基于不确定性的斜齿轮副随机动力学建模方法与流程

本发明涉及机械动力学技术领域，特别是涉及一种基于不确定性的斜齿轮副随机动力学建模方法。

背景技术：

在现有斜齿轮副动力学模型的建立过程中，通常齿侧间隙都是以确定的结构参数考虑在齿轮传动动力学模型中。但在实际情况中，由于齿轮加工设计偏差、制造安装误差以及工作过程中由于齿轮轮齿磨损等原因，导致实际情况下的齿侧间隙是个不确定值，与理论设计值有一定偏差。即现有技术中建立的有斜齿轮副动力学模型并不准确。

因此，如何提高建立斜齿轮副动力学模型的准确性为本领域技术人员亟待解决的技术问题。

技术实现要素：

有鉴于此，本发明目的是提供一种基于不确定性的斜齿轮副随机动力学建模方法，能够提高建立斜齿轮副动力学模型的准确性。

为了达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种基于不确定性的斜齿轮副随机动力学建模方法，包括以下步骤：

步骤a：通过软件生成一组n个服从正态分布的随机数作为齿侧间隙；

步骤b：采用拉格朗日法建立定轴齿轮传动横-扭-摆耦合非线性动力学模型，将所述步骤a中的齿侧间隙代入所述非线性动力学模型中，并求解，得到斜齿轮副的动力学模型。

在一个具体实施方案中，所述步骤b包括：

步骤b1：获取斜齿轮副时变啮合刚度；

步骤b2：根据所述变啮合刚度求解斜齿轮副动态啮合力；

步骤b3：建立所述非线性动力学模型，并求解，得到斜齿轮副的动力学模型。

在另一个具体实施方案中，所述步骤b1中的斜齿轮副时变啮合刚度包括单对齿刚度和综合刚度。

在另一个具体实施方案中，所述单对齿刚度计算公式为

综合刚度计算公式为

kl为单对齿刚度；

ke为综合刚度；

d为齿宽；

l(β)为接触线长度；

n为同时参与啮合的轮齿对数；

k为所述斜齿轮刚度；

l为所述斜齿轮副两个齿轮间的中心距。

在另一个具体实施方案中，所述步骤b2中的斜齿轮副动态啮合力公式为

cm为啮合阻尼，ξ为阻尼比；

δ(b,δt)为啮合线变形量，为啮合线变形量的一阶导数；

δ(t)为动态传递误差，为动态传递误差的一阶导数，δ(t)≥bcosβb时为齿面啮合状态，δ(t)≤-bcosβb时为齿背啮合状态，其余为脱齿状态；

δ(t)＝(x2-x1)cosβsin(α+γγ)-(y2-y1)cosβcos(α+γγ)

-(z2-z1)γsinβ+γ(θz1rb1+θz2rb2)+e；

γ为符号函数，γ＝1代表齿面啮合，γ＝-1代表齿背啮合；

e为轮齿综合误差和齿廓修形等引起的齿形偏差；

es为齿形误差；

es＝e0+ersin(2πωt)；

e0＝0，fpd为齿轮基节偏差，ff为齿形公差；

ep＝apsin(α+γγ)；

ep为齿轮装配误差在啮合线上投影的等效值。

在另一个具体实施方案中，所述步骤b3中的非线性动力学模型公式为

t、u和v分别为动能函数、势能函数和耗能函数；qi为各自由度的广义坐标，为各自由度的广义速度；qi为除粘性耗散力以外的非保守广义力。

在另一个具体实施方案中，所述动能函数计算公式为：

分别为所述斜齿轮i绕x、y和z轴的角转速，ixi、iyi、izi为齿轮i绕x，y和z轴的转动惯量，mi为各齿轮质量，i＝1,2。

在另一个具体实施方案中，所述势能函数计算公式为

所述耗能函数计算公式为

kix、kiy、kiz分别为轴承在各个方向的刚度，cix、ciy、ciz分别为轴承在各个方向的阻尼，i＝1,2。

在另一个具体实施方案中，所述非保守广义力组成的列向量为：

在另一个具体实施方案中，所述斜齿轮副包括第一齿轮和第二齿轮；

所述第一齿轮的动力学方程为：

所述第二齿轮的动力学方程为：

ff＝μfm；

t1、t2分别为系统的输入与负载扭矩，kix、kiy、kiz和cix、ciy、ciz分别为各个齿轮中心轴承刚度与阻尼，ixi,iyi,izi分别为齿轮绕x，y和z轴转动惯量，i＝1,2，ff为齿面啮合摩擦力，μ为齿面摩擦系数。

