一种基于主测地线分析的三维下颌骨重建方法

1.本发明涉及三维下颌骨的重建领域，具体涉及一种基于主测地线分析的三维下颌骨重建方法。


背景技术：

2.随着ct和dicom技术的出现，大量的头骨重建技术涌现出来，传统的手工重建技术逐渐被计算机辅助设计和制造技术替代，比如基于镜像的重建方法，表面插值方法，基于数据驱动的方法等。由于人类颅骨大致是对称的结构，基于镜像的方法在头骨重建的虚拟规划过程中表现出极大的便利。然而，这种方法要求缺陷的部分严格限制在头骨的单侧，不适用于双侧或穿过面部中线的缺陷。表面插值方法对于穿过中线的缺陷是有用的，这种方法确保了缺陷区域与头骨形状的光滑近似。但是对于大的重建区域，该方法缺乏对重建区域的约束，使得重建部分表面过于平坦。另一类基于数据驱动的方法是处理大的缺陷或双侧缺陷的一种通用工具，这种方法利用形变模型从头骨数据库中提取相应的模板，来指导感兴趣区域的重建，比如marreirors等人提出了一种半自动化的几何形态重建方法，该方法使用薄板样条从数据库中生成模板来指导大面积曲面的重建；fuessinger等人设计了基于完整颅骨的统计形状模型，将捕获的形状变化作为先验知识来估计缺失部分。数据驱动的方法克服了其它头骨重建方法的前提条件，不受到头骨的对称性或缺陷/孔洞的封闭边界等约束，可以结合模板和系数重建出具有个人特点的头骨形状。
3.现有的数据驱动方法绝大部分是直接在欧氏空间中计算头骨模板，忽略了形状本身的特性。欧氏空间中的笛卡尔坐标表示法并没有完全反映出头骨形状本身的信息，因其还包含了与头骨形状无关的其他信息。而kendall等人提出的形状空间是一种只关注形状本身的内蕴表示法，在形状空间中可以更加精确地刻画头骨形状本身的细节和局部变化特性。
4.在现有已经公开的专利文献中，例如,中国专利申请公开号cn111563953a公开了基于机器学习的颌骨缺损重建方法、装置、终端和介质，包括：采集预设人群范围内的多个被采样人员的颌骨ct数据；基于所述颌骨ct数据，确立每个所述被采样人员的上、下颌骨表面特征性的多个颌骨特征点；通过机器学习算法获取各所述颌骨特征点之间的相关性，以基于各所述颌骨特征点之间的相关性来进行颌骨缺损重建。本发明利用机器学习进行颌骨特征点的还原，可在复杂颌骨重建过程中提供精确且个性化的方案，解决了跨中线大范围颌骨缺损病例重建仅凭经验、无参照可依的临床难题。此外，本发明基于预设人群范围内的颌骨ct数据，有针对性地对特定族群提供颌骨重建策略，在保证骨段血供、保留种植位点的同时，更加贴近该特定族群的面部外形。
5.又例如，中国专利公开号cn112785691a公开了一种下颌骨重建方法、装置、电子设备及存储介质，所述下颌骨缺损重建方法通过获取被采样人员的ct数据并进行三维重建，按照预设方案选取下颌骨相关特征点并保存其坐标以建立正常下颌骨数据库；虚拟截骨获得下颌骨缺损模型；根据所述下颌骨相关特征点对所述下颌骨缺损模型标准化处理，并通
过预设的下颌骨数据库检索匹配算法在所述正常下颌骨数据库中检索匹配得到最相似下颌骨；将检索匹配获得的最相似下颌骨与缺损下颌骨模型进行配准。为跨中线下颌骨缺损、二期下颌骨缺损以及双侧面部不对称的下颌骨缺损修复重建的数字化设计提供了除医生经验外的、可重复性高的参考，有效解决了镜像技术在临床运用中的缺陷。
6.再例如，中国专利申请公开号cn113397702a公开了一种下颌骨修复体及其制造方法。下颌骨包括颌骨本体，颌骨本体上有缺口，下颌骨修复体包括修复体本体和连接件，修复体本体用于填补颌骨本体上的缺口，修复体本体包括外网格体和内网格体，内网格体套设在外网格体内并连接于外网格体的内壁，修复体本体通过连接件连接于颌骨本体。下颌骨修复体的制造方法包括s1、对颌骨本体进行建模，得到颌骨本体的缺口结构数据；s2、根据缺口的结构数据设置本体模型，本体模型包括外网格体模型和内网格体模型，将内网格体模型套设在外网格体模型内并连接于外网格体模型；s3、将本体模型通过连接件模型连接于颌骨本体。
