0074] 当螺旋角β k= 0时，则是标准的渐开线极坐标函数表达式：
[0076] inv a k= tan a k- a k
[0077] 由此可以得出，该齿轮的齿根部的过渡曲线为椭圆曲线，齿轮基圆内的曲线从起 始点起也是渐开线。
[0078] 双渐开线齿轮传动分两种情况：一种是大负变位的大齿轮与正变位的小齿轮啮合 传动，这种情况的啮合传动简称为单大负齿轮啮合传动；另一种是两个都是大负变位的齿 轮传动，这种情况的啮合传动简称为双大负齿轮啮合传动。
[0079] -、单大负齿轮啮合传动：
[0080] 如图3和图5所示，单大负齿轮啮合传动，其中，大齿轮为大负变位齿轮，在基圆内 有齿廓。小齿轮为正变位齿轮，齿廓在基圆外。匕点是两齿轮节圆的交点，即两齿轮的节 点，直线即;是过节点匕作的大齿轮基圆的切线，也与小齿轮的基圆相切。大齿轮基圆内第 二渐开线曲线要与小齿轮齿顶部渐开线啮合，根据"齿廓啮合基本定律"，其公法线也必过 节点P;，过P1点作大齿轮内基圆的切线，也必与小齿轮顶部齿廓渐开线基圆相切。图中MP j 与NP1是两个基圆的切线，也是齿廓啮合过程，小齿轮齿顶部与大齿轮齿根部啮合的分界点 就是大齿轮的基圆，两段渐开线在不同阶段啮合，在同一时间段有凸凸齿廓与凸凹齿廓两 种啮合形式。大齿轮基圆内的第二渐开线是滚刀刀尖圆弧在基圆内形成的，第二渐开线压 力角与滚刀齿形角没有直接关系，因此不能通过滚刀齿形角控制内渐开线压力角，要保证 小齿轮齿顶部分与大齿轮齿根部分正确嗤合传动，只有将小齿轮齿顶部分渐开线的分度圆 压力角修改，并确定两段渐开线的分界点。
[0081] 小齿轮齿顶部渐开线在分度圆上的压力角称为"分度圆内压力角"，用a sn表示； 小齿轮齿顶部与齿根部渐开线分界点称顶部分界圆半径，用表示；分界圆到齿顶圆的高 度称分界圆齿顶高，用表示，齿顶渐开线齿廓变位系数称内变位系数，用X sn表示。大齿 轮齿根部与小齿轮顶圆接触点称大齿轮根部啮合起始圆，半径用rf。表示；大齿轮齿根部 两段渐开线分界点称根部分界圆，半径用表示，根部分界圆到齿顶圆的高度称基圆齿顶 尚，用hba表不。
[0082] 双渐开线齿轮是两段齿廓，包含了可以用于理论啮合的齿廓高度、顶隙高度和去 尖角毛刺倒角齿高三部分齿廓高度。可以用于理论啮合的齿廓高度部分简称工作齿高，用 hw表示，只包含工作齿高与保证齿顶隙的齿廓高度简称有效齿高，用h表示，包含了可以用 于理论啮合的齿廓、顶隙和去尖角毛刺倒角三部分全部齿廓高度简称全齿高，用hg表示。双 渐开线齿轮两段齿廓有一个分界圆，因此采用分界圆与分界圆齿顶高便于设计计算与刀具 制造，渐开线齿轮以分度圆为界分成的齿顶高与齿根高在双渐开线齿轮的参数与计算中就 没有意义，所以就不再采用。齿顶高系数ha'顶隙系数f可以采用渐开线齿轮标准，去尖角 毛刺倒角(^乂45°，按下式计算
[0083] ca= c >n (8)
[0084] 式中，C去尖角毛刺倒角系数，简称齿顶倒角系数，c := 0. 1。
[0085] 如图3所示，O2M = rs2是大齿轮内基圆半径，根据公式⑴计算，O2Pj= rw2是大 齿轮节圆半径，O1P1=Fwl是小齿轮节圆半径。因八？，02与AP 1QO1是直角三角形，并且 Δ P1MO2^ Δ P PO1，所以小齿轮齿顶部分渐开线基圆半径rsl可以根据相似三角形的性质计 算：
