压电精密位置平台自适应输出反馈逆控制方法与流程

本发明属于精密加工制造领域，是一种压电精密位置平台自适应输出反馈逆控制方法。

背景技术：

在现有技术中，基于智能材料的执行器被广泛地应用在微型和纳米级系统，金属切削系统和其他超高精密定位系统。然而，在智能材料为基础的执行器中存在不可避免的缺点是滞后现象非线性。因为滞后是不可微分和多值的，当一个控制系统对于滞后缺乏补偿时，它可能会表现出不理想的属性，如振荡，甚至不稳定。

通常处理滞后的方法一种是构造磁滞的逆模型，并且将其作为补偿器放在执行器之前的控制系统中；另一种方法是在不建立磁滞逆模型的情况下设计鲁棒自适应方案来减轻磁滞的影响。对于第一种方法，因为磁滞通常是未知的，磁滞模型和其逆之间的解析误差表达式是难以建立的。在第二种方法中，把未知磁滞分为线性和非线性部分，其中非线性部分通常作为干扰。这就是第二种方法被设计的原因。然而，由于滞后的非线性部分可能是无界的，这意味观测器误差可能没有上界,当输出信号可以获得时，在没有建立磁滞逆的情况下，第二种方法有可能会无效。到目前为止，很难获得的具有磁滞逆补偿器的输出反馈控制方案。

在压电精密位置平台控制系统中，由于速度和加速度通常不方便测量，一种可实现的鲁棒自适应输出反馈控制算法仍然无法获得。

技术实现要素：

本发明的目的是针对输出可测、存在磁滞输入的压电精密位置平台，采用基于观测器的输出反馈自适应动态面控制、PI模型逆和径向基神经网络相结合的压电精密位置平台自适应输出反馈逆控制方法，可保证其跟踪误差的任意小的L_∞范数和闭环系统中的所有信号是半全局最终一致有界的，克服了反推控制方案中的“微分爆炸”问题，简化控制器结构，减少计算量，更便于实时控制。

实现本发明目的采用的技术方案是：一种压电精密位置平台自适应输出反馈逆控制方法，其特征是，它包括以下内容：

1)压电精密位置平台数学模型

考虑到一类加入回滞的非线性系统表达式为：

y＝x₁,i＝0,1,…,n-1 (1)

其中，是状态向量；未知光滑线性函数，d_i(t)是外部干扰，b₀是未知常数参数，w∈R是未知的回滞现象，表示为：

w(u)＝P(u(t)) (2)

u是执行器的输入信号，P是滞后算子，

对于系统式(1)，以下假设是必需的：

A1:干扰d_i(t),i＝1,···,n，满足：

其中，是一些未知正常数；A2:在设计处理下，期望轨迹y_r是光滑的，且y_r(0)是能够得到的；对于所有的t≥0，属于一个已知的紧集；A3:b₀的符号是已知的,不失一般性，为了方便，假设b₀＞0；

2)Prandtl-Ishlinskii(PI)模型及其逆

采用适用于描述压电执行器中磁滞模型的PI模型，且采用其相应的模型逆来减轻磁滞现象的影响，

w(t)＝P[u](t) (4)

其中P[u](t)定义为：

其中r是阈值，p(r)是给定的密度函数满足p(r)＞0，中，为了方便起见，是由密度函数p(r)所决定的常数，Λ表示积分的上限，令f_r:R→R，由(6)式定义：

f_r(u,w)＝max(u-r,min(u+r,w)) (6)

进而，play算子F_r[u](t)满足：

其中，0≤i≤N-1，0＝t₀＜t₁＜…＜t_N＝t_E是[0,t_E]上的一个分割，以使函数u在(t_i,t_i+1]上的每个子区间是单调的，即非增或非减，

为了补偿式(1)中回滞非线性w(u)，构造PI模型的逆：

其中，ο表示补偿算子；P^-1[·](t)是PI模型的逆补偿算子，

其中是常数，表示的是式(9)中的积分上限，且，

由于在实际中，回滞是无法获得的，这就意味着密度函数p(r)需要在测量数据的基础上来得到，逆模型是在基于估计密度函数基础上构造的，使用作为P[u](t)的估计值，因此，通过将补偿理论应用到P[·](t)和得：