7.上述公开的专利申请均未解决形状空间中可以更加精确地刻画头骨形状本身的细节和局部变化特性，也没有涉及采用主测地线分析的三维下颌骨重建方法。有鉴于此，本发明结合数据驱动方法及kendall等人提出的形状空间，提出一种基于主测地线分析(principal geodesic analysis,pga)的三维下颌骨重建方法。


技术实现要素：

8.基于现有技术存在的如上述技术问题，本发明提出一种基于主测地线分析的三维下颌骨重建方法，包括以下步骤：
9.步骤1，构建形状空间，根据kendall提出的形状定义，将原始的三维头骨去除平移、缩放和旋转的李群作用，投影到形状空间中；
10.步骤2，训练阶段，将头骨训练样本投影到形状空间后，使用fr
é
chet提出的方法找到形状空间中的内蕴均值，接着在内蕴均值处对所有训练样本进行主测地线分析，最后从训练样本得到上颅骨形状和下颌骨形状之间的关系，作为先验知识，用于重建阶段；
11.步骤3，重建阶段，将输入的上颅骨模型投影到形状空间中，根据训练阶段得到的先验知识来构建下颌骨形状空间，最后将其还原到欧氏空间中。
12.进一步的，步骤1中，构建形状空间，根据kendall提出的形状定义，将原始的三维头骨去除平移、缩放和旋转的李群作用，投影到形状空间中，包括以下步骤：
13.步骤1.1，三维颅骨形状的表示：在三维空间中的一个由m个点组成的中心化三维颅骨点云数据记为这里的xh(h＝1,2,
…
,m)是三维颅骨点云中第h点的三维坐标，利用向量化算符将点云数据转化为一个列向量，即构形空间中的一个元素：
[0014][0015]
步骤1.2，投影到形状空间，利用kendall形状空间理论中的赫尔默特矩阵或中心化矩阵为构形元素去除平移作用，再利用质心尺寸去除缩放作用，得到预形状x，接着对预形状进行普氏分析，去除旋转变换群的作用,得到形状空间中的元素[x]，到形状空间中的元素[x]是预形状x在旋转作用下元素的集合。
[0016]
进一步的，步骤2中，将头骨训练样本投影到形状空间后，使用fr
é
chet提出的方法找到形状空间中的内蕴均值，接着在内蕴均值处对所有训练样本进行主测地线分析，最后从训练样本得到上颅骨形状和下颌骨形状之间的关系，作为先验知识，用于重建阶段，包括以下步骤：
[0017]
步骤2.1，形状空间的对数映射，通过在形状空间上对形状进行分析，而鉴于形状空间在其上一点的邻域内与欧氏空间微分同胚，将形状空间的局部映射到欧氏空间，在欧氏空间中完成分析过程，将结果映射回形状空间，由于三维颅骨形状在形状空间中的分布非常集中，能够将它们视为在一个点的邻域内，将三维颅骨形状投影到该点的切空间上，就能够方便地分析形状的本质特征，令p和q是预形状球上的两点，[p],[q]分别是这两个预形状的形状表示。借助普氏分析方法，计算[p],[q]在预形状空间中的代表元素p,q
ro
，这里的q
ro
代表q向p进行旋转对齐后的元素，则形状空间中的对数映射表示为下式(2)：
[0018][0019]
上式(2)中，γ
*
是由普氏分析计算出的q向p对齐的最佳旋转矩阵，此时对数映射是等距表示的，p和q对应形状之间的最短测地距离可以表示为下式(3)：
[0020]
d([p],[q])＝||log
p
(q
ro
)||
……
(3)；
[0021]
步骤2.2，求三维颅骨模型的内蕴均值，首先，构造颅骨数据的预形状空间然后使用普氏分析消除旋转作用，将所有预形状xi向第一个预形状x1对齐，得到颅骨形状在预形状空间中的代表元素，分别表示为x
1,ro
,x
2,ro
,
…
,x
n,ro
，所有颅骨形状组成的形状空间表示为根据fr
é
chet内蕴均值算法和公式(3)中形状空间的测地距离表示，给出三维颅骨形状空间中的内蕴均值定义，如下式(4)：
