应用于保密通信的受控Rucklidge系统与Chen系统的广义混沌同步方法与流程

本发明属于可应用于保密通信的混沌同步技术领域，尤其涉及一种实现以chen混沌系统为驱动系统，以单输入的受控rucklidge系统为响应系统的混沌同步方法。

背景技术：

混沌运动是非线性学科领域的分支，但其涉及的范围已大大超出传统的非线性学科领域界限，发展成为综合性的、交叉性的、跨领域的学科分支，很大的拓宽了人们认识非线性科学的视域,对非线性科学的认识更加深刻。

混沌也被应用于激光保密通信。一个典型的应用是混沌调制。混沌调制是1992年halle、hasler等提出的解决秘密通信中复杂的问题的一种办法，基本思想是将原始信号与一个混沌信号调制在一起进行发送；而接收器进行解调，根据混沌信号分离出原始信号；对第三方由于其不知晓该混沌信号的动态特性，因此无法解密。混沌激光保密通信的优点有：1)它是硬件加密。用收、发激光器的结构参数作为密钥，避免了算法加密的安全隐患；2)加解密的速度很快，因为它靠的是激光器的响应速度；3)由于靠激光器输出的混沌波形来隐藏信息，而不再是单光子，传输距离长；4)与现行的光纤通信系统兼容，可便利地移植现有光纤通信技术中放大、波分复用等所有技术。2005年，欧盟在第五届科技框架计划occult项目的资助下，德、法、英等七国研究者在雅典城120km的城域网中在的速率下实现了通信速率1gb/s的混沌激光保密通信。2010年，欧盟第六届科技框架计划picasso项目完成了外腔反馈混沌半导体激光器的光子集成，并在法国贝桑松100km的城域网中完成了10gb/s的混沌保密通信实验。

如此产生一个问题，对于发射机和接收机，必须有几乎一致的混沌信号，这需要有混沌同步技术来实现。混沌同步是指两个混沌系统的不同运行轨迹,随着时间的变化,同时收敛到相同的值,这两个系统的运行轨迹始终保持一致.混沌同步研究工作可以分为以下几种同步类型(参见顾葆华.混沌系统的几种同步控制方法及其应用研究,南京理工大学博士学位论文.2009.)：

1)完全同步(completesynchronization),是驱动系统和响应系统的运行轨迹完全一致,是混沌同步研究的基础；

2)广义同步(generalizedsynchronization)是驱动系统和响应系统输出的运行轨迹保持函数关系，广义同步是完全同步和投影同步的推广；

3)相位同步(phasesynchronization)是两个耦合的混沌系统能进入一个中间区域，能够保持系统运行轨迹相位的同步；

4)滞后同步(lagsynchronization)是两混沌系统的轨迹存在一个时间延迟的同步，比相位同步要求严格，比完全同步要求宽松；

5)投影同步(projectivesynchronization)是两个混沌系统保持比例关系，即频率相同，幅值保持比例关系，投影同步是完全同步的延伸；

6)组合同步(combinationsynchronization)是两个驱动系统的加权组合与响应系统同步，组合同步是完全同步和投影同步的推广；

7)复合同步(compoundsynchronization)是三个驱动系统的复合系统与响应系统同步。

除此之外，还有反同步，是指两个混沌系统的状态变量其运行轨迹频率相同、振幅相同、方向相反，即两个混沌系统的状态变量和为0的同步情况；类似地还有反相同步、部分同步等同步现象。这些同步方法均是在激光保密通信中有实用价值的技术。

技术实现要素：

为了克服已有广义混沌同步方法的控制品质较差的不足，本发明提供了一种应用于保密通信的受控rucklidge系统与chen系统的广义混沌同步方法，以chen系统为驱动系统，以单输入的受控rucklidge系统为响应系统，采用微分几何中向量场的李导数方法设计一种混沌同步算法，实现广义同步，控制品质较高。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种应用于保密通信的受控rucklidge系统与chen系统的广义混沌同步方法，所述方法包括以下步骤：