其中，γ(r)，δ(r)是P[·](t)和初始载入曲线，u_d是被设计的控制信号，

考虑到式(11)和不等式F_r[u_d](t)+E_r[u_d](t)＝u_d(t)，得出：

w(t)＝φ′(Λ)u_d+d_b(t) (12)

其中φ′(Λ)正常数，E_r(·)是PI模型的stop算子，由于|E_r(·)|＜Λ，有界且满足：

|d_b(t)|≤D (13)

其中，D正常数，从式(11)至式(12)获得分析误差e(t)表达式为：

将式(12)代入式(1)，得：

其中，b_Λ是正常数且满足：

b_Λ＝b₀φ′(Λ) (16)

3)径向基函数神经网络(RBFNNs)对未知项逼近

遵循引理1，采用一个权重属性的线性径向基函数神经网络(RBFNNs)来近似紧集中的一个连续函数，

引理1:对任意给定的连续实函数f而言，RBFNNs是一个全局逼近器，f:Ω_ξ→R其中，ξ是神经网络的输入，q是输入维数。对于任意的ε_m＞0，通过适当的选择σ和ζ_k∈R^q,k＝1,…,N，之后，存在一个RBFNN使得：

f(ξ)＝ψ^T(ξ)θ^*+ε (17)

其中θ^*是θ＝[θ₁,…,θ_N]∈R^N最优权值向量，且定义为：

其中，Y(ξ)＝ψ^T(ξ)θ表示的是RBFNNs的输出，ψ(ξ)＝[ψ₁(ξ),…,ψ_N(ξ)]∈R^N是基本函数向量，通常情况下，所谓的高斯函数一般按如下形式作为基本函数：

其中，σ＞0,k＝1,…,N，是常值向量，称为基本函数的中心；σ是实数，称为基本函数的宽度，ε是近似误差，且满足：

ε＝f(ξ)-θ^*Tψ(ξ) (20)

使用引理1和式(17)，RBFNNs作为逼近器来近似式(17)中的未知连续函数，得(21)式：

其中，ε_i,i＝1…,N是任意正常数，表示神经网络逼近误差，且，

其中是状态变量x₁,…,x_i的估计值，并会在式(40)中引入，

将式(21)代入式(15)，得:

系统式(1)表达成下面的状态空间形式：

其中，b＝[0,…0,b_Λ]^T∈Rⁿ,e₁＝[1,0,…,0]^T，

B＝D_b+ε+d (25)

其中，d＝[d₁(t),…,d_n(t)]^T,ε＝[ε₁,…,ε_n]^T,D_b＝[0,…,0,d_b(t)]^T∈Rⁿ是类干扰项，

其中，在式(19)中被定义，对于一类回滞非线性系统，控制的目标是建立一种基于自适应神经网的输出反馈动态面控制方案，使得与跟踪误差的L_∞范数一致，输出信号y能很好的跟踪参考信号y_r，且闭环系统的所有信号都是一致有界的；

4)基于观测器的自适应动态面逆补偿器设计

①高增益卡尔曼滤波观测器

将式(24)转变为(27)式：

令

A₀＝A-qe₁^T (28)

其中，q＝[q₁,…,q_n]，通过适当的选择向量q使A₀为赫维茨矩阵，

构造高增益卡尔曼滤波器来估计式(27)中的状态变量x，

其中k≥1是正设计参数，e_n代表的属于Rⁿ形式的n阶坐标向量，且，

Φ＝diag{1,k,…,k^n-1} (32)

从式(29)至式(32)，估计状态向量如下，

进一步，定义估计误差，

然后，得，

其中，ε₁是ε的第一项，B在式(25)中已定义；

引理2：令高增益卡尔曼滤波器由式(29)-式(31)和如下二阶函数定义，

V_ε:＝ε^TPε (36)