[0022][0023]
上式(4)中，μ
*
表示在形状空间中到所有形状的测地距离平方和最小的点，将形状空间中任意一个颅骨形状x
i,ro
作为内蕴均值的初始值，使用梯度下降法求解上式(4)，三维颅骨均值点的梯度为下式(5)：
[0024][0025]
则每一次迭代更新得到的三维颅骨形状内蕴均值表示为下式(6)：
[0026][0027]
步骤2.3，对三维颅骨模型进行主测地线分析，形状空间上的主测地线是线性空间中主方向的一般化，它保留了形状在形状空间中最主要的变化，利用形状空间局部微分同胚于欧氏空间的性质，把形状空间中的三维颅骨形状投影到内蕴均值点的切空间中，可以计算得到形状在切空间中的主要变化方向，再将这些方向投影到形状空间中，得到形状空间的主测地线，由主测地线构成的流形是三维颅骨形状空间的一个测地子流形内蕴均值μ
*
计算三维颅骨形状的方差，如下式(7)：
[0028][0029]
根据上式(7)计算三维颅骨样本形状的协方差矩阵，如下式(8)、(9)：
[0030][0031]
其中：
[0032]
由协方差矩阵进一步得到内蕴均值处切空间中的特征向量和特征值λ1,
…
,λ
3m
，通过特征向量和特征值，由累计方差贡献率的大小来确定测地子流形的主成分个数k，以构建投影矩阵使用投影矩阵将原始形状投影到测地子流形中，得到它们在低维切空间中的降维表示式(10)：
[0033][0034]
以上通过使用主测地线分析方法对三维颅骨模型进行形状分析的过程，所使用的主测地线分析方法对三维点云模型具有通用性；
[0035]
步骤2.4，基于主测地线分析的关系训练，利用主测地线分析方法分别对上颅骨训练样本和下颌骨训练样本进行分析，得到上颅骨形状模型在内蕴均值处切空间的主成分φ
x
及其降维表示d
x
，以及下颌骨形状模型在其形状空间内蕴均值处切空间的主成分φy及其降维表示dy，鉴于本发明所述基于主测地线分析的三维下颌骨重建方法是通过上颅骨模型重建出完整的下颌骨，要寻找上颌骨与下颌骨之间的变换关系，二者的变换关系表示为下式(11)：
[0036]dy
＝d
xu*
……
(11)，
[0037]
上式(11)中，u
*
为最小二乘法得到的最佳变换矩阵，需要指出的是，在降维表示时，需要把上颅骨和下颌骨的主方向个数保持一致，才能建立一一对应的线性关系，从而求得关系矩阵u
*
，这样就得到了重建下颌骨所需的所有先验知识，关系矩阵u
*
如下式(12)，
[0038][0039]
进一步的，步骤3中，将输入的上颅骨模型x
′
投影到形状空间中，根据训练阶段得到的先验知识来构建下颌骨形状空间，最后将其还原到欧氏空间中，包括以下步骤：
[0040]
步骤3.1，对于输入的一个上颅骨形状模型x
′
，首先去除平移和缩放，将其投影到预形状空间中，然后使用普氏分析去除旋转作用，与训练样本形状对齐；利用训练阶段的先验知识，将x
′
投影到上颅骨均值点μ
x*
处的切空间中，并进行主测地线分析，得到输入上颅骨在内蕴均值处切空间上的降维表示d
[x
′
]
；
[0041]
步骤3.2使用训练阶段得到的上颅骨模型x
′
在形状空间内蕴均值处切空间的主成分φ
x
将其投影到这个切空间中，接着使用空间变换矩阵u
*
将其变换到下颌骨形状空间内蕴均值处的切空间里，然后使用将其投影到下颌骨形状空间中，就得到预测下颌骨的在子空间中的降维表示，如下式(13)所示：
[0042]d[y
′
]
＝d
[x
′
]u*
……
(13)，
[0043]
利用指数映射，即对数映射的逆，将预测的下颌骨投影到形状空间，如下式(14)：
[0044][0045]
将形状空间中的下颌骨恢复位置、尺寸和旋转，还原到欧氏空间，就得到了一个与输入上颅骨适配的且具有个性化特征的三维下颌骨y
′
；
[0046]
步骤3.3，为了将下颌骨形状还原到与输入上颅骨匹配的欧氏空间，需要保留输入上颅骨的绝对位置、尺寸大小以及它在形状空间中对齐时使用到的旋转矩阵。
