基于区间时滞影响下不确定电力系统的镇定器的设计方法与流程

本发明广域电力系统分析的技术领域的技术领域，尤其涉及基于区间时滞影响下不确定电力系统的镇定器的设计方法。

背景技术：

近年来，电力工业的快速发展使得电力系统规模不断地扩大，大规模的电网互联已成为当今电力系统发展的必然趋势，仅靠传统的反馈控制器已不能保证复杂电力系统安全稳定的运行。随着相量测量单元(phasormeasurementunit，pmu)和广域量测技术(wideareameasurementsystem，wams)的发展，使得信息的超远距离传输和全局控制成为可能，为广域电力系统的稳定性分析和控制提供了新的手段。广域反馈信号控制有效地提高了互联系统的动态性能，但广域条件下存在因远距离信息传输产生的明显时滞。研究表明，时滞是造成控制器性能降低，系统失稳甚至崩溃的重要诱因。因此，研究时滞影响下电力系统的稳定性分析并设计有效的控制器保证电力系统能稳定运行具有重要的现实意义。

时滞电力系统控制器的设计条件建立在稳定性结论的基础上，因此，如何借助基于lyapunov稳定性理论的时域分析法得到保守性更小的稳定性判据是广大国内外学者不懈努力的方向。文献[1]在泛函中引入积分二次型，但由于解析时采用jensen不等式，与文献[2]采用wirtinger不等式相比增加了结果的保守性。文献[3]采用自由权矩阵方法降低结果保守性，但由于过多自由变量的引入降低了计算效率。文献[4]在采用wirtinger积分不等式的基础上引入了松散项，得到了多时滞不确定电力系统的稳定判据。文献[5]将wirtinger不等式与相互凸组合技术结合得到改进的时滞稳定判据。在时滞电力系统控制器设计方面，文献[6]根据电力系统存在的时滞差异性，采用模型降阶法实现了含多个时滞的广域输出反馈控制。文献[7]运用wirtinger积分不等式，设计了带记忆的反馈控制器。文献[8]运用改进的wirtinger不等式和相互凸组合方法设计了状态反馈控制器。文献[9]基于自由权矩阵方法获得了时滞附加阻尼鲁棒控制器，但采用的无记忆状态反馈控制器对时滞较小的电力系统有效，对时滞较大的系统则表现不佳。且文献[8-9]采用lmi迭代法获得控制器参数，其计算量较大。文献[10]在pade近似方法的基础上，利用伪广义耗散hamilton系统理论及控制方法设计了广域时滞电力系统的反馈励磁控制器。但hamilton-jacobi方程求解较为困难，文献[11]则应用反最优理论，设计了全局稳定的最优反馈控制器。文献[12]设计了计及电力系统变时滞特点的控制器，相比传统的利用pade近似法处理时滞具有更低的保守性。文献[13]在时滞分割法的基础上设计了带记忆反馈控制器并取得了良好的控制效果，但对非线性项的处理采用的是待定参数法，这种根据经验进行参数设定的方法具有较强的保守性。以上文献虽然在一定程度上降低了时滞电力系统稳定判据的保守性，但在模型描述、泛函构造和放缩技巧上还存在很大的提升空间。

参考文献：

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[12]索江镭,胡志坚,刘宇凯,等.大规模风电并网后的电力系统广域增益调度控制器设计[j].中国电机工程学报,2014,34(22):3724-3731.

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[14]聂永辉,张鹏宇,马彦超,等.基于pade近似的广域电力系统关键模态时滞轨迹分析[j].电力系统自动化,2018,42(12):87-92.

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[23]liuk,seureta,xiay.stabilityanalysisofsystemswithtime-varyingdelaysviathesecond-orderbessel–legendreinequality[j].automatica,2017,76:138-142.

[24]钱伟,高超.基于凸组合方法的变时滞电力系统稳定性判据[j]..电力系统保护与控制,2015,43(19):37-42.