[0089] 小齿轮内基圆半径可以用传动比与大齿轮内基圆半径计算：
[0091] 根据基圆半径计算公式rb= rcosa t，可求得小齿轮齿顶部齿廓渐开线端面分度 圆内压力角a st:
[0093] 根据法向分度圆压力角与端面分度圆压力角计算公式，小齿轮齿顶部渐开线分度 圆法向内压力角为：
[0094] a sn= arctan (tan a stcos β ) (11)
[0095] 小齿轮顶部齿廓与大齿轮根部齿廓的啮合角称节圆内啮合角，根据端面压力角与 端面啮合角计算公式，内基圆渐开线齿廓端面节圆内啮合角a swt:
[0097] 式中，a'是理论中心距，a是安装中心距（或称实际中心距）。
[0098] 根据渐开线性质：基圆内无渐开线，因此大负变位齿轮两段齿廓渐开线分界点应 在基圆上；对应小齿轮分界圆直径可以根据这一条件计算出来。大齿轮根部基圆内外齿廓 渐开线分界圆直径用C^b表示，半径用表示，对应在小齿轮顶部的分界圆直径用表示， 半径用表示。
[0099] 如图3所示，P点是大齿轮两段齿廓的分界点，也是小齿轮顶部两段齿廓的分界 点，因此，O1P就是小齿轮齿顶部与齿根部渐开线分界圆半径，用r;al表示，^lal=O 1P。在 AO1O2P 中，Z O1O2P = a swt-a sbt2, a = O1O2, rJb2= 〇2P，根据三角形边角关系求出：
[0101] 式中，a swt是内基圆渐开线齿廓端面啮合角，由公式（12)计算，a sbt2是大齿轮根 部渐开线在基圆啮合终止点端面压力角，简称根部终止压力角，可以由以下公式计算：
[0103] 小齿轮以分界圆为分界点，根部与顶部渐开线不同，顶部渐开线齿高称分界圆齿 顶尚为：
[0104] hJa=ra-rJa (15)
[0105] 小齿轮在分度圆上有两个压力角，一个用于齿根部分渐开线齿廓计算，是设计选 定的压力角α n;-个用于齿顶部分渐开线齿廓计算，是保证小齿轮顶部与大齿轮根部能 够正确啮合，根据大齿轮基圆内由滚刀刀尖圆弧自然形成的渐开线曲线计算出来的压力角 a sn，是齿顶高h;a部分齿廓的滚刀齿形角，因此，在制作小齿轮滚刀时，以齿轮分界圆为界 按两个齿形角an、asn设计制造滚刀，如图4所示。大齿轮滚刀则按选定齿形角α n制作， 只有一个齿形角。
[0106] 小齿轮齿顶圆与大齿轮根部基圆内渐开线齿廓接触点，就是大齿轮根部啮合起始 点，所在圆半径就是大齿轮根部啮合起始点半径，用表示。
[0107] 如图 5 所示，rfc2= 02P，在 AO1O2P 中，Z O1O2P = a satl-a swt，a = 〇A，ral= O1P, 根据三角形边角关系求出：
[0109] 式中，a swt是节圆内端面啮合角，由公式（12)计算，a sat^小齿轮顶部齿廓渐开 线终止点端面压力角，简称小齿轮"顶部终止角"，可以由以下公式计算：
[0111] 大齿轮齿顶圆与小齿轮根部渐开线齿廓接触点，就是小齿轮根部啮合起始点，所 在圆半径就是小齿轮根部啮合起始点半径，用表示。同理得到：
[0113] 式中Ciat2是大齿轮齿顶圆压力角，计算公式是：