[0047]
相对于现有技术，本发明所述基于主测地线分析的三维下颌骨重建方法具有以下优越的技术效果：
[0048]
1，使用本发明所述基于主测地线分析的三维下颌骨重建方法，能够有效地重建出与真实值接近的下颌骨；
[0049]
2，使用本发明所述基于主测地线分析的三维下颌骨重建方法，所预测出的下颌骨与真实值相比具有很小的误差，在形状细节上与真实值接近。
附图说明
[0050]
图1为本发明所述基于主测地线分析的三维下颌骨重建方法的流程图。
具体实施方式
[0051]
下面结合说明书附图详细介绍本发明所述基于主测地线分析的三维下颌骨重建方法的具体实施方式。
[0052]
如图1所示，本发明所述基于主测地线分析的三维下颌骨重建方法，包括以下步骤：
[0053]
步骤1，构建形状空间，根据kendall提出的形状定义，将原始的三维头骨去除平移、缩放和旋转的李群作用，投影到形状中,具体包括以下步骤：
[0054]
步骤1.1，三维颅骨形状的表示：在三维空间中的一个由m个点组成的中心化三维颅骨点云数据记为这里的xh(h＝1,2,
…
,m)是三维颅骨点云中第h点的三维坐标，利用向量化算符将点云数据转化为一个列向量，即构形空间中的一个元素：
[0055][0056]
步骤1.2，投影到形状空间，利用kendall形状空间理论中的赫尔默特矩阵或中心化矩阵为构形元素去除平移作用，再利用质心尺寸去除缩放作用，得到预形状x，接着对预形状进行普氏分析，去除旋转变换群的作用,得到形状空间中的元素[x]，到形状空间中的元素[x]是预形状x在旋转作用下元素的集合；
[0057]
步骤2，训练阶段，将头骨训练样本投影到形状空间后，使用fr
é
chet提出的方法找到形状空间中的内蕴均值，接着在内蕴均值处对所有训练样本进行主测地线分析，最后从训练样本得到上颅骨形状和下颌骨形状之间的关系，作为先验知识，用于重建阶段，具体包括以下步骤：
[0058]
步骤2.1，形状空间的对数映射，通过在形状空间上对形状进行分析，而鉴于形状空间在其上一点的邻域内与欧氏空间微分同胚，将形状空间的局部映射到欧氏空间，在欧
氏空间中完成分析过程，将结果映射回形状空间，由于三维颅骨形状在形状空间中的分布非常集中，能够将它们视为在一个点的邻域内，将三维颅骨形状投影到该点的切空间上，就能够方便地分析形状的本质特征，令p和q是预形状球上的两点，[p],[q]分别是这两个预形状的形状表示，借助普氏分析方法，计算[p],[q]在预形状空间中的代表元素p,q
ro
，这里的q
ro
代表q向p进行旋转对齐后的元素，则形状空间中的对数映射可以表示为下式(2)：
[0059][0060]
上式(2)中，γ
*
是由普氏分析计算出的q向p对齐的最佳旋转矩阵，此时对数映射是等距表示的，p和q对应形状之间的最短测地距离可以表示为下式(3)：
[0061]
d([p],[q])＝||log
p
(q
ro
)||
……
(3),
[0062]
步骤2.2，求三维颅骨模型的内蕴均值，首先，构造颅骨数据的预形状空间然后使用普氏分析消除旋转作用，将所有预形状xi向第一个预形状x1对齐，得到颅骨形状在预形状空间中的代表元素，分别表示为x
1,ro
,x
2,ro
,
…
,x
n,ro
，所有颅骨形状组成的形状空间表示为根据fr
é
chet内蕴均值算法和公式(3)中形状空间的测地距离表示，能够给出三维颅骨形状空间中的内蕴均值定义，如下式(4)：
[0063][0064]
上式(4)中，μ
*
表示在形状空间中到所有形状的测地距离平方和最小的点，将形状空间中任意一个颅骨形状x
i,ro
作为内蕴均值的初始值，使用梯度下降法求解上式(4)，三维颅骨均值点的梯度为下式(5)：
[0065][0066]
则每一次迭代更新得到的三维颅骨形状内蕴均值表示为下式(6)：
