一种可见光通信多输入多输出系统信道容量可达方法

1.本发明涉及一种可见光通信多输入多输出系统信道容量可达方法。


背景技术：

2.随着物联网设备和应用的指数增长，传统的基于射频(rf)的室内物联网网络正面临频谱稀缺的问题，但其无法满足大规模接入和日益增长的对高无线数据速率的需求，而拥有广泛的免许可证带宽的可见光通信(vlc)是射频通信的一种很有潜力的互补选择。此外，vlc利用广泛部署的led，具有数据速率高、无电磁干扰、成本低、能源效率高、固有安全性高等优点，引起了工业界和学术界的广泛关注。
3.vlc多输入多输出(mimo)系统利用发射机上的多个发光二极管(led)和接收机上的多个光电二极管(pds)，可以利用空间分集提高数据速率。到目前为止，mimo vlc的信道容量是一个开放的问题，由于有限的振幅限制，已证明信道容量可达分布是有限数量的质量点。


技术实现要素：

4.发明目的：为解决背景技术中存在的技术问题，包括如下步骤：
5.步骤1，设定mimo vlc系统的参数；
6.步骤2，计算得到最优的输入分布；
7.步骤3，求解离散分布输入的上界和下界；
8.步骤4，求解使可达速率最大化的最佳功率分配。
9.步骤1包括：
10.步骤1
‑
1，mimo vlc系统发射端有n
t
个发光二极管led，接收端有n
r
个单光子探测器pd，其中n
t
>1且n
r
>1；
11.步骤1
‑
2，设表示mimo vlc系统的发送信号向量，发送信号x的元素是实数且非负；
12.其中，表示第n
t
个led发送的信号；表示n
t
维的实向量；
13.步骤1
‑
3，为了保护人类的眼睛以及出于实际电路考虑，x的峰值和平均光功率以及电功率都是受限的，因此及电功率都是受限的，因此
14.其中，a是单个led的峰值光功率；x
j
表示第j个led发送的信号；μ是平均光功率；ε表示电功率约束；表示整数1到n
t
的集合；是对x的1范数求均值；是对x的2范数的平方求均值。
15.在mimo vlc系统信道中，接收信号表示为：
16.y＝hx+z
ꢀꢀꢀ
(1)
17.其中，表示mimo vlc系统信道矩阵；是独立高斯噪声，其均值为0，方差为σ2；是第n
r
个pd接收到的信号，表示n
r
维的实向量；
18.步骤1
‑
4，应用奇异值分解svd将mimo vlc系统信道分解为并行子信道；
19.步骤1
‑
5，对发送信号向量x的元素进行表示。
20.步骤1
‑
4包括：信道矩阵h被分解成h＝uλv
t
，其中和为酉矩阵，λ＝diag{λ1,...,λ
n
}是奇异矩阵，
21.λ
n
是第n个并行子信道的等效信道增益，第i个并行子信道表示为：
[0022][0023]
式中，λ
i
是第i个并行子信道的信道增益；是第i个并行子信道的等效输入信号；是第i个并行子信道的高斯噪声；n表示信道矩阵h的秩；
[0024]
步骤1
‑
5包括：步骤1
‑
5，发送信号向量x的元素表示为：
[0025][0026]
式中，是酉矩阵v
t
的第j个列向量，代表等效输入信号，是酉矩阵v
t
的第j个列向量v
j
的第n
t
行的元素；
[0027]
将mimo vlc系统的峰值功率、光功率和电功率约束等价地重新定义为：
[0028][0029][0030][0031]
式中，是等效输入信号的平均光功率约束；等效输入信号的平均电功率约束；
[0032]
根据(4a)的约束，第i个子信道中输入信号的幅值是有界的，因此的信道容量可达分布是离散的，的约束满足以下表达式：
[0033][0034][0035]
[0036][0037][0038]
其中，是将输入信号x用星座点描述的等价形式，pr(
·
)表示求概率，是输入信号的第k个星座点，p
i,k
是第k个星座点点对应的概率；是输入信号的第k个星座点，p
n,k
是第k个星座点对应的概率；k表示星座点的序号；表示整数1到n的集合；表示整数1到k
i
的集合；
[0039]
mimo vlc系统信道容量c
mimo
是n个子信道的信道容量之和，c
i
表示第i个子信道的容量，由以下表达式给出：
[0040][0041][0042][0043]
其中，σ2为噪声功率，表示信号服从的离散分布，表示信号的概率密度函数；表示与的互信息，表示关于的最大互信息，条件熵表示给定随机变量后，对随机变量仍然存在的不确定度；
[0044]
由于噪声服从高斯分布，概率密度函数的表达式pdf写成：
[0045][0046]
