意点，距虚拟源的距离映射到母元径向坐标106、107、注意，通过该映射定义，我们有108、109、γ上的映射节点与其相应的虚拟源之间的插值距离定义为：110、111、其中，n是第e个无限元中包络线γ上的映射节点数，并且是标准切向几何映射函数(在我们的案例中，我们使用拉格朗日多项式)。类似地，包络线σ上的映射节点与其相应的虚拟源之间的插值距离定义为：112、113、通过代入(19)中的方程(15)，我们得到：114、115、然后通过将式(18)代入式(20)，我们得到：116、117、元素e中的映射节点与其对应的虚拟源之间的插值距离定义为：118、119、其中，和是径向几何映射函数，定义为：120、121、将式(23)和式(21)代入式(22)，我们最终得到：122、123、换言之，对于无限元内部的任意点，都能够得到物理坐标与径向母元坐标之间的映射，而式(16)只在沿着第i个无限边有效。母元径向坐标映射到第e个无限元中的虚拟源的内插距离，该事实解释了与虚拟源的概念之间的关系，并且因此证明使用符号作为母元径向坐标是合理的。注意，通过此映射，我们获得：124、125、此映射与以下概念一致：具有母元径向坐标的点位于物理空间中的包络线γ上(参见图2)，具有的点位于σ上，并且带有的点是在从内部域的径向接近无穷远处。此外，沿着第i个无限边，我们有：126、127、第e个无限元内部的笛卡尔坐标向量是通过对节点笛卡尔坐标进行插值得出的：128、129、其中，和是第i个无限边上的映射节点处的笛卡尔坐标向量。130、我们强调，这里采用的符号与通常在文献中找到的符号略有不同，因为我们想要区分在部分2.1.3中定义的r(例如距辐射中心的距离)和映射节点与其相应的虚拟源之间的插值距离，在式(22)中定义。具体地，由于我们约定笛卡尔坐标系的原点o与辐射中心re重合，代表第e个无限元中的点与辐射中心之间的距离能够写为：131、132、另外，我们将定义为第i条无限边上的任意点与辐射中心o之间的距离。133、最后，所谓的相位距离定义为：134、135、当无限边与γ正交拉伸时，相位距离表示物理坐标为的点与包络线γ之间的距离，如图2所示。136、2.2.2.形状函数和测试函数137、类比atkinson-wilcox展开(9)，场形状函数写为：138、139、其中，是fe域中使用的多项式形状函数的常用向量。作为示例，为了便于表示，让我们考虑在二维中的一阶拉格朗日多项式：140、141、将径向映射(24)插入式(31)中，能够验证以下关系成立：142、143、将上方幅角(argument)扩展到三个维度的高阶多项式，我们得到：144、145、其中，m是无限域中选择的径向阶。具体地，沿着第i条无限边，我们有146、147、换言之，对于第i个无限边，第m阶虚拟多极源生成的压力场，放置在处，属于形状函数空间。这就是虚拟源的想法的由来。148、有趣的案例是当第e个无限元的所有虚拟源与辐射中心o重合时分析。在这种情况下，沿着第i条无限边，我们得到：149、150、因为当时，沿着第i条无限边换言之，当所有虚拟源与辐射中心重合时，近似场变量ph能够模拟多极展开(9)，沿着无限边以径向阶m截断，确保近似的良好精确度。在所有其他情况下，关系式(35)不必要为真。这解释了为什么对于传统映射无限元件构想，精度取决于虚拟源的位置。此外，在第e个无限元内部，一般来说，我们有：151、152、即使当所有虚拟源都与辐射中心重合时。这来自于事实，即，在式(22)中，使用与用于获得在式(27)中的笛卡尔坐标向量xe的相同的插值函数求得然而，径向距离re不是笛卡尔坐标的线性组合，因此无法通过使用与用于笛卡尔坐标的相同的插值函数来插入节点值来求取。作为示例，考虑无限元，其内表面是圆弧，用线性元离散化，如图3所示。相对于节点γ1和γ2，两个虚拟源均与弧线中心重合。这意味着在γ1与虚拟源之间的径向距离与圆弧的半径重合；也是如此。在计算时，根据节点值和的标准插值，利用公式(18)，我们可得然而，对于无限元内部的点，沿着包络线γ的离散近似γh，距圆弧中心的距离不是这种情况相当于，对于γh上的点，定义沿着径向方向距包络线γ距离处的插值虚拟源位置(参见图3)。换言之，在使用插值公式(18)和(22)计算和时，虚拟源的插值位置与弧线中心o不重合。这意味着一般来说，即使在相对于所有无限边的虚拟源与辐射中心重合时，该关系式(35)也仅沿着无限边有效。该事实对近似质量的影响将在部分5.1.1中进行分析。153、图3示出无限元的示意图。包络线γ是圆，并用分段线性包络线γh进行离散化。相对于节点γ1和γ2的虚拟源与弧线中心o重合。相对于γh上其他点的插值虚拟源与弧线中心o不重合。154、在astley-leis构想中，采用petrov-galerkin方法：测试函数和解函数属于不同的函数空间；具体地，测试基函数是形状函数的复共轭，乘以权重因子w：155、156、其中，权重因子采用以下形式：157、158、与bubnov-galerkin方法(其中测试基函数等于形状函数)相反，petrov-galerkin方法会产生非对称系统矩阵。