根据本发明的各个实施方案可以根据需要任意组合，这些组合之后所得的实施方案也在本发明范围内，是本发明具体实施方式的一部分。

根据上述技术方案可知，本发明提供的基于不确定性的斜齿轮副随机动力学建模方法，首先，通过软件生成一组n个服从正态分布的随机数作为齿侧间隙；然后，采用拉格朗日法建立定轴齿轮传动横-扭-摆耦合非线性动力学模型，将生成的齿侧间隙代入非线性动力学模型中，并求解，得到斜齿轮副的动力学模型。本发明考虑到齿轮加工设计偏差、制造安装误差以及工作过程中由于齿轮轮齿磨损等原因导致的实际情况下齿侧间隙是个不确定值，与理论设计值有一定偏差。因此，采用正态分布的齿侧间隙的条件下建立不确定的齿轮非线性动力学模型，提高了建立斜齿轮副动力学模型的准确性。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据提供的附图获得其他的附图。

图1是本发明提供的一种基于不确定性的斜齿轮副随机动力学建模方法流程图；

图2是本发明提供的斜齿轮副齿侧间隙示意图；

图3是本发明提供的随机齿侧间隙概率密度分布图；

图4为本发明提供的随机参数幅值图；

图5是本发明提供的随机参数功谱图；

图6为本发明提供的齿面接触线示意图；

图7是本发明提供的斜齿轮副集中质量模型简图；

图8是本发明提供的斜齿轮传动三维动力学模型图。

具体实施方式

为了使本领域的技术人员更好的理解本发明的技术方案，下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步的详细说明。

如图1所示，本发明公开了一种基于不确定性的斜齿轮副随机动力学建模方法，包括以下步骤：

步骤s1：通过软件生成一组n个服从正态分布的随机数作为齿侧间隙。

啮合齿轮副的齿侧间隙如图2所示。图2中，l为中心距，α为压力角。b为随机齿侧间隙，是不随时间变化的随机参数，本发明随机参数服从正态分布，即其中为分布期望，σ为分布方差。其概率密度函数为如3所示。

例如对数正态分布、t分布、f分布等。

首先通过计算机软件生成一组n个[0,1]上的均匀分布的随机数那么，可以通过概率密度函数式得到满足高斯分布的随机参数组：

式中，为服从标准正态分布的随机变量，即其中为随机数组的方差。得到满足分布的高斯随机参数组：通过计算得到一组齿侧间隙均值标准差σ＝0.02的高斯随机参数，如图3所示。

