一端连接，同相输入端接地，反相输入端与输出 端之间连接并联的电阻R6,输出端与模拟乘法器M2的第一同相输入端XI连接；
[0043] 所述电阻R8的另一端与可变电阻R15中间端子相连接；
[0044] 所述可变电阻R15另外两个端子分别连接至直流电源V4的阳极和直流电源V5的 阴极；
[0045] 所述直流电源V4的阴极与所述直流电源V5的阳极相连接，并同时接地；
[0046] 所述模拟乘法器M2的第二反相输入端Y2与运算放大器U2的输出端连接，第一反 相输入端X2、第二同相输入端Y1与第三输入端Z均接地，输出端W与电阻R4的一端相连；
[0047] 所述运算放大器U3反相输入端与电阻R4的另一端和电阻R5的一端连接，同相输 入端接地，反相输入端与输出端之间连接并联的电阻R3,输出端与电阻R2的另一端相连；
[0048] 所述电阻R5的另一端连接至所述运算放大器U1输出端与电容C1的并联节点。
[0049] 本发明九阶广义VanderPol振子非线性电路，其具有九阶非线性项的广义Van derPol振子确定性系统的理论模型为
[0050]
[0051] 式（1)是在标准VanderPol方程.V-//(I-.v-).i+.v= 0基础上，阻尼项-/l(l- 中添加了高次项x4，x6，x8,并且使各项系数变为e，c^，a2,a3,a4。
[0052] 根据系统电路原理图及电路基本理论，可得该九阶非线性电路系统的数学方程为
[0053]
[0054] 式（2)中％为反相积分器U1输出的电压信号，单位为伏特（V) ;V3为可变电阻R15 中间端子输出的电压值，单位为伏特（V)况，R2,R3,R4,R5,R6,R7,Rs，R9,R1Q，Rn，R12,R13,R14， R16分别为电阻Rl、电阻R2、电阻R3、电阻R4、电阻R5、电阻R6、电阻R7、电阻R8、电阻R9、电 阻R10、电阻R11、电阻R12、电阻R13、电阻R14和电阻R16的阻值，单位为欧姆（Q) ;&，C2 分别为电容Cl和电容C2的容值，单位为法拉（F)。
[0055]其中，
[0056] 令t= ?t，代入式⑵中，得
[0057]
[0058]令w2=1，v丨=X，代入式（3)，得
[0059]
[0060] 比较式（1)和式（4)，可得
[0061]
[0062] 根据分岔理论，由奇异性分析可以得出，以e作为分岔参数，式（5)中，取系数a: =2. 5，a2= 4. 545，a3=2. 5，a4= 0.4时，分岔图如图1所示。图1给出了九阶非线 性系统极限环的幅值随分岔参数e变化的曲线，图中实线表示稳定解、点划线表示不稳定 解。在一定的区间内，该系统有一个平衡点和四个同心极限环，从原点由内向外分别是稳 定、不稳定、稳定、不稳定、稳定，即有三个吸引子共存，故方程（1)属于三稳态系统。
[0063] 实施例：
[0064] 本发明实施例中各电子元器件的参数如下：6个运算放大器U1、U2、U3、U4、U5、U6 的型号均为LF412CN，5个模拟乘法器Ml、M2、M3、M4、M5的型号均为AD633JN，C1=C2 = 10nF，R2=R3=R4=R10=R13= 11^，!^=R5=Rn=R12= 10kQ，R6=R8= 100kQ，R7 =4kQ，R9= 2. 2kQ，R14= 5. 6kQ，可变电阻R15= 20kQ，R16= 25kQ。
[0065] 用PSpice模拟仿真软件对该电路方程，即式（2)进行仿真实验，改变可变电阻R15 的阻值大小，相当于给定不同的电压值V3。当调节电压值心的大小位于三稳态区间内，三 稳态区间为-0. 55V到-0. 69V，本实施例取-0. 57V，给定初始条件Vi的值较小时，即其范围 为0. 001V到0. 2V，本实施例取0.IV，输出响应Vi最终稳定在平衡点附近，仿真结果如图3 所示，并没有形成稳定的极限环，仿真结果如图4所示；给定初始条件I的值适当时，即其 范围为0. 3V到0. 8V，本实施例取0. 6V，输出响应Vi最终稳定在较小的幅值，该值为1.IV左 右，仿真结果如图5所示，并形成一个幅值较小的稳定极限环，仿真结果如图6所示；给定初 始条件Vi的值较大时，即其范围为IV到2V，本实施例取1. 2V，输出响应￥1最终稳定在较大 的幅值，该值为4. 6V左右，仿真结果如图7所示，并形成一个幅值较大的稳定极限环，仿真 结果如图8所示。图3至图8表明，在同一分岔参数e的条件下，给定不同的初值，系统的 响应会稳定在三个不同的吸引子上。由图3到图8,证明了本发明的有效性。电路仿真结果 表明此九阶VanderPol振子系统在物理上是可以实现的，而且可以用于验证三个吸引子 共存的现象。