然而，这种测试基函数的选择特别方便：首先，作为共轭构想，astley-leis构想会产生频率无关的系统矩阵，然后能够很容易地在时域中使用该矩阵；其次，对于pw>2，能够使用标准求积规则来评估计算系统矩阵所需的积分。在[39]中，选择pw＝2在物理领域上是合理的，尽管指出任何幂pw>2保留系统矩阵积分的有界性。无论pw的选择如何，共轭加权构想被证明会产生加权索伯列夫空间中的变分构想，其解的存在性和唯一性已经被证明[12]、[45]。159、2.3稳定性条件综述160、在本小节中，我们分析了astley-leis构想条件是稳定的。该分析是对astley和hamilton[28]提出的理论的延伸。具体地，在[28]的部分3.5中，只考虑了相对于无限元的系统矩阵；相比之下，这里我们包括内部域用有限元离散化的情况。此外，在[28]的部分3.5中，只考察了无限元内表面为圆弧的情况；在本小节中，我们将分析扩展到任意凸形。另外，为了保证稳定性，我们将认为不必构造“零质量”元素，但要求相对于无限域的元素质量矩阵是半正定就足够了。161、如[46]中所述，只要阻尼矩阵、刚度矩阵和质量矩阵是正半定的，二阶系统(8)就是稳定的。在以下情况时，矩阵被定义为半正定：162、163、为了简洁起见，我们将采用a≥0作为简略表示来指示矩阵a的半正定性。由于无限元的贡献，质量矩阵不可能总是半正定，导致系统变得不稳定。164、首先，我们证明了，如果相对于无限域的质量矩阵，(其中，nie是与无限元相关联的dof数目)是半正定的，则全局质量矩阵m也是半正定的。让我们考虑通用向量165、166、其中，下标fe和ie分别表示与有限元和无限元的dof相关联；式(40)中的最后的不等式的由来是：假设mie≥0，并且当使用标准多项式形状函数时，mfe≥0，并且声音在其中传播的介质的材料特性是物理上能实现的。167、接下来，我们证明了，只要元素质量矩阵对于所有无限元都是半正定的，则mie≥0。让我们考虑通用向量168、其中，ne是无限元的数目，并且不等式的由来是假设其中，e＝1,...,ne。169、我们现在分析的条件。在astley-leis构想中，当测试基函数被视为形状函数的加权复共轭时，采用以下形式(参见[13])：170、171、其中，c是声音速度。为了更容易地分析其确定性，我们将其重写为更简单的形式。具体地，当使用高斯求积公式来执行积分时，表达式(42)能够改写为172、173、其中，是多项式函数矩阵，在高斯点处评估：174、175、ng是高斯点的数目，为第j个高斯点的母元坐标向量，并且de是对角矩阵，其沿对角线的第j个分量为176、177、其中，是第j个高斯权重，detjj是物理坐标与母元坐标之间的变换的雅可比行列式，在第j个高斯点处评估。178、由于de是对角矩阵，因此当且仅当其所有分量不小于零时，它才是半正定的。当且仅当以下情况时，就会发生这种情况：179、180、我们证明，如果de≥0，则mie≥0。让我们选择通用向量y∈rn：181、182、其中，式(47)中的最后的不等式来自事实，即，假设de≥0，其中，由此可见，如果对于无限元内的任意点则保证二阶系统(8)是时间稳定的。183、让我们将向量定义为指向正交于包络线γ的方向的向量，其大小为184、185、其中，ne(s,t)是在母元坐标标识的点处垂直于包络线γ的单位向量。对于经典的astley-leis构想，相位距离在式(29)中定义；在对进行微分后，我们得到186、187、另外，对于梯度算子的特性，由于函数的梯度与其方向导数之间的关系，我们有：188、189、让我们首先考虑理想的场景，其中，包络线γ被精确地表示，并且几何离散化不会产生任何误差，并且让我们选择第e个元素中的无限边与包络线γ正交地拉伸。在这种情况下，表示物理坐标为的点与γ之间的距离。如此，具有常数的线垂直于ne(s,t)。这意味着，对于梯度算子的特性，垂直于等值线，平行于ne(s,t)，并且因此与对准。因此，我们能够写190、191、最后，将式(50)和(49)插入式(51)并简化所得方程，我们得到192、193、这意味着，如果对于所有无限边，拉伸方向正交于包络线γ，则我们在外部域中的任何位置都会获得但是，由于几何近似，能够出现小的数值误差，可能会导致某些点出现astley和hamilton[28]建议通过迫使mie＝0(其相当于在任何位置强加)来弥补这种影响，认为只要横向节点间距足够细以充分解析γ的曲率，随之而来的频域解的改变就能够忽略不计。正如该部分中前面所示，实际上迫使mie≥0就足够了，这相当于强制这能够通过仅对的点迫使并对的点使不变来实现。194、要求无限元与γ正交地拉伸意味着，一般来说，虚拟源不能位于包围所有声音源的最小球体的中心。这限制了所有标准映射构想的准确性，特别是对于具有高纵横比的包络线，并解释了需要来发展新的灵活无限元构想。195、3.灵活无限元构想196、在该部分中，我们描述了新的灵活构想，其几何形状函数和场形状函数是使用两种不同的映射来构造的。该特征使我们的构想的准确性独立于无限边的几何形状。因此，灵活无限元能够用于精确地模拟任意凸形包络线的瞬态声波传播问题。197、3.1.修改后的形状函数198、我们记得，我们用r表示距辐射中心的距离，并用表示距虚拟源的插值距离。