从图4和5中可以看出，样本齿侧间隙值具有宽功率谱，并有连续性和紊乱性，由此证明上述产生的正态分布随机数的有效性。

步骤s2：建立定轴齿轮传动横-扭-摆耦合非线性动力学模型，求解获得斜齿轮副的动力学模型。

采用拉格朗日法建立定轴齿轮传动横-扭-摆耦合非线性动力学模型，将齿侧间隙代入非线性动力学模型中，并求解，得到斜齿轮副的动力学模型。

具体地，本发明公开了步骤s2包括步骤s21、步骤s22和步骤s23。

步骤s21：获取斜齿轮副时变啮合刚度。

进一步地，本发明公开了斜齿轮副时变啮合刚度包括单对齿刚度和综合刚度。

由于斜齿轮重合度大，齿轮副是逐渐啮入和啮出的，刚度变化相对较缓。因此，振动、噪音远小于直齿轮，广泛应用于高速重载传动。

斜齿轮由于接触线是倾斜的，在不同的接触位置啮合刚度不同，而且同时参与接触的接触线至少两条，因此，把斜齿轮刚度分为单对齿刚度kl和综合刚度ke，综合刚度和直齿轮一样，取单位长度刚度k/d。设某一条接触线从啮入到啮出，某一瞬时接触线上总刚度为kl，它不仅与接触线长度有关系，而且与接触线所在位置有关，它的分布是斜齿轮任意啮合瞬间总刚度计算的基础。其中，接触线长度为l(β)如图6所示，根据啮合位置的不同可以分为三种啮合接触状态；β为斜齿轮副的螺旋角，d为齿宽。

具体地，本发明公开了单对齿刚度计算公式为

在实际啮合过程中，同时参与啮合的接触线条数大于1，因此，将其叠加即可得到斜齿轮的综合刚度计算公式为

kl为单对齿刚度，ke为综合刚度，d为齿宽，l(β)为接触线长度，n为同时参与啮合的轮齿对数。

步骤s22：根据变啮合刚度求解斜齿轮副动态啮合力。

在计算齿轮的动态啮合力时，斜齿轮副通过沿啮合线方向上的啮合刚度、啮合阻尼和齿侧间隙耦合在一起。具体地，斜齿轮副动态啮合力公式为cm为啮合阻尼，ξ为阻尼比，δ(b,δt)为啮合线变形量，为啮合线变形量的一阶导数。

δ(t)为动态传递误差，为动态传递误差的一阶导数，δ(t)≥bcosβb时为齿面啮合状态，δ(t)≤-bcosβb时为齿背啮合状态，其余为脱齿状态。考虑齿轮副的横向振动位移，动态传递误差为：

γ为符号函数，γ＝1代表齿面啮合，γ＝-1代表齿背啮合。

由齿轮副的动态中心距和几何关系得齿轮副任意时刻的啮合角和相对位置角：e为轮齿综合误差和齿廓修形等引起的齿形偏差。

es为齿形误差。

es＝e0+ersin(2πωt)，通常e0＝0，fpd为齿轮基节偏差，ff为齿形公差。

ep＝apsin(α+γγ)，ep为齿轮装配误差在啮合线上投影的等效值。

步骤s23：建立非线性动力学模型，并求解，得到斜齿轮副的动力学模型。

采用集中质量法对斜齿轮系统进行动力学建模，集中质量模型如图7所示。

进一步地，本发明公开了非线性动力学模型公式为t、u和v分别为动能函数、势能函数和耗能函数；qi为各自由度的广义坐标，为各自由度的广义速度；qi为除粘性耗散力以外的非保守广义力。

对各个齿轮质心位置矢量关于时间求一阶导，得各齿轮质心的平动速度和分别通过下式得出：

斜齿轮副的轮齿啮合不均导致偏摆振动以及沿轴向转动产生的能量，由各齿轮质心位置的平动速度、转动速度和摆动速度得定轴斜齿轮传动的动能函数计算公式为：

分别为斜齿轮i绕x、y和z轴的角转速，ixi、iyi、izi为齿轮i绕x，y和z轴的转动惯量，mi为各齿轮质量，i＝1,2。

齿轮副在工作过程中，由于载荷影响，轴承会发生弹性变形，因此，会产生弹性势能。考虑轴承在x、y和z轴三个方向的弹性形变，不考虑转动方向。因此，势能函数计算公式为kix、kiy、kiz分别为轴承在各个方向的刚度，i＝1,2。

由于斜齿轮副在工作过程中，为了保证润滑效果，轴承内圈的油膜会产生阻尼，因此，会产生耗能。考虑轴承在x、y和z轴三个方向的阻尼，不考虑扭转方向。因此，耗能函数计算公式为cix、ciy、ciz分别为轴承在各个方向的阻尼，i＝1,2。