[0115] 内变位系数Xsn:变位系数与齿厚密切相关，根据分界圆齿厚相同条件可以计算出 内变位系数Xsn。齿厚是渐开线齿轮啮合传动的重要尺寸，齿轮齿廓各部分的齿厚是不同 的，两个齿轮的分度圆齿厚也不相同，用s表示分度圆齿厚，用Ss表示分度圆基圆内渐开线 齿厚，简称分度圆内齿厚，小齿轮是两段同向渐开线齿廓，分度圆齿厚与内齿厚的计算公式 是： CN 105134910 A 说明书 8/26 页
[0118] 用sk表示任意圆齿厚，]^是任意圆半径，r是分度圆半径，a k是任意圆的压力角， a t是分度圆端面压力角，小齿轮根部任意圆齿厚的计算公式是：
[0120] 小齿轮顶部任意圆齿厚的计算公式是：
[0122] 大齿轮在基圆内齿廓是凹形齿廓即是反向渐开线齿廓，任意圆上齿厚计算与正向 渐开线不同。图6所示，Sk是任意圆上的弧齿厚，s s是分度圆上的弧齿厚，根据渐开线性质， 任意圆上的弧齿厚：
[0124] 因渐开线展角Θ k= inv a k以及Θ t= inv a st，得到sj+算公式：
[0126] 式中，反渐开线齿廓的分度圆齿厚Ss为：
[0128] 基圆外是正向渐开线齿廓，计算公式同小齿轮。
[0129] 双渐开线齿轮模数、螺旋角、分度圆相同，顶部与根部分度圆压力角不同，因此变 位系数是不相同的。可以根据分界圆齿厚相同的条件计算出齿顶部渐开线齿廓的变位系 数，简称内变位系数，用Xsn表示。
[0130] (1)、小齿轮内变位系数Xsnl:小齿轮分界圆弧齿厚用s j表示，因两段齿廓是正向渐 开线，根据公式（20)、（21)、（22)、（23)得到：
[0135] 式中，a ;atl是小齿轮根部齿廓渐开线终止端面压力角，简称小齿轮"根部终止压 力角"，a s;tl是小齿轮顶部齿廓渐开线起始端面压力角，简称小齿轮"顶部起始压力角"，分 别由下式计算： L/1N 丄 UD 丄 04:3 丄 U Λ / w I - ? 丨 LAJ '八
[0138] 根据以上公式联立求得：
[0140] (2)、大齿轮内变位系数xsn2:根据渐开线性质：基圆内无渐开线，因此大齿轮两段 齿廓渐开线分界点应在基圆附近；由于两条渐开线曲线光滑过渡，因此分界点齿厚是相同 的。用sb表示基圆分界点弧齿厚，基圆内齿廓是反向渐开线，根据公式（20)、（22)、（24)、 (25)得到：
[0145] 式中，a;bt2是大齿轮顶部（双大负齿轮是中部）渐开线起始点端面压力角，简称 "顶部（中部）起始压力角" ；a abt2是大齿轮根部终止点端面压力角，简称"根部终止压力 角"。
[0149] 双渐开线齿轮啮合传动也是渐开线变位齿轮传动，因此渐开线变位齿轮无侧隙啮 合方程适用于双渐开线齿轮啮合传动。大齿轮顶部与小齿轮根部是反向渐开线齿廓啮合传 动，也是凸凸齿廓嗤合传动，与渐开线齿轮嗤合传动一样，称主嗤合传动；大齿轮根部与小 齿轮顶部是同向渐开线辅啮合传动，也是凸凹齿廓啮合传动，与渐开线齿轮传动不同，称辅 啮合传动，分别计算。
[0150] (1)、主啮合传动是大齿轮顶部与小齿轮根部齿廓啮合传动，无侧隙啮合方程也是 渐开线齿轮无侧隙啮合方程，这里省去推导过程，其方程是：
[0153] 式中，21是小齿轮齿数，22是大齿轮齿数，a wt是端面啮合角，α ,是分度圆端面压 力角，α "是分度圆法向压力角，x Σ n是总法向变位系数，x nl是小齿轮法向变