我们的目标是修改形状函数构想，以获得199、200、在无限元内部的任何位置，无论虚拟源的位置如何。为此，我们首先将相位距离重新定义为201、202、其中，re根据式(28)来计算，并且是在γ上评估的径向距离：203、204、人们能够尝试将形状函数写为205、206、其中，将作为在切线方向上的常用多项式函数与径向方向上的有理函数之间的张量积获得，专门设计用于满足式(53)。然而，构建这些有理函数并非易事，且在现有fem软件中实现此类公式的工作量将相当大。相反，我们在径向距离r与辅助坐标v之间引入新的辅助映射：207、208、应该注意的是，该映射很大程度上与式(25)相似，用v、re和代替和辅助映射的示意图如图4所示。209、利用辅助映射，我们提出了形状函数的新构想：210、211、其中，ψ是常用多项式，关于变量s、t、v表示，而不是如astley-leis构想的式(30)中的变量s、t、212、图4示出灵活无限元中辅助映射的示意图。213、作为示例，为了便于表示，让我们考虑二维的一阶拉格朗日多项式：214、215、我们强调，在式(31)与式(59)之间的唯一不同是被辅助变量v替换。将径向映射(57)插入(59)中，能够验证以下关系成立：216、217、将上方幅角(argument)扩展到在三维中的高阶多项式，我们得到：218、219、其中，m是外部域中选择的径向阶。这不仅对于沿无限边的点是真的，对于无限元内部的任意点也是真的。220、换言之，截断于第m阶的多极展开(9)属于由第m阶形状函数的列所跨越的空间。虚拟源的概念不适用于我们的构想，因为无论无限元的几何形状如何，关系式(61)都是真的。因为准确性不依赖于映射节点的定位，所以该特征使我们的构想比传统映射构想更灵活。如在astley-leis构想中，测试函数被选择为形状函数的加权复共轭：221、222、3.2.修改的无限元的时域稳定性223、因为式(54)中μe的定义与式(29)中的定义不同，所以新的灵活无限元需要单独的稳定性分析，用于标准映射构想。具体地，即使在无限元与包络线γ正交拉伸并且几何离散化没有近似时，也不能保证在任何位置均为这对该方法的稳定性提出了挑战。224、首先，我们分析了的行为，表明当无限边正交于包络线γ，在近场中而在中间场和远场中然后，我们提出了在不违背准确性的情况下稳定时域构想的策略。225、3.2.1.的行为226、在本小节中，我们研究当无限边在正交于包络线γ的方向上拉伸时的行为，如[28]中提出的时间稳定无限元。为了简单起见，我们考虑二维情况，但我们所做的所有考虑都适用于三维。227、图5示出灵活无限元内部区域的示意图。无限边与包络线γ正交拉伸。228、让我们考虑包络线γ上的点，其母元坐标为首先，我们证明了，只要元素中的无限边与γ上的映射节点处的包络线γ的法向量对准，则对于梯度算子的特性，由于函数的梯度与其方向导数之间的关系，我们有：229、230、包络线γ是μ的等值线，定义μ＝0。其遵循：231、232、因为μ的梯度垂直于μ的等值线。对于标准astley-leis构想，我们已经证明关系式(52)成立。让我们定义233、234、以及235、236、和μ关于的偏导数，根据导数的定义，分别能够写为237、238、以及239、240、根据三角不等式(参见图5)，我们有241、242、由此得出243、244、结果，我们最终得到245、246、再次，如在经典的astley-leis构想中，由于几何近似，可能出现小误差。在这种情况下，如[28]所示，我们建议忽略这些小的差异，以确保方法的稳定性。247、对于很容易得出这意味着248、249、在与之间的区域中，我们无法保证的确切行为取决于无限元的几何形状。在实践中，经常会遇到对于的几何图形(参见图6)。250、3.2.2.稳定系统的策略251、由于上一小节中分析的的行为，需要稳定灵活无限元构想的策略。在非稳定版本中，元素级的质量矩阵贡献写作：252、253、为了稳定新的灵活构想，我们建议用替换非稳定质量矩阵其中254、255、其中256、257、当使用高斯求积来计算式(74)时，我们能够写258、259、对角矩阵的第j个分量为260、261、这确保了并且因此确保该构想是时间稳定的。262、作为示例，我们考虑二维情况，其中，fe边界是椭圆的包络线，宽度为6且高度为2。在图6中，对于与包络线正交拉伸并从坐标为的映射点的无限边，我们将和绘制为v的函数。图6示出和在映射节点(0.5，0.986)处沿着与椭圆的包络线(纵横比为3)正交拉伸的无限边。263、3.2.3.稳定构想的准确性264、在前一小节中，我们证明了如何稳定灵活无限元构想。然而，稳定程序可能会潜在地影响该方法的准确性。这是因为中的一些条目能够基本上与de中的对应条目不同，使得成为的不好的近似。265、利用当无限边与包络线r正交拉伸时成立的关系式(71)，我们能够设计在稳定程序之后确保灵活无限元的准确性的策略。我们建议调整权重因子w中的幂pw，以确保稳定程序不会显着影响准确性。实际上，这是通过控制与de之间的相对差异来实现的：该差异越小，准确性损失就越小。我们记得astley-leis构想中的权重因子是式(38)，其中pw＝2。