技术实现要素：

本发明的目的是解决上述问题，提供基于区间时滞影响下不确定电力系统的镇定器的设计方法，构造了一种新的增广向量和一种多重积分lyapunov-krasovskii泛函。然后，在单重wirtinger积分不等式的基础上引入双重wirtinger不等式对泛函导数进行估计，并采用凸组合方法，得到保守性更小的系统鲁棒性稳定判据。在此基础上，设计了系统的无记忆和带记忆反馈控制器，并运用分歩线性化方法，得到基于严格线性矩阵不等式的镇定器存在性条件。最后，通过仿真分析验证了本发明的方法有效的扩大了电力系统的稳定运行区域，所设计的控制器具有较好的控制性能。

为了解决上述问题，本发明所采取的技术方案是：

基于区间时滞影响下不确定电力系统的镇定器的设计方法，该镇定器是基于以下步骤设计的：

步骤一：在实际电力系统中，系统参数存在很多不确定性，构建此种情况时的电力系统的状态方程为：

其中：x(t)＝[△δ△ω△e′△ef]∈rⁿ是系统状态向量，△δ△ω△e′△ef表示系统参数；x(t-h(t))为经过时间延时后的状态变量，φ(t)是t∈[-h2,0]上的连续的初试相量函数；a,a1为系统矩阵；h(t)为区间变时滞且满足：0＜h1≤h(t)≤h2，[δa,δa1]＝df0[ea,eb]为系统参数扰动项，d,ea,eb为维数已知的常数矩阵，f0为时变矩阵，且满足：f0^tf0≤i；

步骤二：构建区间变时滞电力系统的状态方程：

其中：x(t)＝[△δ△ω△e′△ef]∈rⁿ是系统状态向量，△δ△ω△e′△ef表示系统参数；x(t-h(t))为经过时间延时后的状态变量，φ(t)是t∈[-h2,0]上的连续的初试相量函数；a,a1为系统矩阵；h(t)为区间变时滞且满足：0＜h1≤h(t)≤h2，

步骤三：构造lyapunov-krasovskii泛函：

其中：

v1(t)＝η^t(t)pη(t)，

式中：

h12＝h2-h1,p＝diag{p1,p2,p3,p4,p5}。

构造合适的lyapunov-krasovskii泛函能对降低系统的保守性起到至关重要的作用，现有的泛函构造方法一般采用单、双重积分项，有些文献中引入了三重积分项，在以上方法的基础上本方法的步骤3构造了一个新型增广lyapunov-krasovskii泛函，不仅包含单、双和三重积分项，同时还在增广向量η(t)中引入了新的积分项和更充分利用时滞系统的信息，并且对v2的积分上下界做了分段处理，以便充分考虑变时滞的信息，有利于降低结论的保守性；

步骤四：沿公式(2)的解轨线对v(t)求导可得：

步骤五：引入引理1对(6)中的积分不等式进行估计可得：

其中：

步骤六：ei(i＝1,...,11)为分块坐标矩阵，例如，

步骤七：记则可得：

步骤八：引入引理2可得：

步骤九：记则可得：

在对泛函求导结果的放缩过程中，本方法在保守性较小的单重wirtinger不等式的基础上采用了双重wirtinger不等式，增加了和2ω^tzω项，有利于得到更加精确的不等式下界，从推导过程中可以看出，不仅双重积分导数和能被有效的放缩，三重积分导数和也能被更加精确的估算；同时，对式(11)-(12)、(15)-(16)的积分项进行了时滞分割，这能充分利用变时滞的信息，此外，定义了α,β，并引入了标量ε1,ε2，确保估计后的结果能够在凸组合的框架下获得稳定性判据，以上方法均有利于降低系统稳定判据的保守性；

步骤十：结合式(4)-(16)可得：

其中，见定理1，若存在标量ε1＞ε2＞0，使下列不等式成立：则满足：

由于0≤α,β≤1，则运用凸组合方法易知下列不等式成立：

则基于lyapunov稳定性原理可得保证区间变时滞电力系统即式(2)渐近稳定性的结论；

步骤十：步骤九中的定理1为：

定理1：对于给定常量0≤h1≤h2和μ，若存在正定矩阵p∈r^5n×5n，q1,q2,q3∈r^n×n，w1,w2,w3,w4∈r^n×n，m1,m2,m3,m4∈r^n×n和正定标量ε1,ε2，使得下列不等式成立，则区间变时滞电力系统即式(2)是渐近稳定的：