1)广义混沌同步问题描述

驱动系统为chen系统，形式如下：

其中x＝(x1,x2,x3)^t是状态变量，a、b和c是已知的正实数参数，限制2a-b≠0；

以受控rucklidge系统为响应系统，形式如下：

其中ξ＝(ξ1,ξ2,ξ3)^t是状态变量，u是标量输入，α、β和b为系统中已知的正实数参数，此b与式(1)中的b相同；

广义混沌同步要实现的目标是：在驱动系统(1)与响应系统(2)初值分别为x(t0)和ξ(t0)，响应系统轨迹经过状态反馈

u＝u(x,ξ,t)(3)

其中t表示时间，和相空间之间的状态变换

ξ＝t(x)(4)

后趋向于驱动系统的轨迹,即

这里||·||代表空间中向量的2-范数；

2)响应系统的状态变换和反馈

对响应系统(2)作如下状态变换η＝s(ξ)其中η＝(η1,η2,η3)^t

所以，这是一个线性变换，ms为3阶方阵，此线性变换的逆变换为

这里正好有以η为状态，系统表示为

作反馈

u＝αη3-βη2+η1η2+u0(9)

系统简化为

该系统属于受控的下三角系统，三阶下三角系统的一般形式为

其中w为输入控制量；另一方面观察系统(10)的后两个等式实际形成了线性系统形式，所以系统(10)为实现部分线性化；

3)驱动系统的状态转换

为了找寻驱动系统(1)的状态变换以简化系统，先为此系统加上控制量成为

其中v为加入的输入控制量；

系统(12)作反馈

v＝(a-c)x1-cx2+x1x3+v1(13)

系统简化为

记系统(14)的漂移向量场为

以及输入向量场为

令向量场

计算如下向量场李括号

其中，在全局范围内秩为2，并且说明此分布对合；令

计算如下向量场李括号

在x1＝0或者2a-b＝0时是秩仍为2，这也说明系统(14)不可能实现状态反馈线性化；但是，当2a-b≠0时,仅在一个零测度集内秩为2,此集合之外秩均为3，所以系统(14)可以通过状态变换等价转换为下三角系统(11)；然而，仍需探究系统(14)究竟能转换为何种下三角系统的问题，并且希望得到形式上较为简单的下三角系统，为此，注意到：

此时全局范围内分布的秩为3并且对合，令

取如下分布

δ0＝span{x0}；δ1＝span{x0,x1}；δ2＝span{x0,x1,x2}，(23)

分布δ0,δ1,δ2及x0,x1,x2具有如下性质：

①可验证[x0,x1]＝0，[x1,x2]＝0以及[x0,x2]＝0；

②由①，δ0,δ1,δ2均为对合分布；

③由①，存在状态变换h＝(h1(x),h2(x),h3(x))^t＝h(x)＝h(x1,x2,x3)满足

④由于说明性质③中的状态变换h下，系统必定仍然具有下三角形式；

上述性质③也意味着满足以下3个偏微分方程组，第1组为

其中h1(x)为光滑函数，符号”l”表示做李导数，第2组为

其中h2(x)为光滑函数，第3组为

其中h3(x)为光滑函数，上述3组偏微分方程的可行解分别为

在h＝(h1,h2,h3)^t状态下系统成为

该系统实际上已具有下三角系统如系统(11)的形式，但从系统(29)的第二个式子看，上述系统通过如下状态变换还可进一步简化

如用y＝(y1,y2,y3)^t状态表示x状态则为

在y状态下写出系统

对比系统(12)和系统(32)可知经过状态变化(30)系统(1)成为

上述系统的前2个方程在形式于驱动系统的等价形式(8)已实现一致；

4)广义同步

现在考虑系统(33)与系统(8)的同步问题，令二者状态差为e＝η-y＝(e1,e2,e3)^t，则

设计反馈

系统表示为

对于上述系统的子系统

根据线性系统的经典方法设计如下控制器

该控制器下系统(37)将在的有限时间控制内，即t1时刻实现e2(t1)＝e3(t1)＝0；

设计一种控制器从t0时刻开始，经有限时间实现e2(t1)＝e3(t1)＝0，并保证此过程中控制量有连续的一阶导数并过渡到0，首先，设计预想的e2(t)为

其中p(t)为一元多项式，由于要求t1时刻到达系统(37)的原点以及u1在t＞t0范围内有连续的一阶导数，这意味着e2(t)在t1时有连续的三阶导数，实际上e2(t)和其一、二、三阶导数再t1时刻为保证连续均只能为0，即