其中，是正定矩阵且满足：

其中，A₀由式(28)定义，令：

其中，||B||_max是||B||的最大值。对于任意的k≥1，对式(36)求导得：

由于式(33)中的b_Λ和θ^*未知，是无法获得的，因此实际的状态估计是：

其中，和是b_Λ和θ^*的估计值，

改进的所述高增益卡尔曼滤波器是用来处理定义在式(25)中的有界B项，通过适当的选择式(29)至式(31)中的设计参数k≥1和式(32)中定义的矩阵Φ，能够使观测误差ε任意小；

②动态面逆控制器设计

控制器的设计包括替代变量、控制律和自适应律，其中τ₂,…,τ_n是低通滤波器的时间常数，l_i,i＝1,…,n和γ_θ,σ_θ,γ_ζ,σ_ζ,γ_b,σ_b是正的设计常数，

替代变量：S₁＝y-y_r (T.1)

S_i＝v_0,i-z_i,i＝2,…,n (T.2)

其中，z_i有下式产生，

其中，

且

控制律：

自适应律：

发明的一种压电精密位置平台自适应输出反馈逆控制方法的优点体现在：

1)设计的高增益状态观测器来估计系统的状态，并且处理系统和环境干扰中的不确定项，因此，相较于状态反馈控制算法，只有控制系统的输出是要求可以获得情况下，才使所提出的控制算法更适合实际应用；

2)通过应用所提出的控制方案在压电精密位置平台上进行了试验，其中压电精密位置平台可认为是一个只有系统的输出是可以测量的三阶系统；

3)通过调整状态观测器和未知参数的自适应律的初始条件，可以实现跟从误差的任意小的L_∞范数，克服了反推控制方案中的“微分爆炸”问题，简化控制器结构，减少计算量，更便于实时控制。

4)其方法科学合理，适用性强，效果佳。

附图说明

图1为PI模型(a)、PI逆模型(b)和补偿结果(c)示意图；

图2为逆补偿方案示意图；

图3为本发明的压电精密位置平台自适应输出反馈逆控制方法示意图；

图4为实际压电精密位置平台控制系统结构示意图；

图5为压电精密位置平台的一般原理示意图；

图6为压电陶瓷执行器和PI模型之间输入-输出响应比较示意图；

图7为建模误差示意图；

图8为仿真和实验逆补偿结果(3μm)示意图；

图9为仿真和实验逆补偿结果(5μm)示意图；

图10为实际位移输出y和期望轨迹y_r示意图；

图11为有磁滞补偿和无磁滞补偿时的跟踪误差示意图；

图12为有磁滞补偿和没有使用磁滞补偿的控制电压示意图；

图13为所提出的动态面法和传统反推法的跟踪误差示意图；

图14为所提出的动态面法和传统反推法的位移示意图；

图15为所提出的动态面法和传统反推法的控制电压示意图。

图1中，纵坐标表示磁滞输出，横坐标表示磁滞输入；图5中，k_amp是固定增益；R₀是驱动电路的等效内阻；v_h是由于磁滞效应产生的电压，H和T_em代表压电效应；C_A表示所有压电陶瓷电容的总和；q和分别代表的是PCA中的所有电荷和由此流过电路的电流，q_c是存储在线性电容C_A中的电荷。q_p表示由于压电效应从机械一侧产生的传导电荷，v_A表示传导电压，对于机械部分，m，b_s和k_s分别表示质量，阻尼系数和运动机构的刚度；图中横坐标表示磁滞输入，纵坐标表示磁滞输出；图4横坐标表示时间，纵坐标表示输出y对目标函数y_r的跟踪性能；图6横坐标表示时间，纵坐标表示位移；图7横坐标表示时间，纵坐标建模误差(％)；图8和图9横坐标表示期望位移，纵坐标表示实际位移；图10横坐标表示时间，纵坐标表示位移；图11横坐标表示时间，纵坐标表示跟踪误差；图12横坐标表示时间，纵坐标表示控制电压；图13横坐标表示时间，纵坐标表示跟踪误差；图14横坐标表示时间，纵坐标表示位移；图15横坐标表示时间，纵坐标表示控制电压。

具体实施方式

下面利用附图和实施例对本发明作进一步说明。

本发明的压电精密位置平台自适应输出反馈逆控制方法，包括以下内容：

1)压电精密位置平台数学模型

考虑到一类加入回滞的非线性系统表达式为：

y＝x₁,i＝0,1,…,n-1 (1)