[0067][0068]
步骤2.3，对三维颅骨模型进行主测地线分析，形状空间上的主测地线是线性空间中主方向的一般化，它保留了形状在形状空间中最主要的变化，利用形状空间局部微分同胚于欧氏空间的性质，把形状空间中的三维颅骨形状投影到内蕴均值点的切空间中，可以计算得到形状在切空间中的主要变化方向，再将这些方向投影到形状空间中，得到形状空间的主测地线，由主测地线构成的流形是三维颅骨形状空间的一个测地子流形内蕴均值μ
*
计算三维颅骨形状的方差，如下式(7)：
[0069][0070]
根据上式(7)计算三维颅骨样本形状的协方差矩阵，如下式(8)、(9)：
[0071]
[0072]
其中：
[0073]
由协方差矩阵进一步得到内蕴均值处切空间中的特征向量和特征值λ1,
…
,λ
3m
，通过特征向量和特征值，由累计方差贡献率的大小来确定测地子流形的主成分个数k，以构建投影矩阵使用投影矩阵将原始形状投影到测地子流形中，得到它们在低维切空间中的降维表示式(10)：
[0074][0075]
以上通过使用主测地线分析方法对三维颅骨模型进行形状分析的过程，所使用的主测地线分析方法对三维点云模型具有通用性；
[0076]
步骤2.4，基于主测地线分析的关系训练，利用主测地线分析方法分别对上颅骨训练样本和下颌骨训练样本进行分析，得到上颅骨形状模型在内蕴均值处切空间的主成分φ
x
及其降维表示d
x
，以及下颌骨形状模型在其形状空间内蕴均值处切空间的主成分φy及其降维表示dy，鉴于本发明所述基于主测地线分析的三维下颌骨重建方法是通过上颅骨模型重建出完整的下颌骨，要寻找上颌骨与下颌骨之间的变换关系，二者的变换关系表示为下式(11)：
[0077]dy
＝d
xu*
……
(11),
[0078]
上式(11)中，u
*
为最小二乘法得到的最佳变换矩阵，需要指出是，在降维表示时，需要把上颅骨和下颌骨的主方向个数保持一致，才能建立一一对应的线性关系，从而求得关系矩阵u
*
，这样就得到了重建下颌骨所需的所有先验知识，关系矩阵u
*
如下式(12)：
[0079][0080]
步骤3，重建阶段，将输入的上颅骨模型投影到形状空间中，根据训练阶段得到的先验知识来构建下颌骨形状空间，最后将其还原到欧氏空间中，包括以下步骤：
[0081]
步骤3.1，对于输入的一个上颅骨形状模型x
′
，首先去除平移和缩放，将其投影到预形状空间中，然后使用普氏分析去除旋转作用，与训练样本形状对齐；利用训练阶段的先验知识，将x
′
投影到上颅骨均值点μ
x*
处的切空间中，并进行主测地线分析，得到输入上颅骨在内蕴均值处切空间上的降维表示d
[x
′
]
；
[0082]
步骤3.2使用训练阶段得到的上颅骨模型x
′
在形状空间内蕴均值处切空间的主成分φ
x
将其投影到这个切空间中，接着使用空间变换矩阵u
*
将其变换到下颌骨形状空间内蕴均值处的切空间里，然后使用将其投影到下颌骨形状空间中，就得到预测下颌骨的在子空间中的降维表示，如下式(13)所示：
[0083]d[y
′
]
＝d
[x
′
]u*
……
(13)，
[0084]
利用指数映射，即对数映射的逆，将预测的下颌骨投影到形状空间，如下式(14)所示：
[0085][0086]
将形状空间中的下颌骨恢复位置、尺寸和旋转，还原到欧氏空间，就得到了一个与输入上颅骨适配的且具有个性化特征的三维下颌骨y
′
；
[0087]
步骤3.3，为了将下颌骨形状还原到与输入上颅骨匹配的欧氏空间，需要保留输入上颅骨的绝对位置、尺寸大小以及它在形状空间中对齐时使用到的旋转矩阵。
[0088]
本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明构思和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都将落入本发明权利要求书规范的保护范围内。