再考虑系统(37)的t0时刻应满足

由于式(40)和式(41)共给出6个条件，所以p(t0)应为5次多项式，再利用式(40)得

其中c0和c1为待定系数，利用式(41)的第1个式子得到

再由式(41)的第2个式子

整理得到

该e2(t)满足式(40)和式(41)的各项要求，那么

以及

明显e2(t1)＝e3(t1)＝u1(t1)＝0；

在时间t1之后，系统(36)的第一个方程成为此方程明显是大范围渐进稳定的，从而系统(36)大范围渐进稳定，说明系统(8)与系统(33)在此控制律下实现同步；

回到系统(1)与系统(2)的广义同步问题，系统(2)经过状态变换(6)成为系统(8)，系统(2)作了反馈和状态变换后成为系统(33)，其间的状态变换需综合式(28)以及式(30)

并命名此状态变换为y＝(y1,y2,y3)^t＝y((x1,x2,x3)^t)＝y(x)，而控制律可见式(35)，其中u1的表达式见式(47)。

进一步，所述步骤4)中，验证广义同步是否可以实现，过程为：

其中为矩阵的2-范数，显然在式(35)和式(47)所决定的控制律u下于是

由于范数的非负性

上式说明广义同步的要求式(5)满足，式(5)中选取

再进一步，所述方法还包括以下步骤：

5)根据广义同步的要求，当响应系统的输入设定为

其中参数t1可用于调节广义同步实现的快慢，相空间之间的状态变换设定为

在上述设定下，驱动系统(1)与响应系统(2)实现广义同步。

本发明的有益效果主要表现在：第一，采用基于微分几何的状态空间转换的控制方法，从深层次揭示了rucklidge混沌系统与chen混沌系统的内在关联性和统一性；第二，提出一种直接设计渐进稳定轨迹的技术，其中也包含了一种提高有限时间控制器光滑度的方法，相对于普遍采用的设计lyapunov函数的控制方法(见洪亦光,陈代展.非线性系统分析与控制.北京,科学出版社,2005.)，有利于提高控制品质；第三，采用单输入的同步，控制器简单易于电路实现；第四，通过改变参数t1-t0，可调节广义同步实现的快慢。

附图说明

图1是chen系统的3维相图，其参数a＝35，b＝1并且c＝28，初值为x1(t0)＝1,x2(t0)＝1,x3(t0)＝20；

图2是响应系统即受控rucklidge系统的3维相图，其参数α＝2、β＝7.7并且b＝1，初值为ξ1(t0)＝5.0,ξ2(t0)＝5.02857,ξ3(t0)＝5.01655；

图3是误差系统的渐进稳定，其初值为e1(t0)＝5,e2(t0)＝5,e3(t0)＝5；

图4是控制量u1，其中参数设置如下：t1-t0＝1，即有限时间控制的时长为1秒。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步描述。

参照图1～图4，一种应用于保密通信的受控rucklidge系统与chen系统的广义混沌同步方法，包括以下步骤：

1)广义混沌同步问题描述

广义混沌同步技术涉及的驱动系统为chen系统，chen系统是当时在美国休斯敦大学的陈关荣教授发现并证明其与lorenz系统和rossler系统等先前发现的混沌系统均不能拓扑等价，是一个全新的混沌吸引子，具体形式如下：

其中x＝(x1,x2,x3)^t是状态变量，a、b和c是已知的正实数参数，本发明中限制2a-b≠0。

rucklidge系统于1992年被提出，该系统最初用来研究溶质的二维对流问题，人们发现其具有混沌现象，此系统也被验证可以电路实现；以受控rucklidge系统为响应系统，其具体形式如下：

其中ξ＝(ξ1,ξ2,ξ3)^t是状态变量，u是标量输入，α、β和b为系统中已知的正实数参数，此b与式(1)中的b相同；经典的rucklidge系统中b＝1，这里允许b为正实数。