其中，是状态向量；未知光滑线性函数，d_i(t)是外部干扰，b₀未知常数参数，w∈R未知的回滞现象，表示为：

w(u)＝P(u(t)) (2)

u是执行器的输入信号，P是滞后算子，

对于系统式(1)，以下假设是必需的：

A1:干扰d_i(t),i＝1,···,n，满足：

其中，是一些未知正常数；A2:在设计处理下，期望轨迹y_r是光滑的，且y_r(0)是能够得到的；对于所有的t≥0，属于一个已知的紧集；A3:b₀的符号是已知的,不失一般性，为了方便，假设b₀＞0；

2)Prandtl-Ishlinskii(PI)模型及其逆

采用适用于描述压电执行器中磁滞模型的PI模型，且采用其相应的模型逆来减轻磁滞现象的影响，

w(t)＝P[u](t) (4)

其中P[u](t)定义为：

其中r是阈值，p(r)是给定的密度函数满足p(r)＞0，中，为了方便起见，是由密度函数p(r)所决定的常数，Λ表示积分的上限，令f_r:R→R，由(6)式定义：

f_r(u,w)＝max(u-r,min(u+r,w)) (6)

进而，play算子F_r[u](t)满足：

其中，t_i＜t≤t_i+1，0≤i≤N-1，0＝t₀＜t₁＜…＜t_N＝t_E是[0,t_E]上的一个分割，以使函数u在(t_i,t_i+1]上的每个子区间是单调的，即非增或非减，

为了补偿式(1)中回滞非线性w(u)，构造PI模型的逆：

其中，ο表示补偿算子；P^-1[·](t)是PI模型的逆补偿算子，

其中是常数，表示的是式(9)中的积分上限，且，

由于在实际中，回滞是无法获得的，这就意味着密度函数p(r)需要在测量数据的基础上来得到，逆模型是在基于估计密度函数基础上构造的，使用作为P[u](t)的估计值，因此，通过将补偿理论应用到P[·](t)和得：

其中，γ(r)，δ(r)是P[·](t)和初始载入曲线，u_d是被设计的控制信号，

考虑到式(11)和不等式F_r[u_d](t)+E_r[u_d](t)＝u_d(t)，得出：

w(t)＝φ′(Λ)u_d+d_b(t) (12)

其中φ′(Λ)正常数，E_r(·)是PI模型的stop算子，由于|E_r(·)|＜Λ,有界且满足：

|d_b(t)|≤D (13)

其中，D正常数，从式(11)至式(12)获得分析误差e(t)表达式为：

将式(12)代入式(1)，得：

其中，b_Λ是正常数且满足：

b_Λ＝b₀φ′(Λ) (16)

3)径向基函数神经网络(RBFNNs)对未知项逼近

遵循引理1，采用一个权重属性的线性径向基函数神经网络(RBFNNs)来近似紧集中的一个连续函数，

引理1:对任意给定的连续实函数f而言，RBFNNs是一个全局逼近器，f:Ω_ξ→R其中，ξ是神经网络的输入，q是输入维数。对于任意的ε_m＞0，通过适当的选择σ和ζ_k∈R^q,k＝1,…,N，之后，存在一个RBFNN使得：

f(ξ)＝ψ^T(ξ)θ^*+ε (17)

其中θ^*是θ＝[θ₁,…,θ_N]∈R^N最优权值向量，且定义为：

其中，Y(ξ)＝ψ^T(ξ)θ表示的是RBFNNs的输出，ψ(ξ)＝[ψ₁(ξ),…,ψ_N(ξ)]∈R^N是基本函数向量，通常情况下，所谓的高斯函数一般按如下形式作为基本函数：

其中，σ＞0,k＝1,…,N，ζ_k∈Rⁿ是常值向量，称为基本函数的中心。σ是实数，称为基本函数的宽度，ε是近似误差，且满足：

ε＝f(ξ)-θ^*Tψ(ξ) (20)

