一种平方剩余码的硬判决译码方法
【技术领域】
[0001] 本发明属于数字通信技术领域，具体涉及一种QR码的硬判决译码方法。
【背景技术】
[0002] 在过去的几十年中，Sylvester结子或者GrSbner基是用来解二进制QR码最为常 见的方法。这两种方法被用来解牛顿恒等式，从而找出错误位置多项式并最终完成译码。而 牛顿恒等式是非线性的、高阶的多变量方程，随着错误形态重量的增加，解对应方程的计算 量和复杂度都会急剧增加，这是该类译码方式的一大弊端。
[0003] (47，24,11 )QR 码也是一个 BCH 码（BCH 是由 BoseXhaudhuri 和 Hocquenghem 三个人 先后独立发现的，BCH是一大类强有力的纠正随机错误的循环码，这类码是对汉明码的一种 重要推广，可用于纠正多个错误），其最小距离为11，因此可以解5个错误。2001年，首先提出 了（47,24，11)QR码的译码方法。在QR码中，已知校正子可以通过接收矢量直接求得，但未知 校正子则需通过其他方式求解。该译码方法给出了在不同错误的情况下未知校正子S 5的求 取方式，从而获得错误位置多项式的系数。再进而解得错误图样，完成译码。
[0004] 文献（Gregory Dubney，I · S · Reed，T · K · Truong ,and Jun Yang，"Decoding the (47,24,ll)Quadratic Residue Code Using Bit-Error Probability Estimates ,IEEE Transactions on Communications，Vol.57，no.7，pp.l986_1993，July 2009)提出（47,24， 11) QR码的一种纠5个错误的译码算法。该方法利用Chase-II a I gor i thm的译码思想，采用 reliability-research algorithm翻转一个错误比特，然后利用4个错误的译码方法来解5 个错误。该方法的优点是随着信噪比的增加，译码效率将会显著提高。
[0005] 文献（T.C.Lin，H.P.Lee，Hsin_Chiu Chang，Shao_I Chu，and T.K.Truong，"High speed decoding of the binary (47,24,11)quadratic residue code，''Information sciences，vol. 180, Iss .20，pp.4060-4068，0ct. 2010)提出了（47,24,11 )QR码不同错误模 式对应的检测条件，从而使(47,24，11)QR码的硬判决译码可以先判定错误个数，再实施具 体译码。该码的构造原理为:令m是使得η能够被2?-1整除的最小正整数。对于(47,24，11) QR码而言，m = 23，n = 47。让aeGF(223)并且是本原多项式χ23+χ5+1的一个根。然后可以利用 本原多项式产生有限域GF(2 23)上的所有非零元素。令β = αυ是单位圆的本原47阶根，其中u =(223 - I )/47 = 178，481。按平方剩余的定义得到集合Q47 = {i I i 三 j2mod 47，I < j < 46}= U，2,3,4,6,7,8,9,12,14,16,17,18,21,24,25，27,28,32,34,36,37,42}。所以，（47,24， 11)QR码的生成多项式为
[0006]
[0007] 定义码字多项式为C(X) =C46X46+C45X45 +…+C1X+CQ，错误多项式为e(X) =Θ46Χ46+ 645义45+ - +611+6()，接收矢量为1'(1)=(^)+6(1)。假定接收矢量中发生了￥个错误，￥<1：。校 验子定义为Si: =6(^) = (3(01)+!^1)，0< i < 46。因为Mi EQ47)是生成多项式g(x)的根， 所以有spr^he^1)，它们被称为已知校正子。
[0008]