步骤2包括：
[0047]
步骤2
‑
1，将公式(7)替换到(6c)，第i个子信道的容量c
i
写成：
[0048][0049]
式中，p
i,m
是第m个离散点对应的概率；
[0050]
mimo vlc系统信道的信道容量的问题表述为：
[0051][0052]
步骤2
‑
2，将问题(9)重新表述为如下形式：
[0053][0054][0055][0056][0057][0058][0059]
式中，是发射信号可能取得的所有星座点，是输入信号的第k
i
个星座点，是表示离散点平方的向量，p
i
是离散点对应的概率值，是用于简化目标函数的中间变量，φ
i
(p
i
)是目标函数，υ
i
是所有约束的集合，p
i,ki
是是输入信号的第k
i
个离散点对应的概率；
[0060]
问题(9)等效地重新表示为如下问题(11)：
[0061][0062]
s.t.p
i
∈υ
i
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(11b)；
[0063]
问题(11)关于概率p
i
是凸的，但关于点数k
i
和位置是非凸的；为了解决问题(11)，应用不精确梯度下降法得到最优的输入分布。
[0064]
步骤3包括：由于c
i
不具有封闭形式，逼近下界和上界以近似第i个子信道的信道容量；
[0065]
步骤3
‑
1，求解离散输入分布的上界：
[0066]
步骤3
‑
2求解离散分布输入的下界。
[0067]
步骤3
‑
1包括：mimo vlc系统信道容量的上界写成：
[0068][0069]
式中，c
mimo
代表可见光多输入多输出通信系统mimo vlc的信道容量；
[0070]
通过解决以下优化问题，得到mimo vlc系统信道容量上界的表达式：
[0071][0072]
进行如下定义：
[0073][0074][0075][0076]
式中，和l
i
(p
i
)都是中间变量，ψ
i
(p
i
)则表示目标函数，是离散点对应的概率值p
i
的转置矩阵，是第k
i
个离散点对应的中间变量；
[0077]
与定义(10a),(10b)(10c),(10f)一起，问题(13)等效地重写为：
[0078][0079]
s.t.p
i
∈υ
i
ꢀꢀꢀꢀ
(15b)
[0080]
问题(15)是一个非凸问题，目标函数关于概率是非凸的，但是约束关于是凸的，使用op(最佳概率)
‑
frank
‑
wolfe方法来解决问题(15)，得到了离散输入分布的上界。
[0081]
步骤3
‑
2包括：mimo vlc系统信道容量的下界写成：
[0082][0083]
基于连续分布的输入得出mimo vlc系统信道容量的下界：
[0084]
当输入遵循连续分布时，需要满足以下约束：
[0085][0086][0087]
[0088]
其中，f
x
(x)是输入信号x对应的概率密度函数，是元素全为1的n
t
维列向量，是n
t
维的实空间，其中所有的元素在[0,a]之间，且
[0089]
根据连续分布后的输入，mimo vlc系统信道容量的另一个下界由下式给出：
[0090][0091]
式中，参数α,β和γ为abg分布参数，满足了(17)的约束；det(h)为信道矩阵h的行列式；
[0092]
参数α,β和γ是以下方程式的解：
[0093][0094][0095][0096]
其中，中间参数中间参数t(x)＝e
x(β+aγ)
是中间变量，中间参数γ为abg分布参数；
[0097]
其中，发送信号向量x的分布由下式给出：
[0098][0099]
步骤4包括：
[0100]
步骤4
‑
1，设定输入来自离散星座集功率分配后的第i个并行信道的接收信号由下式给出：
[0101][0102]
其中，为均值是0、方差为σ2的独立高斯噪声；p
i
表示第i个子信道的功率分配参数；
[0103]
步骤4
‑
2，第i个子信道的可达速率r
i
为：
[0104][0105]
[0106][0107]
步骤4
‑
3，使用m
‑
qam多进制正交幅度调制方法，的约束写成：
[0108][0109][0110][0111][0112]
其中,其中,表示第k个星座点，p
o
是总平均光功率，p
e
表示总电功率约束；考虑到不等式不等式中，a
i
表示第i个数值，n表示数值的总个数，公式(23c)近似写成：
[0113][0114]
步骤4
‑
4，噪声服从高斯分布，则第i个并行通道可达速率r
