频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨 率，很适合于探测信号中夹带的瞬间反常现象并展示其成分。
[0084] 小波变换的定义为；如果一个信f(t)号属于平方可积空间L2(R)，则它的连续小 波变换为：
[0085]
(1)
[0086] 其中a为伸缩尺度，b为平移参数.将其离散化，形式为；
[0087]
巧）
[008引其中
称为小波函数，它是由小波母函数9(0经过平移b和伸缩 a得到。口的是一种长度有限、平均值为0的波形。它具有快速衰减的特性。通常所用的小 波母函数为Morlet小波，它的形式为；
[0089]
(3)
[0090] ?。是衰减因子，当《。取较大值时，上式第2项可W约去，因此有简化的Morlet小 波，为：
[0091] (4)
[0092] 对于Morlet小波伸缩尺度a和傅里叶变换的频率之间有如下关系
[0093]
妨
[0094] 2、WWZ的原理
[0095] 虽然小波分析的方法在处理非平稳信号方面有独特的优势，但是它在处理非等间 隔不规则数据方面就显得能力不足。该是由于（2)式只是（1)式的近似，在实际应用的时 候肯定会出现偏差，特别是对于非等间隔数据，而且小波变换的结果还会受到边界效应的 影响。同样傅里叶变换也存在该样的问题。而天文观测信号由于受到观测季节、天气、月 相等因素的影响，其观测数据往往是非等间隔的，有的间隔很大，甚至间隔还会周期性地出 现.该就给我们的分析带来很大的困难。实际中利用傅里叶变换或是小波变换处理不等间 隔数据所用的方式是插值方法，但是该对数据的真实性又产生了很大的影响。
[0096] 应用傅里叶变换处理非等间隔数据，其变换谱中会出现伪周期。3〇66的3等提出了 CLEAN的方法用于处理非等间隔数据，化ster又提出了CLEANEST算法，该些方法都能够很 好地处理多周期信号，并有效地去除其中人为的信号周期。对于小波变换处理非等间隔数 据，化ster提出了向量投影的思想，他指出如果将小波变换看作向量的投影则可W很大程 度上改善分析的结果，不但可W更准确地得到所求周期，而且能够揭示周期的稳定性.其 过程是：采用（4)式中所示简化的Morle小波作为小波母函数来进行变换。经过平移b和 伸缩a之后它的形式变为：
[0097]
(6)
[0098] 将上式变形得
[0099]
(7)
[0100] 其中
。根据重新定义的Morlet小波（7)式，利用向量投影的 思想，可W把它看作一种加权的映射，妨为基函数，则
就是它的统 计权重。同时引入一个常数函数l(t) =1，该样就可得到了向量空间的3个基函数：
[0101] 4)i(t) =l(t) (8)
[0102] =cos(?m(t-b))巧）
[0103] =sin(?m(t-b)) (10)
[0104] 将数据向量x(t)投影到该3个基函数上，就得到了一个模型函数
[0105] (11)
[0106] 映射是通过计算系数y。的值来拟合数据。
[0107] (12)
[010引其中Sa，b=<4al4b〉，内积由公式
[0109] (13)
[0110] 给出。根据W上的过程，Foster定义了加权小波变换（WWT)
[0111]
(14)
[011引其中
[0118] 分别为数据的加权偏差和模型函数的加权偏差，但是WWT很容易受到有效数据个 数N,ff的影响，在低频部分由于小波形状的变化，其有效数据个数会比在高频部分的大，该 就导致WWT的值会向高频部分偏移，使结果出现偏差。于是Foster根据他所提出的Z统计 量定义了加权小波Z变换为；
[0119]
(18)
[0120] 它满足F分布，自由度为Nwf-3和2,期望值为1。
[0121] 基于上面的理论分析，现在我们用模拟信号和实际的信号对WWZ的可靠性进行分 析。图1为所取的S角波函数的图形，其周期为2s，利用W上所述的WWZ方法，的到S角波 函数的WWZ图形如图2所示。从该图可W看出WWZ的峰值出现在0. 5s4附化在时间轴上 其峰值是连续的。利用峰值所在的位置可W确定信号中的周期，如图3所示。从图上可W 看出所有的峰值都对应同一频率0. 5s4,根据该个频率值可W算出周期为2s。该个周期正 是S角波函数的周期。该说明了WWZ是计算信号周期的很精确的方法。
