压电精密位置平台自适应输出反馈逆控制方法与流程

技术特征：

1.一种压电精密位置平台自适应输出反馈逆控制方法，其特征是，它包括以下内容：

1)压电精密位置平台数学模型

考虑到一类加入回滞的非线性系统表达式为：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_i=x_{i+1}+f_i\left({\stackrel{\‾}{x}}_i\right)+d_i\left(t\right)\\ {\stackrel{\·}{x}}_n=b_{0}w\left(u\right)+f_n\left({\stackrel{\‾}{x}}_n\right)+d_n\left(t\right)\\ y=x_1,i=0,1,\mathrm{...},n-1\end{array}---\left(1\right)$

其中，是状态向量；未知光滑线性函数，d_i(t)是外部干扰，b₀未知常数参数，w∈R未知的回滞现象，表示为：

w(u)＝P(u(t)) (2)

u是执行器的输入信号，P是滞后算子，

对于系统式(1)，以下假设是必需的：

A1:干扰d_i(t),i＝1,…,n，满足：

$\left|d_i\left(t\right)\right|\≤{\stackrel{\‾}{d}}_i---\left(3\right)$

其中，是一些未知正常数；A2:在设计处理下，期望轨迹y_r是光滑的，且y_r(0)是能够得到的；对于所有的t≥0，属于一个已知的紧集；A3:b₀的符号是已知的,不失一般性，为了方便，假设b₀＞0；

2)Prandtl-Ishlinskii(PI)模型及其逆

采用适用于描述压电执行器中磁滞模型的PI模型，且采用其相应的模型逆来减轻磁滞现象的影响，

w(t)＝P[u](t) (4)

其中P[u](t)定义为：

$P\[u\]\left(t\right)=p_{0}u\left(t\right)+{\∫}_0^{\mathrm{\Λ}}p\left(r\right)F_r\[u\]\left(t\right)dr,---\left(5\right)$

其中r是阈值，p(r)是给定的密度函数满足p(r)＞0，中，为了方便起见，是由密度函数p(r)所决定的常数，Λ表示积分的上限，令f_r:R→R，由(6)式定义：

f_r(u,w)＝max(u-r,min(u+r,w)) (6)

进而，play算子F_r[u](t)满足：

$\begin{array}{c}{F}_r\[u\]\left(0\right)=f_r\left(u\right(0),0)\\ F_r\[u\]\left(t\right)=f_r\left(u\right(t),F_r\[u\](t_i\left)\right)\end{array},---\left(7\right)$

其中，t_i＜t≤t_i+1，0≤i≤N-1，0＝t₀＜t₁＜…＜t_N＝t_E是[0,t_E]上的一个分割，以使函数u在(t_i,t_i+1]上的每个子区间是单调的，即非增或非减，

为了补偿式(1)中回滞非线性w(u)，构造PI模型的逆：

其中，表示补偿算子；P^-1[·](t)是PI模型的逆补偿算子，

$P^{-1}\[u\]\left(t\right)={\stackrel{\‾}{p}}_{0}u\left(t\right)+{\∫}_0^{\stackrel{\‾}{\mathrm{\Λ}}}\stackrel{\‾}{p}\left(r\right)F_r\[u\]\left(t\right)dr---\left(9\right)$

其中是常数，表示的是式(9)中的积分上限，且，

由于在实际中，回滞是无法获得的，这就意味着密度函数p(r)需要在测量数据的基础上来得到，逆模型是在基于估计密度函数基础上构造的，使用作为P[u](t)的估计值，因此，通过将补偿理论应用到P[·](t)和得：

其中，γ(r)，δ(r)是P[·](t)和初始载入曲线，u_d是被设计的控制信号，

考虑到式(11)和不等式F_r[u_d](t)+E_r[u_d](t)＝u_d(t)，得出：

w(t)＝φ′(Λ)u_d+d_b(t) (12)

其中φ′(Λ)正常数，E_r(·)是PI模型的stop算子，由于E_r(·)|＜Λ,有界且满足：

|d_b(t)|≤D (13)