我们观察到在包络线处w＝1，并且w→0为通过增加pw，我们使的加权因子甚至更小。让我们考虑第j个高斯点gκ，其中(我们已经提到过，这通常发生在时)。矩阵de中的对应对角线条目是266、267、而中的对应条目是268、269、我们强调，由于关系式(71)对于正交拉伸无限边成立，因此gκ不能位于包络线γ上。出于这个原因，保证w(gκ)<1并且我们能够强制270、271、通过选择272、273、其中，∈是公差值，由用户设置。参数pw在整个域上选择恒定，以保证测试函数在整个域上的连续性，使得式(81)对于所有无限元都满足。公差∈越小意味着de与之间的差异越小，并且因此稳定步骤之后的准确性损失越小。我们强调稳定性由式(75)保证，而稳定构想的准确性由式(81)保证。在附录a中，我们提出了由于稳定程序而导致的准确性损失的界限，将其与选择的公差∈联系起来。选择pw>2的唯一代价是需要更多数量的高斯点来执行计算，因为要积分的多项式的阶数随pw增加。通常，对于使用fem的数值声学模拟，在计算上最集中的运算是完全组装矩阵的因式分解；由于这个原因，尽管装配步骤的计算成本增加，但对于相同数目的dof，灵活构想的总计算成本与astley-leis构想相当。另外，在许多情况下，正如我们将在部分5和部分6中记录的那样，灵活无限元由于其几何灵活性而导致dof数目急剧减少，使模拟在计算上不那么集中。274、3.3.法向方向上的网格拉伸275、正如前面部分已经解释的，无限边需要与包络线γ正交拉伸，以确保时域的稳定性。不幸的是，计算一般凸形的包络线γ的法线并非易事。在一些情况下，有关法向量的信息能够由cad工具提供，缺点是需要额外的预处理步骤。在其他情况下，只有网格域可用，没有参考几何形状。我们通过遵循[47]中提出的工作流来解决这个问题。通过这种方法，只需要内部域的网格。γ上的映射节点处所需的法向量计算如下：276、·对于顶点，法向量ne(s,t)取为接触该顶点的元素法线的平均值。277、·在二次元素内部，对于定义在边(或面)中间的节点，ne(s,t)计算为属于该边(或面)的顶点处的法向量的平均值。278、用户必须指定拉伸长度，对于在γ上的第i个映射节点，其为定义为式(12)的距离在第e个元素内部，其母元坐标为(si,ti,-1)。然后，外部域内部的映射节点的位置通过以下方式确定：279、280、对于包络线γ上的所有映射节点以及所有无限元，重复该过程。281、4.高阶有限元和无限元的软件实施282、在本小节中，我们讨论将无限元实现为高阶fem代码。这里所做的考虑既适用于astley-leis构想，也适用于灵活无限元。我们提到[48]中描述的自适应阶p-fem方法，其中，使用罗巴托(lobatto)形状函数(也称为积分勒让德(legendre)多项式)，并且提到[49]，其中，该方法被推广为包括各向异性阶。对于许多亥姆霍兹(helmholtz)问题，当与常规fem相比时，这种方法已经被证明能够极大地提高数值模型的效率，利用高阶多项式近似在控制污染效应方面更有效的事实。当需要频域中的解在一定频率范围内时，发现使用分层形状函数集(诸如lobatto多项式)的附加好处。对于最高阶，能够仅计算一次元素矩阵，并且然后，在每个频率，人们能够仅提取这些矩阵的所需部分来组装全局矩阵。所提出的方法的关键特征是使用简单的局部误差指示器来先验地选择每个元素中的多项式阶数。对于一定频率范围内的计算，这种方法仅需要单个网格，并且误差估计器能够通过识别准确性目标所需的最低阶来选择每个元素中合适的多项式阶数，以在频率变化时保持效率和准确性。283、基于lagrange多项式的无限元已经被证明存在高径向阶数的调节问题[35]。已经提出使用jacobi[35]和berstein[50]多项式来改进调节并优化基于krylov的迭代求解器的性能。正如[35]中指出的，lobatto多项式尽管从调节的角度来看是次优的，但在这方面胜过lagrange多项式。284、通过对有限元和无限元采用相同类型的多项式，软件实施变得特别容易。在这种情况下，能够通过重复使用由其有限元对应物调用的大部分例程来开发无限元子例程。唯一的区别是需要实现新的径向几何映射(23)，并且需要使用不同的公式来计算系统矩阵，这不需要任何额外的实施努力。换言之，在软件实施中，无限元能够简单地看作是专门的各向异性高阶元素。这是重要的方面，因为无限元方法的实施负担可能会阻碍其在实际应用中的广泛使用。在外部域中也使用lobatto多项式的额外的好处是，系统矩阵的层次结构被保留用于无界域模拟，并且能够用于频域计算。285、fe域内部的形状函数阶数是基于[48]中描述的先验误差估计器选择的；无限边上的径向阶由用户选择，而包络线γ上的形状函数阶数则被设计为确保与fe域的连续性；最后，顶点、边和面的dof在无穷远处设置为零(母元中的)，以迫使压力场的衰变。286、5.数值检验287、在该部分中，灵活无限元与astley-leis构想进行了比较，并在频域和时域两者中提供了二维和三维的数值示例。fe域用网格生成器gmsh[51]生成网格，而使用以下策略之一在运行时拉伸无限元：288、·共焦射线(confocal-ray)方法，其中，无限边在径向方向上拉伸并向辐射中心收敛。