广义混沌同步要实现的目标是：在驱动系统(1)与响应系统(2)初值分别为x(t0)和ξ(t0)，响应系统轨迹经过状态反馈

u＝u(x,ξ,t)(3)

其中t表示时间，和相空间之间的状态变换

ξ＝t(x)(4)

后趋向于驱动系统的轨迹,即

这里||·||代表空间中向量的2-范数。

2)响应系统的状态变换和反馈

对响应系统(2)作如下状态变换η＝s(ξ)其中η＝(η1,η2,η3)^t

所以，这是一个线性变换，ms为3阶方阵。此线性变换的逆变换为

这里正好有以η为状态，系统表示为

作反馈

u＝αη3-βη2+η1η2+u0(9)

系统简化为

该系统属于受控的下三角系统，三阶下三角系统的一般形式为

其中w为输入控制量；另一方面观察系统(10)的后两个等式实际形成了线性系统形式，所以系统(10)为实现部分线性化。

3)驱动系统的状态转换

为了找寻驱动系统(1)的状态变换以简化系统，先为此系统加上合适的控制量成为

其中v为加入的输入控制量。

系统(12)作反馈

v＝(a-c)x1-cx2+x1x3+v1(13)

系统可简化为

考虑将系统(14)通过状态变换和进一步的反馈转换为更为简单与系统(10)更为相似的形式，以便于设计广义同步控制方法。由于系统(10)为下三角形式的受控常微分方程，希望系统(14)能转换为同样后者相似形式，

为此，记系统(14)的漂移向量场为

以及输入向量场为

令向量场

计算如下向量场李括号(见李养成等.微分流形基础.北京,科学出版社,2011.)

注意span在全局范围内秩为2，并且说明此分布对合(见李养成等.微分流形基础.北京,科学出版社,2011.)；令

计算如下向量场李括号

在x1＝0或者2a-b＝0时是秩仍为2，这也说明系统(14)不可能实现状态反馈线性化(见isidori,a.nonlinearcontrolsystems.3rdedition,communicationsandcontrolengineeringseries,springer-verlag,newyork-heidelberg-berlin,1995)；但是，当2a-b≠0时，仅在一个零测度集内秩为2，此集合之外秩均为3，所以系统(14)可以通过状态变换等价转换为下三角系统(11)(见celikovskys,nijmeijerh.equivalenceofnonlinearsystemstotriangularform:thesingularcase.systems&controlletters,1996,27:135–144.)，然而，仍需探究系统(14)究竟能转换为何种下三角系统的问题，并且希望得到形式上较为简单的下三角系统，为此，注意到

此时全局范围内分布的秩为3(在2a-b≠0时)并且对合，令

取如下分布

δ0＝span{x0}；δ1＝span{x0,x1}；δ2＝span{x0,x1,x2}，(23)

分布δ0,δ1,δ2及x0,x1,x2的一些性质：

①可验证[x0,x1]＝0，[x1,x2]＝0以及[x0,x2]＝0

②由①，δ0,δ1,δ2均为对合分布；

③由①，存在状态变换h＝(h1(x),h2(x),h3(x))^t＝h(x)＝h(x1,x2,x3)满足(见陈省身等.微分几何讲义(第二版).北京,北京大学出版社,2001.)

④由于说明性质③中的状态变换h下，系统必定仍然具有下三角形式。

上述性质③也意味着满足以下3个偏微分方程组，第1组为

其中h1(x)为光滑函数，符号”l”表示做李导数(见李养成等.微分流形基础.北京,科学出版社,2011.)，第2组为

其中h2(x)为光滑函数，第3组为

其中h3(x)为光滑函数。上述3组偏微分方程的可行解分别为

在h＝(h1,h2,h3)^t状态下系统成为

该系统实际上已具有下三角系统如系统(11)的形式，但从系统(29)的第二个式子看，上述系统通过如下状态变换还可进一步简化

如用y＝(y1,y2,y3)^t状态表示x状态则为

在y状态下写出系统

对比系统(12)和系统(32)可知经过状态变化(30)系统(1)成为

上述系统的前2个方程在形式于驱动系统的等价形式(8)已实现一致。

4)广义同步

现在考虑系统(33)与系统(8)的同步问题，令二者状态差为e＝η-y＝(e1,e2,e3)^t，则

设计反馈

系统可表示为

对于上述系统的子系统

可以根据线性系统的经典方法设计如下控制器(见旺纳姆.线性多变量控制:一种几何方法.北京,科学出版社,1984.)