其中，D正常数，从式(11)至式(12)获得分析误差e(t)表达式为：

$\begin{array}{c}e\left(t\right)=w\left(t\right)-u_d\left(t\right)\\ =\[{\mathrm{\φ}}^{\′}\left(\mathrm{\Λ}\right)-1\]u_d+d_b\left(t\right)\end{array}---\left(14\right)$

将式(12)代入式(1)，得：

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_i=x_{i+1}+f_i\left({\stackrel{\‾}{x}}_i\right)+d_i\left(t\right),i=0,1,\mathrm{...},n-1\\ \stackrel{\·}{x}=b_{\mathrm{\Λ}}{u}_d+f_n\left({\stackrel{\‾}{x}}_n\right)+b_0{d}_b\left(t\right)+d_n\left(t\right),\\ y=x_1,\end{array}---\left(15\right)$

其中，b_Λ是正常数且满足：

b_Λ＝b₀φ′(Λ) (16)

3)径向基函数神经网络(RBFNNs)对未知项逼近

遵循引理1，采用一个权重属性的线性径向基函数神经网络(RBFNNs)来近似紧集中的一个连续函数，

引理1:对任意给定的连续实函数f而言，RBFNNs是一个全局逼近器，f:Ω_ξ→R其中，ξ是神经网络的输入，q是输入维数。对于任意的ε_m＞0，通过适当的选择σ和ζ_k∈R^q,k＝1,…,N，之后，存在一个RBFNN使得：

f(ξ)＝ψ^T(ξ)θ^*+ε (17)

|ε|≤ε_m，其中θ^*是θ＝[θ₁,…,θ_N]∈R^N最优权值向量，且定义为：

${\mathrm{\θ}}^{*}=\arg \underset{\mathrm{\θ}\∈R^n}{min}\left\{\underset{\mathrm{\ξ}\∈{\mathrm{\Ω}}_{\mathrm{\ξ}}}{\sup }\right|Y\left(\mathrm{\ξ}\right)-f\left(\mathrm{\ξ}\right)\left|\right\}---\left(18\right)$

其中，Y(ξ)＝ψ^T(ξ)θ表示的是RBFNNs的输出，ψ(ξ)＝[ψ₁(ξ),…,ψ_N(ξ)]∈R^N是基本函数向量，通常情况下，所谓的高斯函数一般按如下形式作为基本函数：

${\mathrm{\ψ}}_k\left(\mathrm{\ξ}\right)=\exp (-\frac{\left|\right|\mathrm{\ξ}-{\mathrm{\ζ}}_k\left|\right|}{2{\mathrm{\σ}}^2})---\left(19\right)$

其中，σ＞0,k＝1,…,N，ζ_k∈Rⁿ是常值向量，称为基本函数的中心；σ是实数，称为基本函数的宽度，ε是近似误差，且满足：

ε=f(ξ)-θ^*Tψ(ξ) (20)

使用引理1和式(17)，RBFNNs作为逼近器来近似式(17)中的未知连续函数，得(21)式：

$f_i\left({\stackrel{\‾}{x}}_i\right)={{\mathrm{\ψ}}_i}^T\left({\mathrm{\ξ}}_i\right){{\mathrm{\θ}}_i}^{*}+{\mathrm{\ϵ}}_i---\left(21\right)$

其中，ε_i,i＝1…,N是任意正常数，表示神经网络逼近误差，且，

${\mathrm{\ξ}}_i:=({\hat{\hat{x}}}_1,\mathrm{...},{\hat{\hat{x}}}_i),i=1,\mathrm{...},n---\left(22\right)$

其中是状态变量x₁,…,x_i的估计值，并会在式(40)中引入，

将式(21)代入式(15)，得:

$\begin{array}{c}{\stackrel{\·}{x}}_i=x_{i+1}+{{\mathrm{\ψ}}_i}^T\left({\mathrm{\ξ}}_i\right){{\mathrm{\θ}}_i}^{*}+{\mathrm{\ϵ}}_i+d_i\left(t\right),\\ {\stackrel{\·}{x}}_n=b_{\mathrm{\Λ}}{u}_d+{{\mathrm{\ψ}}_n}^T\left({\mathrm{\ξ}}_n\right){{\mathrm{\θ}}_n}^{*}+{\mathrm{\ϵ}}_n+b_0{d}_b\left(t\right)+d_n\left(t\right),\\ y=x_1,i=0,1,\mathrm{...},n-1\end{array}---\left(23\right)$

系统式(1)表达成下面的状态空间形式：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=Ax+{\mathrm{\Ψ}}^T\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\θ}}^{*}+{\mathrm{bu}}_d+B,\\ y={e_1}^{T}x,\end{array}---\left(24\right)$

其中，b＝[0,…0,b_Λ]^T∈Rⁿ,e₁＝[1,0,…,0]^T，

B＝D_b+ε+d (25)

其中，d＝[d₁(t),…,d_n(t)]^T,ε＝[ε₁,…,ε_n]^T,D_b＝[0,…,0,d_b(t)]^T∈Rⁿ是类干扰项，

其中，在式(19)中被定义，对于一类回滞非线性系统，控制的目标是建立一种基于自适应神经网的输出反馈动态面控制方案，使得与跟踪误差的L_∞范数一致，输出信号y能很好的跟踪参考信号y_r，且闭环系统的所有信号都是一致有界的；

4)基于观测器的自适应动态面逆补偿器设计

①高增益卡尔曼滤波观测器

将式(24)转变为(27)式：

$\begin{array}{c}\stackrel{\·}{x}=A_{0}x+qy+{\mathrm{\Ψ}}^T\left(\mathrm{\ξ}\right){\mathrm{\θ}}^{*}+{\mathrm{bu}}_d+B,\\ y={e_1}^{T}x,\end{array}---\left(27\right)$

令

A₀＝A-qe₁^T (28)

其中，q＝[q₁,…,q_n]，通过适当的选择向量q使A₀为赫维茨矩阵，

构造高增益卡尔曼滤波器来估计式(27)中的状态变量x,

${\stackrel{\·}{v}}_0={\mathrm{kA}}_0{v}_0+{\mathrm{\Φ}}^{-1}{e}_n{u}_d---\left(29\right)$

${\stackrel{\·}{\mathrm{\ξ}}}_0={\mathrm{kA}}_0{\mathrm{\ξ}}_0+kqy---\left(30\right)$

$\stackrel{\·}{\mathrm{\Ξ}}={\mathrm{kA}}_0\mathrm{\Ξ}+{\mathrm{\Φ}}^{-1}{\mathrm{\Ψ}}^T---\left(31\right)$

其中k≥1是正设计参数，e_n代表的属于Rⁿ形式的n阶坐标向量，且，

Φ＝diag{1,k,…,k^n-1} (32)

从式(29)至式(32)，估计状态向量如下，

$\hat{x}={\mathrm{\Φ\ξ}}_0+{\mathrm{\Φb}}_{\mathrm{\Λ}}{v}_0+{\mathrm{\Φ\Ξ\θ}}^{*}---\left(33\right)$

进一步，定义估计误差，

$\mathrm{\ϵ}=x-\hat{x}---\left(34\right)$

然后，对式(34)求导得，

$\stackrel{\·}{\mathrm{\ϵ}}=A\mathrm{\ϵ}-{\mathrm{k\Φq\ϵ}}_1+B---\left(35\right)$

其中，ε₁是ε的第一项，B在式(25)中已定义；

引理2：令高增益卡尔曼滤波器由式(29)-式(31)和如下二阶函数定义，

V_ε:＝ε^TPε (36)

其中，是正定矩阵且满足：

${A_0}^T\stackrel{\‾}{P}+\stackrel{\‾}{P}{A}_0=-2I---\left(37\right)$

其中，A₀由式(28)定义，令：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\ζ}}_{\mathrm{\ϵ}}:=\frac{k}{{\mathrm{\λ}}_{\max }\left(\stackrel{\‾}{P}\right)},\\ {\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\ϵ}}:=k{\left(\frac{\left|\right|\stackrel{\‾}{P}\left|\right|\left|\right|B|{|}_{\max }}{k^n}\right)}^2\end{array}---\left(38\right)$