在astley-leis构想中，这意味着所有虚拟源都与辐射中心重合。289、·法向射线(normal-ray)方法，其中，无限边与向量n对齐，垂直于fe边界包络线γ。290、在内部域中使用弯曲的三角的或四面的元素，而外部网格由四边形或棱柱形元素组成。结果是使用内部matlab代码获得的。291、在以下示例中，我们将经常提到分别在包络线γ上计算的数值解unum与参考解uref之间的相对的l2误差：292、293、并且在内部域(fe域)中：294、295、当使用灵活构想来用于瞬态问题时，对于感兴趣的最大频率，我们将测量稳定程序在频域中引起的误差(参见部分3.2.3中的讨论)如下：296、297、其中，是使用稳定构想获得的，而是使用非稳定构想获得的。298、5.1.2d单极子源299、首先，我们分析2d域中单极子源的情况，其解析解已知：300、301、其中，是第二种类汉克尔(hankel)函数，并且单极子源位置与辐射中心重合。源被凸包络线包围，并且使用共焦射线方法和法向射线方法生成的两个网格如图7所示。在源附近，由于r＝0处解析解的奇异性，网格被细化，而在域的其余部分则使用更大的元素，以充分利用高阶fem的效率。内部域与外部域之间的界面处的元素特征长度为h＝0.25。302、图7示出用于数值实验的2d网格。示出了fem网格、包络线γ和σ(蓝色)以及γ与σ之间无限边的部分。在共焦射线方法中，所有虚拟源都与辐射中心重合。在法向射线方法中，所有无限边都局部地正交于包络线γ。在这两种情况下，网格都会在单极子源位置附近进行细化，该位置与辐射中心重合。303、5.1.1.频域结果304、对于以下频域结果，形状函数的阶是固定的(在内部域和外部域两者中)。数值收敛研究是通过研究所选阶对方法准确性的影响来完成的。首先，我们将新的灵活无限元的性能与共焦射线配置的astley-leis构想进行比较。即使对于所考虑的配置，所有虚拟源都与辐射中心重合，astley-leis构想和灵活构想仍然不同。这是因为，对于astley-leis构想，径向坐标是使用标准插值函数求得的，如式(18)和式(22)所示，而对于灵活无限元，它们是使用式(28)和式(55)作为笛卡尔坐标的函数计算的。在图8中，我们将两种方法的几种频率下包络线γ上的l2误差绘制为形状函数的阶的函数。305、对于所有四个频率，标准astely-leis构想的l2误差达到稳定水平(plateau)，而灵活无限元方法则显示出更好的p-收敛特性。该结果能够通过以下事实来解释：对于灵活无限元，式(53)在任何位置均满足，而对于astley-leis构想，当采用共焦射线拉伸(extrusion)方法时，它仅沿着无限边有效(参见2.2.2中的讨论)。换言之，截断多极展开(9)对于灵活构想来说属于整个外部域中形状函数所跨越的空间，但对于astley-leis构想来说仅沿着无限边。对于较粗的网格(其通常在高阶自适应fem的背景中使用)，所产生的准确性差异较高，而在使用精细网格时能够忽略不计。306、图8示出灵活无限元(黑色)与标准astley-leis元素(灰色)，共焦射线配置的结果。所有虚拟源都与辐射中心和物理源的位置重合。307、接下来，我们将灵活无限元与astley-leis无限元进行比较，当采用法向射线拉伸策略时。这是时域比较的初步，其中，法向射线策略是唯一能够提供稳定结果的策略。在图9中，我们记录了灵活构想带来的准确性方面的显着改进。在这种情况下，结果能够通过以下事实来解释：对于灵活构想，式(53)再次在任何位置都满足，因为形状函数跨越的空间并不依赖于无限元的定向；相比之下，对于astley-leis无限元，则不满足式(53)，因为虚拟源与辐射中心不重合。308、图9示出灵活无限元(黑色)与标准astley-leis元素(灰色)，法向射线配置的结果。网格拉伸按照部分3.3中的描述进行。309、5.1.2.时域310、众所周知，共焦射线拉伸方法通常会导致时域中的不稳定构想，如部分2.3中所讨论的。由于这个原因，我们只关注法向射线方法。对于此示例，单极子源放置在(0.5,0.4)，这样即使当辐射中心与物理源不重合时，灵活无限元也能良好地工作。用于模拟的输入信号是正弦波，k＝20，使用汉明窗进行滤波。因此，力向量fτ(τ)(t∈[0,t])是311、312、其中，f是频域中的力向量。使用bériot等人[48]的先验误差指示器自适应地选择fem域中形状函数的阶，其中，目标l2误差e2＝0.01，而对于这两种情况，无限域中的径向阶设置为m＝6。式(38)中灵活构想的幂设置为pw＝6，并且稳定程序引起的误差为根据式(85)计算k＝20，即所分析问题的最大感兴趣的波数。换言之，很明显，稳定程序引起的误差能够忽略不计，因为它很大程度上低于用于计算fem域中形状函数阶数的目标误差。313、在更大的圆形fem域上计算参考数值解，以单极子源位置为中心，半径为2，使用astley-leis无限元，在径向方向上拉伸无限边，对于所有无限边拉伸长度为使得所有虚拟源都与单极子源的位置重合。参考解的无限域中的径向阶设置为10。径向数量根据式(28)和式(55)计算，以提高参考解的准确性(参见部分5.1.1的讨论)。