[0066] 尽管上面结合附图对本发明进行了描述，但是本发明并不局限于上述的具体实施 方式，上述的【具体实施方式】仅仅是示意性的，而不是限制性的，本领域的普通技术人员在本 发明的启示下，在不脱离本发明宗旨的情况下，还可以做出很多变形，这些均属于本发明的 保护之内。
【主权项】
1. 一种九阶广义Van der Pol振子非线性电路，该电路包括的电子元器件有6个运算 放大器、5个模拟乘法器、16个电阻和2个电容，6个运算放大器分别为运算放大器U1、运算 放大器U2、运算放大器U3、运算放大器U4、运算放大器U5和运算放大器U6, 5个模拟乘法 器分别为模拟乘法器Ml、模拟乘法器M2、模拟乘法器M3、模拟乘法器M4和模拟乘法器M5 ; 15个电阻分别为电阻RU电阻R2、电阻R3、电阻R4、电阻R5、电阻R6、电阻R7、电阻R8、电阻 R9、电阻R10、电阻R11、电阻R12、电阻R13、电阻R14、可变电阻R15和电阻R16 ;2个电容分 别为电容Cl和电容C2 ;其特征在于，电路中所有电子元器件的连接关系如下： 所述运算放大器U2反相输入端与电阻R2的一端连接，同相输入端接地，反相输入端与 输出端之间连接并联的电容C2,输出端与电阻Rl的一端相连； 所述运算放大器Ul反相输入端与电阻Rl的另一端连接，同相输入端接地，反相输入端 与输出端之间连接并联的电容C1，输出端分别与模拟乘法器Ml的第一同相输入端Xl与第 二同相输入端Yl连接； 所述模拟乘法器Ml的第一反相输入端X2、第二反相输入端Y2与第三输入端Z均接地， 输出端W分别与电阻R7的一端和电阻RlO的一端相连； 所述运算放大器U5反相输入端与电阻RlO的另一端连接，同相输入端接地，反相输入 端与输出端之间连接并联的电阻Rl 1，输出端分别与模拟乘法器M3的第一同相输入端Xl与 第二反相输入端Y2连接，与模拟乘法器M4的第二反相输入端Y2连接； 所述模拟乘法器M3的第一反相输入端X2、第二同相输入端Yl与第三输入端Z均接地， 输出端W分别与电阻R9的一端和电阻R13的一端相连； 所述运算放大器U6反相输入端与电阻R13的另一端连接，同相输入端接地，反相输入 端与输出端之间连接并联的电阻R12,输出端分别与模拟乘法器M4的第一同相输入端XI、 模拟乘法器M5的第一同相输入端XI、第二反相输入端Y2相连接； 所述模拟乘法器M4的第二反相输入端Y2与运算放大器U5的输出端连接，第一反相输 入端X2、第二同相输入端Yl与第三输入端Z均接地，输出端W与电阻R14的一端相连； 所述模拟乘法器M5的第一同相输入端XI、第二反相输入端Y2与运算放大器U6的输出 端相连，第一反相输入端X2、第二同相输入端Y2和第三输入端Z接地，输出端W与电阻R16 的一端连接； 所述运算放大器U4反相输入端分别与电阻R8的一端、电阻R7的另一端、电阻R9的另 一端、电阻R14的另一端、电阻R16的另一端连接，同相输入端接地，反相输入端与输出端之 间连接并联的电阻R6,输出端与模拟乘法器M2的第一同相输入端Xl连接； 所述电阻R8的另一端与可变电阻R15中间端子相连接； 所述可变电阻R15另外两个端子分别连接至直流电源V4的阳极和直流电源V5的阴 极； 所述直流电源V4的阴极与所述直流电源V5的阳极相连接，并同时接地； 所述模拟乘法器M2的第二反相输入端Y2与运算放大器U2的输出端连接，第一反相输 入端X2、第二同相输入端Yl与第三输入端Z均接地，输出端W与电阻R4的一端相连； 所述运算放大器U3反相输入端与电阻R4的另一端和电阻R5的一端连接，同相输入端 接地，反相输入端与输出端之间连接并联的电阻R3,输出端与电阻R2的另一端相连； 所述电阻R5的另一端连接至所述运算放大器Ul输出端与电容Cl的并联节点。
【专利摘要】本发明公开了一种九阶广义Van？der？Pol振子非线性电路，包括运算放大器、模拟乘法器、电阻及电容，运算放大器U1、U2构成线性反相积分器，输出信号V1、V2，运算放大器U3、U4、U5、U6构成线性反向放大器；U2的输出端与U1的反向输入端相连接，U2和U4的输出端与模拟乘法器M2相连，M2的输出端和U1的输出端与U3相连，U3的输出端与U2相连，U1的输出端与模拟乘法器M1相连，M1的输出端与U5相连，U5的输出端与模拟乘法器M3相连，M3与U6相连，U6的输出端与模拟乘法器M5相连，U5和U6的输出端与模拟乘法器M4相连。该电路结构简单，实现简便而且成本低廉，只需改变电路中电阻和电容的大小就可以演示出不同的分岔现象，还可以验证广义Hopf分岔理论，验证三个吸引子共存的现象，并可以研究非线性电路中存在的其它非线性现象。
【IPC分类】H03B5/30
【公开号】CN105007042
【申请号】CN201510262468
【发明人】吴志强, 张宝强
【申请人】天津大学
【公开日】2015年10月28日
【申请日】2015年5月20日