对于齿轮传动而言，非保守广义力主要由齿轮副啮合产生的。无论齿面还是齿背啮合，啮合力始终沿着啮合线并指向延长线方向。啮合不均产生的摆向力矩始终垂直于啮合平面。转动方向上定义逆时针为正。因此，将作用于各广义坐标上的非保守广义力组成的列向量的计算公式为：

式中，fm为动态啮合力，，齿面啮合状态γ＝1，齿背啮合状态γ＝-1，α为动态啮合角，γ为相对位置角。

将动能函数式、势能函数式、耗能函数式和齿轮啮合产生的非保守广义力式代入到拉格朗日函数，得含随机参数的定轴斜齿轮传动横-扭-摆耦合非线性的动力学方程。每个齿轮包含三个横向自由度、两个摆向自由度以及一个扭转自由度。因此，动力学模型包含12个自由度。斜齿轮副包括第一齿轮和第二齿轮，第一齿轮的动力学方程为：

第二齿轮的动力学方程为：

ff＝μfm；

t1、t2分别为系统的输入与负载扭矩，kix、kiy、kiz和cix、ciy、ciz分别为各个齿轮中心轴承刚度与阻尼，ixi,iyi,izi分别为齿轮绕x，y和z轴转动惯量，i＝1,2，ff为齿面啮合摩擦力，μ为齿面摩擦系数。

本发明提供的基于不确定性的斜齿轮副随机动力学建模方法，首先，通过软件生成一组n个服从正态分布的随机数作为齿侧间隙；然后，采用拉格朗日法建立定轴齿轮传动横-扭-摆耦合非线性动力学模型，将生成的齿侧间隙代入非线性动力学模型中，并求解，得到斜齿轮副的动力学模型。本发明考虑到齿轮加工设计偏差、制造安装误差以及工作过程中由于齿轮轮齿磨损等原因导致的实际情况下齿侧间隙是个不确定值，与理论设计值有一定偏差。因此，采用正态分布的齿侧间隙的条件下建立不确定的齿轮非线性动力学模型，提高了建立斜齿轮副动力学模型的准确性。

需要说明的是，在进行动力学建模时采用如下假设：

1.斜齿轮轮体简化为刚体，斜齿轮副通过沿着啮合面的作用力耦合在一起；

2.忽略斜齿轮的摆动自由度对沿齿宽方向轮齿接触线的影响，啮合面始终与两齿轮的基圆相切；

3.理论上，渐开线斜齿轮传动会产生三个方向横向振动位移，因此，每个齿轮考虑6个自由度，包含三个横向平移自由度，一个扭转自由度以及两个摆动自由度；

单级斜齿轮副齿轮传动三维动力学模型如图8所示，图中有两种坐标系：第一种为各齿轮的局部坐标系oi-xiyizi，oi为传动轴理论中心位置；第二种为固定坐标系o-xyz，它与第一斜齿轮的局部坐标系重合。a1a2-b1b2为齿轮副间的啮合面。每个齿轮包含三个横向平移自由度xi，yi和zi，一个扭转自由度θzi以及两个摆动自由度θxi和θyi。下标i＝1代表齿轮1，i＝2代表齿轮2。

采用拉格朗日法建模时，首先考虑齿宽方向载荷分配不均，分析齿轮副间的作用力；随后，确定各齿轮的质心位置矢量，分析中心距变化和齿面、啮合状态变化对啮合力作用方向的影响；最后，采用拉格朗日法建立横-扭-摆耦合非线性动力学模型。

需要说明的是，在本文中，诸如第一和第二等之类的关系术语仅仅用来将一个实体或者操作与另一个实体或操作区分开来，而不一定要求或者暗示这些实体或操作之间存在任何这种实际的关系或者顺序。

对所公开的实施例的上述说明，使本领域专业技术人员能够实现或使用本发明。对实施例的多种修改对本领域的专业技术人员来说将是显而易见的，本文中所定义的一般原理可以在不脱离本发明的精神或范围的情况下，在其它实施例中实现。因此，本发明将不会被限制于本文所示的实施例，而是要符合与本文所公开的原理和创造特点相一致的最宽的范围。