换言之，径向数量不是通过插值相对于节点值的径向距离来计算的，而是取无限元中插值点距辐射中心的距离。这相当于将虚拟源的插值位置定义为与辐射中心重合，因此获得更好的准确性(参见部分2.2.2中的讨论)。由于这种修改，在该具体配置中，astley-leis构想等同于灵活构想。由于该修改的准确性改进已记录在部分5.1.1中。时域中的参考数值解是按照astley和hamilton[28]的程序构建“零质量”无限元来计算的，这不会显著地影响圆形域上的准确性。使用大的fem域、实施径向数量的修改的插值以及所有虚拟源与物理源的位置重合的事实，确保了参考模型的良好准确性。314、在图10中，凸包络线上两个点(点a＝(-1.3,0.2)和点b＝(-0.78,-0.24))的压力历史记录与参考解一起被绘制为astley-leis构想和灵活构想的时间函数。使用灵活构想获得的数值解与参考解紧密地匹配，而astley-leis构想没有提供令人满意的结果。图10示出使用法向射线拉伸策略，在时域中任意凸包络线的灵活构想和astley-leis构想的性能(参见图7)。凸包络线上点a和点b处的压力历史。参考(黑线)、灵活无限元(灰虚线)和传统astley-leis构想(红线)之间的比较。外部域中的径向阶设置为m＝6，而内部域中的阶数则通过先验误差估计器确定。315、5.2.球体对平面波的散射316、在本小节中，我们考虑球体对平面波的散射，并且我们测试灵活无限元和astley-leis无限元的性能。几种具有圆形边缘的多面体形状被用作封闭表面。不管使用的无限元构想，为了保证该方法的准确性需要对角进行圆化处理，因为法向量必须在整个表面上连续，以便在任意点处拉伸方向都正交于包络线。317、散射球体具有单位半径，而伪多面体域具有中位线半径(midradius)2和圆角半径0.2。内部域中使用的网格具有特征长度h＝0.3的元素，对圆角进行细化，以解析几何细节，并再次自适应地设置fem域中的阶，使用bériot等人[48]的先验误差指示器，其中，目标l2错误e2＝0.01。318、5.2.1.频域结果319、该问题的参考解析解为：320、321、其中，asca是散射球的半径，jm是第m阶球面贝塞尔(bessel)函数，是第m阶第一种类球面hankel函数，并且pm是第m阶legendre多项式。322、最佳插值误差计算为解析解与其l2到有限元空间上的投影之间的相对的l2误差：323、324、该误差对应于在给定fe网格和所使用的阶的情况下能够达到的最佳数值解，而不管所使用的无限元构想如何。在图11中，我们证明了使用在法向方向上拉伸的灵活无限元获得的数值结果。我们进行了多次模拟，将外部域中的径向阶m从1更改为10；fem域中的形状函数阶是使用先验误差估计器选择的，正如本部分开头已经解释的那样，并且在不同的模拟之间保持不变。能够观察到，对于两个频率，内部域e2(ωi)中的相对的l2误差接近增加径向阶m的最佳插值误差。能够看出，伪四面体是最具挑战性的形状，因为它是最接近散射表面的形状。325、图11示出每条彩色线对应一个伪多面体域。较深的颜色对应具有更多边的伪多面体。虚线：fe域中的最佳插值误差。使用先验误差估计器自适应地设置内部域中的形状函数的阶，并且在不同的模拟之间保持不变。径向阶m贯穿外部域是一致的，并且在不同的模拟之间变化。326、5.2.2.时域结果327、在本小节中，在部分6.3.1中提出的所有伪多面体形状中，仅考虑最具挑战性的一种，即伪四面体。我们现在考虑瞬态模拟的结果，其中，输入信号是k＝10的正弦波，通过汉明函数进行滤波，与2d情况一样。在图12中，我们示出了灵活无限元和astley-leis无限元的包络线点a和b处的压力结果；对于这两种情况，无限元中的径向阶都设置为5，而内部域中的阶数是通过先验误差估计器确定的，如该部分开头所解释的。式(38)中灵活构想的幂被设置为pw＝6，并且稳定程序引起的误差为根据式(85)计算k＝10，即所分析问题的最大感兴趣的波数。再次，很明显，稳定程序引起的误差能够忽略不计，因为它很大程度上低于用于计算fem域中形状函数阶数的目标误差。328、与二维情况一样，参考数值解是在更大的fem域上使用无限边在径向方向上拉伸的astley-leis无限元计算的，该域由围绕散射体的半径为2的球体组成，使得所有虚拟源都与散射球体的中心重合。参考解的无限域中的径向阶设置为10，并且再次根据表达式(28)和(55)计算径向数量。时域中的参考数值解是按照astley和hamilton[28]的程序构建“零质量”无限元来计算的。与二维情况一样，通过使用大的fem域、高径向阶m和径向数量的修改的插值，并结合所有虚拟源都与辐射中心重合的事实，保证了参考数值模型的良好准确性。329、同样对于这种情况，能够注意到灵活构想优于传统的astley-leis构想。330、图12示出使用法向射线拉伸策略，在时域中包围散射球体的伪四面体的灵活构想和astley-leis构想的性能。凸包络线上的点a和点b处的压力历史记录。参考(黑线)、灵活无限元(灰虚线)和传统astley-leis构想(红线)之间的比较。外部域中的径向阶设置为m＝6，而内部域中的阶数则通过先验误差估计器确定。