式中：

ε1-ε2＞0,

π＝[παβ],(α,β＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)，

π12＝p1a1,π13＝-2w2,π16＝h12r4，

π17＝h12r4,π18＝3r2+h1p4,π19＝h12p5,π1,10＝h12p5，

π23＝w4,π24＝w4，

π33＝-4w2-w4-q1,π36＝p3，π37＝p3,π44＝-w4-q2,π46＝-p3,π47＝-p3，

π66＝-w3-r4,π69＝-p5,π6,10＝-p5，

π77＝-w3-r4,π79＝-p5,π7,10＝-p5，

π99＝-r3,π10,10＝-r3,

步骤十一：对不确定时滞电力系统模型即式(1)的稳定性进行研究，与无扰动情况相比需要将a,a1分别与a+dfea,a1+dfeb替换，并应入引理3和schur补即可得到含扰动时滞电力系统的鲁棒稳定判据。

定理2：对于给定常量0≤h1≤h2和μ，若存在正定矩阵p∈r^5n×5n，q1,q2,q3∈r^n×n，w1,w2,w3,w4∈r^n×n，m1,m2,m3,m4∈r^n×n和正定标量ε1,ε2,λ1,λ2，使得下列不等式成立，则系统(4)是渐近稳定的：

式中：

ε1-ε2＞0，

γ1＝[eaeb0000000000]，

γ2＝[p10000000000ψ]。

其他参数与定理1相同。

步骤十二：在定理1的基础上设计反馈控制率u(t)＝kx(t)+k1x(t-h(t))，则区间变时滞电力系统即式(2)+bu(t),可变换为：

其中：k,k1为待求的控制器增益矩阵，且k1为零时为无记忆状态反馈控制器；k1不为零时为有记忆状态反馈控制器。

将定理1中的a和a1分别用a+bk和a1+bk1替换，则会产生形如p1a,p1bk,p1bk1，k^tb^tp1,等非线性项，为了将含有非线性项的矩阵不等式转换为严格的lmi形式，作如下三步处理：

第一：将定理1中的元素分为u，uv两类，其中u为未知矩阵，v为已知矩阵。并将定理1中(23)式的矩阵两端分别左乘右乘diag[x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x]及其转置，其中令如

第二：对于形如uv类元素变换后为依旧含有非线性项，如为消除uv类非线性项，令x＝p1^-1,则xp1ax＝ax,

第三：对于uv类元素中不含p1的项，变换后整理可得：

υx^-1γ^t+γx^-1υ^t。(23)

其中：

对定理1按上述方法进行线性化处理可得：

其中：见定理3。

易知，对任意的j＞0，有下列不等式成立：

υx^-1γ^t+γx^-1υ^t≤υj^-1υ^t+γx^-1jx^-1γ^t。(25)

(x-j)j^-1(x-j)＞0。(26)

对任意的ν＞0有：

由式(25)到(27)，可将式(24)变换为：

步骤十三：对于非线性项的处理，本方法采用了分步线性化的方法，对于形如xj^-1x此的线性项，本方法采用改进的不等式(27)进行处理，采用待定参数法降低了结论的保守性；并且当ν＝0时采用不等式xj^-1x≥2x-j处理非线性项，本文方法更具一般性；

对于不确定时滞电力系统模型即式(1)，只需将无扰动情况中的a,a1分别用a+dfea,a1+dfeb替换，按照步骤十二的方法变换后，再运用schur补和引入引理3得到如下定理3，

定理3：对于给定常量0≤h1≤h2，ν＞0和μ，若存在正定矩阵j＞0和正定标量ε1,ε2,λ1,λ2，使得下列不等式成立，若系统(25)是渐近稳定的，得到本方法的镇定器为

其中：

i＝1,2，j＝3,4，

σ1＝[eax,ebx,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]，

σ2＝[d^t,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]，

其他参数与定理1等同。

步骤二中构建区间变时滞电力系统的模型包括以下步骤：在电力系统模型中，为保证电力系统的可靠性，采用avr励磁控制，以励磁系统中存在的时滞现象为例，励磁系统的动态方程可表示为：

那么，存在时滞的电力系统状态空间模型可表示为：

式中：

其中：各参数代表的含义为：δ和ω分别为发电机转子的功角和角速度；ω0为角速度的初始稳态值；tj为发电机的惯性时间常数；pm和pe分别为机械功率和电磁功率；d为阻尼系数；eq′为q轴暂态电势；ef为励磁电势；td′为d轴的暂态时间常数；xd和xd′分别为d轴同步、暂态电抗；xq为q轴同步电抗；id为d轴电流；ka和ta分别为励磁系统综合放大环节的增益和时间常数；vg为励磁系统端电压；eq为假想电动势；v为无穷大母线系数。