i
为：
[0115][0116][0117]
mimo vlc系统的可达速率r
mimo
表示为：
[0118][0119]
用如下数学公式表示考虑的问题(27)：
[0120][0121]
优化问题(27)的约束对于p
i
是凸的，但目标函数对于p
i
是非凸的；接下来，求解基于最小均方误差mmse的可达速率下界和基于jensen不等式的可达速率的上界及下界；
[0122]
步骤4
‑
5，求解基于mmse的可达速率下界：通过研究互信息与mmse之间的关系，以得出最优的功率分配方案；互信息和mmse之间的关系由下式给出：
[0123][0124]
式中，表示x
i
与之间的mmse，为x
i
的mmse估计条件均值，i(x
i
；y
i
)表示信道平均互信息；snr表示信噪比；
[0125]
问题(27)的拉格朗日函数l由下式给出：
[0126][0127]
其中，ω1≥0，ω2≥0是关于约束(23c)和(23d)的拉格朗日乘数；
[0128]
然后，全局最优解存在的充分必要条件kkt条件表示为：
[0129][0130][0131][0132][0133][0134]
ω1≥0,ω2≥0,
[0135][0136][0137]
其中，中间参数
[0138]
功率分配参数p
i
的表达式写成：
[0139][0140]
求得mimo vlc系统最优功率分配为：
[0141][0142]
mmse
i
的上界为：
[0143][0144]
式中，表示的方差。
[0145]
采用opa最优功率分配对偶方法来得到对偶变量ω1,ω2；
[0146]
步骤4
‑
6，求解基于jensen不等式的可达速率的上界：根据jensen不等式，(25b)转换成：
[0147][0148][0149][0150]
式中，表示对求均值；
[0151]
得到可达速率的上界：
[0152][0153]
通过求解以下优化问题，得到上界的表达式：
[0154][0155]
问题(35)关于p
i
是凸的，使用现成的凸优化求解器来解决它，例如cvx，得到可达速率r
mimo
的上界；
[0156]
步骤4
‑
7，求解基于jensen不等式的可达速率的下界：
[0157]
根据jensen不等式，(25b)转化为：
[0158][0159][0160]
因此，得到可达速率的下界为：
[0161][0162]
通过求解以下优化问题，得到下界表达式：
[0163][0164]
用凸优化求解器来解决问题(38)，得到可达速率r
mimo
的下界。
[0165]
本发明推导了mimo vlc系统的精确信道容量，并利用不精确梯度下降法研究了峰值、平均光功率和电功率约束下的最优离散分布。由于信道容量的精确求解是一个连续
‑
离散混合优化问题，本发明采用了近似目标函数及其梯度的数值积分方法。考虑到实际的离散星座输入，本文给出了mimo vlc信道容量的上界和下界。此外，本发明还推导了连续输入条件下的mimo vlc信道容量，得到了其下界的闭式表达式。在此基础上，本发明研究了以最大可达速率为目标的最优功率分配问题，并比较了基于最优输入和等概率输入的功率分配方案。仿真结果表明，随着信噪比的增加，需要更多的离散点来获得精确的信道容量。在低信噪比区域，精确的信道容量的上界和下界与紧密相关。此外，在高信噪比区域，信道容量的下界也很紧密。基于最优输入的功率分配方案比等概率输入具有更好的性能。
[0166]
有益效果：本发明提出了一种非精确梯度下降法来计算mimo vlc在峰值、平均光功率和电功率约束下的信道容量。此外，本发明还推导了mimo vlc信道容量的上界和下界，并给出了闭式表达式。并且，本发明第一次建立了具有电功率约束的mimo vlc信道容量的理论框架。在此基础上，本发明提出了一种适用于任意实际离散星座输入的最优功率分配方案，与等功率分配方案相比，本发明所提出的功率分配方案可以显著提高低阶调制输入的速率。
附图说明
[0167]
下面结合附图和具体实施方式对本发明做更进一步的具体说明。
[0168]
图1为κ＝4，5时mimo vlc在不同snr下各自的精确信道容量的变化曲线。
[0169]
图2为不同点k的mimo vlc在不同snr下各自的精确信道容量的变化曲线。
[0170]
图3为离散分布输入的上、下界和连续分布输入的下界的精确信道容量比较曲线。
[0171]
图4为κ＝4，snr＝
‑
5db时在不同点的迭代次数下各自容量的变化曲线。