331、6.在工业复杂性问题上的应用332、在该部分中，我们提出了使用灵活无限元构想来解决工业复杂性的无限问题的工作流程。具体地，为了展示该方法的有效性，我们将考虑鲨鱼潜艇，如图13所示。对于频域验证，我们将模拟平面波的散射，而对于时域，我们将考虑位于fe边界附近的单极子源。使用自动算法创建围绕散射体的凸包络线，并自动拉伸法向方向上的无限边。为了加速瞬态模拟，我们使用van de walle[25]和van ophem[26]提出的mor程序，称为自动krylov子空间算法(aksa)。所提出的工作流的高度自动化，以及通过使用通用形状的凸包络线实现的计算效率，使其对于现实瞬态应用非常有吸引力。333、图13示出鲨鱼模型。334、6.1.自动生成凸域335、在本小节中，我们将描述获得计算域网格的自动过程。第一，在潜艇上创建由第二阶三角形元素组成的表面网格，其特征长度为h＝0.02。其次，使用quickhull算法[36]自动地生成近似凸包，该算法在由西门子工业软件开发的模拟包simcenter 3d[37]中实施。潜艇表面到凸包络线的最小距离为d＝0.05。再次，使用特征长度为h＝0.02的二次三角形元素对外表面进行网格划分。然后，在两个表面网格之间创建包含四面体二次元素的体网格。无限元沿法向方向自动地拉伸，使得瞬态构想是时间稳定的，遵循部分3.3中描述的过程。最终网格如图13所示，由183519个二次元素和232959个节点组成。由于凸包络线位于包围散射体的最小球体内部，因此理论上阿特金森-威尔科克斯(atkinson-wilcox)定理不能保证收敛。在部分6.3.1和部分6.3.2中，我们将证明，在实践中，当将灵活无限元附加到凸包上时，在时域和频域两者都能够达到良好的准确性。336、6.2.模型降阶程序337、由于灵活无限元，如传统的astley-leis无限元，会产生频率无关且稀疏的系统矩阵，因此它们与基于krylov的mor的组合使用特别有吸引力。为了加速瞬态模拟，我们使用aksa[25]、[26]算法，该算法旨在于在用户指定的公差内，在感兴趣的频率范围内，通过仅使用少数系统求解并用高阶矩丰富投影基来自动地构建降阶模型，其频率响应函数(frf)与初始全阶模型(fom)的frf相匹配。为了获得鲨鱼潜艇的时域简化模型，例如，在k＝5与k＝50之间有效，相对误差公差为tol＝0.01，只需要5个完整的系统求解。338、6.3.结果339、6.3.1.频域结果340、我们现在测试灵活无限元在频域中对平面波散射的性能。对以不同入射角α和θ传播的四个平面波执行了模拟。作为参考，我们使用利用具有5层的自动完美匹配层(aml)实现方式[47]获得的结果。对于使用无限元的配置，使用bériot等人[48]的先验误差估计器自适应地分配fem域中的阶，其中，目标l2误差e2＝0.01，而外部域中的径向阶是用户定义的；对于aml情况，阶在整个计算域中自适应地分配。对于所有分析的情况，所使用的网格如图13所示。对于k＝10和k＝100，凸包络线上的相对l2误差如图14所示。在所有情况下，无限元都表现出良好的收敛性，径向阶8的相对l2误差始终低于0.03，接近目标误差。注意在一些情况下，相对的l2误差甚至低于目标误差；这种情况能发生，因为确定内部域中的阶数的自适应规则是基于对错误的不精确估计。图14示出平面波以不同球面角α和θ(以弧度表示)撞击鲨鱼潜艇的频域结果。无限边在法向方向上拉伸的灵活无限元构想的性能。aml实现方式用于计算参考解。341、6.3.2.时域结果342、最后，我们考虑放置在鲨鱼前，在(0,0,0.5)处的单极子源的散射。343、用于计算fem域中形状函数阶数的目标l2误差被再次设置为e2＝0.01。无限元的径向阶被设置为m＝8，贯穿外部域被固定。式(38)中灵活构想的幂设置为pw＝8，并且稳定程序引起的误差为根据式(85)计算k＝50，即所分析问题的最大感兴趣的波数。再次，很明显，稳定程序引起的误差能够忽略不计，因为它很大程度上低于用于计算fem域中形状函数阶数的目标误差。344、输入信号由k＝45的正弦波组成，使用汉明窗进行滤波。使用aksa生成在k＝5与k＝50之间有效的rom，其中，相对误差公差为tol＝0.01。图15比较解向量中的随机条目的fom和rom的frf。最终的rom有90个dof，而最初的fom有465905个dof。345、图15示出frf比较解向量中的随机条目的rom(灰线)与fom(黑星)。将灵活无限元附加到凸包上获得的结果。346、我们在具有384gb的ram和3.00ghz时钟频率的戴尔(dell)台式计算机上运行了我们的所有数值实验。离线mor程序需要5分45秒，并且单个完整系统求解(在aksa期间执行多次的操作)需要15.5gb的存储量。作为参考，我们使用标准astley-leis构想来计算对相同激励的瞬态响应，并在潜艇周围设置球形包络线。在这种情况下，模型具有1039249个节点、801405个元素和2515697个dof，是凸包模型的5倍。离线mor程序花费了95分钟，比之前的情况要更多，并且对于完整系统求解，需要151.9gb的存储量；另外，整个mor过程中需要存储的投影基比以前大5倍，因为行数对应于fom的dof。