该控制器下系统(37)将在的有限时间控制内，即t1时刻实现e2(t1)＝e3(t1)＝0，但是该控制器的控制量在t1时刻仍然不为0，很容易控制过量，有一定缺陷。为此，设计一种控制器从t0时刻开始，经有限时间实现e2(t1)＝e3(t1)＝0，并保证此过程中控制量有连续的一阶导数并过渡到0。首先，设计预想的e2(t)为

其中p(t)为一元多项式。由于要求t1时刻到达系统(37)的原点以及u1在t＞t0范围内有连续的一阶导数，这意味着e2(t)在t1时有连续的三阶导数，实际上e2(t)和其一、二、三阶导数再t1时刻为保证连续均只能为0，即

再考虑系统(37)的t0时刻应满足

由于式(40)和式(41)共给出6个条件，所以p(t0)应为5次多项式，再利用式(40)得

其中c0和c1为待定系数，利用式(41)的第1个式子得到

再由式(41)的第2个式子

整理得到

该e2(t)满足式(40)和式(41)的各项要求。那么

以及

明显e2(t1)＝e3(t1)＝u1(t1)＝0。

在时间t1之后，系统(36)的第一个方程成为此方程明显是大范围渐进稳定的，从而系统(36)大范围渐进稳定，说明系统(8)与系统(33)在此控制律下实现同步。

回到系统(1)与系统(2)的广义同步问题。系统(1)经过状态变换(6)成为系统(8)。系统(2)作了反馈和状态变换后成为系统(33)，其间的状态变换需综合式(28)以及式(30)

并命名此状态变换为y＝(y1,y2,y3)^t＝y((x1,x2,x3)^t)＝y(x)。而控制律可见式(35)，其中u1的表达式见式(47)。

进一步验证广义同步是否可以实现。

其中为矩阵的2-范数。显然在式(35)和式(47)所决定的控制律u下于是

由于范数的非负性

上式说明广义同步的要求式(5)满足，式(5)中选取

5)根据广义同步的要求，当响应系统的输入设定为

u＝αη3-βη2+η1η2+cx1+(c-a)x2-x1x3+u1,

其中参数t1可用于调节广义同步实现的快慢，相空间之间的状态变换设定为

在上述设定下，驱动系统(1)与响应系统(2)实现广义同步。

为验证本广义同步技术，利用matlab软件仿真了chen系统即驱动系统的3维相图(见图1)；仿真了响应系统即受控rucklidge系统的3维相图，其中控制器u的设定遵循了式(52)(见图2)；仿真了误差系统(36)及其控制器，其中控制器u1也遵循式(52)(见图3和图4)。

图1～图3中的初值是有关联的。图1中x状态下驱动系统的初值经过状态变换(30)后成为y状态下的初值，图2中ξ状态下响应系统的初值经过状态变换(6)后成为η状态下的初值，η状态下的初值减y状态下的初值得到误差系统e状态下的初值。

图1与图2相图形态上有一定程度相似，但不完全一致，这是由于二者为广义同步，只有经过状态变换才能成为渐进的轨迹。

图3误差系统能渐进稳定到原点，但轨迹有一处具有较光滑过渡的转折，这是由于采用了有限时间控制，至转折处也就是t1时刻附近e2和e3已经到达0。转折处之后，误差系统的控制量归0，而e1依靠误差系统本身的动态特性趋向0，所以存在转折是合理的。控制量u1在t1处有连续一阶导数(见图4)，但无二阶导数；如果设计控制量u1在t1处仅连续但无一阶导数，t1处光滑度将下降，好处是此时不必要求相应地e2(t)多项式的阶次降低，控制器能较简单。