[0172]
图5a为mimo vlc在不同snr下各自的最优输入位置的变化曲线。
[0173]
图5b为mimo vlc在不同snr下各自的最优输入分布的变化曲线。
[0174]
图6a为mimo vlc在不同snr下各自的最优输入位置的变化曲线。
[0175]
图6b为mimo vlc在不同snr下各自的最优输入分布的变化曲线。
[0176]
图7为光功率阈值μ＝3w时在不同电功率阈值下各自的可达速率的变化曲线。
[0177]
图8为输入分布不同时在不同电功率阈值下各自的可达速率的变化曲线。
具体实施方式
[0178]
本发明提出了一种可见光通信多输入多输出系统mimo vlc信道容量可达方法，研究具有峰值光功率，平均光功率和电功率约束的mimo vlc信道容量。首先得出mimo vlc系统信道的准确容量和最佳离散分布输入。考虑到实际的离散星座输入，基于jensen不等式用闭式表达式来获取mimo vlc信道容量的下限和上限。此外，推导了连续输入的mimo vlc系统容量可达速率，并获得了闭式表达式；基于以上获得的最佳输入分布，研究了在受光功率和电功率约束下使可达速率最大化的最佳功率分配。然后，通过利用互信息与mmse之间的关系，使用二等分法获得了最优的功率分配方案。
[0179]
mimo vlc系统的准确信道容量：
[0180]
考虑im/dd mimo vlc系统信道，发射端有n
t
个led，接收端有n
r
个pd，其中n
t
>1且n
r
>1。令表示mimo vlc系统的发送信号向量。发送信号x的元素是实数且非负。
[0181]
此外，为了人的眼睛安全考虑，x的峰值和平均光功率都是受限的，因此0≤x
j
≤a,其中a表示每个led的峰值功率，μ表示最大平均光功率。此外，出于实际电路考虑，x的电功率也受到限制。因此，其中ε表示led的最大电功率。
[0182]
令表示vlc信道矩阵。接收信号表示为
[0183]
y＝hx+z
ꢀꢀꢀꢀ
(1)
[0184]
其中是独立高斯噪声，其均值为0，方差为σ2。
[0185]
然后，应用奇异值分解(svd)将mimo vlc系统信道分解为并行子信道。其中，h＝uλv
t
，和为酉矩阵。考虑到n
t
≥n
r
，则rank(h)＝n≤n
r
。其中，λ＝diag{λ1,...,λ
n
}是奇异矩阵，通过乘以矩阵u
t
，获得等效的mimo vlc系统信道，且第i个并行子信道表示为
[0186][0187]
其中是等效输入信号，并且是均值为0，方差为的高斯噪声。显然，由于接收器未接收到，因此i>n时，对信道容量没有影响。
[0188]
此外，发送信号x的元素可以表示为
[0189][0190]
其中，是v
t
的第j个列向量，然后，可将mimo vlc系统系统的峰值功率、光功率和电功率约束等价地重新定义为
[0191][0192][0193][0194]
根据(4a)的约束，第i个子信道中输入信号的幅值是有界的，因此的信道容量可达分布是离散的。令表示为由k
i
个非负质量点组成的的离散分布。更具体地说，满足约束(4a)，(4b)和(4c)。故有下列表达式：
[0195][0196][0197][0198][0199][0200]
其中，其中，是输入信号的第k个离散点,p
i,k
是对应概率。显然，i>n时，与输入信号无关。因此，mimo vlc系统信道容量c
mimo
是n个子信道的信道容量之和，c
i
表示第i个子信道的容量，其可由以下表达式给出：
[0201][0202][0203][0204]
由于噪声服从高斯分布，pdf写成：
[0205][0206]
将(7)替换到(6c)，第i个子信道的容量c
i
写成：
[0207][0208]
因此，mimo vlc系统的信道容量的问题表述为：
[0209][0210]
然而问题(9)是一个非凸问题，为了解决问题(9)，首先将其重新表述为简洁形式，给出以下定义：
[0211][0212][0213][0214][0215][0216][0217]
其中，是k
i
×
1的所有元素为1的列向量。问题(9)等效地重新表示为：
[0218][0219]
s.t.p
i
∈υ
i
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(11b)
[0220]
问题(11)关于概率p
i
是凸的，但关于点数k
i