本发明的增益效果是：

本发明研究了区间变时滞影响下不确定电力系统的鲁棒稳定性及镇定器设计问题。首先，基于lyapunov理论构造了一种新的增广向量和包含多重积分的lyapunov-krasovskii泛函，它不仅包含单、双和三重积分项，同时还在增广向量η(t)中引入了新的积分项和更充分利用时滞系统的信息，并且对v2的积分上下界做了分段处理，以便充分考虑变时滞的信息，有利于降低结论的保守性。然后，对求导后的积分项运用保守性更小的单、双重wirtinger积分不等式和凸组合相结合的方法进行更精确的估计，以便得到保守性更小的稳定判据，从推导过程中可以看出，不仅双重积分导数和能被有效的放缩，三重积分导数和也能被更加精确的估算，并且，凸组合法涉及的变量数较少，降低了计算负担。在此基础上，运用分步线性化法对非线性矩阵不等式进行处理，得到基于严格线性矩阵不等式的反馈控制器的设计条件，降低了控制器设计的难度。最后，通过仿真说明了本发明方法在扩大系统运行区域及获得良好控制效果方面的优势。

附图说明

图1为μ＝0.5时，文献[17]、文献[18]和定理1的典型二阶时滞系统的稳定裕度比较图。

图2为μ＝0.9时，文献[17]、文献[18]和定理1的典型二阶时滞系统的稳定裕度比较图。

图3为两区四机系统。

图4为单机无穷大系统。

图5为文献3、文献19和定理2这三种方法的稳定运行裕度比较图。

图6为不同ν值的系统功角响应曲线。

图7为不同ν值的系统功角速度响应曲线。

图8为h2＝9时有记忆系统角速度变化曲线。

图9为h2＝9时无记忆系统角速度变化曲线。

具体实施方式

为了便于理解本发明，下面结合附图和具体实施例，对本发明进行更详细的说明。附图中给出了本发明的较佳的实施例。但是，本发明可以以许多不同的形式来实现，并不限于本说明书所描述的实施例。相反地，提供这些实施例的目的是使对本发明的公开内容的理解更加透彻全面。

需要说明的是，除非另有定义，本说明书所使用的所有的技术和科学术语与属于本发明的技术领域的技术人员通常理解的含义相同。在本发明的说明书中所使用的术语只是为了描述具体的实施例的目的，不是用于限制本发明。

本发明基于区间时滞影响下不确定电力系统的镇定器的设计方法，该镇定器是基于以下步骤设计的：

步骤一：在实际电力系统中，系统参数存在很多不确定性，构建此种情况时的电力系统的状态方程为：

其中：x(t)＝[△δ△ω△e′△ef]∈rⁿ是系统状态向量，△δ△ω△e′△ef表示系统参数；x(t-h(t))为经过时间延时后的状态变量，φ(t)是t∈[-h2,0]上的连续的初试相量函数；a,a1为系统矩阵；h(t)为区间变时滞且满足：0＜h1≤h(t)≤h2，[δa,δa1]＝df0[ea,eb]为系统参数扰动项，d,ea,eb为维数已知的常数矩阵，f0为时变矩阵，且满足：f0^tf0≤i；

为得到本文主要结论，需要采用以下引理：

引理1：对于任意实对称矩阵r＝r^t＞0，和标量a,b且a＜b，以及所有可微函数ω(s)∈[ab]→rⁿ，有以下不等式成立：

式中：

θ2＝ω(b)-ω(a)，

引理2于任意实对称矩阵z＝z^t＞0,和标量a,b且a＜b，以及所有可微函数ω(s)∈[ab]→rⁿ，有以下不等式成立：

式中：

引理3：对于给定具有适当维数的矩阵q＝q^t,h,e,且f(t)^tf(t)≤i,如果要使不等式q+hf(t)e+e^tf^t(t)h^t＜0成立，那么充要条件是存在λ＞0使得下式成立：q+λ^-1hh^t+λe^te＜0。

步骤二：构建区间变时滞电力系统的状态方程：

其中：x(t)＝[△δ△ω△e′△ef]∈rⁿ是系统状态向量，△δ△ω△e′△ef表示系统参数；x(t-h(t))为经过时间延时后的状态变量，φ(t)是t∈[-h2,0]上的连续的初试相量函数；a,a1为系统矩阵；h(t)为区间变时滞且满足：0＜h1≤h(t)≤h2，