其中，||B||_max是||B||的最大值。对于任意的k≥1，对式(36)求导得：

${\stackrel{\·}{V}}_{\mathrm{\ϵ}}\≤-{\mathrm{\ζ}}_{\mathrm{\ϵ}}{V}_{\mathrm{\ϵ}}+{\mathrm{\δ}}_{\mathrm{\ϵ}}---\left(39\right)$

由于式(33)中的b_Λ和θ^*未知，是无法获得的，因此实际的状态估计是：

$\hat{\hat{x}}={\mathrm{\Φ\ξ}}_0+\mathrm{\Φ}{\hat{b}}_{\mathrm{\Λ}}{v}_0+\mathrm{\Φ}\mathrm{\Ξ}\widehat{\mathrm{\θ}}---\left(40\right)$

其中，和是b_Λ和θ^*的估计值，

改进的所述高增益卡尔曼滤波器是用来处理定义在式(25)中的有界B项，通过适当的选择式(29)至式(31)中的设计参数k≥1和式(32)中定义的矩阵Φ，能够使观测误差ε任意小；

②动态面逆控制器设计

控制器的设计包括替代变量、控制律和自适应律，其中τ₂,…,τ_n是低通滤波器的时间常数，l_i,i＝1,…,n和γ_θ,σ_θ,γ_ζ,σ_ζ,γ_b,σ_b是正的设计常数，

替代变量：S₁＝y-y_r (T.1)

S_i＝v_0,i-z_i,i＝2,…,n (T.2)

其中，z_i有下式产生，

${\mathrm{\τ}}_{i+1}{\stackrel{\·}{z}}_{i+1}+z_{i+1}={\stackrel{\‾}{v}}_{0,i+1},i=1,\mathrm{...},n-1---\left(T.3\right)$

其中，

${\stackrel{\‾}{v}}_{0,2}=\stackrel{\‾}{\mathrm{\ζ}}{{\stackrel{\‾}{v}}^{\′}}_{0,2},---\left(T.4\right)$

且

${{\stackrel{\‾}{v}}^{\′}}_{0,2}=\[-l_1{S}_1-{\mathrm{k\ξ}}_{0,2}-{\widehat{\mathrm{\θ}}}^T{({\mathrm{k\Ξ}}_{\left(2\right)}+{\mathrm{\Ψ}}_{\left(1\right)})}^T+{\stackrel{\·}{y}}_r\]/k---\left(T.5\right)$

${\stackrel{\‾}{v}}_{0,3}=(-l_2{S}_2+{\mathrm{kq}}_2{v}_{0,1}+{\stackrel{\·}{z}}_2-{\hat{b}}_{\mathrm{\Λ}}{\mathrm{kS}}_1)/k---\left(T.6\right)$

${\stackrel{\‾}{v}}_{0,i+1}=(-l_i{S}_i+{\mathrm{kq}}_i{v}_{0,1}+{\stackrel{\·}{z}}_i)/k,i=3,\mathrm{...},n-1---\left(T.7\right);$

控制律：

自适应律：

$\stackrel{\·}{\widehat{\mathrm{\θ}}}={\mathrm{\γ}}_{\mathrm{\θ}}\[{({\mathrm{k\Ξ}}_{\left(2\right)}+{\mathrm{\Ψ}}_{\left(1\right)})}^T{S}_1-{\mathrm{\σ}}_{\mathrm{\θ}}\widehat{\mathrm{\θ}}\]---\left(T.10\right)$

${\hat{b}}_{\mathrm{\Λ}}={\mathrm{\γ}}_b({\mathrm{kS}}_1{S}_2-{\mathrm{\σ}}_b{\hat{b}}_{\mathrm{\Λ}})---\left(T.11\right).$