使用引理1和式(17)，RBFNNs作为逼近器来近似式(17)中的未知连续函数，得(21)式：

其中，ε_i,i＝1…,N是任意正常数，表示神经网络逼近误差，且，

其中是状态变量x₁,…,x_i的估计值，并会在式(40)中引入，

将式(21)代入式(15)，得(23)式:

系统式(1)表达成下面的状态空间形式：

其中，b＝[0,…0,b_Λ]^T∈Rⁿ,e₁＝[1,0,…,0]^T，

B＝D_b+ε+d (25)

其中，d＝[d₁(t),…,d_n(t)]^T,ε＝[ε₁,…,ε_n]^T,D_b＝[0,…,0,d_b(t)]^T∈Rⁿ是类干扰项，

其中，在式(19)中被定义，对于一类回滞非线性系统，控制的目标是建立一种基于自适应神经网的输出反馈动态面控制方案，使得与跟踪误差的L_∞范数一致，输出信号y能很好的跟踪参考信号y_r，且闭环系统的所有信号都是一致有界的；

4)基于观测器的自适应动态面逆补偿器设计

①高增益卡尔曼滤波观测器

将式(24)转变为(27)式：

令

A₀＝A-qe₁^T (28)

其中，q＝[q₁,…,q_n]，通过适当的选择向量q使A₀为赫维茨矩阵，

构造高增益卡尔曼滤波器来估计式(27)中的状态变量x，

其中k≥1是正设计参数，e_n代表的属于Rⁿ形式的n阶坐标向量，且，

Φ＝diag{1,k,…,k^n-1} (32)

从式(29)-式(32)，估计状态向量如下，

进一步，定义估计误差，

然后，对式(34)求导得，

其中，ε₁是ε的第一次取值，B在式(25)中已定义；

引理2：令高增益卡尔曼滤波器由式(29)-式(31)和如下二阶函数定义，

V_ε:＝ε^TPε (36)

其中，是正定矩阵且满足：

其中，A₀由式(28)定义，令：

其中，||B||_max是||B||的最大值。对于任意的k≥1，对式(36)求导得：

由于式(33)中的b_Λ和θ^*未知，是无法获得的，因此实际的状态估计是：

其中，和是b_Λ和的估计值，

改进的所述高增益卡尔曼滤波器是用来处理定义在式(25)中的有界B项，通过适当的选择式(29)-式(31)中的设计参数k≥1和式(32)中定义的矩阵Φ，能够使观测误差ε任意小；

②动态面逆控制器设计

控制器的设计包括替代变量、控制律和自适应律，其中τ₂,…,τ_n是低通滤波器的时间常数，l_i,i＝1,…,n和γ_θ,σ_θ,γ_ζ,σ_ζ,γ_b,σ_b是正的设计常数，

替代变量：S₁＝y-y_r (T.1)

S_i＝v_0,i-z_i,i＝2,…,n (T.2)

其中，z_i有下式产生，

其中，

且

控制律：

自适应律：

1、稳定性指标分析

在这一部分中，将会对所提出的自适应输出反馈DSIC方案的稳定性和性能分析进行讨论，来分析稳定性和跟踪误差的L_∞性能。

为了控制系统稳定性分析，定义的如下李雅普诺夫函数：

其中，V_ε是关于高增益卡尔曼滤波观测误差ε的二次函数，其在引理2中已给出。

定理1：考虑到这种闭环系统，其包括具有式(4)所描述的磁滞非线性时滞系统(1)，(T.9)-(T.11)中的未知参数自适应律，与假设A1-A3有关的控制律(T8)。然后对于任意给定的正数p，如果式(41)中V(0)满足V(0)≤p，

a)通过适当选择设计参数k,l₁,…,l_n，时间常数τ₂,…,τ_n，自适应律参数γ_θ,σ_θ,γ_ζ,σ_ζ,γ_b,σ_b，闭环系统所有信号一致有界，且可以任意小。

b)跟踪误差S₁的L_∞性能可以得到且任意小，结合式(T.5)与式(41)可得式(42)：

其中C₁是正常数，且满足

2、压电精密位置平台的实验研究

A.实验装置

为了显示所提出的控制方案的有效性，进行图4所示压电精密位置平台的实验研究。控制系统的组成要素如下：

···压电陶瓷执行器：实验中使用了Physik Instrument公司生产的压电陶瓷执行器P-753.31 C。它提供了一个38μm峰值输出位移，对执行器来说，电压范围是0-100V。