步骤三：构造lyapunov-krasovskii泛函：

其中：

v1(t)＝η^t(t)pη(t)，

式中：

h12＝h2-h1,p＝diag{p1,p2,p3,p4,p5}。

构造合适的lyapunov-krasovskii泛函能对降低系统的保守性起到至关重要的作用，现有的泛函构造方法一般采用单、双重积分项，有些文献中引入了三重积分项，在以上方法的基础上本方法的步骤3构造了一个新型增广lyapunov-krasovskii泛函，不仅包含单、双和三重积分项，同时还在增广向量η(t)中引入了新的积分项和更充分利用时滞系统的信息，并且对v2的积分上下界做了分段处理，以便充分考虑变时滞的信息，有利于降低结论的保守性；

步骤四：沿公式(2)的解轨线对v(t)求导可得：

步骤五：引入引理1对(6)中的积分不等式进行估计可得：

其中：

步骤六：ei(i＝1,...,11)为分块坐标矩阵，例如，

步骤七：记则可得：

步骤八：引入引理2可得：

步骤九：记则可得：

在对泛函求导结果的放缩过程中，本方法在保守性较小的单重wirtinger不等式的基础上采用了双重wirtinger不等式，增加了和2ω^tzω项，有利于得到更加精确的不等式下界，从推导过程中可以看出，不仅双重积分导数和能被有效的放缩，三重积分导数和也能被更加精确的估算；同时，对式(11)-(12)、(15)-(16)的积分项进行了时滞分割，这能充分利用变时滞的信息，此外，定义了α,β，并引入了标量ε1,ε2，确保估计后的结果能够在凸组合的框架下获得稳定性判据，以上方法均有利于降低系统稳定判据的保守性；

步骤十：结合式(4)-(16)可得：

其中，见定理1，若存在标量ε1＞ε2＞0，使下列不等式成立：则满足：

由于0≤α,β≤1，则运用凸组合方法易知下列不等式成立：

则基于lyapunov稳定性原理可得保证区间变时滞电力系统即式(2)渐近稳定性的结论；

步骤十：步骤九中的定理1为：

定理1：对于给定常量0≤h1≤h2和μ，若存在正定矩阵p∈r^5n×5n，q1,q2,q3∈r^n×n，w1,w2,w3,w4∈r^n×n，m1,m2,m3,m4∈r^n×n和正定标量ε1,ε2，使得下列不等式成立，则区间变时滞电力系统即式(2)是渐近稳定的：

式中：

ε1-ε2＞0,

π＝[παβ],(α,β＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)，

π12＝p1a1,π13＝-2w2,π16＝h12r4，

π17＝h12r4,π18＝3r2+h1p4,π19＝h12p5,π1,10＝h12p5，

π23＝w4,π24＝w4，

π33＝-4w2-w4-q1,π36＝p3，π37＝p3,π44＝-w4-q2,π46＝-p3,π47＝-p3，

π66＝-w3-r4,π69＝-p5,π6,10＝-p5，

π77＝-w3-r4,π79＝-p5,π7,10＝-p5，

π99＝-r3,π10,10＝-r3,

步骤十一：对不确定时滞电力系统模型即式(1)的稳定性进行研究，与无扰动情况相比需要将a,a1分别与a+dfea,a1+dfeb替换，并应入引理3和schur补即可得到含扰动时滞电力系统的鲁棒稳定判据。

定理2：对于给定常量0≤h1≤h2和μ，若存在正定矩阵p∈r^5n×5n，q1,q2,q3∈r^n×n，w1,w2,w3,w4∈r^n×n，m1,m2,m3,m4∈r^n×n和正定标量ε1,ε2,λ1,λ2，使得下列不等式成立，则系统(4)是渐近稳定的：

式中：

ε1-ε2＞0，

γ1＝[eaeb0000000000]，

γ2＝[p10000000000ψ]。

其他参数与定理1相同。

步骤十二：在定理1的基础上设计反馈控制率u(t)＝kx(t)+k1x(t-h(t))，则区间变时滞电力系统即式(2)+bu(t),可变换为：

其中：k,k1为待求的控制器增益矩阵，且k1为零时为无记忆状态反馈控制器；k1不为零时为有记忆状态反馈控制器。

将定理1中的a和a1分别用a+bk和a1+bk1替换，则会产生形如p1a,p1bk,p1bk1，k^tb^tp1,等非线性项，为了将含有非线性项的矩阵不等式转换为严格的lmi形式，作如下三步处理：