和位置是非凸的。采用不精确梯度下降法解决问题(11)，并得到最佳的输入分布。
[0221]
mimo vlc信道容量的下界和上界
[0222]
由于第i个子信道的容量不具有封闭形式，以逼近下界和上界的方式来近似第i个子信道的信道容量，从而得出mimo vlc信道容量的下限和上限。
[0223]
a离散分布输入的上界
[0224]
引理1：mimo vlc信道容量的上界写成：
[0225][0226]
通过解决以下优化问题，得到mimo vlc信道容量上界的表达式。
[0227][0228]
为了解决问题(13)，将其重新写为简洁形式。接下来定义：
[0229][0230][0231][0232]
与定义(10a),(10b)(10c),(10f)一起，问题(13)等效地重写为：
[0233][0234]
s.t.p
i
∈υ
i
ꢀꢀꢀꢀꢀꢀ
(15b)
[0235]
问题(15)是一个非凸问题，目标函数关于概率是非凸的，但是约束关于是凸的，应用op(最佳概率)
‑
frank
‑
wolfe方法来解决问题(15)，并得到mimo vlc信道容量上界。
[0236]
b.离散分布输入的下界
[0237]
引理2：mimo vlc信道容量的下界写成：
[0238][0239]
用op(最佳概率)
‑
frank
‑
wolfe方法来解决问题(15)，并得到mimo vlc信道容量下界。
[0240]
c.连续分布输入的下界
[0241]
考虑到(1)中提出的系统模型，可以基于连续分布的输入得到mimo vlc信道容量具有封闭形式的下界。
[0242]
当输入遵循连续分布时，需要满足以下约束：
[0243][0244]
[0245][0246]
其中，是n
t
维的实空间，其中所有的元素在[0,a]之间，且
[0247]
引理3：根据连续分布的输入，mimo vlc信道容量的另一个下界由下式给出：
[0248][0249]
参数α,β和γ是以下方程式的解。
[0250][0251][0252][0253]
其中，其中，
[0254]
其中，输入信号x的分布由下式给出：
[0255][0256]
mimo vlc系统容量可达速率最大化的功率分配
[0257]
在实际应用中，输入通常基于离散的信号星座。设定输入来自离散星座集根据以上提出的系统模型，将mimo vlc系统分解为n个并行子信道，功率分配后的第i个并行信道的接收信号可以由下式给出：
[0258][0259]
其中，为均值是0，方差为σ2的独立高斯噪声。p
i
表示第i个子信道的功率分配参数。第i个子信道的可达速率写成：
[0260][0261][0262]
[0263]
由于使用m
‑
qam调制方法，的约束写成：
[0264][0265][0266][0267][0268]
其中,其中,表示第k个星座点，p
i,k
是相关概率，p
o
是总平均光功率，p
e
表示总电功率约束。
[0269]
因为上面获得的最佳输入位置以及最佳输入概率用于功率分配，仅需考虑变量p
i
。
[0270]
考虑到不等式(23c)近似写成：
[0271][0272]
然后，第i个并行通道可达速率为：
[0273][0274][0275]
最后，mimo vlc系统的可达速率表示为：
[0276][0277]
所考虑的问题用数学公式表示如下：
[0278][0279]
优化问题(27)的约束对于p
i
是凸的，但目标函数对于p
i
是非凸的。
[0280]
a.基于mmse的可达速率下界
[0281]
由于(27)缺乏目标函数的闭式表达式，可以研究互信息与mmse之间的关系，以得出最优的功率分配方案。
[0282]
互信息和mmse之间的关系由下式给出：
[0283][0284]
问题(27)的拉格朗日函数由下式给出：
[0285][0286]
其中，ω1≥0，ω2≥0是关于约束(23c)和(23d)的拉格朗日乘数。
[0287]
然后，kkt条件表示为：
[0288][0289][0290][0291][0292][0293]
ω1≥0,ω2≥0,
[0294][0295][0296]
其中，
[0297]
因此，功率分配参数p
i
的表达式写成：
[0298][0299]
求得mimo vlc系统最优功率分配为：
[0300][0301]
对于mmse
i
，没有闭式表达式，但mmse
i
的上界为：
[0302]
[0303]
然后，采用opa(最优功率分配)对偶方法推导出对偶变量ω1,ω2.