与之前的情况一样，最终的rom具有90个dof。在表1中，我们总结了使用aksa为两个模型构建rom的计算要求的数据。347、348、表1：aksa的计算要求，具有凸包的模型与包围潜艇的球形包络线之间的比较。349、图16示出潜艇表面上点a和点b处的压力历史，使用astley-leis无限元附加到球形包络线(黑线)和灵活无限元附加到凸包(灰色虚线)。350、在图16中，我们针对凸包和球形包络线模型绘制了潜艇表面上不同点处的压力作为时间的函数。通过新开发的灵活无限元构想实现的凸包模型的使用显然更加高效，因为mor过程的成本要低得多，而准确性与使用球形包络线获得的准确性相似。在图17中我们示出了使用simcenter 3d(版本2022.1)对不同快照处的瞬态声波进行可视化。351、图17示出瞬态结果在simcenter 3d中可视化。单极子源放置在鲨鱼前面。352、7.结论353、在这项工作中，我们引入了新颖的无限元构想，称为灵活无限元，用于模拟无界波传播问题。传统映射构想的主要缺点之一是准确性取决于无限元的几何配置。对于无限元必须与fe边界正交拉伸的瞬态模拟，用户无法自由地将虚拟源定位在所需的位置。该情况限制了这样的构想的准确性，尤其是在使用高纵横比的包络线的情况下。在灵活构想中，使用了一组新的形状函数，这使得准确性独立于映射节点的位置。新开发的元素能够用于瞬态模拟，具有任意凸形的fe边界。详细讨论了保证所提出的方法在时域的稳定性并同时保持准确性的策略。通过几个示例测试了灵活构想在频域和时域两者的准确性。证明了如何在基于高阶自适应fem的软件中轻松实现新构想。最后，提出了包括无限元的自动拉伸和结果模型的自动降阶的工作流。由于高阶多项式通常使用测试函数，因此为了保证稳定瞬态灵活构想的准确性，组装步骤的成本高于标准astley-leis无限元(参见部分3.2.3中的讨论)。然而，对于大多数感兴趣的情况，计算成本最高的操作是因式分解步骤。具体地，证明了通过使用灵活无限元能够节省计算量，特别是对于高纵横比散射体。对于未来的研究，开发新的误差估计器来自动确定无限域中形状函数的径向阶将会很有兴趣。最后，基于用户的准确性要求，研究自动选择瞬态模拟的测试函数中的冥pw的新的策略将会很有兴趣。354、附录a.稳定灵活构想的误差界限355、在本附录中，我们分析了稳定程序对线性方程组(7)的解p的准确性的影响。具体地，我们提出了误差界限，其将准确性损失与方程(80)中所选择的公差∈联系起来。让我们将afull称为完全组装矩阵356、afull：＝[-ω2m+iωc+k] (a.1)357、并让被扰乱的系统为358、(afull+δafull)(p(ω)+δp(ω))＝f(ω), (a.2)359、其中，△afull是稳定程序引入的afull中的扰乱，并且△p(ω)是解向量中的后续扰乱。正如[52]中所述，我们有360、361、其中，矩阵a∈ra×b的∞范数为362、363、并且条件数κ∞定义为364、κ∞(afull)：＝||afull||∞||afull-1||∞。 (a.5)365、由于稳定程序包括用稳定版本替换无限元的质量矩阵贡献mie，因此我们有366、367、有趣的是注意，由于||δafull||∞与ω2成比例，因此对于感兴趣的最高频率，准确性损失更大。在元素层级，我们能够写成368、369、矩阵的最大条目最多为∈，其是通过式(80)和式(81)强加的。因此，矩阵的最大条目小于因为当选择lobatto多项式时，及其所有条目都小于或等于1。构成全局矩阵mie中的条目的元素矩阵的最大数目为nmax，其中370、371、其中，nγ是包络线γ上的映射节点的数目，并且是共享第i个节点的元素的数目。因此，我们有矩阵中的最大条目最多为使用∞范数定义，我们能够写成372、373、其中374、375、其中，定义为矩阵mie的第i行中非零条目的数目。通过将不等式(a.9)代入(a.6)，我们获得376、||δafull||∞≤(wng)2nnznmax∈, (a.11)377、将其代入(a.3)，得到378、379、表达式(a.12)表示用户在元素级别设置的公差∈与来自稳定程序的准确性损失之间的联系。380、本发明的附加可行实现方式或替代解决方案还涵盖上文或下文关于实施例描述的特征的(本文未明确提及的)组合。本领域技术人员也能够向本发明的最基本形式增加个别或孤立的方面和特征。381、本发明的部分是，并非方法的所有步骤都必须在同一部件或计算机实例上被执行，而是也能够在不同的计算机实例上被执行。382、鉴于将在附图的语境下更详细地描述的下文中的描述和实施例，上文描述的本发明的属性、特征和优点以及实现它们的方式将变得更加清楚并且更容易理解。以下描述并非将本发明限于所包含的实施例。在不同的图中，相同的部件或部分能够用相同的附图标记来标记。一般地，这些图并非按比例绘制。应当理解，本发明的优选实施例也能够是本发明或上述实施例与本发明的任何组合。383、本发明的这些和其他方面将在下文中描述的实施例中变得显而易见，并参考这些实施例得到阐明。当前第1页12当前第1页12