第一：将定理1中的元素分为u，uv两类，其中u为未知矩阵，v为已知矩阵。并将定理1中(23)式的矩阵两端分别左乘右乘diag[x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x]及其转置，其中令如

第二：对于形如uv类元素变换后为依旧含有非线性项，如为消除uv类非线性项，令x＝p1^-1,则xp1ax＝ax,

第三：对于uv类元素中不含p1的项，变换后整理可得：

γx^-1γ^t+γx^-1γ^t。(23)

其中：

对定理1按上述方法进行线性化处理可得：

其中：见定理3。

易知，对任意的j＞0，有下列不等式成立：

rx^-1γ^t+γx^-1r^t≤rj^-1r^t+γx^-1jx^-1γ^t。(25)

(x-j)j^-1(x-j)＞0。(26)

对任意的ν＞0有：

由式(25)到(27)，可将式(24)变换为：

步骤十三：对于非线性项的处理，本方法采用了分步线性化的方法，对于形如xj^-1x此的线性项，本方法采用改进的不等式(27)进行处理，相比文献[13]采用待定参数法降低了结论的保守性；并且当ν＝0时采用不等式xj^-1x≥2x-j处理非线性项，与文献[2]等价，本文方法更具一般性；

对于不确定时滞电力系统模型即式(1)，只需将无扰动情况中的a,a1分别用a+dfea,a1+dfeb替换，按照步骤十二的方法变换后，再运用schur补和引入引理3得到如下定理3，

定理3：对于给定常量0≤h1≤h2，ν＞0和μ，若存在正定矩阵j＞0和正定标量ε1,ε2,λ1,λ2，使得下列不等式成立，若系统(25)是渐近稳定的，得到本方法的镇定器为

其中：

i＝1,2，j＝3,4，

σ1＝[eax,ebx,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]，

σ2＝[d^t,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]，

其他参数与定理1等同。

步骤二中构建区间变时滞电力系统的模型包括以下步骤：在电力系统模型中，为保证电力系统的可靠性，采用avr励磁控制，以励磁系统中存在的时滞现象为例，励磁系统的动态方程可表示为：

那么，存在时滞的电力系统状态空间模型可表示为：

式中：

其中：由文献[14]可知各参数代表的含义为：δ和ω分别为发电机转子的功角和角速度；ω0为角速度的初始稳态值；tj为发电机的惯性时间常数；pm和pe分别为机械功率和电磁功率；d为阻尼系数；eq′为q轴暂态电势；ef为励磁电势；td′为d轴的暂态时间常数；xd和xd′分别为d轴同步、暂态电抗；xq为q轴同步电抗；id为d轴电流；ka和ta分别为励磁系统综合放大环节的增益和时间常数；vg为励磁系统端电压；eq为假想电动势；v为无穷大母线系数。

为了验证本发明时滞稳定判据的优越性，首先利用典型的二阶系统进行比较，其中：

借助线性矩阵不等式工具箱进行求解，分别求出μ＝0.5和μ＝0.9时保证系统稳定的最大时滞上界。文献[17]采用一阶wirtinger积分不等式，文献[18]基于分解法引入了新的lyapunov-krasovskii泛函得到时滞电力系统的稳定判据，文献[23]基于二阶bessel-legendre不等式得到稳定判据。从表1可以看出，本发明方法得到的稳定性判据保守性更小。并且，与上述文献相比，本发明方法具有较少的变量数，计算更为简单。

表1给定μ和h1时系统最大允许时滞上界

此外，在图1、图2中分别给出了在μ＝0.5和μ＝0.9时三种方法得到的系统稳定运行区域。可以看出，与文献[17]和[18]相比，本发明的方法具有更大的稳定运行区域。

为进一步验证本发明的方法在多机系统中的有效性，采用图3所示的两区四机系统进行分析。

根据文献[21]中采用模态分析的方法，获得两区四机电力系统的状态矩阵a,a1分别为：

由表2可以看出，利用定理1所得的电力系统时滞上界为0.775s，相比文献[22]的0.195s、文献[21]的0.288s、文献[19]的0.440s，文献[24]的0.654s，定理1得到的时滞上界最大，从而验证了本发明的方法在降低广域时滞电力系统稳定性判据保守性方面的有效性，同时也进一步验证了该方法在多机系统中的可行性。