[0009] 其中，V < 5，Z, = β"，I < j < V，r j表示错误位置。对于(47，24，11) QR码而言，当错 误个数小于等于3时，求解错误位置多项式的系数〇1无需计算未知校正子，而对于4个错和5 个错，需要计算未知校正子。随着错误个数的增加和有限域的扩大，计算未知校正子的复杂 度也会显著增加。所以在GF(223)下解4个错和5个错时，相应的未知校正子S 5的计算具有较 高的复杂度，导致译码效率不高。
【发明内容】
[0010] 本发明针对现有技术平方剩余码QR码（Quadratic Residue code)，尤其是（47， 24,11)QR码译码过程中未知校正子的计算复杂度较高，导致译码效率不高的缺陷。提出一 种改善译码复杂度的方案，从而提高译码效率。在本发明中我们提出了一种(47,24,11)平 方剩余码不用计算未知校正子的快速硬判决译码方法。本发明解决上述技术问题的技术方 案是，一种QR码的硬判决译码方法，根据已知校正子计算接收矢量发生错误时的错误位置 多项式的不含未知校正子的系数，构建已知校正子矩阵;根据已知校正子和矩阵判断接收 矢量发生错误数，根据系数及已知校正子建立对应的错误位置多项式;从接收矢量的低错 误形态依次向高错误形态，求解错误位置多项式的根，根据错误位置多项式的根及对应的 有限域中元素确定接收矢量的错误位置，将接收矢量对应的该错误位置翻转。
[0011]其中，已知校正子根据有限域GF( 223)中的元素获得，具体可为，根据公式S1 = r (f) = e(f)确定已知校正子51，其中，β是有限域GF(223)中的元素，β 1表示β的i次方，r(x)为 码字的代数形式，e(x)是错误模式的代数形式。
[0012] 本发明的其中一个实施例进一步包括，如果接收矢量发生1个错误，其系数〇1 = 51， 错误位置多项式为L1(Z) = Z+^，求解L1(Z)=O的根，获得错误位置。
[0013] 本发明的其中一个实施例进一步包括，如果接收矢量发生2个错误，2个错对应的 系数分别为σι = S1，〇2 = (S3+Si3) /S1，错误位置多项式为L2 (Z) = Z2+SiZ，求解L2 (Z) = 0的根， 获得错误位置。（例如:LKZ)=0解出的21为〇16()6329,2 2为〇3212658，其中〇有限域6?(223)元素，0 = α178481，那么α16()6329 = β9，α3212658 = β18,此时9，18就是错误位置，错在第9位和第18位(从0位 到46位）。）
[0014] 本发明的其中一个实施例进一步包括，如果接收矢量发生3个错误，3个错对应的 系数分别为。I = S1,02= (S6X3+S9 V(S1SdS7)，O3= (S7X3+SiX9)/(S1XdS7)，错误位置多项式为 L3 (Z) = ，求解L3 (Z) = 0的根，获得错误位置。
[0015] 本发明的其中一个实施例进一步包括，如果接收矢量发生4个错误，根据公式〇1 = Si，〇2= (klk2+k3k4)/(k5k2+k3k6)，〇3 = X3+Sl〇2，〇4= 〇22+〇2b2+SlS3+Sl4+b2S3/Sl得到发生4个错 误的不含未知校正子的系数，错误位置多项式为L4(Z)=Z4+〇1Z3+ 〇2Z2+〇3Z+〇4,求解L4(Z) = O 的根，获得错误位置。
[0016] 本发明的其中一个实施例进一步包括，如果接收矢量发生5个错误，执行如下步 骤，（1)计算接收矢量对应的比特可靠性值，将可靠性值从小到大排序；（2)从可靠性值最小 的比特开始翻转，并判断等式M( Si8m+S27n2+S42n3 )+N( Simi+S9m2+S2im3) = O是否成立，如等式 成立，根据公式〇5 = O，σι = Si，〇2 = (klk2+k3k4)/(k5k2+k3k6)，〇3 = X3+Sl〇2，〇4= 〇22+〇2b2+SlS3+ SAb2S3ZiSH+算相应的系数，建立错误位置多项式为求解多项 式的根得到除已翻转的一位错误外的其余4个错误位置；（3)如果等式不成立，将已翻转的 比特翻转回去，继续翻转可靠性值次小的比特，重复执行步骤(2)，直至达到预设的最大翻 转次数。
[0017] 本发明中的代数译码算法是从低错误形态依次解到高错误形态的译码过程，通过 对比分析提出的算法在一定程度减小了运算量，提升了译码效率。同时把现有的4个错判断 条件减小到8