[0122] 下面我们对3C345B波段的光变数据进行处理，由于各种原因，3C345类星体的 光变数据是非等间距的，如图4为3C345B波段的光变数据。为了减少运算量。我们对光 变数据进行=十天的平均处理，如图5为平均后的光变曲线图。然后利用上述的WWZ方法的 到了 3C345光变数据的WWZ变换图，如图6为光变数据的WWZ变换图。从图6中可W看出 在0. 0002-0. 0004cr频率范围之间有一个明显的波动峰值，在时间轴上是连续的，在频率 范围0. 0004-0.OOOScT也有一个波动的峰，而在频率范围0. 001-0.OOlSd4也有一个波动的 峰。利用峰值所在的位置确定信号中的主要周期，如图7所示，该图共有3个周期成分，符 号"对应的周期范围是9. 59-11. 51yr，" + "对应周期的变化范围是4. 54-5. 23yr，"."对 应的周期变化范围是624-941d.其中We化等发现了 11.4yr的周期。化ang等用化rkevich 的方法得到了 10. 14yr和5. 12yr的周期。该与用本方法计算的结果一致。也在此说明了 本方法的可行性，与精确性。
[0123] W上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本行业的技术 人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本 发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，该些变 化和改进都落入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求书及其 等效物界定。
【主权项】
1. 一种加权小波（WffZ)分析方法，其特征在于：小波变换的定义为：如果一个信f(t) 号属于平方可积空间L2 (R)，则它的连续小波变换为：到。0(0是一种长度有限、平均值为O的波形。它具有快速衰减的特性。通常所用的小波 母函数为Morlet小波，它的形式为：是衰减因子，当《 〇取较大值时，上式第2项可以约去，因此有简化的Morlet小波， 为：对于小波变换处理非等间隔数据，Foster提出了向量投影的思想，他指出如果将小波 变换看作向量的投影则可以很大程度上改善分析的结果，不但可以更准确地得到所求周 期，而且能够揭示周期的稳定性。其过程是：采用（4)式中所示简化的Morle小波作为小波 母函数来进行变换。经过平移b和伸缩a之后它的形式变为：权重。同时引入一个常数函数l(t) =1，这样就可得到了向量空间的3个基函数： ^1(O=Ia) (7) <i)2(t) =cos(?m(t-b)) (8) =sin(?m(t-b)) (9) 将数据向量x(t)投影到这3个基函数上，就得到了一个模型函数分别为数据的加权偏差和模型函数的加权偏差，但是WWT很容易受到有效数据个数Neff的影响，在低频部分由于小波形状的变化，其有效数据个数会比在高频部分的大，这就 导致WWT的值会向高频部分偏移，使结果出现偏差。于是Foster根据他所提出的Z统计量 定义了加权小波Z变换为：它满足F分布，自由度为Neff-3和2,期望值为1。
【专利摘要】本发明公开了一种加权小波（WWZ）分析方法，它涉及非等间距数据点周期分析技术领域，对于小波变换处理非等间隔数据，Foster提出了向量投影的思想，他指出如果将小波变换看作向量的投影则可以很大程度上改善分析的结果，不但可以更准确地得到所求周期，而且能够揭示周期的稳定性。其过程是：采用(4)式中所示简化的Morle小波作为小波母函数来进行变换。它可以处理非等间距，而且处理的结果精确，也是一种很简单的处理方法，为求类星体光变周期提供了一种全新的方法。
【IPC分类】G06F19/00
【公开号】CN104965995
【申请号】CN201510435173
【发明人】张皓晶, 王文广, 段剑金, 徐云冰, 温元斌, 张 雄
【申请人】云南师范大学
【公开日】2015年10月7日
【申请日】2015年7月23日