[0304]
b.基于jensen不等式的可达速率的上界和下界
[0305]
接下来，用另一种方法逼近(26)中的目标函数，根据jensen不等式，(25b)转换成：
[0306][0307][0308][0309]
因此，得到可达速率的上界：
[0310][0311]
通过求解以下优化问题，得到上界的表达式：
[0312][0313]
问题(35)关于p
i
是凸的，使用例如cvx的凸优化求解器来解决问题(35)，得到了基于jensen不等式的可达速率的上界。
[0314]
根据jensen不等式，(25b)转化为：
[0315][0316][0317]
因此，得到可达速率的下界为：
[0318][0319]
通过求解以下优化问题，得到下界表达式：
[0320][0321]
问题(38)对于p
i
是凸的，因此用凸优化求解器来解决问题(38)，得到基于jensen不等式的可达速率的下界。
[0322]
实施例
[0323]
为了方便起见，定义了参数其表示振幅与光功率平均值的比值。发射天线n
t
＝2,接收天线n
r
＝2，每个led的峰值功率a设置为1。信道矩阵给定为：
[0324][0325]
图1说明了绘制κ＝4,κ＝5时mimo vlc信道的精确信道容量与snr的关系，其中观察到，精确的信道容量随着信噪比的增加而增加，并且κ＝5的精确信道容量在整个信噪比区域大于κ＝4的精确信道容量，且在低信噪比区域差异最小。此外，由于子通道1具有更好的信道增益，子通道1的容量大于子通道2。
[0326]
图2为κ＝4时，不同点k的mimo vlc在不同snr下各自的精确信道容量的变化情况。显然，在低信噪比区域只需要两个点，在这种情况下可以使用ook调制。此外，在参数k固定的情况下，尽管信噪比增加，容量趋于恒定。因此，得出结论，随着信噪比的增加，需要更多的点来达到精确信道容量。
[0327]
图3为离散分布输入的上、下界和连续分布输入的下界与精确信道容量的比较曲线，很明显，在低信噪比和高信噪比区域，精确信道容量与下界容量之间的差距很小，然而，精确信道容量与上界之间的差距越来越大。显然，因为离散分布是vlc系统的最优分布，离散分布输入的下界比连续分布后输入的下界更好地近似精确信道容量。
[0328]
图4说明了κ＝4，snr＝
‑
5db时，容量与不同点k＝2,4,8,16的迭代次数的关系，当点数k大于最优点数k
*
时，通过优化概率向量p
i
，冗余点对容量的影响会被消除。因此，容量可以收敛到具有最佳点数的容量。
[0329]
图5a、图5b和图6a、图6b说明了两个子信道的最佳位置和最佳输入分布与snr的关系。从图5a中，可以了解到离散点随着snr的增加而增加。此外，附加点趋向于分布在中心区域。图5a还显示最佳输入位置倾向于分布在低snr区域的两个终端中。在这种情况下，由于最佳输入位置在图6a中仅包括一个离散点0，并且分配的电功率为零，故子信道2无效。因此，ook调制可以用来获得低信噪比区域mimo vlc信道的容量。随着信噪比的增加，最优输入位置具有更多的离散点，pam调制可以用来得到mimo vlc系统的精确信道容量。此外，图5b中的最佳输入位置比图6b中最佳输入位置的离散点更多，并且由于子信道1具有更好的信道增益，因此子信道1比子信道2被分配更多的电功率。
[0330]
图7说明可达速率随电功率阈值的变化而变化。基于mmse的下界比基于jensen不
等式的低电功率阈值下界的功率分配具有更好的性能。此外，基于jensen不等式的下界在电功率阈值功率大于4w时表现较好，而基于mmse的下界由于光功率阈值的约束而趋于常数。然而，因为随着电功率阈值的增加，上界和下界之间的差异变得更大，基于jensen不等式的上界效果并不理想。从图8得知，基于mmse的下限功率分配在低功率阈值下具有更好的性能。
[0331]
图8绘制了不同输入分布下可达的速率与电功率阈值的关系。显然，最佳输入优于等概率输入，并且两种形式的输入分布之间的差异随着电功率阈值的增加而变小。当电力阈值升至3.8w时，由于已达到光功率阈值，可达速率趋于恒定。