·电容传感器：为了测量执行器的位移响应，使用了一个灵敏度为2.632V/μm的集成电容式传感器。

·电压放大器：使用了固定增益为10的电压放大器(LVPZT,E-505)作为压电执行器的励磁电压。

·数据采集系统：带有16位模-数、数-模转换器的dSPACE控制板用来获得压电精密位置平台的位移，它是由电容传感器测量获得的。

B、压电精密位置平台的模型

从所积累的压电精密位置平台的建模结果来说，压电精密位置平台的一般原理图模型可以由图5表示，它是由压电陶瓷执行器(PCA))和机械部分组成。图5中，k_amp是固定增益；R₀是驱动电路的等效内阻；v_h是由于磁滞效应产生的电压。H和T_em代表压电效应；C_A表示所有压电陶瓷电容的总和；q和分别代表的是PCA中的所有电荷和由此流过电路的电流。q_c是存储在线性电容C_A中的电荷。q_p表示由于压电效应从机械一侧产生的传导电荷，v_A表示传导电压。对于机械部分，m，b_s和k_s分别表示质量，阻尼系数和运动机构的刚度。基于上述压电精密位置平台的示意模型，定义描述压电精密位置平台的三阶模型如下:

其中，在式(12)给出的w＝φ′(Λ)u_d+d_b(t)是压电执行器的输出，且

C.关于磁滞建模及其逆补偿器构造的实验

为了便于对式(5)中所描述模型的参数识别，式(5)中对应的离散表达式如下：

为了获得最优play算子p_i,i＝1,2,3,…,n，来描述图4中压电陶瓷执行器P-753.31中的磁滞现象，结合如下约束二次优化：

min{[CΛ-d]^T[CΛ-d]} (45)

其中C常数，d是正弦信号，Λ(i)满足

Λ(i)≥0,i∈{1,2,3,…,n} (46)

通过使用实验数据，用MATLAB中的最小二乘优化工具箱来辨识p_i。而这些数据是基于图4中实际压电精密位置平台控制系统，在一个所设计的振幅减少的正弦输入信号d的条件下获得的。由于建模误差是不可避免的，我们只能获得p_i的估计参数r_i＝[0,0.1,1.7834,3.4669,5.1503,6.8338,8.5172,10.2007,11.8841,13.5676,15.2510,21.9848,32.0855]。图6显示了在压电陶瓷执行器(虚线)和PI模型(实线)之间的输入输出响应的比较。图7所示的建模误差定义如下：

其中，x(t)和w(t)分别表示压电陶瓷执行器和PI模型的输出。比较结果和建模误差(小于1％)表明PI模型确实与实验数据吻合的比较好。

利用上述PI模型的辨识参数和式(10)中的解析逆可以表示为离散表达式的数值实现如下：

且因此，阈值和权值计算如下：为了表明式(48)中所建立逆补偿器的有效性，经图4所示的dSPACE模块将MATLAB/SIMULINK中的代码转换为实时代码，由此进行了实验。一个输入信号u_d(t)＝B₁sin(2πft)，其中B₁＝3μm,5μm,f＝1Hz，应用到补偿器中，并且通过功率放大器(LVPZT,E-505)将输出应用到压电陶瓷执行器中。

执行器的位移响应紧接着由图4中的传感器监测测量得到，然后下载到dSPACE模块中。为了对仿真结果与实验结果作比较，逆补偿器的仿真也是在MATLAB/Simulink进行。图8展示了当应用图2中磁滞逆补偿器时，仿真结果与实验结果的比较。从图8和图9中的仿真结果可以看出，期望位移和输出位移之间存在一个完美的线性输入输出关系，这暗示了磁滞的作用被完全取消了。然而，存在一个逆补偿误差，其在图8和图9的实验结果中清楚的展现出来。事实上，补偿误差可能是由建模误差和环境干扰引起的。从图8(B₁＝3μm)的实验结果来看，输入和输出之间仍然是滞环的关系，这表明磁滞不能完全消除。因此，应用所提出的输出反馈自适应控制方案来减小补偿误差。