表2采用不同方法求得最大时滞值

利用图4所示的单机无穷大系统验证本发明采用的方法在降低时滞电力系统稳定判据保守性及设计控制器的控制效果方面的有效性，矩阵a,a1的具体参数引用文献[20]的数据。

其中：

表3中给出了由定理1得到的单机无穷大电力系统在无扰动时的时滞上界为0.0723s，较文献[3]的0.0609s、文献[19]的0.0654s、文献[20]的0.0682s、文献[1]和文献[7]的0.0681s，定理1得到的时滞上界均大于上述文献，从而验证了本发明的方法降低了时滞电力系统稳定判据的保守性。

表3采用不同方法求得最大时滞值

此外，当扰动存在于电机励磁系统中时，若励磁放大系数的扰动为随机扰动，则考虑受扰动后的实际放大系数为ka′＝ka+r，ka为励磁放大系数整定值，r为一标量，表示励磁放大系数的受扰动情况。

假设0≤r≤10，以1为步长，求出受扰动电力系统在r逐渐增大的情况下对应的最大运行区域。其中，矩阵d,ea,eb的取值分别为：

根据定理2，通过仿真求出不同励磁扰动r下的系统稳定裕度。从图5中可以看出，单机电力系统的稳定裕度随着励磁放大系数中扰动项r的增大而减小。从表4中可以得到，与文献[3]和文献[19]相比，在相同扰动下，采用本发明方法得到的时滞裕度更大，证明了采用本发明方法的保守性更小。

表4不同r值的时滞稳定裕度

根据定理3，令μ＝0，b＝[0001]^t，时滞取1s，当ν分别取12和14时，单机无穷大系统的功角变化曲线和功角速度变化曲线分别如图6、图7所示。由下图可得，若选取合适的ν值，采用本发明的方法设计的控制器可以有效降低系统的过渡时间，使系统具有更好的控制性能。

且由图6和图7可以看出，当ν＝14时本发明定理3所设计的控制器在4s左右可以使系统达到稳定状态，而文献[7]在4s左右仍有明显波动，还未到达稳定状态。验证了本发明设计的控制器具有更好地控制效果。求得的系统控制器的具体参数如表5所示。

表5不同ν时控制器参数

此外，本发明对带记忆和无记忆控制器的控制效果做进一步比较。当h1＝0.01,h2＝9时，图8、图9分别给出了有记忆和无记忆控制器两种情况下系统的角速度响应曲线。从图8可以看出，有记忆控制器在6s-9s时已使系统达到稳定，而图9中无记忆控制器在6s-9s时系统仍处于明显的波动状态，由此表明，带记忆控制器具有更好的控制效果。且文献[7]所设计的有记忆控制器在6s-9s时系统也仍有明显的波动，尚未达到稳定，更进一步说明了采用本发明方法设计的控制器具有更好的控制效果。

本发明研究了区间变时滞影响下不确定电力系统的鲁棒稳定性及镇定器设计问题。首先，基于lyapunov理论构造了一种新的增广向量和包含多重积分的lyapunov-krasovskii泛函，它不仅包含单、双和三重积分项，同时还在增广向量η(t)中引入了新的积分项和更充分利用时滞系统的信息，并且对v2的积分上下界做了分段处理，以便充分考虑变时滞的信息，有利于降低结论的保守性。然后，对求导后的积分项运用保守性更小的单、双重wirtinger积分不等式和凸组合相结合的方法进行更精确的估计，以便得到保守性更小的稳定判据，从推导过程中可以看出，不仅双重积分导数和能被有效的放缩，三重积分导数和也能被更加精确的估算，并且，凸组合法涉及的变量数较少，降低了计算负担；。在此基础上，运用分步线性化法对非线性矩阵不等式进行处理，得到基于严格线性矩阵不等式的反馈控制器的设计条件，降低了控制器设计的难度。最后，通过仿真说明了本发明方法在扩大系统运行区域及获得良好控制效果方面的优势。

以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明的范围内。本发明要求的保护范围由所附的权利要求书及其等同物界定。