现在，令x₁＝x,之后，式(43)可以表达为如下：

其中，w表示在图5中所示的压电陶瓷执行器中的磁滞非线性。

D.控制器的设计步骤和实验结果

基于观测器的自适应动态面逆补偿器设计的部分，在这个实验中，高增益K-滤波器按照式(29)至式(31)设计，其中，v(0)＝ξ₀(0)＝Ξ(0)＝0,k＝1.5,q＝[3,2,1]^T。对于神经网络系统ψ₃(ξ₃)，我们选择了带有基本函数中心的5个节点，ζ_j,j＝1,…,5，其大小依次为-0.5,0,1,2,3,4,5,6，宽度η_j＝1,j＝1,…,7；接下来，Ψ^T(ξ)＝diag{0,0,ψ₃}，其中ψ₃＝[ψ_3,1(ξ₁),…,ψ_3,7(ξ₁)]。根据第III部分，动态面误差是S₁＝x₁-y_r，S₂＝v_0,2-z₂，S₃＝v_0,3-z₃。自适应律为虚拟控制律选择为其中最终的控制律选为在第1,2步中的一阶滤波器为其中，与之对应的是，上述自适应律和控制信号的设计参数选择为l₁＝50,l₂＝2，l₂＝l₃＝2,γ_ζ＝5,σ_ζ＝0.7,γ_θ＝2,σ_θ＝0.9,γ_b＝5,σ_b＝0.9。自适应律的初始条件选为

为了验证所提出的控制方案的有效性，在压电精密位置平台上进行了下面两个试验。为了达到实时控制的目的，在dSPACE控制面板上，将改进的自适应输出反馈控制算法转化为由C语言编译的采样频率为10kHz的S函数文件。

A.多频率轨迹跟踪试验

本实验中，是在两种情况下对多频率期望轨迹y_r＝3+2sin(2π*2t)+sin(2π*15t)进行运动跟踪控制：有和没有式(48)中所构造的磁滞补偿。实验结果如图10-15所示。图10阐明了压电陶瓷执行器实际位移y(实线)和期望轨迹y_r(虚线)的位移。可以看出，实现了一个相当令人满意的跟踪性能，其跟踪误差及其小。图11展示了有和没有使用磁滞补偿的跟踪误差。图11清楚的表明，与没有使用磁滞补偿的情况相比，加入磁滞补偿其暂态和稳态跟踪误差更小。例如，如果用error_max＝max(|y-y_r|)来表示跟踪误差的最大值，在没有使用磁滞补偿的情况下，error_max是0.014μm，而加入磁滞的情况下error_max只有0.0059μm，是没有加入磁滞补偿情况的一半。此外，由于良好的跟踪性能和极小的跟踪误差，图10和图11充分验证了所提出的具有式(48)中磁滞补偿器的输出反馈控制方案的有效性。图12表示的是控制电压的轨迹，实线表示加入了磁滞补偿，虚线表示没有加入磁滞补偿。应该指出的是，没有磁滞补偿的控制方案是图3中“磁滞逆模型估计”没有被包括的一种情况。然后，u＝u_d和压电精密位置平台系统是在没有任何补偿的情况下，由控制信号u_d直接驱动的。

B.单频轨迹跟踪和反推控制比较的实验研究

为了展现所提出动态面控制的优势，我们对动态面控制方案和反推控制方案做了比较。图12-14表示的是期望轨迹为y_r＝2sin(40πt)的实验结果。图12展示的是所提出的动态面控制方案的跟踪误差，其稳态误差error_max＝0.0158μm，传统反推控制方法稳态误差为error_max＝0.0647μm。图14和图15分别展示了两种方法之下的位移和控制电压。从这些结果可以很明显的看出，动态面法比传统的反推控制法表现出更好的控制性能。

具体实施方式仅是对本发明的说明，并不构成对权利要求保护范围的限制，本领域技术人员不经过创造性劳动的等同替代，均在本发明保护范围内。